圆周运动受力分析-老师版

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圆周运动的动力学分析

圆周运动的动力学分析一．圆周运动的线速度变化知识分析：一个不可伸长的细绳长为L ，一端用手握住，另一端连接一个质量为m 的小球，手握球在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，手的转动半径为R ，在转动过程中手始终与绳相切，并保持在同一水平面内。

求：小球的线速度和绳的拉力？分析：小球的半径R 0=22L R +，所以线速度V=ω22L R + 根据相似三角形的知识可以得到：T=LL R m )(222+ω例题1：半径分别为r 和2r 的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O 无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m 的质点，小圆盘上绕有细绳．开始时圆盘静止，质点处在水平轴O 的正下方位置．现以水平恒力F 拉细绳，使两圆盘转动，若恒力 F=mg ，两圆盘转过的角度θ= 时，质点m 的速度最大．同步练习1．如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A 处固定质量为2m 的小球，B 处固定质量为m 的小球。

支架悬挂在O 点，可绕过O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。

开始时OB 与地面相垂直，放手后开始运动，在不计空气阻力的情况下，求：B 球速度最大时偏离竖直位置的角度？例题2：如图所示，质量为m 的小球悬挂在质量为Ｍ的半圆形光滑轨道的顶端，台秤的示数为（M ＋m ）g 。

忽略台秤秤量时的延迟因素，则从烧断悬线开始，到小球滚到半圆形光滑轨道底部这段时间内，台秤的示数为（）（A ）一直小于（M ＋m ）g（B ）一直大于（M ＋m ）g（C ）先小于（M ＋m ）g 后大于（M ＋m ）g（D ）先大于（M ＋m ）g 后小于（M ＋m ）g同步练习1.如图所示，一架飞机在竖直平面内沿半径为R 的横8字轨道上作飞行表演，如果飞行员体重为G ，飞行速率为v ，则在A 、B 、C 、D 四个位置上，机座或保险带对飞行员的作用力相比较为（）（A ）N A ＝N B ，N C ＝N D ，（B ）N D ＞N A ＝N B ＞N C ，（C ）N C ＞N A ＝N B ＞N D ，（D ）N A ＝N B ＞N D ＞N C 。

圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲

匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。

为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式较多。

因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。

1. 匀速圆周运动的基本概念和公式（1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；（2）角速度，恒定不变量；（3）周期与频率；（4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同；（5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为。

所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。

【例1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A. 线速度不变B. 角速度不变C. 加速度为零D. 周期不变解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向时刻R R r A 2130sin =︒= R R r B 2360sin =︒= 它们的角速度相同，所以线速度之比3331====BA B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3322==BB A A B A r r a a ωω 2. 质点做匀速圆周运动的条件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。

合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。

3. 向心力有关说明向心力是一种效果力。

任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。

与圆周运动相关的受力问题

11.与圆周运动相关的受力问题
一、分类：
二、水平匀速圆：可能会涉及到动力学内容（牛二率，甚至整体牛二），有时甚至出现竖直圆。 1.绳拉球：
2.一般题型：（出现摩擦力也可以）
三、融入竖直圆：
例题：框内小球在最高点时，整体框架对地面恰好无压力，求经过半个圆周到达最低点时，对地面压力是多少？
分析：有两个物体，是个系统牛二律的问题。 1.最高点时：（M+m）g-0=ma1+0 2.最低点时： N-(M+m)g=ma2+0 3.半个圆周：mg2R=1/2mv22-1/2mv12
4.关联：a=v2/R 代入后化简得：4g=v22/R-v12/R 代入a2得N=(2M+6m)g
技巧做法：无论何种模型，只有没有摩擦，最高最低的向心力差就是固定值4mg. 由整体法可知：
在最高点向心力=（M+m）g 那么在在最低点向心力=（M+5m）g 于是m）g=（M+5m）g
A. Mg-5mg B. Mg+mg C. Mg+5mg D. Mg+10mg
分析：在最高点向心力为零。那么在最低点向心力为4mg
于是：在最低点列系统牛二律得：拉力T-(M+m)g=4mg
(16新课标)16.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示，将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点（）
分析： 1.基本方法：把握分离时N=0，另外利用动能定理（考虑电场力也会做功）。 2.另外方法：等效重力场（在该题目中没有优势）。
变形：在上述叠加电场的情况下，再叠加磁场。问小球在何处脱离轨道？

微课：绳杆模型圆周运动最高点分析(罗新勇)

专题：绳、杆模型最高点受力分析（竖直平面内圆周运动）
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时，即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时，即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展：若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：

(完整版)圆周运动受力分析-老师版

圆周运动受力分析1月3日☺ 训练1：匀速圆周运动向心力分析1. 质量为m 的小球，用长为l 的线悬挂在O 点，在O 点正下方2l处有一光滑的钉子O′，把小球拉到与O′在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P 时，( ). A.小球速率突然减小 B.小球加速度突然减小C.小球的向心加速度突然减小D.摆线上的张力突然减小【提示】注意运动方向上没有力的作用，所以不用考虑速度的变化，最后根据速度不变，推导向心力变小，拉力变小。

【答案】BCD2. 个小狗拉雪橇在水平面内圆弧轨道匀速行驶，如图所示画出了雪橇受到的牵引力F 和摩擦力f之间的可能的方向关系示意图，其中正确的是：（）【解析】摩擦力方向和运动方向相反，所以沿着切线，排除BC ．要有力提供向心力，所以选D 【答案】D3. 圆锥摆如右图所示，质量为m 的小球通过细绳挂着，在水平平面内以角速度ω转动，细绳与竖直方向夹角为θ，悬挂点到小球所在水平面距离为h ，绳子长度l 小球转动的周期为T ，下列说法正确的是：（） A ．质量增加，别的不变，则h 变大； B ．转动的角速度增加，则θ增大； C ．角速度增加，则h 增大；D ．转动的周期T 跟m 无关；【解析】如图所示稳定运动的时候绳子的拉力和重力的合力提供向心力．2tan tan m h mg ωθθ=化简得到2h g ω=可见h 和质量无关和角速度反相关；所以排除A ，C ．角速度增加，h 变小，绳子长度不变，cos hlθ=所以θ增大，B 正确； 2T πω=只跟h ，g 有关，跟质量无关，所以D 也正确．【答案】 B D4. 如图所示，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO '转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ．现要使a 不下滑，则圆筒转动的角速度ω应至少为（）A ．g r μB ．g μC ．gr D ．g r μ【解析】水平方向上2N mr ω=，竖直方向上mg N μ≤．故g rωμ≥．【答案】 D5. 如图所示，两个用同种材料制成的靠摩擦传动的轮A 和B 水平放置，两轮半径2A B R R =．当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上，若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为（）A ．/4B R B ．/3B RC ．/2B RD ．B R【解析】两轮边缘上的线速度相等，由v R ω=得，12A B A B R R ωω==．小木块恰能静止在A 轮边缘，最大静摩擦力提供向心力，2A A mg mR μω=．设放在B 轮上能使木块相对静止的距B 转轴的最大距离为r ，则2Bmg mr μω=．由以上两式得22A ABR r ωω=，所以2211242AA B B B r R R R ωω==⨯=．故选项C 正确．【答案】 C6. 如图所示，OO '为竖直轴，MN 为固定在OO '上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A B 、套在水平杆上，AC 和BC 是抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO '上。

高一物理【圆周运动的综合分析】学习资料+习题(人教版)

高一物理【圆周运动的综合分析】学习资料+习题（人教版）水平面内的圆周运动的临界问题1．与摩擦力有关的临界问题(1)物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F f＝m v2r，静摩擦力的方向一定指向圆心。

(2)如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件(静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心)。

2．与弹力有关的临界问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。

绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

3．解决圆周运动临界问题的一般思路(1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。

(2)分析该状态下物体的受力特点。

(3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。

如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？[解析]两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。

(1)BC恰好拉直，但F T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F x＝F T1sin 30°＝mω12L sin 30°F y＝F T1cos 30°－mg＝0联立解得ω1≈2.40 rad/s。

(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则F T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F x＝F T2sin 45°＝mω22L sin 30°F y＝F T2cos 45°－mg＝0联立解得ω2≈3.16 rad/s。

可见，要使两绳始终伸直，ω必须满足2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s[答案] 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s[名师点评]处理水平面内圆周运动临界问题时的两点注意(1)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。

圆周运动问题分析

圆周运动问题分析部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑圆周运动问题分析【专题分析】圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合<衰变后在磁场中做圆周运动）。

可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。

b5E2RGbCAP不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。

同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。

p1EanqFDPw1、匀速圆周运动匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。

只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。

DXDiTa9E3d2、竖直面内的非匀速圆周运动物理情景：在重力作用下做变速运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高点不容易通过。

特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”，其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”，整个过程中机械能守恒。

注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。

另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。

RTCrpUDGiT 基本解题方法：1、涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。

【题型讲解】题型一匀速圆周运动问题例题1：如图所示，两小球A 、B 在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为rA>rB ，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？<只比较大小）5PCzVD7HxA 解读：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。

(完整版)圆盘上的圆周运动问题-教师用卷带解析圆周运动专题一

圆盘上的圆周运动问题圆周运动专题一题号一二三总分得分一、单选题(本大题共7小题，共28.0分）1.两个质量分别为2m和m的小木块a和可视为质点放在水平圆盘上，a与转轴的距离为L，b与转轴的距离为2L,a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。

若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,开始时轻绳刚好伸直但无张力,用表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是（）A. a比b先达到最大静摩擦力B。

a、b所受的摩擦力始终相等C. 是b开始滑动的临界角速度D. 当时,a所受摩擦力的大小为【答案】D【解析】【分析】木块随圆盘一起转动,静摩擦力提供向心力，而所需要的向心力大小由物体的质量、半径和角速度决定。

当圆盘转速增大时，提供的静摩擦力随之而增大,当需要的向心力大于最大静摩擦力时,物体开始滑动。

因此是否滑动与质量无关,是由半径大小决定.本题的关键是正确分析木块的受力,明确木块做圆周运动时，静摩擦力提供向心力,把握住临界条件：静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律分析解答.【解答】A.木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律得：木块所受的静摩擦力,a和b的质量分别是2m和m,而a与转轴的距离为L,b与转轴的距离为2L,所以开始时a和b受到的摩擦力是相等的；b受到的静摩擦力先达到最大，故A错误;B。

在b的摩擦力没有达到最大前,静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得：木块所受的静摩擦力,a 和b的质量分别是2m和m,而a与转轴的距离为L，b与转轴的距离为2L，所以开始时a和b受到的摩擦力是相等的；当b受到的静摩擦力达到最大后，b受到的摩擦力与绳子的拉力的和提供向心力,即：，而a的受力：,联立得：，可知二者受到的摩擦力不一定相等,故B错误；C。

当b刚要滑动时,有,解得：，故C错误；D。

当时,此时b所受摩擦力已达最大,a所受摩擦力的大小为:,故D正确。

故选D。

水平面内的圆周运动解析版

突破16水平面内的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。

1.水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

2.水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

3.水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。

解题技巧水平面内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势半径有变化），通常对应着临界状态的出现。

这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为6（如图所示），弯道处的圆弧半径为凡若质量为m的火车转弯时速度小于”，则（）A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B .外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C.这时铁轨对火车的支持力等于mg/cos 6；D.这时铁轨对火车的支持力大于mg /cos 6.【答案】A【典例2】如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴m 1着一个小球A和5。

小球A和B的质量之比m*=5。

当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管m B2口的细绳长为l，此时小球B恰好处于平衡状态。

钢管内径的粗细不计，重力加速度为g。

求：⑴拴着小球*的细绳与竖直方向的夹角6；(2)小球A 转动的周期。

【答案】 ⑴60° (2)n g!~【典例3】如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO' 的距离为l ，b 与转轴的距离为21.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的左倍，重力加速度大小为g . 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用/表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A. b 一定比a 先开始滑动B. a 、b 所受的摩擦力始终相等C.①=•、卷是b 开始滑动的临界角速度D.当①=飞.J 等时，a 所受摩擦力的大小为kmg【答案】 AC【解析】因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得片m^2R ,由于小木块 b 的轨道半径大于小木块a 的轨道半径，故小木块b 做圆周运动需要的向心力较大，B 项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；当b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg =mcDb2 1，可得%=、弱,C 项正确；当a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg =m ⑴21，可得%= 播，而转盘的角速度、;2k g〈'『牛，小木块a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f = mrn 21=3kmg ，D 项错误。

圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲(张晓整理)

匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。

为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（）等物理量，涉及的物理量及公式较多。

因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。

所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。

【例1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A. 线速度不变B. 角速度不变C. 加速度为零D. 周期不变解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是变化的，加速度不为零，答案为B、D。

【例2】在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A 、B 两点，如图1所示，过A 、B 的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A 、B 两点的线速度之比为；向心加速度之比为。

ωO60°30°AB解析：A 、B 两点做圆周运动的半径分别为RR r A 2130sin =︒= R R r B 2360sin =︒=它们的角速度相同，所以线速度之比3331====BA B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3322==BB A A B A r r a a ωω 2. 质点做匀速圆周运动的条件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。

第 4 课时匀速圆周运动动力学问题及实例分析

第 4 课时匀速圆周运动动力学问题及实例分析基础知识归纳1.圆周运动的动力学问题做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F 合＝F 向，或F 合＝ 2r v m ＝ m ω2r＝ π4 22r Tm .2.竖直平面内的圆周运动中的临界问题(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r v 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝gr .(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 v ≥0 .①当v ＝0时，杆对小球的支持力等于小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力小于小球的重力； ③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力等于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供拉力.重点难点突破一、圆周运动的动力学问题解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解.二、圆周运动的临界问题圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题.1.在竖直面内做圆周运动的物体竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v 临＝Rg .绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v 临＝0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题.典例精析 1.圆周运动的动力学问题【例1】质量为m 的物体沿着半径为r 的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v ，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时( )A.向心加速度为r v 2B.向心力为m (g ＋r v 2)C.对球壳的压力为r mv 2D.受到的摩擦力为μm (g ＋rv 2)【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有F N －mg ＝r mv 2，物体的向心加速度为r v 2，向心力为r mv 2，物体对球壳的压力为m (g ＋r v 2)，在沿速度方向，物体受滑动摩擦力，有F ＝μF N ＝μm (g ＋rv 2)，综上所述，选项A 、D 正确.【答案】AD【思维提升】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F 合＝F 向，或 F 合＝m r v 2＝m ω2r ＝m r T22π4.这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律.【拓展1】铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之相对应的轨道的高度差h .(1)根据表中数据，试导出h 与r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值. (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L ＝1.435 m ，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v .(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)【解析】(1)分析表中数据可得，每组的h 与r 之乘积均等于常数C ＝660×50×10－3 m ＝33 m 2，因此h •r ＝33(或h ＝r33)当r ＝440 m 时，有h ＝44033m ＝0.075 m ＝75 mm(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所示.由牛顿第二定律得mg tan α＝m r v 2①因为α很小，有tan α＝sin α＝Lh②由①②可得v ＝Lghr代入数据解得v ＝15 m/s ＝54 km/h 2.圆周运动的临界问题【例2】(2009•安徽)过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径R 1＝2.0 m 、R 2＝1.4 m.一个质量为m ＝1.0 kg 的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A 点以v 0＝12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距L 1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g ＝10 m/s 2，计算结果保留小数点后一位数字.试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离.【解析】(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1，根据动能定理－μmgL 1－2mgR 1＝20212121mv mv -① 小球在最高点受到重力mg 和轨道对它的作用力F ，根据牛顿第二定律 F ＋mg ＝m 121R v② 由①②式解得F ＝10.0 N③(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 1，由题意知mg ＝m 222R v④－μmg (L 1＋L )－2mgR 2＝20222121mv mv -⑤ 由④⑤式解得L ＝12.5 m ⑥(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰好能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足mg ＝m 323R v ⑦－μmg (L 1＋2L )－2mgR 3＝20232121mv mv -⑧ 由⑥⑦⑧式解得R 3＝0.4 mⅡ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理有－μmg (L 1＋2L )－2mgR 3＝0－2021mv解得R 3＝1.0 m为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足 (R 2＋R 3)2＝L 2＋(R 3－R 2)2 解得R 3＝27.9 m综合Ⅰ、Ⅱ，要使球不脱离轨道，则第三个圆轨道半径需满足0<R 3≤0.4 m 或1.0 m ≤R 3≤27.9 m当0<R 3≤0.4 m 时，小球最终停留点与起始点A 距离为L ′，则－μmgL ′＝0－2021mv解得L ′＝36.0 m当1.0 m ≤R 3≤27.9 m 时，小球最终停留点与起始点A 的距离为L ″，则L ″＝L ′－2(L ′－L 1－2L )＝26.0 m【思维提升】本题侧重考查圆周运动临界条件的应用.物体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现一种特殊的转变状态，即临界状态.通过对物理过程的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决问题的关键.【拓展2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( BC )A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零D.若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力，在Q 点受到细杆的作用力为推力【解析】本题考查竖直面内的圆周运动，束缚物是细绳，物体在最高点的最小速度为gR ，此时细绳拉力为零，A 错，C 对；束缚物是细杆时，如果最高点的速度为gR ，细杆拉力为零，如果v >gR ，细杆为拉力，如果v <gR ，细杆为推力，B 对，D 错.【例3】如图所示，两绳系一质量为m ＝0.1 kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长l ＝2 m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g ＝10 m/s 2)？【解析】设两细绳都被拉直时，A 、B 绳的拉力分别为T A 、T B ，小球的质量为m ，A 绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，B 绳与竖直方向的夹角为α＝45°，经受力分析，由牛顿第二定律得：当B 绳中恰无拉力时F A sin θ＝m ω21l sin θ① F A cos θ＝mg②由①②式解得ω1＝310rad/s 当A 绳中恰无拉力时，F B sin α＝m ω22l B sin θ ③ F B cos α＝mg④由③④式解得ω2＝10rad/s所以，两绳始终有张力，角速度的范围是 310rad/s<ω<10 rad/s【思维提升】此类问题中，往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件，抓住临界条件、分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键.【拓展3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l 的绳，一端固定在圆锥体的顶点O ，另一端系一个质量为m 的小球(可视为质点)，小球以速率v 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v 从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况.【解析】(1)临界条件：小球刚好对锥面没有压力时的速率为v 0，小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则有F 向＝mg tan 30° ＝m ︒30 sin 20l v ，解得v 0＝gl 63 (2)当v <v 0时，小球除受到重力和绳子的拉力外，还受到圆锥面的支持力，如图所示，则有F 向＝F T sin 30°－F N cos 30°＝m ︒30 sin 20l vF T cos 30°＋F N sin 30°＝mg 速度越大，支持力越小.(3)当v >v 0时，小球离开锥面飘起来，设绳与轴线夹角为φ，则F T sins φ＝m ϕsin 2l v速度越大，绳与轴线夹角φ越大.易错门诊【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R (比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0.设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 1、m 2、R 与v 0应满足的关系式是 .【错解】依题意可知在A 球通过最低点时，圆管给A 球向上的弹力N 1为向心力，则有N 1＝m 1Rv 20① B 球在最高点时，圆管对它的作用力N 2为m 2的向心力，方向向下，则有N 2＝m 2Rv 21② 因为m 2由最高点到最低点机械能守恒，则有m 2g 2R ＋222122121v m v m = ③ N 1＝N 2由①②③式解得v 0＝1224m m gRm -【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N 1＝N 2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m 2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功——受力分析不过关.【正解】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示.A 球在圆管最低点必受向上的弹力N 1，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力N 2，且N 1＝N 2据牛顿第二定律A 球在圆管的最低点有 N 1－m 1g ＝m 1Rv 2① 同理B 球在最高点有m 2g ＋N 2＝m 2Rv 21②B 球由最高点到最低点机械能守恒2m 2gR ＋222122121v m v m = ③又N 1＝N 2由①②③式解得v 0＝1212)5(m m gRm m -+【思维提升】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题.。

动力学圆周运动的向心力与角速度分析

动力学圆周运动的向心力与角速度分析动力学圆周运动是指一个物体在做匀速圆周运动时，由于受到向心力的作用，保持相对静止于圆心的位置。

本文将通过分析向心力与角速度的关系，来探讨动力学圆周运动的特性与规律。

一、向心力的概念与计算公式向心力是指当物体做圆周运动时，物体所受到的指向圆心的力。

它的大小等于质点所受外力的合力，即：向心力 Fc = m * a_c其中，Fc表示向心力，m为质点的质量，a_c表示向心加速度。

向心加速度的计算公式为：a_c = v^2 / r其中，v表示质点的速度，r为运动半径。

根据上述公式，我们可以得知向心力与速度的平方成正比，与运动半径的倒数成反比。

二、向心力的方向与性质向心力的方向始终指向圆心，它与速度方向垂直。

在动力学圆周运动中，向心力是保持物体匀速运动的必要条件。

如果没有向心力的作用，物体将沿着原来的直线运动而不再做圆周运动。

在动力学圆周运动中，当速度改变时，向心力也随之改变。

当速度增大时，向心力也增大；当速度减小时，向心力也减小。

向心力的作用是保持质点的运动曲线，使之成为一个圆。

三、角速度的概念与计算公式角速度是指单位时间内转过的角度。

它的计算公式为：角速度ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示单位时间内转过的角度，Δt为单位时间。

对于动力学圆周运动，角速度与线速度之间存在以下关系：ω = v / r其中，v表示质点的线速度，r为运动半径。

根据上述公式，我们可以得知，角速度与线速度的比值等于运动半径。

四、向心力与角速度的关系根据上述的公式可以得知，向心力与角速度之间存在以下关系：Fc = m * ω^2 * r其中，Fc表示向心力，m为质点的质量，ω为角速度，r为运动半径。

由此，我们可以得知，向心力与角速度的平方成正比，与运动半径成正比。

五、动力学圆周运动的应用动力学圆周运动广泛应用于日常生活和科学研究中。

例如，汽车在匀速转弯时，司机需要借助向心力来保持车辆在弯道上的稳定性。

圆周运动实力分析总结

（1）明确对象，找出圆周平面，确定圆心和半径；
（2）进行受力分析，画出受力分析图,求出在半径方向的合力，即向心力；
v2
（3) 结合F合 = 列方程求解。
F向 m
r
匀速圆周运的特点
1：如图3-4所示，半径为R的半球形碗
作内，有一个具有一定质量的物体A，A 与碗壁间的动摩擦因数为μ ，当碗绕竖直轴OO/匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而
当静摩擦力达到最大且背离圆心时，达角速度的最小值。
T

fm

M
2 1
r
又T mg
0.3×10

2

0.6
2 1
×0.2
1 2.9rad / s
ω
N f O
G
ω
O
ω
AＢ O
总结：平直轨道的临界一般都是在达到最大静摩擦力时
一、水平面内的圆周运动 2、倾斜轨道（1）火车转弯
N F G
人与车能过最高点时，速度需要满足什么
条件？
在最高点 : mg N m v2 r
(1)当N 0, v gr (临界速度)
N
G
物体恰好通过最高点
(2)当N 0, v gr时物体能过最高点，且 N m v2 mg
r
(3)当v gr时
物体不能过最高点，脱离圆轨道做曲线运动
FN
N
h
h
G
G
2、绳模型(最高点无支撑)
例4．如图所示，质量m=0.1kg的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为r=0.2m的圆周运动已知小球在最高点的速率为v1=2m/s，g取10m/s2 试求：

摩天轮匀速圆周运动受力分析

摩天轮匀速圆周运动受力分析
⒈如何分析匀速圆周运动中受力
以做匀速圆周运动的物体为研究对象①重力②弹力（轻绳和轻杆不同，杆会在最高点给物体支持力）③摩擦力④场力
⒉非匀速圆周运动的受力
匀速圆周运动中，物体所受合外力等于向心力；非匀速圆周运动中，物体所受合外力的一个分力等于向心力，别的分力就是改变速度的力。

分析过程同上
⒊向心力为什么一定指向圆心
力与速度的方向在同一条直线上时，力只改变速度的大小，不改变速度的方向；力与速度方向成角度但不等于90°时，力既改变速度的大小又改变速度的方向；力与速度的方向成90°时，力不改变速度的大小，只改变速度的方向。

向心力的作用是改变速度的方向，所以向心力与速度方向垂直，而速度方向沿切线方向，所以向心力指向圆心
⒋向心加速度为什么不改变速度大小
向心力始终垂直于速度，在速度方向上没有分量。

向心力产生的向心加速度只是指向圆心
是角速度和半径决定了向心力，向心力是效果力，不是真正的力，受力分析时都不算上它的
⒌向心力是什么
向心力是当物体沿着圆周运动时，指向圆心的合外力作用力。

（做圆周运动的物体，向心力是一种拉力，方向随着物体在圆周轨道上的运动而不停改变，此拉力沿圆周半径指向圆心，产生指向圆心的加速度，所以根据力的效果命名为向心力）
⒍向心加速度是什么
质点作曲线运动时，指向瞬时曲率中心的加速度。

向心加速度反映圆周运动速度方向变化快慢，向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小。

以上速度，都是指圆周运动的线速度。

物体运动在圆的左侧时的受力分析

物体运动在圆的左侧时的受力分析
匀速圆周运动的特点：轨迹是圆，角速度，周期，线速度的大小(注：因为线速度是矢量,"线速度"大小是不变的，而方向时时在变化)和向心加速度的大小不变，且向心加速度方向总是指向圆心。

任何物体在圆周运动时都需要向心力，因为它不断地改变速度。

物体的速度是恒定的，但方向总是在变化。

只有适当的向心力才能使物体在圆轨道上运动。

这个加速度（速度是一个矢量，改变方向的同时可以不改变大小）是由向心力提供的，如果不具备这一条件，物体将脱离圆轨道，向心加速度是反映线速度方向改变的快慢。

物体在做圆周运动时速度的方向相切于圆周路径。

匀速圆周运动物体所受合力的方向一直指向圆心，即此来改变速度的方向。

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【答案】BCD2. 个小狗拉雪橇在水平面内圆弧轨道匀速行驶，如图所示画出了雪橇受到的牵引力F 和摩擦力f之间的可能的方向关系示意图，其中正确的是：（）【解析】摩擦力方向和运动方向相反，所以沿着切线，排除BC ．要有力提供向心力，所以选D 【答案】D3. 圆锥摆如右图所示，质量为m 的小球通过细绳挂着，在水平平面内以角速度ω转动，细绳与竖直方向夹角为θ，悬挂点到小球所在水平面距离为h ，绳子长度l 小球转动的周期为T ，下列说法正确的是：（）A ．质量增加，别的不变，则h 变大；B ．转动的角速度增加，则θ增大；C ．角速度增加，则h 增大；D ．转动的周期T 跟m 无关；【解析】如图所示稳定运动的时候绳子的拉力和重力的合力提供向心力．2tan tan m h mg ωθθ=化简得到2h g ω=可见h 和质量无关和角速度反相关；所以排除A ，C ．角速度增加，h 变小，绳子长度不变，cos hlθ=所以θ增大，B 正确； 2T πω=只跟h ，g 有关，跟质量无关，所以D 也正确．【答案】 B D4. 如图所示，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO '转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ．现要使a 不下滑，则圆筒转动的角速度ω应至少为（）AB【解析】水平方向上2N mr ω=，竖直方向上mg N μ≤．故ω≥【答案】 D5. 如图所示，两个用同种材料制成的靠摩擦传动的轮A 和B 水平放置，两轮半径2A B R R =．当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上，若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为（）A ．/4B R B ．/3B RC ．/2B RD ．B R【解析】两轮边缘上的线速度相等，由v R ω=得，12A B A B R R ωω==．小木块恰能静止在A 轮边缘，最大静摩擦力提供向心力，2A A mg mR μω=．设放在B 轮上能使木块相对静止的距B 转轴的最大距离为r ，则2Bmg m r μω=．由以上两式得22A ABR r ωω=，所以2211242A A B B B r R R R ωω==⨯=．故选项C 正确．【答案】 C6. 如图所示，OO '为竖直轴，MN 为固定在OO '上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A B 、套在水平杆上，AC 和BC 是抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO '上。

当绳拉直时，A B 、两球转动半径之比为2:1，则当转轴的角速度逐渐增大时 A ．AC 先断B ．BC 先断C ．两线同时断D ．不能确定哪段线先断【解析】 22cos cos A A B BF mr F mr αωβω⎧=⎪⎨=⎪⎩，又有cos cos A B r AC r BC αβ=⎧⎨=⎩，可由AC BC >解出A B F F > 【答案】 A7. 如图所示，小物体A 与水平转盘间的最大静摩擦力m 5N f =，A 与转盘圆心间的距离为0.5m ，A 的质量1kg m =，且和一端固定在圆心的弹簧相连，弹簧自然长度00.4m l =，劲度系数100N/m k =．如果要二者保持相对静止地一起转动，其角速度的范围是多大？【解析】设ω较大，A 物刚要向外滑动时，有2m max k x f m r ω+Δ=，得max ω=．设ω较小，A物刚要向圆心滑动时，有2m min k x f m r ω-Δ=，得min ω=．故A 不滑动时，ω的范围ω≤8. 质量相等的小球A B 、分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时，如图所示，则杆的OA 段及AB 段对球的拉力之比为__________．【解析】设A 、B 转动的角速度为ω，两段杆的长度均为l ．对A 有212T T ml ω-=，对B 有222T m l ω=⋅．由以上两式得出，1232T T =．【答案】 3:29. 如图所示，质量为0.1kg m =的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长2m A L =，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角130θ=︒，245θ=︒，210m/s g =。

求：⑴ 当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ ⑵ 当3rad/s ω=时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？【解析】 ⑴ 当B 绳恰好拉直，但0B T =时，细杆的转动角速度为1ω，有：cos30A T mg ︒=21sin 30sin 30A A T m L ω︒=︒解得：1 2.4rad/s ω=当A 绳恰好拉直，但0A T =时，细杆的转动角速度为2ω，有： cos45B T mg ︒=22sin 45sin 30B A T m L ω︒=︒解得：2 3.15rad/s ω=要使两绳都拉紧2.4rad/s 3.15rad/s ω≤≤ ⑵ 当3rad/s ω=时，两绳都紧。

2sin 30sin 45sin 30A B A T T m L ω︒+︒=︒cos30cos45A B T T mg ︒+︒=解得：0.27N A T =， 1.09N B T =。

☺ 训练2：竖直面内圆周运动1. 如图是电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O 匀速转动，重锤转动半径为R 。

电动机连同打夯机底座的质量为M ，重锤和转轴O 之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度为g 。

⑴ 重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？⑵ 若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？【解析】 ⑴ 重锤在定点所受的向心力的反作用力应该恰和整体的重力平衡。

2()m R M m g ω=+，ω=⑵ 在最低点2()N M m g m R ω=++，2()N M m g '=+【答案】见解析2. 如图所示，工厂中的水平天车吊起质量为2.7t 的铸件，以2m/s 的速度匀速行驶，钢绳长3m ．当天车突然刹车时，钢绳所受的拉力为__________N ．（g 取210m/s ）【解析】天车突然刹车时，由于惯性，重物仍具有原来的速度，并做圆周运动．故有2v T mg m l-=，所以243.0610N v T mg m l=+=⨯．【答案】 43.0610N ⨯3. 如图所示，长为2l 的轻杆，两端各固定一小球，A 球质量为m ，B 球质量为m '，且m m '＞，过杆的中心有水平光滑的固定轴，杆可绕这一水平轴在竖直平面内转动．当杆转到竖直位置时，转动角速度为ω，A 球正好位于上端，B 球位于下端，则杆作用于固定轴的力的方向一定向上的条件是什么?【解析】两小球的角速度相同，m 受杆的拉力1T ，方向向下，21mg T mL ω+=；m '受杆的拉力2T ，方向向上，22T m g m L ω''-=．若杆作用在轴上的力一定向上，必有12T T >，即22mL mg m g m L ωω''->+，故ω>．4. 一辆汽车始终匀速10m/s v =行驶，车中的人用弹簧秤拉一个质量为5kg m =的重物．车经过的路径如图所示：A ，B 点的圆弧半径都为25m R =．问弹簧秤在A ，B ，C 三处的示数？（210m /s g =）【解析】关键要分析清楚向心力是重力G 和弹簧秤对物体拉力'G 的合力．而弹簧秤的示数取决于这个拉力'G ．看清向心力F 的方向．【答案】向心力2251020N 25mv F R ⨯=== 看起来的“重力”'70N AG mg F =+=；'30N B G mg F =-=；'50N C G mg == 所以弹簧秤的示数分别为7kg ，3kg ，5kg ．5. 载人飞船在起飞阶段，宇航员的血液处于超重状态，严重时会发生墨视，甚至危及生命.（1）假设飞船起飞时的加速度大小为260m/s a =，方向竖起向上，宇航员躺在飞船内的水平躺椅上，则躺椅对他的作用力约为他重力的多少倍？（g 取210m/s ）（2）为使宇航员适应上述情况，必须进行专门训练，若训练时宇航员乘坐的座舱在水平面内做半径20m R =的匀速圆周运动，让座舱在运动中加速度等于（1）问中飞船起飞时的加速度，则座舱每分钟应转多少圈？【解析】（1）宇航员在竖直方向受重力和躺椅对他的作用力，向上做加速运动由牛顿第二定律有F mg ma -= 所以F ma mg =+，解得707F m mg ==。