gmres算法范文

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GMRES（Generalized Minimal RESidual）算法是一种用于求解稀疏

线性方程组的迭代算法。它可以用于求解大规模稀疏矩阵的线性方程组问题，特别适用于非对称且非正定矩阵的情况。GMRES算法能够通过矩阵向

量乘法来逐步逼近线性方程组的解，从而在求解过程中保持向量的稀疏性，节约了计算和存储资源。

GMRES算法的核心思想是基于Krylov子空间的最小化残差，通过在Krylov子空间中找到一个最优的近似解向量来逼近线性方程组的解。Krylov子空间是由矩阵A和初始向量b生成的线性空间，通过不断迭代

计算可以得到Krylov子空间的一组正交基。

GMRES算法的具体步骤如下：

1. 初始化：给定一个初始解向量x0和初始残差r0=b-Ax0，将正交

化后的r0作为初始Krylov子空间的基向量v1

2. Arnoldi迭代：对于k=1到m，进行以下步骤：

a. 计算w=Avk；

b. 通过Gram-Schmidt过程对w与之前的基向量进行正交化，得到新

的正交基向量v_k+1；

c. 构造大小为(k+1)×k的Hessenberg矩阵H，其中H=Q_k^T*A*Q_k，Q_k是由正交基向量v1,v2,...,vk构成的正交矩阵；

d.使用QR分解求解H的最小二乘问题，得到近似解向量y。

3.更新解向量：更新解向量为x_k=x_0+Q_k*y。

4.检测终止条件：如果达到了预定的收敛条件或者迭代次数达到了最大限制，则结束迭代；否则返回步骤2

GMRES算法的核心在于利用Krylov子空间的正交基向量来构造Hessenberg矩阵，并通过最小二乘法求解近似解向量。通过在每一步迭代中更新解向量，可以逐步逼近线性方程组的解。当算法能够达到预定的收敛条件时，解向量可以近似地满足线性方程组。

GMRES算法的优点是可以求解大规模稀疏矩阵的线性方程组，并且能够保持向量的稀疏性。它还可以通过调整收敛条件来控制算法的精度和计算资源的消耗。但是，GMRES算法的缺点是迭代次数可能较多，计算量比较大，并且最终解向量的精度取决于已经满足的收敛条件。

总而言之，GMRES算法是一种高效求解稀疏线性方程组的迭代算法。通过使用Krylov子空间的正交基向量来近似线性方程组的解，它能够在保持向量稀疏性的同时有效地求解大规模稀疏矩阵的线性方程组问题。