函数列与函数项级数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）
§ 1 一致收敛性（ 6 时 ）
一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念：
收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.
例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n
x , 用“N -ε”定义
验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且
∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n
x =⎩
⎨⎧=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n
nx
sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0.
例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n .
⑴ )(x f n =x
x x
x n
n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1
21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x .
⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令
)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.
,,, ] 1 , 0 [ , 0,
,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.
⑷ )(x f n =2
22
2x n xe
n -. )(x f n →0, R ∈x .
156
⑸ )(x f n =⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41
11x x x x x n n n n n n n
有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意
⎰
≡1
1)(dx x f n .）
二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
∞
→n lim
()
⎰
⎰∞
→≠1
1
0)(lim )(dx x f dx x f n n n .
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞
→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限
函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极
限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓
“整体收敛”的结果.
定义 ( 一致收敛 )
一致收敛的几何意义.
Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,⇔
N , 0∃>∀ε, , , N n m >∀⇒ ε<-n m f f .
( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .)
证 )⇒ ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-)
157
)⇐ 易见逐点收敛. 设∞
→n lim )(x f n =)(x f ,……,有 2
|)()(|ε
<
-x f x f n m .
令∞→m , ⇒ εε
<≤
-2
|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立, 即)
(x f n −→−−→
−)(x f ,
) (∞→n ，∈x D .
系1 在D 上n
f −→
−−→
−f , ) (∞→n ，⇔ 0|)()(|sup lim =-∞
→x f x f n D
n .
系2 设在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ⊂D , 使
0 |)()(|→/-n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .
应用系2 判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常选 n x 为函数
=)(x F n )(x f n ―)(x f 在数集D 上的最值点.
验证函数一致收敛性: 例4 )(x f n n
nx
sin =
. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛. 例5 )(x f n 2
22
2x n xe n -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.
证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =
n
21处取得极大值
022121
→/=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 例6 2
21)(x
n x
x S n +=
. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→
−0, ) (∞→n .
证 易见 ∞
→n lim .0)()(==x S x S n 而
n
nx x n n x n x x S x S n 21
)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.
由系1 , ⇒ ……
例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列