最新二次函数最值问题类型题总结

合集下载

最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)

二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。

例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝．练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。

二次函数求最值的六种考法(含答案)

二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值．【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0，即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，解得x 1＝1，x 2＝5．如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5．则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2，解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38；故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2，又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4，解得a =−14，故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ．【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2．故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8．故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，则{−3m +n =0n =−3，解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t，解得{k =−12t =52，故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152；（Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1，故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4，解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q，解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t，解得{a =1t =2，故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0），抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4．故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5，故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）．【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）．【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。

二次函数的最值问题总结

二次函数的最值问题二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数求最值（一般范围类）例1．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值(经济类问题)例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000⨯=（元）；（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005Z x =-+．（3）1(800)2005W yZ x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.解：（1）x y +=1001，x y 212=；（2）)21100()100(x x y -•+=y 11250)50(212+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元. 说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.例3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b 、c 的值；（2）y ＝1y -2y ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值.解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩，解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++；（3）21316822y x x =-++ 2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+. ∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）．说明：本题在x ＝6，即6月份时取得最大值，但题目要求在“五·一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．y 22 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ．【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]=xx)-102+242.0.0(-=x)4.0102+3.2()1.0<x0(<当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．。

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。

微专题二二次函数的最值问题

微专题二
二次函数的最值问题
类型一无限定自变量范围求最值
(1)当抛物线的开口向上(即a>0)时,抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大,即函数值越大;
(2)当抛物线的开口向下(即a<0)时,抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越小,即函数值越小.
▶跟踪训练一
2
1.二次函数 y=-3(x-1) -2 的自变量 x 为全体实数时的(
= ,
①当-m≤-1,即 m≥1 时,
解得
= -.
- + + + = ,
-- + + = -,
+ + = ,
②当-1<-m<0,即 0<m<1 时,
-- + + = -,
2
消去 n,得 m +2m-3=0,解得 m=1 或 m=-3,均舍去.
函数在x=h处取得最小值k,无最大值;
(2)当抛物线的开口向下(即a<0)时,抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越小,即函数值越小,
函数在x=h处取得最大值k,无最小值.
▶跟踪训练二
5.如图所示,已知二次函数y=(x+1)2-4,当-2≤x≤2时,函数y的最小值和最大值分别为(
A.-3和5
B.-4和5
类型三
限定自变量范围求待定系数的值或取值范围
对于二次函数y=a(x-h)2+k,有x1≤x≤x2,则:
(1)h在x1,x2之间时,
如图①所示,a>0,把x=h代入表达式求得最小值,把x1,x2中距离对称轴远的代入表达式求得最大
值;
如图②所示,a<0,把x=h代入表达式求得最大值,把x1,x2中距离对称轴远的代入表达式求得最小

二次函数最值问题类型题总结

二次函数得最大值或最小值问题知识点：1、配方法:将二次函数得一般式化为顶点式（1）若,有最小值、当时，取得最小值（2）若，有最大值、当时,取得最大值2、公式法:直接利用二次函数图像得顶点坐标求解、（1）若,有最小值，没有最大值,当时,、（2）若,有最大值,没有最小值,当时，、考察方向:一、１、已知二次函数得图像确定二次函数得最值例1、二次函数得部分图象如图１、3-3所示，则该函数有最值,最值为、2、已知二次函数表达式求函数最值①在函数整个定义域内求函数最值例2、二次函数有( )A.最大值Ｂ、最小值C、最大值D、最小值②在给定定义域区间范围内求函数最值二次函数在自变量得给定范围内，对应得图象就是抛物线上得一段.那么最高点得纵坐标即为函数得最大值,最低点得纵坐标即为函数得最小值.根据二次函数对称轴得位置，函数在所给自变量得范围得图象形状各异.下面给出一些常见情况:例３、当时,求函数得最大值与最小值例4、二次函数,当且时，y 散文最小值为2m,最大值为2n ，则得值为多少？3、由二次函数得最大值或最小值求二次函数表达式中得待定系数(解答最值问题忽略二次项系数得符号)例5、已知二次函数有最小值1,则得大小关系就是什么？例6、已知二次函数有最小值0，则m 得值就是多少?二、4、二次函数最值在实际应用题间得应用(①生活中得应用②几何图形面积最值问题)例７、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品得养殖与销售,对历年市场行情与水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品得每千克售价(元)与销售月份(月)满足关系式＝，而其每千克成本(元)与销售月份(月)满足得函数关系如图所示.(1）试确定得值; (2)求出这种水产品每千克得利润（元)与销售月份(月)之间得函数关系式; “五·一”之(3)前,几月份出售这种水产品每千克得利润最大?最大利润就是多少？例8、已知边长为4得正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,ＢＦ＝1．试在ＡＢ上求一点P,使矩形ＰND Ｍ有最大面积. 25 24 y 2(元)x (月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O。

二次函数最值题分类精选---取值范围

二次函数最值题分类精选---取值范围二次函数是中学数学中比较基础和重要的一章，对于二次函数最值问题的分类和解决具有重要的意义。

在许多情况下，我们需要讨论二次函数的取值范围来解决最值问题。

一、二次函数与取值范围对于标准的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a \neq 0, x \in R)$，其对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，开口方向由系数 $a$ 的正负号决定。

当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，最小值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。

当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，最大值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。

二、二次函数最值问题分类在讨论二次函数的最值问题时，可以把问题分为以下两类：1. 二次函数最小值问题当二次函数开口向上时，函数存在最小值，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。

2. 二次函数最大值问题当二次函数开口向下时，函数存在最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当 $x=-\frac{b}{2a}$ 时取到。

三、应用案例1. 数列问题在一个数列中，第 $n$ 项为 $a_n=n^2-2n+3(n \in N^*)$，求该数列的最大值。

分析：将 $a_n$ 化为标准的二次函数形式，得 $a_n=(n-1)^2+2$，开口向上，最小值为 $2$，当 $n=1$ 时取到。

因此，该数列的最大值为 $a_1=2$。

2. 圆外切正方形问题已知一个半径为 $r$ 的圆，内切一个边长为 $a$ 的正方形。

现在把正方形边长加倍成 $2a$，请问圆心到正方形顶点的距离 $d$ 的最小值是多少？分析：圆心到正方形顶点的长度就是圆形半径到正方形顶点的长度，最小值即为圆心到正方形的最远距离，可以证明正方形对于圆心的影响取决于正方形对角线与圆的位置关系。

专题07 二次函数的最值问题-九年级数学上册(解析版)

专题07二次函数的最值问题考点1：定轴动区间；考点2：动轴定区间。

1．在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0解：抛物线的对称轴是直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9﹣6﹣3＝0是最大值．答案：A ．2．（易错题）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，答案：D．3．（易错题）当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2解：当y ＝1时，有x 2﹣2x +1＝1，解得：x 1＝0，x 2＝2．题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，答案：D．4．已知函数y＝﹣3（x﹣2）2+4，当x＝2时，函数取得最大值为4．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），又∵a＝﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，∴x＝2时，函数有最大值为4．答案：2，4．5．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为43或﹣4．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a=43，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．答案：（1）﹣1；（2）43或−4．7．（易错题）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数=(+12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．如图1所示：当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．答案：﹣7．（2）=(+12)2+34，其对称轴为直线=−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示：当x＝0时，函数y有最小值m=1．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x＝2时，函数取得最小值：y min＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论，得m=2−8+8(＞4)−8(3≤≤4)2−6+1(＜3)．8．（易错题）已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x ≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．解：（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x ＝3时，y 最大值＝4，∵当1≤x ≤3时，y 随着x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小值＝0，∵当3＜x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x ＝4时，y 最小值＝3．∴当1≤x ≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t +3时，m ＝﹣（t +3）2+6（t +3）﹣5＝﹣t 2+4，当x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9，∴﹣6t +9＝3，解得t ＝1（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m ＝4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝t 2﹣6t +9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3−3，t2＝3+3（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1=3，t2=−3（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3−3或3．9．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值=4a−24=4oK1)−424=2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．答案：C．10．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣aB．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2aC．当k＝4时，函数y的最小值为﹣aD．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：=1+22=rr2=2r2，∵a＞0，∴y有最小值，当=2r2时y最小，即=o2r2−p(2r2−−p=−24，当k＝2时，函数y的最小值为=−224=−；当k＝4时，函数y的最小值为=−424=−4，答案：A．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4a−24=4×1×6−324×1=154．答案：D．12．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，解得：m=−32；②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，解得：m=32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，解得：m=2或m=−2＜−1（舍），∴m的值为−32或2，答案：D．13．（易错题）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是32或−解：对称轴：x=−22=−k，分三种情况讨论：①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时，此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小k=32，②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1，对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小，在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大，＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1，∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小k2﹣2k2+2＝0，k2﹣2＝0，k=±2，∵﹣2≤k≤1，∴k=−2，③当﹣k＞2时，即k＜﹣2，此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y有最小值，y＝22+2k×2+1＝﹣1，小k=−32（舍），综上所述，k的值可能是32或−2，答案：32或−2．14．已知y＝﹣x（x+3﹣a）是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是a≤5．解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=K32＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x＝1，∴K32=1，即a＝5综合上所述a≤5．答案：a≤5．15．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h−12）2+14≤14；当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．综上所述：n的最大值为14．答案：14．16．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为1或2．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，＝1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1或2．答案：1或2．17．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=−3−10或m=−3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或−3−10．18．（易错题）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=−2，①当−2＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；②当b≤−2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=−2，y=34b2为最小值，∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；③当−2＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b=7时，解析式为：y＝x2+7x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+7x+7或y＝x2﹣4x+16．。

二次函数实际问题易考题型总结(全)

二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。

解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。

经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。

解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。

分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。

2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题：（1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。

06-专项拓展训练1 二次函数的最值问题高中数学必修一人教A版

2
类型2 动轴定区间
4.已知函数 = 2 − 2 + 1在[2,5]上单调，且的最大值为8，则实
9
数的值为__.
5
【解析】 = 2 − 2 + 1 = − 2 + 1 − 2 ,函数的图象开口
向上,对称轴为直线 = .因为在[2,5]上单调,所以 ≤ 2或 ≥ 5.当
与 ≥
9
5矛盾,故舍去.综上,实数的值为 .
5
3
,
4
【归纳总结】解决动轴定区间的二次函数最值问题时,可以让轴沿轴正方
向移动,分析移动到不同位置时对函数最值有什么影响.
5.[2024重庆八中期中]已知函数 = − 2 + 2 + .当 ∈ [−1,1]时，
设的最大值为，求的最小值.
所给区间内.
1
即
4
+2
2
−
1
2
+
+2 +
1
4
= −5,
化简得2 + 2 − 7 = 0,解得 = −1 + 2 2或 = −1 − 2 2（舍去）.
综上,存在实数，使得函数 = − 在区间[, + 2]上有最小
值−5，此时 = −3或 = −1 + 2 2.
9.已知函数 = 2 − 2 + 5 > 1 .
3.（多选）已知函数 = 2 − 2 + 4,则( BCD
A. 在区间[−1,0]上的最小值为1
B. 在区间[−1,2]上的最小值为3，最大值为7
C. 在区间[2,3]上的最小值为4，最大值为7
D. 在区间 2, +∞ 上无最值

二次函数的最值(4种题型)(解析版)--初中数学专题训练

二次函数的最值(4种题型)【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、填空题1(浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中)如图，抛物线y =ax 2+bx +3过点A (1，0)，B (3，0)，与y 轴相交于点C ．若点P 为线段OC 上的动点，连结BP ，过点C 作CN 垂直于直线BP ，垂足为N ，当点P 从点O 运动到点C 时，点N 运动路径的长为【答案】324π【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，，求出OC的长度即可．【详解】解：把点A (1，0)，B (3，0)，代入抛物线，则0=a +b +30=9a +3b +3 ，解得：a =1b =-4 ，∴y =x 2-4x +3；连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，连接OM ，如图：∵OB =OC =3，∴OM ⊥BC ，∴∠OMC =90°，∵BC =OB 2+OC 2=32+32=32，∴OM =322，∴点N 运动路径的长为：90π180•322=324π；故答案为：324π．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．2(浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中)若抛物线y =-x 2+2x +m +1(m 为常数)交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B ．①抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点；②若点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 2<y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y =-(x +1)2+m ；④点A 关于直线x =1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m =1时，四边形BCDE 周长的最小值为3+2+13．其中正确的是．(填序号)【答案】①③【分析】①联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，最后问题可求解．【详解】解：联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2可得：x 2-2x +1=0，其中Δ=4-4=0，∴此方程有两个相等的实数根，∴抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =-b 2a=1，且a =-1<0，开口向下，∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，∵点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，∴y 1<y 3<y 2，故②错误；由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：y =-x +2 2+2x +2 +m +1-2=-x +1 2+m ，故③正确；当m =1时，抛物线解析式为y =-x 2+2x +2，∴A 0,2 ,B 1,3 ,C 2,2 ，作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，如图所示：∴B -1,3,C 2,-2，∴BE+ED+CD+BC=B E+ED+C D+BC=B C +BC，根据两点之间线段最短，知B C 最短，而BC长度一定，∴此时四边形BCDE的周长为B C +BC最小，由两点距离公式可得：B C +BC=2+12+-2-32+2-12+2-32=34+2，故④错误；综上所述：正确的有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．二、解答题3(浙江宁波·九年级统考期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴直线x=-1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2；(3)点Q-52 ,74.【分析】(1)根据对称轴方程可得-b2a=-1，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；(2)根据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.(3)设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，利用勾股定理可求出BC的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，∴-b2a=-1a+b+c=0 c=3，解得：a=-1 b=-2 c=3，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)设直线AC的解析式为y=mx+n，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，B(0，0)，∴点A坐标为(-3，0)，∵C(0，3)，∴-3m+n=0 n=3，解得：m=1 n=3，∴直线解析式为y=x+3，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时MB+MC的值最小，当x=-1时，y=-1+3=2，∴当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2.(3)如图，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，∵B(1，0)，C(0，3)，∴OB=1，OC=3，BC=OB2+OC2=10，∴tan∠OCB=OBCO =13，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=HMCM =13，∴CM =3HM ，∴BC =MB +CM =4HM =10，解得：HM =104，∴CM =3104，∴CH =CM 2+HM 2=52，∴OH =OC -CH =3-52=12，∴H 0,12，设直线BH 的解析式为：y =kx +b ，∴k +b =0b =12，解得：k =-12b =12 ，∴BH Q 的表达式为：y =-12x +12，联立直线BH 与抛物线解析式得y =-12x +12y =-x 2-2x +3，解得：x =1(舍去)或x =-52，当x =-52时，y =--52 2-2×-52 +3=74，∴点Q 坐标为-52，74.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4(浙江杭州·九年级期末)如图，抛物线y =x 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，(1，-4)；(2)M (1，-2)【分析】(1)把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；(2)直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：(1)∵点A(-1，0)在抛物线y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴抛物线解析式y=x2-2x-3，∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D的坐标(1，-4)；(2)对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B(3，0)，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y=mx+n，则0=3m+n n=-3，解得：m=1 n=-3，故直线BC的表达式为y=x-3，当x=1时，y=-2，故点M(1，-2)．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．5(浙江绍兴·九年级校联考期中)如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是(2，9)，且经过D(3，8)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(x-2)2+9；(2)S△ABC=15；(3)M(2，6)【分析】(1)根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；(2)求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；(3)先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM=BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．【详解】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，9)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+9，∵抛物线经过点D(3，8)，∴(3-2)2•a+9=8，解得a=-1，∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+9；(2)令y=-(x-2)2+9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A(-1，0)，B(5，0)，令x=0，则y=-(0-2)2+9=5∴C(0，5)∴S△ABC=12AB⋅h=12×6×5=15；(3)存在，求解过程如下：∵二次函数y=-(x-2)2+9的对称轴为直线x=2，∴A(-1，0)，B(5，0)，∵点D(3，8)关于对称轴x=2对称的点的坐标为D'(1，8)，由对称性得：DM=D'M，则BM+DM=BM+D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短，设直线BD'的函数解析式为y=kx+b，把(5，0)，(1，8)代入y=kx+b，得：0=5k+b 8=k+b，解得k=-2b=10，∴y=-2x+10，取x =2，则-2×2+10=6，∴M (2，6)．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．6(2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】(1)将点(5，0)，代入y =-x 2+mx +5，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】(1)将点(5，0)代入y =-x 2+mx +5得，0=-25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =-x 2+4x +5y =-x 2+4x +5=-(x -2)2+9，∴抛物线的顶点坐标为(2，9)；(2)如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为y =-x 2+4x +5=-x -2 2+9，可得点C 坐标为(0，5)，点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，0=5k +b 5=b ，解得k =-1b =5 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +5，联立方程，y =-x +5x =2 ，解得x =2y =3 ，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．7(浙江宁波·校联考一模)如图，抛物线M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，将抛物线M 1平移得到抛物线M 2：y =ax 2+bx +c ，M 1与M 2相交于点B ，直线AB 交M 2于点C (8，m )，且AB =BC ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)写出一种将抛物线M 1平移到抛物线M 2的方法；(3)在y 轴上找点P ，使得BP +CP 的值最小，求点P的坐标．【答案】(1)A (-2，0)，B (3，5)，C (8，10)；(2)由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)P 0，7011 .【分析】(1)y =0，即求A ；AB =BC ，得B 3，m 2，求出直线AB 的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m 的值，从而确定B 与C 的坐标；(2)抛物线平移前后a 的值不变，由点B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，求出直线B 'C 的直线解析式的解析式与y 轴交点即为P ；【详解】(1)M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，∴A (-2，0)，∵AB =BC ，C (8，m )，∴B 3，m 2，设AB 直线解析式为y =kx +b ，∴0=-2k +b m 2=3k +b ，∴k =m 10b =m 5 ，∴y =m 10x +m 5，∵y =x 2-4与y =m 10x +m 5相交于点A 和B ，∴x 2-m 10x +m 5-4=0，∴x 1+x 2=m 10=1，∴m =10，∴B (3，5)，C (8，10)；(2)∵抛物线M 1平移得到抛物线M 2，∴a =1，∵B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，∴10=64+8b +c 5=9+3b +c，∴b =-10c =26 ，∴y =x 2-10+26=(x -5)2+1，由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，∴B '(-3，5)，设直线B 'C 的直线解析式为y =mx +n ，∴5=-3k +b 10=8k +b，∴k =511b =7011 ，∴y =511x +7011，∴P 0，7011.【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a 的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．8(2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习)已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A (-1，0)，与y 轴的交点坐标为C (0，-3)．(1)求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y <0？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA +PB 的值最小时的点P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，B (3,0)(2)-1<x <3(3)P (1,0)【分析】(1)把A (-1，0)，C (0，-3)代入y =x 2+bx +c ，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；(2)由y <0，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；(3)由A(-1，0)，B(3，0)关于抛物线的对称轴x=1对称，可得AB与对称轴的交点满足PA+PB 最小，从而可得答案．【详解】(1)把A(-1，0)，C(0，-3)代入y=x2+bx+c，∴1-b+c=0 c=-3，解得：b=-2 c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，由x2-2x-3=0，∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3,x2=-1,∴B(3，0)；(2)∵抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)，y<0，∴抛物线的图象在x轴的下方，结合图象可得：-1<x<3；(3)∵A(-1，0)，B(3，0)，∴对称轴是直线x=1，如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P(1，0)．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题一、解答题9(2022·浙江·九年级自主招生)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=10,c= 6，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．【答案】12，等腰三角形【分析】根据已知条件a+b=10，再表示成b=10-a，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．【详解】解：∵三角形的边长满足c=6，a+b=10，∴p=12(a+b+c)=8，∴b=10-a，∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=8×(8-a)×(8-b)×(8-6)=8×2×(8-a)×(a-2)=-16a-52+144当a=5时，S有最大值为12，此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．10(2022秋·浙江宁波·九年级校考期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD 的长度为x 米，矩形菜园ABCD 面积为S 平方米．(1)写出S 与x 的关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若a =20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；(3)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【答案】(1)S =12x (100-x )(2)10m(3)当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【分析】(1)根据题意得出BC =100-x 2m ，然后求面积即可；(2)利用(1)中结论，直接代入求解即可；(3)将(1)中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】(1)解：设AD =xm ．则BC =100-x 2m ，∴S =12x (100-x )；(2)由(1)得S =12x (100-x )，则450=12x (100-x )解得x 1=10，x 2=90(舍去)，∴AD 的长为10m ；(3)①当a ≥50时，由(1)得S =12x (100-x )=-12(x -50)2+1250，∵a ≥50，∴x =50时，S 的最大值为1250．②当0<a <50时，则0<x ≤a ，S 随a 的增大而增大，当x =a 时，S 的最大值为-12a 2+50a ；综上所述，当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．11(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行b n (表示第n 次行走的路程)，再逆时针旋转α0°<α≤90°，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为l，所走路径形成的封闭图形的面积为S．例如：如图1，当每次直行路程均为1(即b n=1)，α=60°时，机器人的运动路径为A→B→C→D→E→F→A，机器人共走的路程l=6，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为S=332．(1)若b n=1，请完成下表．α30°45°72°l(2)如图3，若α=60°，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若b1=2，b2=4，b3=1.5，b4=3，则b5=，b5+b6=．②若b1=2，b2=4，l=20，请直接写出b3与b4之间的数量关系，并求出当S最大时b4的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②2b3+b4=10；b4=3【分析】(1)根据每次逆时针旋转α，旋转360°α次，可回到起点，即可进行解答；(2)①构造如图所示三角形，则△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5 =6-b4，进而得出2b3+b4=10，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．【详解】(1)解：当α=30°时，l=1×36030=12，当α=45°时，l=1×36045=8，当α=72°时，l=1×36072=5，故答案为：12，8，5．(2)①构造如图所示的三角形，∵α=60°，∴△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，∴CG=b2=4,AH=b4=3，∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，则AB=AC=BC=8.5，∵b1=2，b2=4，∴EF=2，CF=4，∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3，∴b5+b6=2.5+3=5.5，故答案为：3，5.5．3，5．5②如图，构造等边△GHI∴GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5=6-b4，∵l=20，∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，∴2b3+b4=10，如图：等边三角形边长为a，高为h，h=a sin60°=32a，∴等边三角形面积=12ah=12a⋅32a=34a2∴S=34b3+b4+42-34b3+b4-22-34b4-3442∴S=34-b42+6b42+56=-34b-32+6534，∴当S最大时，b4=3．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．12(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式；(2)若AB的长不能低于2m，且AB<BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-32x2+12x(2)窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2【分析】(1)根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；(2)根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据(1)中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：根据题意，得S=x⋅24-3x2=-32x2+12x．即S与x的函数表达式是S=-32x2+12x．(2)解：根据题意，得2≤x<24-3x2．解得：2≤x<4.8．S=-32x2+12x=-32x-42+24，∵-32<0，∴S有最大值，∵2≤x<4.8，抛物线的对称轴为直线x=4．∴当x=4时，S有最大值，此时S=24，当x=2时，S有最小值，此时S=-322-42+24=18，答：窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．13(2023·浙江宁波·统考一模)有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB=6，AD=2，∠A=90°，∠D=135°，tan∠B=2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE 在AD 上，设AE =x ，矩形AEFG 的面积为y ，①求y 关于x 的函数表达式．②求矩形面积y 的最大值．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【答案】(1)①y =-x 22+6x ；②当x =2时，y 取到最大值10(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为323【分析】(1)①由锐角三角函数可求GB 的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；(2)用NH 分别表示BH ，AF 的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】(1)解：①如图2，∵四边形AEFG 是矩形，∴AE =FG ，∠A =∠FGB =90°，∵tan ∠B =FG GB =2，∴GB =12x ，∴AG =AB -GB =6-12x ，∴S =AE ⋅AG =x 6-12x =-12x 2+6x ；②∵点E 在线段AE 上，∴0<x ≤2，∵y =-12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∴当x =2时，y 的最大值为10；(2)能，如图1，当点E 在线段CD 上时，过点D 作DM ⊥EF 于M ，∵四边形EFHN 是矩形，∴EF =NH ，EN =FH ，∵tan ∠B =NH HB =2，∴HB =12NH ，∵∠A =90°=∠AFE ，DM ⊥EF ，∴四边形ADMF 是矩形，∴DM =AF ，AD =MF =2，∵∠ADC =135°，∴∠EDM =45°，∴DM =EM =NH -2，∴AF =NH -2，∴FH =AB -AF -BH =8-32NH ，∴S =FH ⋅NH =NH 8-32NH =-32NH -83 2+323，∴当NH =83时，S 有最大值为323，∵323>10，∴能截出比(1)中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为323．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14(2023·浙江嘉兴·统考一模)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P (a ，b )，Q (c ，d )是平面直角坐标系内的两点，我们将a -c +b -d 称作P ，Q 间的“L 型距离”，记作L (P ，Q )，即L P ,Q =a -c +b -d ．已知二次函数y 1的图像经过平面直角坐标系内的A ，B ，C 三点，其中A ，B 两点的坐标为A (-1，0)，B (0，3)，点C 在直线x =2上运动，且满足L B ,C ≤BC ．(1)求L (A ，B )；(2)求抛物线y 1的表达式；(3)已知y 2=2tx +1是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是y 2=2tx +1图像上的两个动点，且DE =5，求△CDE 面积的最大值；②当t ≤x ≤t +3时，若函数y =y 1+y 2的最大值与最小值之和为8，求实数t 的值．【答案】(1)4；(2)y 1=-x 2+2x +3；(3)①△CDE 面积最大值为52；②t =-1±2．【分析】(1)根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解；(2)根据二次函数y 1经过点A 、B 、C 三点，所以只要求出C 点坐标即可：根据点C 在直线x =2上运动，所以可设点C 2,m ，根据L B ,C ≤BC 列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y 1的表达式；(3)①根据△CDE 的一边DE 长度固定等于5，所以只要求出顶点C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线y 2=2tx +1过固定点N 0,1 ,故直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，此时就是△CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据y =y 1+y 2，可得函数y 的解析式：y =-x 2+2t +1 x +4，可知函数y 的图像是一个开口向下，对称轴是x =t +1的抛物线，由此可知函数y 在对称轴上取得最大值，根据t ≤x ≤t +3可知当x =t +3时y 有最小值，最后根据函数y 的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t 的值．【详解】(1)解：由题意得：∵A -1，0 ，B 0，3 ，∴L A ,B =-1-0 +0-3 =1+3=4；(2)∵点C 在直线x =2上运动，∴设点C 2,m ，且B 0,3由平面上两点间距离，利用勾股定理得：∴BC 2=2-0 2+3-m 2=4+3-m 2∵L B ,C =0-2 +3-m =2+3-m∴L 2B ,C =2+3-m 2=22+43-m +3-m 2∵0≤L B ,C ≤BC∴L 2B ,C ≤BC 2即22+43-m +3-m 2≤4+3-m 2∴43-m ≤0，又∵3-m ≥0∴3-m =0∴m =3∴C 2,3∵二次函数y 1的图像经过A -1,0 ，B 0,3 ，C 2,3 ，∴设y 1=a 1x 2+b 1x +c 1∴代入解析式得：a 1-b 1+c 1=0c 1=34a 1+2b 1+c 1=3解方程组得：a 1=-1b 1=2c 1=3∴抛物线y 1的表达式为y 1=-x 2+2x +3；(3)①∵y 2=2tx +1令x =0时，y 2=1∴直线y 2恒过定点N 0,1∴直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，∴当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，△CDE 面积也最大，过点C 作CM ⊥DE 交直线y 2于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CM≤CN∴S△CDE=12DE×CM≤12DE×CN=52CN∵C2,3，N0,1∴CN=2-02+3-12=4+4=22∴5 2CN=52×22=52∴△CDE面积的最大值为52②∵y=y1+y2=-x2+2x+3+2tx+1=-x2+2t+1x+4二次函数y的对称轴为x=-2t+12×-1=t+1∵a=-1<0∴二次函数y的图像开口向下，当x=t+1时，函数值y取得最大值y=-t+12+2t+1t+1+ 4又∵t+3-t+1>t+1-t∴当x=t+3时，函数值y取得最小值y=-t+32+2t+1t+3+4∵函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8∴-t+12+2t+12+4-t+32+2t+1t+3+4=8整理得：t2+2t-1=0解得：t=-1±2∴实数t的值为-1±2．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型三：最大利润问题一、解答题15(2023秋·浙江温州·九年级期末)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，(x为整数)月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10(x为整数)(2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】(1)每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为30-20+x件，根元，销量为230-10x据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；(2)令y=2520，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；(3)结合(2)中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；(4)将y=-10x2+130x+2300化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．【详解】(1)解：依题意得：y=30-20+x=-10x2+130x+2300，230-10x∵每件首饰售价不能高于40元，∴x+30≤40，∴0≤x≤10(x为整数)．因此y与x的函数关系式为y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10，且x为整数；(2)解：当y=2520时，-10x2+130x+2300=2520，整理得x2-13x+22=0，解得x1=2，x2=11，∵0≤x≤10，∴x=2，当x=2时，30+2=32．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；(3)解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．(4)解：∵y=-10x2+130x+2300，∴y=-10x-6.52+2722.5．∵a=-10<0，0≤x≤10，且x取正整数，∴当x =6或7时，y 取最大值，y 最大值=-10×7-6.5 2+2722.5=2720，∴每件玩具的售价定为：30+6=36(元)或30+7=37(元)．即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润=单件利润×销量”列出y 与x 的函数关系式．16(2023秋·浙江温州·九年级期末)某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．(1)当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 100≤x ≤400 件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【答案】(1)y =-110x +110(2)18000元(3)x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元【分析】(1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据图象利用待定系数法求解析式即可；(2)根据(1)求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；(3)分类讨论①当100≤x ≤300时和②当300<x ≤400时，结合利润=销售量×(售价-成本)列出w 与x 的函数关系即可得出答案．【详解】(1)当100≤x ≤300时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得出：100k +b =100300k +b =80 ，解得：k =-110b =110 ，∴y 与x 的函数关系式为：y =-110x +110，故答案为：y =-110x +110；(2)当x =200时，y =-20+110=90，∴90×200=18000(元)，答：某零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18000元；(3)分两种情况：①当100≤x ≤300时，w =-110x +110-71 x =-110x 2+39x =-110x -195 2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x=190或200时，w有最大值是：-110200-1952+3802.5=3800；②当300<x≤400时，w=80-71x=9x，当x=400时，w有最大值是：9×400=3600，∴一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×(售价-成本)列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．17(2023秋·浙江温州·九年级期末)某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．(1)当x=10时，求销售该水果的总利润；(2)设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式：②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．【答案】(1)8000元(2)①w=-4x2+120x+7200 ②不能达到，最大值是8100元【分析】(1)利用每箱利润=60-每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+20×每箱降低的价格5，即可求出结论；(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出4x+120箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润=每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60-10=50(元)，平均每天可售出120+20×105=160(箱)总利润为：50×160=8000(元)．(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出120+20×x5=4x+120箱，依题意得：w与x之间的函数解析式为w=60-x120+x5×20=-4x2+120x+7200；②w不能达到8200元；w=-4x2+120x+7200=-4x-152+8100.∵-4<0，∴当x=15时，w取到最大值，w最大值=8100<8200，∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．18(2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中)在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1。

二次函数分类试题之最值问题

最值问题1.抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交与A （1，0），B （－3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y 轴交于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线的解析式为y=－x 2－2x+3．点Q 的坐标为：（－1，2）．2.已知二次函数1222-+-=m mx x y .（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当2=m 时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PD PC +最短？，若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由.（1）m=±1，y=x ²±2x（2）m=2，那么y=x ²－4x+3 c （0,3） D（2，－1）3.如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。

二次函数中的最值问题(解析版)

二次函数中的最值问题目录题型一【铅垂高系列】2023·四川凉山·中考真题2022·天津·中考真题2022·湖北襄阳·统考中考真题2023·湖南娄底·中考真题2023·湖南中考真题2023·青海西宁·中考真题2023·四川广安·中考真题2023·湖南永州·中考真题2022·四川广元·中考真题题型二【线段和差最值篇】2023·湖南张家界中考真题2022·山东淄博·统考中考真题2022·四川遂宁中考真题2023·山东东营·中考真题2023·四川巴中·中考真题2023·湖南张家界中考真题2023·山东聊城·中考真题2022·湖北襄阳中考真题2023·湖北荆州中考真题2022·江苏连云港中考真题2022·湖南岳阳·中考真题2023·宁夏·中考真题2023·湖北襄阳中考真题题型四【加权线段最值】2023·四川内江·中考真题2023·黑龙江绥化·中考真题题型五【几何构造最值篇】2022·天津·统考中考真题满分*技巧母题：如图，已知抛物线过A （4，0）、B （0，4）、C （－2，0）三点，P 是抛物线上一点（1）求抛物线解析式【答案】2142y x x =++【铅垂高系列】本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来（2）（☆）若P 在直线AB 上方，求四边形PBCA 面积最大值，【答案】16 补充二级结论212max 2x x PD a − =⋅【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC ，△ABC 面积为12 设P 21(,4)2m m m −++，()4H m m −+，2122PH m m =−+(上面的点减去下面的点)当22b m a=−=时，PH 取最大值2，此时△APB 面积为：1=42S PH AO ⋅=(AO 是△PBH ，△PAH 两个三角形高之和)（3）（☆）若P 在直线AB 上方，作PF ⊥AB ，F 在线段AB 上，求PF 最大值H【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大（4）（★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF 周长和面积的最大值【答案】2＋和1【思路分析】△PEF形状固定，PF FE PE==（5）若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求PDOD的最大值【答案】【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换PD PH OD BO=（6）（★☆）若P 在直线AB 上方，连接CP ，交AB 于D ，△PDA 面积为S 1，△CDA 面积为S 2，求21S S 的最小值【答案】13【思路分析】化斜为自第一步：面积比转换为共线的边之比21S CDS PD=第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比6CD CG PD PH PH==（7）（★☆）点D 是点B 关于关于x 轴的对称点，连接CD ，点P 是第一象限上一点，求△PCD 面积最大值【答案】12 【思路分析】过动点P 作y 轴平行线交对边(延长)于点H2112538222PCD PCH PDM S S S PH CO PH m m =−=⋅==−++≤△△△ 推导过程如下：以PH 为底，设△PHC 的高为h 1，△PDH 的高为2h12121111()2222PH h PM h PH h h PH CO ⋅−⋅=⋅−=⋅【几何构造最值篇】（8）（☆）点E 是对称轴与x 轴交点，过E 作一条任意直线l ，（点B 、C 分别在直线l 的异侧），设C 、B 两点到直线l 的距离分别为m 、n ，求m ＋n 的最大值x【答案】【思路分析】m n BC ≥＋特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况（9）（☆）已知线段BC 上有两点E (1，3)，F (3， 1)，试在x ，y 轴上有两动点M 和N ，使得四边形FMNE 周长最小。

二次函数含参最值问题精选全文

精选全文完整版（可编辑修改）二次函数含参最值问题题型一、动轴定范围例1.当20≤≤x 时，函数()3142-++=x a ax y 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围随堂练习练习1.已知2223t tx x y --=，当31-≤≤x 时，有0≤y 恒成立，求实数t 的取值范围。

练习2.已知t x x y ++-=232，当11≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数t 的取值范围。

练习3.已知2234a ax x y -+-=，当21≤≤x 时，有0≥y 恒成立，求实数a 的取值范围。

练习4.已知b bx x y +-=23，当12≤≤-x 时，有0≥y 恒成立，求实数b 的取值范围。

练习5.(1) 求2y x 2ax 1=++在12x -≤≤的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在11x -≤≤上的最大值。

题型二、定轴动范围例1.已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。

随堂练习练习1.如果函数2(1)1y x =-+定义在区间1t x t ≤≤+上，求y 的最小值。

练习2.已知223y x x =-+，当1t x t ≤≤+时，求y 的最大值．练习3.求函数223y x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

题型三、动轴动范围例1.已知函数6106922--+-=a a ax x y 在b x ≤≤31-上恒大于或等于０，其中实数a ≤3,求实数b 的范围．随堂练习练习1.已知抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于点A(-1,0)、B （3,0），当43-≤≤x 时，求y最大值.练习2.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足143≤≤t练习3.在平面直角坐标系xoy 中，二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数12)1(2++-=x x a y 的图像先向右平移m 个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.练习4.已知关于x 的一元二次方程)0(02)1(22＞a a x a ax =-+--.（1）求证：方程有两个不等的实数根.（2）设方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x ＞）.若y 是关于a 的函数，且12x ax y +=,求这个函数的表达式.（3）在（2）的条件下，若使13-2+≤a y ，则自变量a 的取值范围为?在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。

二次函数的最值问题总结

例3.当x_0时，求函数y =「x(2-x)的取值范围. 解：作出函数y =-x(2 -x) = x 2 -2x 在x_0内的图象.二次函数的最值问题二次函数 y =ax ? +bx + c ( a HO)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础•在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a ■ 0时,2函数在x=-—处取得最小值4a 仝旦，无最大值；当acO 时，函数在x=-—处取得2a4a2a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.二次函数求最值(一般范围类)例1 •当-2玉x 玄2时，求函数y = x 2 - 2x - 3的最大值和最小值. 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值._ -4，当X _ -2 时，y max 二 5 •例2.当1乞X 乞2时，求函数y = -X 2 - XT 的最大值和最小值.解：作出函数的图象•当x=1时，y min - -1，当x =2时，y max 一 -5 .由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异. 下面给出- 些常见情况：最大值4ac -b 2 4a无最小值.解:ymin1 25 解：函数y x -x的对称轴为x = 1 .画出其草图.221 5 （1）当对称轴在所给范围左侧•即t .1时：当x =t 时，y mint 2-t- 22⑵ 当对称轴在所给范围之间•即t _ 1 _ t • 1二0 _ t _ 1时：1 2 5当 x = 1 时，y min=2 1一1—㊁二一3 ； ⑶ 当对称轴在所给范围右侧•即 t 1 .^= t ：. 0时：1 25 1 2 当 X =t 1 时，y min (t 1)2 - (t 1) t 2 -3 .1 2—t — 3,t < 0 2y - -3,0 zt ^132 —t —5,t>1 .2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值（经济类问题）例1•为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴. 规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系•随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.置.可以看出：当X =1时，y min 二-1，无最大值. 所以，当x _ 0时，函数的取值范围是 y _ -1 •例4.当t 乞X 乞t • 1时，求函数- x -号的最小值（其中t 为常数）.分析：由于X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位综上所述:政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益 w （元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少？并求出总收益 w 的最大值.分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为 800台，每台彩电的收益为200元；（2）禾U 用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益=商场销售彩电台数X 每台家电的收益，将（ 2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800 200=160000 （元）;（2 ）依题意可设 y =k ,x 800 , Z =k 2x 200 ,.有 400k , 800 =1200 ,1 1 200k2 200 =160，解得 k =1, k 2•所以 y =x 800 , Z x 200.55r 1、 1（3） W = yZ = （x 800） x 200（x-100）2 162000，政府应将每台补 I 5丿5贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元.说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼例2•凯里市某大型酒店有包房 100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高 20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高 x （元），则每间包房的收入为 y 1 （元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出 y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由•分析：（1）提价后每间包房的收入=原每间包房收包房费 +每间包房收包房提高费，包房减少数=每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入=提价后每间包房的收入X 每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.1解：（1） y 1 =100 x , y 2x ； 21 12（2） y =（100 • x ） "100 x ）y （x -50）11250 ,因为提价前包房费总收入2 2(1)(2)为100X 100=10000,当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好•例3•某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x （月）3满足关系式y1 = x 36，而其每千克成本y（元）与销售月份x （月）满足的函数关8系如图所示.y 2 (兀)（1）试确定b 、c 的值；（2）求出这种水产品每千克的利润 y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式;（3） “五•一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）将点（3, 25）, （4, 24）代入求 b 、c 的值；（2） y = y 1- y 2 ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五•一”之前的前提下求x 5 ,所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.最大利润1 2 1 （4 -6）2 11 =10—（元）. 8 2说明：本题在x = 6,即6月份时取得最大值，但题目要求在“五•一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解例4.某商场以每件 30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润（2）若商场要想每天获得最大销售利润, y 与每件销售价x 之间的函数关系式；每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少?解：（1）由已知得每件商品的销售利润为（x-30）元,那么m 件的销售利润为y 二m （x - 30），又m =162 -3x .m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数 m =162 —3x,30 空 x ^54 .解：（1 ）由题意:25V 32 24三 423b c 4b c—7 ，解得 81c = 29 —I 2(2) y 十 -丫2=一3 x 36 _ 1X 2 _15 X 291 二-1 x 28 8 8 2 83- 2十2X一x 61 — 】(x 2 -12x 36) 4」6」一】(x-6)2 11. 2 8 2 2 8•- --0,•••抛物线开口向下.8在对称轴x = 6左侧y 随x 的增大而增大.由题意\17.y =(x-30)(162 -3x) =—3x 2 252x -4860,30 乞 x 乞 54(2)由⑴ 知对称轴为x = 42，位于x 的范围内，另抛物线开口向下2.当 x = 42时，y max - -3 42 252 42 -4860 =432.当每件商品的售价定为 42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元.二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中, AB=6cm BC=12cm 点P 从点A 出发，沿 AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果 P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动.(1) 运动第t 秒时，△ PBQ 的面积y(cm2 )是多少？(2) 此时五边形 APQCD 勺面积是S(cm2 )，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围.(3) t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：1 2(1) y = -(6 -t ) 2t 一t 6t2(2) S =6 12 一( 一t 2 6t )t 2 -6t • 72(0 ：：t ：：：6) (3) S (t -3)2 63.当t =3时；S 有最小值等于63例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1米宽的门(木质).花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米贝U 长为：32 -4x • 2 =34 -4x (米) 则:S=x(34-4x)--4x 2 34x••• 0 ： 34—4x ^106*卫二％-乎)2 4289而当6乞x 内，S 随x 的增大而减小，2 17 289•••当 X=6 时，S max 一 4(6 -二)2 = 60(平方米)4 4答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大.例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCD (如图)，其中AF=2, BF=1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积.1 2S = xy x 5x (2 _ x _ 4),此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5,•••当x W5时，函数值y 随x 的增大而增大，1 2对于2^x^4来说，当x=4时，S 最大4—5 4=12 .【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起, 能很好考查学生的综合应用能力•同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例4.某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形 ABCD 点 E F 分别在边BC 和CD 上, △ CFE △ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成△ CFE △ ABE 和四边形AEFD 勺三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1) 判断图 ⑵ 中四边形EFGH1何形状，并说明理由；(2) E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：⑴四边形EFG!是正方形.图⑵ 可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故 CE=CF =CG• △CEF 等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形.(2)设CE=x ,则BE =0.4 — x ,每块地砖的费用为 y 元那么：y = X 」X30+ X 0.4 X (0.4 -x ) X 20+[0.16 - x - X 0.4 X (0.4 -x ) X 10]匚17 67 6，S 与x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内,解:设矩形PNDM 勺边DN=x NP=y, 则矩形PNDM 勺面积S=xy (2W x < 4) 易知 CN=4-x , EM=4-y .D 8HC2 2 2 2=10(x2 _0.2x 0.24)= 10(x -0.1)2 2.3 (0 :：: x :: 0.4)当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1 .答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省.。

中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题

二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。

最新二次函数最值问题类型题总结

最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)

二次函数求最值的六种考法(含答案)

二次函数的最值问题总结

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

微专题二 二次函数的最值问题

二次函数最值问题类型题总结

二次函数最值题分类精选---取值范围

专题07 二次函数的最值问题-九年级数学上册(解析版)

最新二次函数中的最值问题整理(中考数学必考知识点)

二次函数实际问题易考题型总结(全)

06-专项拓展训练1 二次函数的最值问题高中数学必修一人教A版

二次函数的最值(4种题型)(解析版)--初中数学专题训练

二次函数分类试题之最值问题

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

二次函数中的最值问题(解析版)

二次函数含参最值问题精选全文

二次函数的最值问题总结

中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题

微专题二二次函数的最值问题