幂的运算培优竞赛辅导讲义
八年级上册——幂的运算(培优难题教案)(K12教育文档)
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幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）:1．m n m n a a a +⋅=2．()m n mn a a =3．()n n n ab a b =4．m n m n a a a -÷=5．011(0)(0)p p a a a a a-=≠=≠， 经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ）①3412a a a ⋅= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a -- A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式题组】 01。
计算212()()n n c c +⋅的结果是( )A ．42n c +B ．44n c +C ．22n c +D ．34n c +02．计算100101(2)(2)-+-＝_______________03．如果3915()n m a b b a b ⋅=，则m ＝_________,n ＝____________04．计算2323()()()n n x y x y +-⋅-＝_______________【例２】若2n+12448n +=，求n 的值。
【变式题组】01．若24m =,216n =,求22m n +的值02．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值03．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________.04．已知33m a =,32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值05．已知232122192m m ++-=，求m 的值【例３】552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a >b 〉c >dB ．a 〉b 〉d >cC ．b 〉a >c 〉dD ．a >d >b 〉c【变式题组】01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ )A ．a >b 〉cB ．a >c 〉bC ．a <b <cD ．b >c >a 02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为( ）A ．a <b 〈cB ．c 〈a <bC ．c <b 〈aD ．b <c <a【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数【变式题组】01．求满足2003005n ＜的最大整数值n.02．如果x 、y 是正整数，且2232x y ⋅=，求满足条件的整数x 、y03．求满足22(1)1n n n +--=的整数n 。
幂的运算讲义-刘丹.doc
3x
是同类项，那么这两个单项式的积进（
）
6
4
3
2
8
3
2
6
4
A．x
y
B．
x
y
C．
3x
y
D．
x
y
3.已知（x－y）·（x－y）3·（x－y）m=（x－y）12，求（4m2+2m+1）－2（2m2－m－5）的值．
4.212223......220085.am=6，an=2，求a2m－3n的值．
2007
22
例1计算：
（1）
2
3
（
）
a
3
2
（）523
；
（ ）
x
32
x
23
3
；
2
；
3 m m
4
题型二幂的乘方的运算性质的逆用
例2
（1）已知am
2,求a3m；
（2）已知am
3, an
2,求a2m 3n
题型三 积的乘方的运算性质应用
例3
计算：
（1）
3x
3
；
（ ）
2
；
m
2 2； （4）
3 24
2
5ab
（3）x y
xy z
n1
aa0, n是正整数
(6)科学计数法
对于一个绝对值大于10的数，可以表示成a 10n1a10, n是正整数 的形式，对于一个绝对值
小于1且大 于0的数 ，也可以 表示 成a10n的 形式，只 不过 此时 的n是一个负 数， 如：
0.00000043
4.3
1
4.3
107
10000000
北师大版七年级下册辅导班教案第一讲幂的运算
其次，在教学过程中，我要更加注重引导学生主动参与。通过设计一些互动环节，让学生在实践中掌握幂的运算。这样既能激发学生的学习兴趣，也有助于提高他们的动手能力和解决问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂的基本概念。幂是表示相同因数相乘次数的数学表达式，它是进行快速运算和简化表达式的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了幂在计算面积、体积等实际问题中的应用，以及它如何帮助我们简化计算过程。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调同底数幂的乘除法则和幂的乘方、积的乘方这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幂的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对幂的运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了幂的运算，我发现学生们对于这个概念的理解程度不尽相同。有的学生能够迅速抓住幂的定义和运算规律，但也有一些学生在同底数幂的乘除运算和负指数的理解上遇到了一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注意以下几点：
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握幂的定义及表示方法，理解幂的数理意义。
-熟练运用同底数幂的乘法、除法法则，并能解决相关问题。
-掌握幂的乘方和积的乘方的运算规律，能够灵活应用。
-理解并掌握负整数指数幂的概念及运算方法。
幂的运算一对一辅导讲义
课 题幂的运算 授课时间： 2016-03-27 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24教学目标 1、了解幂的意义和同底数幂的运算法则，并会用幂的运算性质进行计算； 2、了解幂的乘方的意义，会用幂的乘方的性质进行相关的运算；3、经历探索同底数幂运算法则及幂的乘方性质的推导过程，发展学生观察、概括与抽象的能力；重点、难点1、掌握同底数幂的乘除法则；2、掌握幂的混合运算性质。
考点及考试要求 1、同底数幂的运算法则；2、幂的乘除运算性质；3、幂的混合运算。
教 学 内 容第一课时 幂的运算知识梳理1.已知322=m ，42n =，求n m +2的值；2.已知642=x ，求32+x 的值；3.已知35=m ，1125=n ，求n m 235-的值；4.已知2010=a ，5110=b ，求b a 239÷的值；课前检测5.若144=n a ，9=n b ，求n ab 4)(的值；一、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=·（m 、n 为正整数）。
同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，若底数是多项式，可以用字母表示为：n m n m b a b a b a ++=++)()(·）（；同底数幂的乘法法则还可以逆用：n m n m a a a ·=+（m 、n 为正整数）；同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，再幂的运算中常用到下面两种变形：① n a )(-= 为正奇数）；（为正偶数），（n b n n n a ②=-n b a )( 为正奇数）；（为正偶数），（n )(n )(n n a b a b --- 二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），即，幂的乘方，底数不变，指数相乘；幂的乘方法则的推广：即mnp p n m aa =])[(（m 、n 、p 为正整数）； 幂的乘方法则还可以逆用：m n n m mn a a a)()(==（m 、n 为正整数）； 三、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 为正整数），即把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的运算讲义
方法二：∵〔 - 〕= = = = ，
∴ 与 也能被13整除，又∵ 能被13整除，∴ 也能被13整除。
题型训练：
计算：1. = 2. = 3. =
4. = 5. = 6.
7. 8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
（2）① 解方程： ； ② 解不等式： < ；
解：① 原方程可化为 ，即 ；∴*-1=2，解得*=3；
②∵ < ，∴ 2*-1> ，
∴ 2*-1>-3(1-*)， ∴ 2*-1>3+3*， ∴ -*>-2， ∴ *<2。
方法总结：在含有幂的运算的等式〔不等式〕中，确定指数中的字母取值〔*围〕的方法：通过符号〔等号〕两边各自计算，使左右两边底数一样，然后由指数相等〔不等〕构造方程〔不等式〕来求解字母的取值*围。
综合开展题：1. ；思路引导：先由"两非负数和为0，则每个非负数均为0,〞得到*，y的值，然后化简求值；
2. ；思路引导：先由"三个非负数和为0，则每个非负数均为0,〞得到*，y，z的值，然后代入求值；
3.1；思路引导：∵ ，∴ ，同理有 ，
∴ ，即 ，∴ *y=*+y，即 =1；
4.8或12或16；思路引导：由条件可以列出方程组 ，∴
① ； ② ；
③ ； ④ 。
解：① 不正确，应改为： ，法则中底数不变，指数相减，而不是指数相除；
② 不正确，应改为： ， 与 底数不同，要先化为同底数，即 ，再计算；
③ 不正确，应改为 ，*-y与y-*互为相反数，先化同底数再计算；
七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义
第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。
七年级下册幂的运算讲义
七年级下册数学讲义课 题：幂的运算教学目标：1、同底数幂的乘法及其运用；2、幂的乘方及其运用；3、积得乘方及其运用。
教学过程：一、知识梳理（一） 同底数幂的乘法1、文字语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、表达式： n m n m a a a +=⋅（m ，n 都是正整数）3、注意：（1）对于三个（或三个以上）同底数幂相乘，也具有底数不变，指数相加的性质。
（2）同底数幂的乘法运算中的“同底数”，不仅可以是数，也可 以是代数式。
（3）要注意分清底数和指数。
（二）幂的乘方1.、文字语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘2、表达式： ()mn nm a a =（m ，n 都是正整数）3.、注意：（1）()p n m mnp a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（m ，n ，p 都是正整数）仍成立。
（2）幂的乘法中的底数“a ” 可以是数，也可以是代数式（3）要注意区分幂的乘法运算法则和同底数幂的乘法法则。
（三）积得乘方1、文字语言叙述：积的乘方，等于每个因式分别乘方2、 表达式： ()n n nb a ab =（n 都是正整数） 3、 注意：（1）三个（或三个以上）的积的乘方，也具有这一特性，即()n n n n abc a b c =（n 都是正整数）。
（2）这里的“a ”，“b ” 可以是数，也可以是代数式（3）应抓住“每一个因数乘方”这一要点。
二、例题分析题型一：比较幂的大小1、化幂的底数为相同后，通过比较指数的大小来确定幂的大小【例题1—1】314161a=b=27c=9a b c 若81，，，则比较、、的大小关系是2、化幂的知识为相同后，通过比较底数大大小来确定幂的大小【例题1—2】444333222a=b=3c=5a b c 已知1，，，则比较、、的大小关系是3、将幂乘方后，通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小【例题1—3】35a =3b =4a b 已知，，则比较、的大小关系是4、利用中间量传递来确定幂的大小【例题1—4】16131533比较和的大小5.计算()()()()()541053423223a a a a a a a ---⋅+--⋅-⋅- 题型二、法则的逆用1、 逆用同底数幂的乘法法则【例题2—1】m m+n 5=4,535n =已知，求的值。
幂的运算复习课件
总结与回顾
幂的定义与性质 幂的运算应用
幂的运算规则 常见错误与注意事项
掌握幂的运算规则和技巧 能够熟练运用幂的运算解决实际问题 了解自己在幂的运算方面的不足之处 针对不足制定相应的学习计划和策略
点评学生表现： 对学生在幂的 运算复习中的 表现进行总结
和评价
回顾知识点： 对幂的运算的 知识方与积 的乘方运算
幂的除法法则 应用
同底数幂的乘 法与除法运算
指数运算中的混淆： 区分幂的底数和指 数，避免混淆。
幂的运算顺序错误： 遵循先乘除后加减 的运算顺序，避免 计算错误。
幂的运算性质理解不 足：理解幂的运算性 质，如乘方分配律、 乘方结合律等，提高 计算效率。
幂的运算与其他运算 混淆：区分幂的运算 和其他运算，如乘法 、除法等，避免混淆 导致错误。
幂的运算复习课件
汇报人：PPT
目录
添加目录标题
幂的定义与性质
幂的运算方法
幂的应用
幂的运算注意事 项
幂的运算练习题
添加章节标题
幂的定义与性质
幂的定义：a的n 次幂，表示n个a 相乘
幂的符号：用小 写字母m表示底 数，用大写字母 M表示指数
幂的运算性质： 同底数幂相乘， 指数相加；同底 数幂相除，指数 相减
幂运算在解决实际问题中的应用：通过 举例说明幂运算在解决实际问题中的应 用，如计算复利、计算面积和体积等。
幂运算在实际问题中的应用举例：通过举 例说明幂运算在实际问题中的应用，如计 算复利、计算面积和体积等。
幂的应用：在解方程、求导数、 积分等数学问题中的应用
幂的性质：包括幂的乘法、 除法、乘方等性质
指数为0的情况：任何非零数的0次 幂都等于1
底数为负数的情况：结果为正数或 负数取决于指数是奇数还是偶数
第八章幂的运算PPT课件
①10m·10m－ 1·100=
②3×27×9×3m=
102m＋1 3m＋6
-
10
③(m－n)4·(m－n) 5·(n－m)6=
(m－n)15
④ (x－2y)4·(2y－x) 5·(x－ 2y)6=
(2y－x)15
-
11
练习四、选择 1．下列各式中，与x5m+1 相等的是（ c ）
（A）（x5)m+1 （B）（xm+1)5
（C） x(x5)m （D） xx5xm
-
12
2．x14不可以写成（ c ）
（A） x5(x3)3
（B） (-x)(-x2)(-x3)(-x8)
（C） (x7)7
（D） x3x4x5x2
-
13
3．计算(-32)5-(-35)2的结 果是（ B ）
（A）0 （B） -2×310
（C）2×310（D） -2×37
＝ (2)(－4)2005×(0.25)2005 ＝
－（8×0.125）2000× (－0.125) －1× (－0.125) ＝ 0.125
＝ (－4×0.25)2005
＝ －1
-
23
练习十一
1、下列算式中，
①a3·a3=2a3;②10×109＝1019；③
(xy2)3=xy6;④（-ab2）2= a2b4其中错c误的是
-
18
练习七、计算（ 口答） （1） (ab) 2 = a 2 b 2
（2）（ab）3 = a 3 b 3
（3）（ab）4 -
= a4 b 4
19
练习八、 计算：
（1）（2b）3
＝23b3 ＝8b3
（2）（2a）3 ＝22×（a3）2
【高效培优】苏科版七年级数学下册第8章 幂的运算(章末整理与复习课件)
b2n-1
5A、、若1 （amB+、1b2n+2）·（C、a23n-1Cb2n）=Da、5b34，则m+n的值为（
）
B
6、如图，将正方形的对边中点连接起来，可以将正方形分成4个形状和面积相同
的小正方形，再将其右下角的小正方形对边中点连接起来，又可将这个小正方形
分割成4个形状和
面积相同的小正方形……如果大正方形边长为1，
谢谢观看
3若10a 20,10b 51, 求9a 32b的值。
探究提升
1.不用任何运算符号，用1、1、1、1 四个数写一个最大的数。
2.n=212×58是几位整数？想一想！
3.计算 （1）15，25，35，45，55，......，195 （2）1275的个位数的数字是几？ （3）5811、7313的个位上的数字分别是几？
所以a2000+b2001=（-1）2000+12001=2
15、已知a=8131，b=2741，c=961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A A、a>b>c
C、a<b<c
B、a>c>b D、b>c>a
分析：a=8131=（34）31=3124 b=2741=（33）41=3123 c=961=（32）61=3122 所以：a>b>c
12、比较550与2425的大小。
解：∵550＝（52）25＝2525 2425＜2525
∴550＞2425
13、已知210＝a2=4b（其中a，b为正整数），求ab的值。
解：∵210＝a2 ∴（25）2=a2 即a=25=32 又∵210=4b ∴（22）5=45=4b 即b=5 ∴ab=325
初二上册数学辅导资料之《幂的运算》
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不断努力学习，及时对知识点进行归纳，才能让自己的知识更加丰富，下面是查字典数学网为大家整理的初二上册数学辅导资料，欢迎大家阅读。
一. 知识要点：
指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：
am?an?am?n，(am)n?anm，(ab)n?an?bn，am?an?am?n.
学习指数运算律应注意：
1.运算律成立的条件;
2.运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式;
3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.
二. 基础巩固提高
ab1.如果a-4=-3b，求3×27的值。
(绍兴市竞赛题).
2.若102x?25，求10x?1的值。
13.若10m=20，10n=5，求9m÷32n的值
2741，961 4.比较下列一组数的大小. 8131，
比较大小：3555，4444，5333
10232
比较6与4大小 1717
5.已知2x?27y?37z?3996，求(x?2y?z)2021的值
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最后祝大家有好的成绩。
七年级幂的运算培优讲义
幂的运算培优讲义 【知识精要】:一．幂的四种运算法则：a a a a a ab a b m n m n m n mn m m m ·，，·===+()()a a a m n m n ÷=-（a m n ≠0，、为正整数，m n >)二．零次幂及负整数次幂的运算： )0(10≠=a a ，p p aa 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
三．科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的数记为a ×10n 的形式的记法。
(其中1≤|a|＜10)【易错点剖析】:1.注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。
如： 234a a a a ⋅⋅⋅= 423()ab ⎡⎤=⎣⎦ 4()xyz -=2.注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项式或多项式。
如：()m n m n y -+= ，()()()x y x y x y m n n m+÷+÷+++32222= 3.注意法则的可逆性逆向应用运算法则，由结论推出条件，或将某些指数进行分解。
如：已知10m ＝4，10n ＝5，求103m +2n 的值．4.注意法则应用的灵活性在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过程简便。
如：125256255÷⨯÷n m=5. 注意符号使用的准确性如：判断下列等式是否成立：①(-x )2＝-x 2， ②(-x 3)＝-(-x )3， ③(x -y )2＝(y -x )2，④(x -y )3＝(y -x )3，⑤x -a -b ＝x -(a +b )， ⑥x +a -b ＝x -(b -a )．【拓展训练】:1.若2x ＝4y ＋1，27y ＝3x －1，求xy 的值。
教师寄语： . 人的一生没有一帆风顺的坦途。
初二上册数学辅导资料之《幂的运算》
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一. 知识要点：
指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：
am?an?am?n，(am)n?anm，(ab)n?an?bn，am?an?am?n.
学习指数运算律应注意：
1.运算律成立的条件;
2.运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式;
3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.
二. 基础巩固提高
ab1.如果a-4=-3b，求3×27的值。
(绍兴市竞赛题).
2.若102x?25，求10x?1的值。
13.若10m=20，10n=5，求9m÷32n的值
2741，961 4.比较下列一组数的大小. 8131，
比较大小：3555，4444，5333
10232
比较6与4大小 1717
5.已知2x?27y?37z?3996，求(x?2y?z)2019的值
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著名机构初中数学培优讲义幂的运算及整式的乘除运算.第04讲(B级).教师版
考试内容A （基本要求）B （略高要求）C （较高要求）幂的运算了解整数指数幂的意义和基本性质能用幂的性质解决简单问题整式的乘法 理解整式乘法的运算法则，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式乘法仅指一次式相乘）会进行简单的整式乘法与加法的混合运算 能选用适当的方法进行相应的代数式变形模块一 幂的运算幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=. ⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.知识点睛中考要求整式乘除⑴同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m na a a+⋅=（,m n都是正整数）．⑵幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()n m mna a=（,m n都是正整数）．⑶积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()n n nab a b=（n是正整数）．⑷同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m na a a-÷=（0a≠，m，n都是正整数）⑸规定()010a a=≠；1ppaa-=（0a≠，p是正整数）．模块二整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a的幂分别是a和2a，乘积中a的幂是3a，同理，乘积中b的幂是4b，另外，单项式ab中不含c的幂，而2323a b c中含2c，故乘积中含2c.⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc++=++，其中m为单项式，a b c++为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb++=+++模块三整式的除法⑴单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：2322233a b c ab ab c÷=，被除式为2323a b c，除式为ab，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a的幂分别为2a和a，故商中a的幂为21a a-=，同理，b的幂为2b，另外，被除式中含2c，而除式中不含关于c的幂，故商中c的幂为2c.⑵多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：()a b c m a m b m c m++÷=÷+÷+÷，其中m为单项式，a b c++为多项式.⑶多项式除以多项式后有专题介绍.【例1】 如果把()2x y -看作一个整体，下列计算正确的是（ ）A ．()()()235222x y y x x y -⋅-=- B ．()()()224222x y y x x y -⋅-=-- C ．()()()()23272222x y y x x y x y -⋅--=- D ．()()()235222x y y x x y -⋅-=--【难度】2星【解析】整体思想在整式计算中的应用 【答案】D【例2】 已知：240x y +-=，求：1233x y -的值 【难度】3星【解析】公式的应用以及整体思想在指数中的应用 【答案】1221333x y x y -+-= 240x y +-=Q 24x y ∴+= 2133327x y +-∴==【巩固】已知2350x y +-=，求：927x y ⋅的值 【难度】3星【解析】公式的应用以及整体思想在指数中的应用，本题还要将底数化为一致 【答案】2323927333x y x y x y +⋅=⋅= 2350x y +-=Q∴原式53243==【例3】 若3m a =，4n a =，求32m n a +的值为多少？ 【难度】3星例题精讲【解析】幂的乘方与同底数幂的乘法的综合运用 【答案】()()323232m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅当3m a =，4n a =时 原式3234432=⨯=【巩固】若5n a =，2n b =，则()32na b =【难度】3星【解析】幂的乘方与同底数幂的乘法的综合运用。
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幂的运算培优讲义
一． 知识要点：
指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：
n m n m a a a +=⋅，nm n m a a =)(，n n n b a ab ⋅=)(，n m n m a a a -=÷．
学习指数运算律应注意：
1．运算律成立的条件；
2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；
3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．
二． 基础巩固提高
1.如果a －4=－3b ，求a 3×b 27的值。
(绍兴市竞赛题)．
2.若10252x =，求101x +的值。
3.若10m ＝20，10n ＝15，求9m ÷32n 的值
4.比较下列一组数的大小． 61413192781，，
比较大小：3555，4444，5333
比较101726与317
2
4大小
5.已知227373996x y z ⋅⋅=，求()x y z -+22004的值
三、课堂训练 （易错题）
一．选择题
1.计算 (-3)2n+1+3•(-3)2n 结果正确的是( )
A. 32n+2
B. -32n+2
C. 0
D. 1
2.若16
n m n a a a ++= ，且21m n -= ，则n m 的值为（ ） A.1 B. 2 C.3 D.4
3.-a n 与(-a)n 的关系是( )
A. 相等
B. 互为相反数
C. 当n 为奇数时,它们相等; 当n 为偶数时,它们互为相反数
D. 当n 为奇数时,它们互为相反数; 当n 为偶数时,它们相等
4. 下列运算中错误的是( )
A ．-(-3a n b)4=-81a 4n b 4
B ．(a n+1b n )4=a 4n+4b 4n ；
C ．(-2a n )2·(3a 2)3=-54a 2n+6
D ．(3x n+1-2x n )·5x=15x n+2-10x n+1.
5.计算9910022）
（）（-+-所得的结果是（ ） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－992 Ｄ．992
7.如果b 2m ＜b m
(m 为自然数)，那么b 的值是( ) A ．b ＞0 B ．b ＜0 C ．0＜b ＜1 D ．b ≠1．
6.下列运算中错误的是( )
A ．-(-3a
n b)4=-81a 4n b 4 B ．(a n+1b n )4=a 4n+4b 4n ； C ．(-2a n )2·(3a 2)3=-54a
2n+6 D ．(3x n+1-2x n )·5x=15x n+2-10x n+1. 7.若n 为正整数，且x 2n =7，则(3x 3n )2-4(x 2)2n 的值为( )
A ．833
B ．2891
C ．3283
D ．1225．
二．填空题
1.已知：a m =2，b n =32，则n m 1032+=________
2. 若x m =+21，y m =+34，用含x 代数式表示y=________。
3.若a n 2112
+=，则863a n +=__________ 4. 若x n 24=，则x n 4=__________
5. 若648243⋅=x ，则x ＝_________
三．解答题
1.计算：
(1)(-ab)
3·(-a 2b)·(-a 2b 4c)2 (2)[(-a)2m ]3·a 3m +[(-a)5m ]2．
(3)（a ﹣b ）m+3•（b ﹣a ）2•（a ﹣b ）m •（b ﹣a ）5
(4)201420158)125.0(⨯
2.已知ab 2=-6，求-ab(a 2b 5-ab 3-b)的值．
3.已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值。
4.如果的值求12),0(020*******++≠=+a a a a a
培优竞赛例题
【例1】
(1)如果012=-+x x ，则3223++x x ＝ ．
( “希望杯”邀请赛试题)
(2)把(x 2一x+1)6
展开后得012211111212a x a x a x a x a +++++ ，则
024681012a a a a a a a ++++++ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 【例2】 已知200025=x ，200080=y ，则y
x 11+等于( ) ( “希望杯”邀请赛试题) A ．2 B ．1 C ．21 D ．2
3 【例3】 设d c b a 、、、都是自然数，且17,,2345=-==c a d c b a ，
求d 一b 的值．(上海市普陀区竞赛题)
【例4】))(2(67222B y x A y x y x y xy x +++-=-----．求A 、B 的值．
【例5】已知105252=⋅=⋅d c b a ，求证：(a 一1)(d —1)=(b 一1)(c 一1)．
培优竞赛学力训练
1.计算(0．04)2003×[(一5)2003]2得( )．(杭州市中考题)
A ．1
B ．—l
C ．200351
D ．20035
1- 2．若2x+5y —3=0，则4x ．32y = ．．(绍兴市竞赛题)
3．满足(x —1)200>3200的x 的最小正整数为 ．
(年武汉市选拔赛试题)
4．d c b a 、、、都是正数，且5,4,3,25432====d c b a ，则d c b a 、、、中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)
5．化简)
2(2)2(2234++-n n n 得（ ）．(IT 杯全国初中数学竞赛题) A ．8
121-+n B ．12+-n C ．87 D ．47 6．已知223344556,5,3,2====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是
( )．
A ．a<b<c<d
B ．a<b<d<c
C ．b<a<c<d
D ．a<d<b<c
(北京市“迎春杯”竞赛题)
7．若01223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-，则42a a += ． (2003年北京市竞赛题)
8.已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a 、、的 值．
9．设d c b a 、、、都是正整数，并且19,,2345=-==a c d c b a ，求a-b 的值 (江苏省竞赛题)
10．如果多项式1)2)((-+-x a x 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ．
11．若2233445566,55,33,22====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是
( )．
A ．a>b>c>d
B ．a>b>d>c
C ．b>a>c>d
D ．a>d>b>c
(北京市“迎春杯”竞赛题)
12．若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于( )
(北京市竞赛题)
A ．1997
B ．1999
C ．2001
D ．2003
13．已知3x 2-x-1=0，求6x
3十7x 2
一5x+1999的值．
14.求202120732++的末位数字。
15．12．观察下列等式：
13=12；
13+23=32；
13+23+33=62；
13+23+33+43=102
…
想一想：等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系，把这种规律用等式表示出来．
．。