对偶与灵敏度分析

§2 对偶与灵敏度分析

§2.1 LP 的对偶问题

无论从理论和实践角度，对偶理论是LP 中的一个最重要和有趣的概念，支持对偶理论的基本思想是：每一个LP 问题都存在一个与其对偶的问题，在求解一个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。 一、问题的提出

例2.1：设某工厂生产两种产品甲乙，生产过程需要4种设备ABCD 进行加工，每件产品加工所需机时数，每件产品的利润值及每种设备的可利用机时如下表：

1.问：充分利用设备时，应怎样安排甲乙产品的生产数量，利润才能最大？

2.问：如有另外一家公司想租用该厂设备加工生产，那么，这家公司应至少对每台设备的机时价格为多少时，才能使该厂愿意出租设备？ 解：1.设甲乙产品各生产1x 2x 件

LP1：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≤+≤++=0

,1648

212

2232211

21212

1x x x x x x x x x MaxZ 2.设每台设备的机时最低价分别为：1y ，2y ，3y ，4y

LP2：⎪⎩⎪

⎨⎧=≥≥++≥+++++=4,3,2,1,03422242121681242

13

214

321i y y y y y y y y y y y MinZ i

二、原问题和对偶问题之间的关系： 1.对称形式下的原问题与对偶问题

对称形式下原问题的一般式： 矩阵形式：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≤+++≤+++≤++++++=n j x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c MaxZ j m

n mn m m n n n n n

n .......

21,0 (221)

1222221211

12121112211

⎩⎨⎧≥≤=0X b AX CX Max 若用i y 代表第i 种资源的估价，则其对偶问题的一般式为：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≥+++≥+++≥++++++=m j y c

y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a y b y b y b MinZ j n

m mn n n m mn m m m

m .......

21,0 (221)

1222221121

12211112211

⎩⎨⎧≥≥=0Y C Y A Yb Min T T ω 2.非对称形式下原问题与对偶问题：

方法一：将非对称形式转化为对称形式，求出对偶问题，然后再还原。

例2.2写出下列LP 问题的对偶问题：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥≤+--≥-++=--+-+++=无约束

43214321432143214

321,0,0,)3.........(..........

2099912)2..(....................85376)1.....(....................

53432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x MaxZ 为写出基对偶问题，先将其转化为对称形式，再进行变化：

因目标函数为Max ，故约束条件全部转化为“0≤”，所有变量均应为“0≥”。将（1）式变为：535343214321≤--+-≥--+-x x x x x x x x 和。再将

535

343214321-≤-+-≥--+-x x x x x x x x 转化为

将（2）式两端同乘以“-1”，并令：0,,;0,''4'4''4'44'33'3≥-=≥∴-=x x x x x x x x 其中得：855376''4'4'321-≤-++--x x x x x

所以，例2.2可以变为：

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-++--≤-++---≤-+--≤+-++--+-+=0,,,,209999128553765

33533)(432''4

'4'321''4'4'321'

'4'4'321'

'4'4'321''4'4'321''4'4'321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x MaxZ 令对应上述四个约束条件的对偶变量为3'

2''1'1,,,y y y y ，则其对偶问题为： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+++--≥++-≥---≥+-+-+--=0

,,,4

953349533393297112'6208553'2''1'13'2''1'1

3'

2''1'13'2''1'13'

2''1'

132''1'13

'2''1'1y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Min ω

令'

22''1'11,y y y y y -=-=，将第4与第5个不等式合并，将第三个不等式两端同

乘以“-1”得：

⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧≥≤=+--≤-+-≥-+≥++-++=0

,0,49533932

9711262085321

321321321321321y y y y y y y y y y y y y y y y y y Min 无约束ω 由以上的推导可以发现有以下规律：

方法二：根据原问题与对偶问题之间的关系，可将其归纳如下表：

§2.2 对偶问题的基本性质

一、单纯形法计算的矩阵描述