普遍逼近定理
Rudin数学分析中的逼近理论的新创造
Rudin数学分析中的逼近理论的新创造数学分析是数学的基础学科之一，它研究实数和复数的性质以及函数的极限、连续性、微积分和级数等重要概念。
在数学分析的学科体系中，逼近理论即研究数学对象如何以近似的方式逼近目标对象的方法与技巧，是重要的研究方向之一。
而在逼近理论的研究中，Walter Rudin（鲁丁）以其独到的眼光和卓越的创造力，为数学分析领域带来了许多新的发展和突破。
一、逼近理论简介逼近理论是数学分析中的一个重要分支，它研究如何用某个已知数学对象去逼近另一个目标数学对象。
在数学分析中，我们常常需要对一个函数进行逼近，以求得它在某些条件下的性质。
逼近理论的研究范围广泛，包括多项式逼近、三角多项式逼近、Fourier级数逼近等。
二、 Walter Rudin的杰出贡献Walter Rudin是20世纪著名的数学家，他对逼近理论的研究做出了许多开创性的贡献。
首先，他在逼近理论中引入了一些新概念和方法，为后续的研究提供了重要的工具和思路。
例如，他提出了Rudin-Šidák逼近方法，该方法通过将逼近问题转化为线性优化问题，从而解决了一些复杂的逼近问题。
其次，Walter Rudin在逼近理论中的新创造还包括对多项式逼近的深入研究。
他在多项式逼近中提出了一系列重要的定理和结论，推动了该领域的发展。
其中，最突出的成果是著名的Jackson定理，该定理给出了一种测度函数性质下多项式逼近的最佳误差估计，为多项式逼近理论的深入发展奠定了基础。
另外，Walter Rudin在逼近理论的研究中还涉及到了实分析和复分析中的逼近问题，对这两个领域的发展产生了重要影响。
他提出了一系列的逼近定理和不等式，为实分析和复分析的研究提供了重要的参考。
他的贡献不仅体现在理论方面，还有在解决实际问题中的实用性。
三、近期研究进展近年来，逼近理论在数学分析中依然保持着活跃的研究态势。
在Walter Rudin的贡献基础上，许多数学家继续致力于逼近理论的发展和应用。
通用逼近定理
通用逼近定理通用逼近定理是数学领域中的一种定理，它的作用是解决函数逼近的问题。
在实际应用中，我们通常需要在一个已知的函数族中找到一些函数来逼近未知函数，通用逼近定理为我们提供了一种可行的途径。
通用逼近定理最早由美国数学家斯通－韦尔斯于1936年提出，其基本思想是：对于一个函数集合，如果具有某些特定的性质，那么它们能够在某个意义下最好地逼近一个连续函数。
通用逼近定理在函数逼近的应用中有很广泛的应用，例如，在信号处理、信号识别、模式识别和控制等领域中，它可以帮助我们更好地描述系统的动态特性。
通用逼近定理具有以下几个基本特点：1.其适用范围较广，可以应用于各种类型的函数集合中；2.定理的内容具有一定的普遍性，可以应用于任意的函数集合中，而不需要特定的条件；3.通用逼近定理的特点不随维度的增加而变化，因此可以应用于高维的对象逼近问题。
在实践中，通用逼近定理其实就是将一个函数通过一个由一系列函数组成的函数集合来逼近的过程，因此它实际上是一个函数逼近的基本理论。
通用逼近定理的研究内容主要可以分为以下几个方面：1.函数的连续性与收敛性研究，这是通用逼近定理的基础研究内容；2.逼近函数的构造问题，即如何从函数族中选择最好的逼近函数；3.逼近误差的估计问题，即如何确定逼近误差的大小和估计方法；4.逼近定理的推广问题，即如何将通用逼近定理推广到更广泛的函数集合中。
通用逼近定理在理论研究和应用研究中都有着广泛的应用。
在理论研究中，通用逼近定理可以用于解决各种不同类型的函数逼近问题。
在应用方面，通用逼近定理可以用于信号处理、图像处理和自然语言处理等领域，甚至可以用于解决金融市场预测等实际问题。
总之，通用逼近定理是数学领域中一个非常有用的定理，它可以帮助我们更好地解决函数逼近问题，同时具有广泛的应用前景，将为更多的实际问题的解决提供有力的支持。
三大思想之逼近
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借用上图说明一下（这里 g = ϕ ） 由微分思想可知，一个映射 ϕ 的作用在一点 x 0 邻域范围内可以近似看做是 一个局部线性映射 L (x ) = ϕ (x 0 ) + ϕ ′(x 0 )(x − x 0 ) . 稍微精确一些描述，取定小立方体C 的中心点 x 0 ，那么当C 充分小时，线 性变换 L (x ) = ϕ (x 0 ) + ϕ ′(x 0 )(x − x 0 ) 与变换 ϕ (x ) 相差高阶无穷小量。也就说处 理问题时， ϕ (x ) 局部上可由线性变换近似代替，微分的精华思想也在于此。 根据线性代数中的一个结论，对可逆线性变换 A ，有体积关系
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回想极限的定义、连续的定义、定积分的定义，都体现了数学中的逼近思 想。当然，极限和连续可以用拓扑的方法定义，但失去了直观性。学数学分析 还是尽量采用直观的方法为好，至少在水平达到一定程度之前如此。 逼近的常见技巧是放缩和夹逼，方法的框架很简单，但具体应用时需要与 具体问题相结合。本文重点介绍逼近的思想在数学分析中的体现，下面用两个 例子来说明。 第一个例子：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。 这是魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理， 学过数分的人都知道。 多数 教材对这个定理的证明采用伯恩斯坦多项式的构造方法。这里我们不去探讨证 明过程，重点说明一个有趣的数学证明思路，想法来自概率论。考虑独立重复 的伯努利实验，它有两个结果 A , B ，出现结果 A 的概率为 x ，出现结果 B 的概 率为 1− x . 则 n 次独立重复实验中，恰好出现 k 次的结果 A 的概率为
μ(A(C )) = | det A | μ(C )
这里用符号 μ 表示若尔当体积。 令线性变换 A = L ，则 det A = det ϕ ′(x 0 ) 或写成 det A = det Dϕ (x 0 ) . 由此得到体积近似关系： μ(ϕ (C )) ≈ | det ϕ ′(x 0 ) | μ(C ) x 2 )n , −1 ≤ x ≤ 1
_函数逼近问题的研究
函数逼近论题目学院专业班级学生姓名摘要函数逼近问题是函数论的一个主要组成部分, 它涉及的主要问题是函数的近似表示. 在数学的理论研究中经常遇到以下问题: 在选定的一些函数中寻找到某个函数g,使它是已知函数f在一定意义下的近似表示, 并求出用g近似表示f产生的误差. 这就是函数逼近问题.本课题采用理论和实例相结合的方法进行研究. 首先, 对Weierstrass魏尔斯特拉斯逼近定理及其推广进行介绍; 其次, 介绍了一致逼近定理与证明, 给出一直逼近定理在函数逼近中的应用；最后, 对Lagrange插值、Newton插值、Herimte插值等研究.关键词：函数逼近; 一致逼近; 插值AbstractFunction approximation function theory is a key component of the involved, it is the main problem of function approximation said. In the study of the theory of the mathematics always met in the following problem: some of the function of the selected for to a certain function, make it is known g ƒ function in certain significance of the approximate, and get the use "to approximate the ƒ produce error. This is the f unction approximation problem.This subject adopts the theory and practical method of combining the research. First of all, to Weierstrass Weierstrass las approximation theorem is introduced and its extension; Secondly, this paper introduces uniform approximation theorem are given, and proof has been approximation theorem in the application of the function approximation; Finally, the Lagrange interpolation, Newton interpolation, Herimte interpolation.Key words:The function approximation：Uniform approximation；Interpolation目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 (1)第1章Weierstrass逼近定理 (2)1.1 Weierstrass第一定理 (2)1.2 Weierstrass第二定理 (5)1.3 Weierstrass定理的推广 Stone定理 (7)第2章一致逼近的研究 (11)2.1Borel存在定理 (11)2.2 最佳逼近定理 (12)2.3 Kolmogorov最佳逼近定理 (15)第3章多项式插值方法的研究 (17)3.1 Lagrange差值公式 (17)3.2 Newton插值公式 (20)3.2.1 差商的概念与性质 (20)3.2.2 Newton插值公式的导出 (22)3.3Hermite插值公式 (24)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)绪 论Weierstrass 逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一, 定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近. 将该定理进行推广: 即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质, 但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质. 证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质[]1.随着对于数学研究的不断深入, 正交多项式在数学问题中得到了广泛的应用, 尤其在数值计算方面更显示出它的优越性. 研究一直逼近的性质及应用问题,阐述一直逼近的定义、性质及最佳逼近定理的定义与证明. 主要对最佳逼近定理的最佳逼近多项式的性质与特征进行分析研究[]2[]3.在给定f 并且选定了逼近函数类之后, 如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的. 例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法. 所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()x g , 使它在一些预先指定的点上和()x f 有相同的值, 或者更一般地要求()x g 和()x f 在这些指定点上某阶导数都有相同的值[]4. 利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史. 微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式[]5.本文共分三章, 在第一章中我们给出了并给出了Weierstrass 逼近定理的证明与Weierstrass 逼近定理的一个推广应用. 在第二章中, 我们主要介绍了最佳逼近定理的研究. 给出了最佳逼近定理的介绍与证明. 在第三章中我们主要介绍了Lagrange 差值公式, Newton 差值公式以及Hermite 差值公式, 在函数逼近中的应用.第1章 Weierstrass 逼近定理1.1 Weierstrass 第一定理在实变函数的数学分析中, 最重要的函数类实连续函数类[],C a b 与连续的周期函数类2C π.[],C a b 是定义在某一闭区间[],a b 上的一切连续函数所成的集合; 2C π是定义在整个实轴(,)-∞+∞上的以2π为周期的连续函数全体所成的整体.定理1.1 （Weierstrass 第一定理） 设[](),f x C a b ∈, 那么对于任意给定的0ε>, 都存在这样的多项式()p x , 使max ()()a x bp x f x ε≤≤-<关于这个著名的定理, 现在已经有很多种不同的证法, 下面我们将介绍Bernstein 的构造证法.Bernstein 证法：不妨假设函数的定义区间是[][],0,1a b ≡. 事实上, 通过下面的线性代换()t b a x a =-+就能将x 的区间01x ≤≤变换成t 的区间a t b ≤≤. 同时, 可以轻易得出多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连续函数类[],C a b 来证明Weierstrass 定理就行了.对于给定的[]()0,1f x C ∈, 作如下多项式(1,2,3,)n =()0()1nn k fknk n k B x f x x k n -=⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ （1-1）显然()f n B x 是一个n 次多项式. 下面我们证明极限关系式lim ()()f n n B x fx x →∞=换而言之, Weierstrass 定理中提及的()p x , 只要取()f n B x （其中x N ≥）就可以了.为证明上述命题, 只需要用到一个初等恒等式()()20()11nn k kk n nx k x x nx x k -=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑ （1-2） 这个恒等式是很容易证明. 事实上, 由于()()0111nnn kk k n x x x x k -=⎛⎫-≡+-≡⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑. 可知左端()()222021nn kk k n n x k nkx x x k -=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑()()22200121nnn k n kk k k k n n n x k x x nx x x k k --==⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()()()220011121nnn k n kk k k k n n n x k k x x nx x x k k --==⎛⎫⎛⎫=+--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()()22222211122n n kk k n n x n n xk x k nx nx k --=-⎛⎫=+--++ ⎪-⎝⎭∑()()222112n x n n x n x n x =+-+-=右端对于[]0,1中的每一个固定的x 及任一固定的正整数n , 令()()max n k x f x f n ε⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 上式右端代表当k 取所有合乎条件1/41k x n n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭, 的正整数式所得的最大差数. 根据()f x 在[]0,1上的一致连续性, 可知比存在一组0n ε>, 使()0n n x εε<↓ ()n →∞记()()()()()()12,,f n n k n k x k k f x B x f x f x f x f n n λλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑, 其中1∑,2∑分别代表对满足如下条件的一切k 所取的和3/43/4,k nx n k nx n -<-≥而()(),1n kk n k n x x x k λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()max M f x =, 则显然有()()()()123,,,2f n n n k n k n n k f x B x xM x M x ελλελ-<+<+∑∑∑,而且利用恒等式（1-2）可知()()()()23/23,,04nn k n k k n nx k nx x nx x λλ=≤-=≤∑∑.因此()1/22,114n k x n λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑()1/212f n n M f x B n ε⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭上述的不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无线增大而趋向0, 这就证明了多项式f n B 对于()f x 上的一致连续性.Weierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题. 因此任意取定一个单调下降于0的列n δ, 则对每个n δ都可以找到一个多项式()n p x 使得：()()n n p x f x δ-<. 于是令()()()()()111,,1n n n Q x p x Q x p x p x n -==->可知级数()1n n Q x ∞=∑的前n 项之和恰好与()n p x 相合, 因而该级数也就一致的收敛于()f x .在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()n p x 的存在性, 而且还给出了构成()n p x 的一个具体方法. 事实上, ()()1,2,3,f n B x n =便构成了连续函数()f x ()01x ≤≤的一个近似多项式序列. 这样的证法通常称之为构造性的证明方法. 他要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更具有价值[]6.1.2 Weierstrass 第二定理周期连续函数（我们设周期为#）的最简单逼近工具具有如下三角多项式()()1cos sin nk k k T x A a kx x kx ==++∑.如果其中的系数,k k a b 不全为0, 则称()T x 为n 阶三角多项式.相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理定理1.2（Weierstrass 第二定理） 设()2f x C π∈, 则对任意给定的0ε>, 都有三角多项式()T x 存在, 使得()()max x f x T x ππε-≤≤-< （1-3）这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接采用Vallee-Poussin 算子[]()()()22!!11;cos 221!!2x n x x V f x f t dt n ππ--=-⎰ 来证明, 其中()()()()()()2!!22242,21!!212331n n n n n n =-⋅-=--⋅作平移, 显然有220cos 2cos 2xx nn n xt xI dt dt --==⎰⎰在做变换#, 可算得上述积分为()()11/2012121xnn I v dt v dv v v -=-=-⎰⎰()()()112221!!2212!!n n n n π⎛⎫⎛⎫ΓΓ+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==Γ+ 从而()[]()()21;cos 2n n nt x f x V f x f x f t dt I ππ---=-⎡⎤⎣⎦⎰ 因为()f x 2C π∈, 所以()f x 一致连续, 即对任意给定的0ε>存在, 使得当x x δ'''-<时,()()/2.f x f x ε'''-<现在将()[];n f x V f x -分成两部分()[];n f x V f x -()()21cos 2nn t x t xf x f t dt I δ-<-=-⎰()()211cos 1222nn t x t x C f x f t dt I δεε-≥-=-<=⎰12C C =+ （1-4）下面估计12,C C()()211cos 1222nn t x t x C f x f t dt I δεε-≥-≤-<=⎰（1-5） 记()max ,cos12x M f x q ππδ-≤≤==<, 则()()211cos 2nn t x t xC f x f t dt I δ-≥-≤-⎰212c o s 22n n M I δπ≤⋅⋅⋅()()22!!221!!n n M q n =⋅-24nM n q <⋅⋅因此存在自然数N 使得当n N >时2/2C ε< （1-6）综合（1-4）（1-5）和（1-6）, 即可知Weierstrsaa 第二定理成立.1.3 Weierstrass 定理的推广-Stone 定理1948年, Stone 拓宽了Weierstrass 定理的推广, 使其和现代函数分析形成了紧密的联系, 因此成为了逼近论与分析数学中的重要定理之一, 在这一节中我们会将Stone 定理来进行重点介绍.下面的定理虽然在叙述形式上就是Weierstrass 定理, 但是其证明方法和证明过程完全不同, 因此我们将在证明之后说明其证明的特点, 然后给出一个一般定理. 因此可以得到多种逼近定理. 这个证明方法是属于Stone 的.定理1.3 任何一个在[],a b 上的连续函数都能再闭区间上被多项式一直逼近. 证明 设()f x 在∈c [],a b , 因此有M =max ()a x bf x <<, min ()a x bm f x <<=在这里我们设M m >, 否则()f x M m ==, 它就一定可以被一个多项式逼近. 在这里我们设1M =, 0m =, 考虑函数(())/()f x m M m --.有 0()1f x ≤≤, [],x a b ∈ (1-7) 取任意的0ε>, 取自然数n , 满足2()nε<, 令[]{},0()/k M x ab f x k n =∈≤≤, 0,1,2,1k n =-[]{},(1)/()1k Q x a b k n f x =∈+≤≤, 0,1,2,1k n =- (1-8)由于[](),f x a b ∈, 我们可以得到,M Q 都是闭集, 显然, 他们互不相交. 0,1,2,1k n =-,并且有,k k M nQ ϕ=1k k M M +⊂, 1k k Q Q +⊃ (1-9)有定理：闭集,Q M [],a b ⊂互不相交, 则有在[],a b 上的连续函数()g x , 他满足()g x =1,0,x Qx M∈⎧⎨∈⎩ 且0≤()g x 1≤, []0,1x ∈, 他在[],a b 上能被多项式一直逼近, 可以得到对于0,1,2,1k n =-在区间[],a b 上都存在连续函数()f x 他满足1,()0,1,,10,kk kx Q f x k n x M ∈⎧==-⎨∈⎩ (1-10)01k f x ≤≤≤, a x b ≤≤ (1-11)在[],a b 上能被多项式一直逼近.令11()()n k x F x f x n -==∑ (1-12)对于人一点x ∈[],a b , 由(4-1)可知, 存在k , 01k n ≤≤-, 可以得到/()(1)/k n f x k n ≤≤+ (1-13)因此由(1-12)(1-13)得到121,,,k k n x M M M ++-∈ (1-14)比较(1-10)(1-11)(1-12)可以得到011()()k k x k F x f x n n∞+=≤∑ (1-15) 比较(1-9)(1-10)(1-11)可以得到01()()k k x kF x f x n n∞=≤∑ (1-16)由(1-11)(1-12)(1-13)得, 对于任意的x ∈[],a b 有1()()2x f x F x n ε-≤< (1-17) 由()k f x , 0,1,2,1k n =-及()F x 的构造可以知道, ()F x 在[],a b 上可以被多项式一致逼近, 即有多项式()p x 使()()2n F x p x ε-<(1-18)比较(1-17)(1-18)就可以得到()()f x p x ε-<定理证毕.如果我们仔细检查这个定理的证明过程, 我们会发现, 在证明过程中只用到了下面的几个事实1. 实现逼近的区间[],a b 可以控成任何一个距离的空间. 我们称一个集合x 为距离空间. 如果对于任意两个元素,x y x ∈, 都对应一个在非负实数(,)D x y , 称为这两个元素,x y 之间的距离, 他满足以下条件[]7(1) (,)D x y 0=, 当且仅当x y =时； (2) (,)D x y =(,)D y x(3) (,)D x z ≤(,)D x y +(,)D y z , ,,x y z x ∈ 这个距离空间中至少包含有两个元素的子集E , 且对此集合成立有限覆盖定理.2.实现逼近的多项式可以换成定义在E 上的某个实函数空间Y 他具有以下性质(1)Y 包含常数1.(2)Y 关于加法及乘法是封闭的, 因此Y 是一个子环.(3)对于E 中任意两个不同的元素1x 与2x , 在子环Y 中必存在函数()p x , 使12()()p x p x ≠这样一来就有了下面的定理.定理1.4 设E 是某个质量空间的任意子集, 它至少包有两个不同的元素, 并且在E 上成立有覆盖定理. 设定义在E 上的实函数{}()p x 组成一个线性空间, 且构成一个环Y , 这0ε>. Y 上存在元素()p x , 使得有()(),f x p x x E ε-<∈利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理[]8.定理1.5 设F 是K 维空间R 中的有界闭集. 则对于任何一个在F 上的实连续函数1,2()(,,)x x x x →=⎰⎰, 对于任意的0ε>. 将在k 维空间中代数多项式11111110()()()ni n n n k k nk i i p x p n x x ix x →-====∑∑ (1-19)使得()()f x p x ε→→--<, x F →∈证明 显然, 对R 中任意一个有界闭集F 成立Borel 有限覆盖定理. 此外, 如(4.13)()10,1,,0,1,n n ==的全体多项式构成线性空间及环, 又对于任何两个不同点()111,y hx x x→=, ()2221,y h x xx →=, 令()12111(,)x p x x xx ∞=∑它是形如(4-13)的多项式, 且有()2211(,,)0,,y p x x p x x ''=≠因此, 这就满足了Stone 定理的一切条件.定理1.5证毕.第2章 一致逼近的研究2.1 Borel 存在定理定理2.1（Borel 存在定理） 对任何给定的()f x ∈[],a b , 总是存在()p x ∈n p , 使得,()()n p E f ∆=.证明 因为()n E p ∆的下确界, 因此对任何给定的0ε>, 必有()n p x p ε∈, 使得()n n E p E εεε≤∆+.在这里我们取1mε=, 存在()m n p x p ∈, 使 1()n m n E p E m≤∆≤+(2-1) 所以, 如果能证明{}m p 或他的某个子序列一致收敛于某*n p p ∈, 则上式中令m →∞, 即可证明*()()n p E f ∆=.以下集中于从{}()m p x 中选取收敛的子序列. 首先, 按()m p x 的选取方法可知()m p x 有界. 即可得出()()()()()1max ()m m n a x bp x p x f x f x E f x ≤≤≤-+≤++进而可得出0,1,,,()n m m m x m n m p x a a x a x a x =++++中的各系数0,1,,,,,,,m m x m n m a a a a 皆有界, 为此, 在[],a b 中任意取定1n +个互异点01n x x x <<<. 由0,1,02,0,000,1,2,,()#()m m m n m m m m n m n n m n m n a a x a x a x p x a a x a x a x p x ++++=⎧⎨++++=⎩可推出000,01()1()1()1()1n m n nm n i m m j j i n j t s i si nnnp x x p x x a p x Q x x x x x x =>==-∑∏其中j Q 为多项式在确定点上的值, 从而得,i m a 有界.由Weierstrass 定理, 可逐一选出1n +同时收敛得子序列{},,0,,j i m a i n =. 使得,lim ,0,,j i m i j a a i n →∞==做多项式01()n n p x a a x a x =+++ (2-2)显然当j →∞时, 多项式()mj p x 在[],a b 上一致收敛到()p x .证明 ()p ∆=n E =inf np p ∈()p ∆, 由于()n p x p ∈按定义()p ∆>n E 下面只需证明()p ∆n E ≤. 由()mj p x 得取法可知1()m a x()()m nmj mj n p p p f x p x E mj∈∆=-<+ 但()max ()()max ()()max ()()mj mj mj a x ba x ba x bp f x p x f x p x p x p x ≤≤≤≤≤≤∆=-≤-+-1n E j mjε<++ 令j →∞得到, ()p ∆≤n E , 从而()p ∆=n E .证毕.2.2 最佳逼近定理由Borel 存在定理, 对任意给定的()f x ∈[],a b , 均有多项式()p x n p ∈, 使得()mj p ∆=max ()()inf max ()()n n q p a x ba x bp x f x E q x f x ∈≤≤≤≤-==-, 这样的多项式()p x 成为n p 中的最佳逼近多项式. 显然, n E 0=等价于()f x ∈n p , 即出()f x ∈n p 外, n E 均取正值.下面我们来讨论最佳逼近多项式的本质特征：()()()x p x f x ε=-. 由于()x ε∈[],a b , 所以存在[]0,x a b ∈, 使得0()max ()()a x bx x p εε≤≤==∆, 我们称这样的0x 为()p x 关于()f x 的偏离点. 如果0()()x p ε=∆或()p -∆, 则称0x 为()p x 关于()f x 的正或负偏离点10.如果()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式, 则()p x 关于()f x 的正, 负偏离点必须同时存在, 但如果()p x 是()f x 的最佳逼近多项式. 则它关于()f x 的正, 负偏离点必然都存在. 事实上, 我们不妨假设最佳逼近多项式()p x 无负偏离点存在, 则可证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 按以上的反证法假定, 必然存在一个足够小的整数h , 使得()(),n n E h p x f x E a x b -+≤-≤≤≤于是在[],a b 上有/2(()/2)()/2n n E h p x h f x E h -+≤--≤-(/2)()p h p ∆-<∆ 矛盾.定理2.2(Poussin 定理——最佳逼近误差下界的估计） 设n p p ∈且()()()x p x f x ε=-于[],a b 中的点列：12N x x x <<<. 取异于0的正负相间值11,,,(1)N N λλλ---,Q 且2N n ≥+, 则对任意()n q x p ∈, 均有1()min(,,)N q λλ∆≥. (2-3)证明 设有某()n q x p ∈, 使1()min(,,)N q λλ∆< (2-4)考虑到：[][]()()()()()()()x p x q x p x f x q x f x η=-=---. 因此有：()1,()max ()()min N a x bq q x f x λλ≤≤∆=-<所以：s i ()s i (()(j j j g n x g n p x f xη=- 即()x η于点列1,2,,N x x x 上交错变号, 由连续函数的介值定理, ()x η于[],a b 内至少有11N n -≥=个零点, 但()n x p η∈所以()x η0=, 即()()p x q x =, 与(2-3)的反证法 矛盾, 定理即得证[]11.定理 2.3（Tchebyshev 定理） ()f x 于n p 中的最佳逼近多项式是存在的, 且()p x 是()f x 于n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须()p x -()f x 在[],a b 上点数不少于2n +的列12N x x x <<<, 2N n ≥+以上正负交错的符号取得()p ∆的值.证明 充分性：假定()p x -()f x 于[],a b 中点列12N x x x <<<, 2N n ≥+上以正负交错的符号取到()p ∆, 由Poussin 定理, 对任意()n q x p ∈, 均有()q ∆≥()p ∆所以()p x 是()f x 于n p 中的最佳逼近多项式.必要性：假定()p x 是正负交错的偏离点数1N n '≤+, 接下来证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 显然：()q x -()f x =()p x -()f x +[]()()q x p x -, 将[],a b 分成N '个子区间[]1,a ξ,, []1,n b ξ-. 使在该区间上的轮流满足下面两个不等式中的一个.()p x -∆≤()p x -()f x ()p a <∆-, ()p x a -∆+<()p x -()f x ()p ≤∆其中a 是某一充分小的整数, 引入n p 中的多项式121()()()()N x x x x ϕξξξ'-=---并作()q x =()p x -()f x ()x ωϕ+, 则()q x -()p x =()p x -()f x ()x ωϕ+取足够小的ω, 并选出正负号, 即可使下列不等式成立.()()n q p E ∆=∆=他们相互的正负交错偏离点组中点数2,2p q N n N n ≥+≥+. 我们设q p N N ≥, 并设()q x 的正负交错偏离点组为12q N βββ<<< (2-5)在这里我们考虑：()x η=()q x -()p x =[][]()()()()q x f x p x f x ---, 并考虑()x η于点(2-4)上的符号, 注意()j B η可能为零, 也可能不为零, 但若()0j B η≠, 则必有()(),()j j j sign B sign q B f B η⎡⎤=⎣⎦ (2-6)若1()0j B η-≠1()0,()0i k ik ηβηβ+++===≠ (2-7) 因为：[]111()(),()i i i sign B sign q B f B η---=, 且[]111()(),()i k i k i k sign B sign q B f B η++++++=, 而()q x -()f x 于12q N βββ<<<上正负交错变号, 即[]1111(1)()(),()i i i i sign B q B f B -----与[]1111(1)()(),()i k i k i k i k sign B q B f B ++++++++-同号, 即11(1)()i i B η---与11(1)()i k i k B η++++-同号. 从而有：1()i B η-与1(1)()k i k B η++-, (2-8)若K 为偶数, 则1()i B η-与1()i k B η++同号, 所以期间必有偶数的跟, 但是（2-6）中已有1k +（偶数）个根, 所以必定还有一个根, 及至少有2k +个根.总之, ()x η于[],a b 中根的个数11q N n ≥-≥+, 从而()0x η=, 与假设矛盾 定理证毕.2.3 Kolmogorov 最佳逼近定理1948年, Kolmogorov 给出了另一种形式的最佳逼近定理下面我们叙述与证明仅在实多项式中该定理的应用.定理2.4（Kolmogorov 定理） ()p x n p ∈是()f x [],c a b ∈在n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须对所有的()q x n p ∈均有[]{}0m a x ()()()0x A f x p x q x ∈-≥ (2-9) []{}0,()()A def x a b f x p x =∈-由(2-8)可得出关系式：[]()()()0f x p x q x -<, 不能对一切0x A ∈都成立. 即()()f x p x -与()q x 不能对一切0x A ∈都相反的符号.证明 假设()p x 是()f x 在n p 中的最佳逼近多项式, 如(2-8)不成立, 则有多项式()q x n p ∈存在, 使得对其某一0ε>, 有[]{}0max ()()()2x A f x p x q x ε∈-=-根据()f x 的连续性, 存在[],a b 的一个开子集G , 0A G ∈, 使对一切的x G ∈均有[]()()()f x p x q x -ε<-对于充分小的0λ>, 构造一个新的多项式1()()()p x p x q x λ=-. 若x G ∈, 则[]221()()()()()f x p x f x p x q x λ-=-+=2()()f x p x -[][]222()()()f x p x q x λλ+-+[]222()2p M λελ<∆-+ 其中max ()a x bM q x ≤≤=, 若取2M λε<, 则21()()f x p x -[]2(),p x G λε<∆-∈ (2-10)我们考虑到G 的余集是闭集[],H a b ⊂, 且()()f x p x -(),p x H <∆∈因此存在0∂>, 使得1()()()()()f x p x f x p x q x λ-≤-+1()2p ≤∆-∂+∂1()2p =∆-∂, x H ∈. (2-10)由(2-9)(2-10)可知, 对充分小的整数λ, 1()p x 比()p x 更好的逼近()f x , 从而(2-8)是必须的.继续证明(2-8)也是充分的, 假设(2-8)对任何()n q x p ∈, 皆成立. 于是对任意制定的1()n p x p ∈, 构造1()()()n q x p x p x p =-∈必存在点00x A ∈, 使得[]000()()()0f x p x q x -≥注意到点O A 的定义可知[][]222010000000()()()()2()()()()f x p x f x p x f x p x q x q x -=-+-+[]200()()f x p x ≥- []2()p =∆ 从而1()p ∆≥()p ∆, 证毕.第3章 多项式插值方法的研究插值法是函数逼近的重要方法之一, 有着广泛的应用, 在生产和实验中, 函()f x 或者其表达式不便于计算或者无表达式而只有函数在给点的函数值（或其导数值）, 此时我们希望建立一个简单的便于计算的()x ϕ, 使其近似的代替()f x , 有很多种的差值法, 其中以Lagrange （拉格朗日）插值和Newton （牛顿）插值为代表的多项式插值最有特点. 常用的还有Hermit 差值, 分段差值, 和样条差值. 在本章中我们主要介绍Lagrange 差值, Newton 差值, 与Hermit 差值[]12.3.1 Lagrange 差值公式设y =()f x 是实变量x 的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,nx x x 处得值01,,,n y y y 即(),0,,i i y f x i n ==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得(),0,,i i p x y i n == (3-1) 设()p x 是一个m 次多项式()p x =2012m m a a x a x a x ++++, 0m a ≠则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,m a a a , 使得(3-1)式满足, 所以该问题等价于求解下述的线性方程组20102000211121112012mm m m m mm m m na a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ (3-2)上述的线性方程组的系数矩阵为200021112111m m m nnm x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦他是一个()()11n m +⨯+的矩阵.当m A >时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A 的前1n +列所组成的行列式为()2000211101211,,,1m mn n m nnmx x x x x x w x x x defx x x -=我们有：()01,,,n n w x x x -()j i j ix x >--∏ (3-3)为了证明(3-3), 我们考虑n 此多项式()01,,,n w x x x -=2002111211121111n nnn n n nx x x x x x x x x xx x ---显然01,,n x x -村委它的零点, 且它的n x 系数恰为()01,,,n w x x x -.()01,,,n w x x x -()()()0101,,n n w x x x x x x --=-- 可以得出下面的递进关系式()01,,,n n w x x x -()()()0101,,n n n n w x x x x x x --=--运用他便可证明(3-3)式.根据(3-3)并注意到诸01,,,n x x x 互异, 从而线性方程组(3-2)的系数矩阵的秩数1n +它表明(3-2)的解是不唯一的, 即差值问题(3-1)的解是不唯一的.当m n <时, 矩阵A 的行数大于列数, 按照(3-3)式, 线性方程组(3-2)的每1m +个程组成的方程组均有唯一一组解. 01,,,m a a a , 但是一般来说, 这样求出的各组01,,,m a a a 不一定相同, 即此时(1-2)可能是矛盾方程组.鉴于上述情况, 看来取m n =是最为适合的, 现在我们从提多项式插值问题：给定1n +个互异点, 01,,,n x x x 对任意组数01,,,n y y y , 是否尊在唯一的()()f x p x ∈, 使之满足下面差值条件.(),0,,i i p x y i n == (3-4)上述问题的答案是肯定的, 现在采用构造性方法把所要求的多项式()p x 求出来, 试想：如果可求出具有下面性质的特殊的差值多项式：(),(0,,)i n l x p i n ∈=0,,0,,()1,i j i i n l x j i ≠=⎧=⎨=⎩ (3-5)则多项式0()()ni i i p x y l x ==∑ (3-6)必满足(3-4)的多项式, 但(3-5)中上面的等式, 之处01,,,n x x x 中出i x 外, 均为()i l x 的零点, 因此()i l x 011()()()()i i n c x x x x x x x x -+=----, 其中c 为常数, 但(3-5)中的等式指出()()()()0111i i i i i i n c x x x x x x x x -+=----所以：()()()()()()()()011011()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+---------记做0()()()n w x x x x x =--, 则()i l x 还可表示更加简单的形式：()i l x ()()()i w x x x w x ='-.总之n 次多项式:()()()()nii i w x p x y x x w x =='-∑ (3-7)满足差值条件(3-4).若()n q x p ∈也满足差值条件(3-4), 则()()()n x q x p x p η=-∆必以01,,,n x x x 为零点.即()0,0,,i x i n η==, 这样一来, n 次多项式()x η依然有1n +个不同的零点, 所以()()q x p x =, 所以有(3-7)表示的n 次多项式是n p 中满足差值条件的唯一多项式, 他被称作为Lagrange 差值多项式, 并记做0()()()()nn ii i w x L x y x x w x =='-∑ (3-8)按上面的推理可得Lagrange 差值多项式()n L x 也可看做是从下面的行列式方程中解出来的220000211112()11011n n nnnnnn nL x x xxy x x x y x x x y x x x = (3-9)由(3-1)所示的条件成为差值条件, 点组01,,,n x x x , 称为差值结点, 上面所得到的结果可以从集合上解释为, 有且仅有一条n 次代数曲线, 通过平面上事先给定的1n +个点(,),0,,i i x y i n =, 其中,()i j x x i j ≠=.Lagrange 差值公式(3-8)具有结构清晰, 紧凑的特点, 因此适合于工作理论分析和应用.3.2 Newton 插值公式3.2.1 差商的概念与性质Newton 插值公式的导数是非常不好记的, 因此有必要另寻方法来确定它们, 为此我们引进差商的概念, 并指出Newton 插值公式中的各导数01(,,,)n f x x x , 1,,i n =,即是()f x 的i 阶差商, 设已知不同的自变量01,,,n x x x 上的函数值()i f x , 1,,i n =, 我们称()()(,)i j i j i jf x f x f x x x x -=-, ()i j ≠为()f x 的一阶差商（或均差）, 一阶差商的一阶差商[]13()()(,,)i j j k i j k i kf x x f x x f x x x x x ---=-, ()i k ≠叫做()f x 的二阶差商, 一般来说我们称(1)n -阶差商的一阶差商10120110(,,)(,,)(,,)n n n n n n n f x x x f x x x f x x x x x -----=-为函数()f x 的n 阶差商.差商有以下几个性质1.若()(),F x cf x c =为常数, 则：1010(,,,)(,,,)n n n n F x x x cf x x x --=.2.若()()()F x f x g x =+, 则：101010(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n F x x x f x x x g x x x ---=+.3.若(),m f x x m =为自然数, 则：100,(,,,)1,n n in m f x x x n m x m n n m ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩诸的次得齐次函数,4.差商10(,,,)n n f x x x -是01,,,n x x x 的堆成函数, 即当任意调换, 01,,,n x x x 的位置,差商的值均不变.5.差商可以表示成两行列式之商注：规定, 当0n =, 时0()1n i j l l i x x =≠⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭∑1010111111101010101111111(,,,)()()()nnn n n n n n n nn n nn n nx x x x x x f x x x x x x x x x f x f x f x x x x ------=∙性质1和性质2由定义可以直接退出, 接下来我们证明性质3m x 的一阶差商可根据定义直接计算出来1210101210(,)m mm m m x x f x x x x x x x ---∂∂-==+++- 上面的式子是10,x x 的1m -次齐次函数.相继作出各阶差商并依照完全归纳法, 可证的下列公式011001(,,,)nn n nf x x x x x x γγγ-=∑ 10n n m n γγγ-+++=-上面的式子求和运算所有可能出现的形式如：11n n nn n nx x x γγγ--的10,,,n n x x x -的m n -次齐次项, 这样性质3的证.接下来证明性质4, 作出想继续的各阶差商之后, 我们不难看出他们是由形如0,()/()ni ijl l if x x x =≠-∏的(1)n +个项的和表示出来的. 由完全归纳法可求出：01(,,,)n f x x x 可由(2-1)式中的右端表出, 使用前面的记号, 01()()()()n w x x x x x x x =---, 也可将它写成010()(,,,)()ni n i i f x f x x x w x =='∑如此便证明了性质4.最后用完全归纳法同样可以证明性质5.由性质4得知Newton 插值公式(2-2)中的系数001(),(,)f x f x x 01(,,,)n f x x x 恰标出.因此当已知(),(0,1,,)i i y f x i n ==, 时利用差商表可以很容易算出()f x 的各阶差商值,而不必去刻意的记忆公式(2-1).因为在(1)n +个不同点01,,,n x x x 上取给定值的次数不超过n 的多项式使唯一的,所以次数相同的Newton 差值多项式与Lagrange 差值多项式使恒等的, 他们的差异仅仅是书写形式不同. 但是这差异却为计算实践带来了很大的方便. 实际上, 对于Newton 差值公式来说, 当需要增加一个差值结点时, 只需在原插值多项式的后面在添加一个新项就可以了.3.2.2 Newton 插值公式的导出Lagrange 插值公式的却是在于, 当差值结点的个数有所变动时, Lagrange 因子()(0,1,,)i l x i n =就要随之发生变化, 从而整个公式的结构也要发生变化, 这在计算实践中是不方便的, 为了克服这个缺点, 在这一节中我们引进了Newton 形势的差值公式.虽然1n +个结点01,,,n x x x 上的n 次Lagrange 差值多项式也可以写成下列形式010011()()()()()n n n p x a a x x a x x x x x x -=+-++--- (3-10)下面我们确定上式的01,,,n a a a . 令1()n p x -表示n 个结点011,,,n x x x -上的(1)n -次Lagrange 差值多项式. 因为：1()(),(0,,1)n i n i i p x p x y i n -===-, 所以：1011()()()()()n n n p x p x c x x x x x x ---=---,c 为常数. 由条件()n n p x y =可以得出1011()()()()n n n n n n n y p x c x x x x x x ---=---又因为：110()()n n n i i n i p x y l x --==∑, 所以有011011()()()()()()()nin n n n i i i i i i n y y c x x x x x x x x x x x x x x --+=+-------∑100,()n ni i j i l l i y x x -==≠⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑∏引进记号10100,(,,,)()n nn i i l i l l i f x x x c y x x -==≠⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∑∏得()n p x 与1()n p x -之间的关系101011()()(,,)()()()n n n n p x p x f x x x x x x x x x --=+---同理得:12011012()()(,,)()()()n n n n p x p x f x x x x x x x x x ----=+---一直写下去, 最后得到001001011()()(,)()(,,)()()()n n n p x f x f x x x x f x x x x x x x x x -=+-++--- (3-11)公式(3-11)就是Newton 型差值公式, 系数00101(),(,)(,,,)n f x f x x f x x x 由(3-11)式来确定.3.3 Hermite 插值公式为了理论和应用上的需求, 我们在这里介绍一类具有重结点的多项式差值方法, 即Hermite 差值方法, 因为此类差值问题要求点处满足相应的导数条件, 所以也被称为切触差值.设 12s x x x <<< (3-12)()1(0,,,1,,)h k k y h a k s -==为事先指定的实数, 其中1,,s a a 为正整数121,1(1,,)s k a a a n a k s +++=+≥= (3-13)现构造一个n 次多项式()n p x p ∈, 使之满足差值条件()()1()(0,,;1,,)h h k k k p x y h a k s -=== (3-14) 为解决(3-14), 最直接的办法就是采用代定系数法, 或者求解由(3-3)所确定的线性方程组.此处我们采用构造基本多项式的办法来解决Hermite 差值问题(3-3), 构造一批n 次多项式()1,,,0,,1ik i j i L x l s k a ==-使之满足()()0,(;0.1)h ik m m L x m i h a =≠=- (3-15)和()0,()(0,1)1,h ik i k h k L x h a h k≠⎧==-⎨=⎩ (3-16)显然, 只要上述问题解决, 则n 次多项式()10()()sa s h i ih i h p x y L x ===∑∑(3-17)就必满足差值条件(3-14).以下集中来构成()k L x , 由(3-15)和(3-16)可知111111()()()()()()()i i a a a k as ik i i i s ik L x x x x x x x x x x x l x -+-+=--⋅-⋅--其中1i ik a k l p --∈是满足1i k a --次多项式. 若令11()()()s a a s w x x x x x =--则上式了缩写成()()()()ik ik i i kw x L x l x x x a -=- (3-18)为确定()ik L x 还需要利用条件(3.5)和Taylor 展开式可得()ik L x ()1()!()i a k i i i x x a x x k w x δ--'=⋅+-+ (3-19)其中δ和2δ为确定的常数, ()ik L x ∈1i k a p --所以必定是函数()1!()i i x x a k w x -⋅于i x x =处Taylor 展开的前i k a -项和, 若把这i k a -项和记为()ik L x 1()()1!()i k i a i i x x x a k w x --⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭ 则(3-18)式, 有()ik L x =1()()()()()()!()i k i a i i i i i x x x k x x a w x x x a k w x --⎧⎫--=⎨⎬-⎩⎭从而有11()22110()()()()()()!()i k i i a a si i k i x x x n x x k w x p x y x x k w x ---==⎡⎤⎧⎫--=⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∑∑ (3-20) 若于(3-14)中取()()1(),(0,,),(1,,)h h k k c y fx h a k s -===, 则相应的Hermite差值多项式为11()()210()()()()()()()!()i k i ii a a sk i i ia i k i x x x a x x k w x p x f x x x k w x ---==⎡⎤⎧⎫--=⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∑∑ (3-21) 例 3.1 设121a a q ξ====, 则差值问题(3-3)就是通常多项式差值问题, 此时, 按定义有1()()1()()i i ix x x w x w x ⎧⎫-=⎨⎬'⎩⎭其中()()()i s w x x x x x =--相应的Hermite 差值多项式恰为一般Lagrange 差值多项式.1()()()()()si i i i w x p x f x x x w x =='-∑ 例 3.2 设仅有一个a 重的结点x a =, 则()()n w x x a =-, 而相应的Hermite 差值多项式恰为()f x 于x a =点, x a =点附近Taylor 展开式的部分和.1()()()()!k n k k k a p x fa k -=-∑ 例 3.3 设122s a a q ====, 则相应的Hermite 差值问题为求21n s =-次多项式.()p x 使之满足()()i i p x f x = (1,,)i s = ()()i i p x f x ''= (3-22)这个H e r m i t e 差值问题的集合意义在于使得曲线()y p x =不仅通过给定的点(,())(1,,i i x f x s , 而且在,(1,,)i x x x s ==处与曲线()y f x =有相同的切线.为推导相应的Hermite 插值公式, 记1()()()s x x x x x δ=--则[]2()()w x x δ=, 222()()()i x x x x w x x δ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦又因为[][]222()1()()()()i i i i i x x x x x x x x δδδδ''⎡⎤-=--+⎢⎥''⎣⎦[]2()()11()()()2()i i i i x x x x x w x x x δδδ''-=--+'故由(3-21)式, 有21()()()()()(1()()()()()()si i i i i i m i i x x p x f x x x f x x x x x x x δδδδ=⎡⎤'''=⨯--+-⎢⎥''-⎣⎦∑特别的，当2s =, 且12a a =时, 相应插值公式为下面的3次多项式2121212()()(12)()i x x x x p x f x x x x x --=--- 2221112122121()()()()(12)()x x x x x x f x x x f x x x x x x x ---'=-+---- 12221()()()x x f x x x x x -'+-- (3-23) 这是一个非常重要的Hermite 差值多项式, 他所刻画的曲线()y p x =是这样一条曲线其在区间[]12,x x 两个端点处, 不仅通过曲线()y p x =上的点11(,())x f x 与22(,())x f x , 而且与()y p x =有相同的切线.结论本文主要论述了Weierstrass逼近定理,一致逼近定理,以及几种常用的插值的性质、特征和证明. 并总结出其在函数逼近中的应用.Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要结论之一, Weierstrass逼近定理是关于实变函数逼近定理, 第一章介绍了Weierstrass逼近定理的研究介绍以及推广Stone定理. Weierstrass逼近定理本身包含两个结论：Weierstrass第一逼近定理和Weierstrass第二逼近定理. 他们是互相独立的, 但又有关系的. 这两个定理都是1885年由Weierstrass 所得到的. Weierstrass-Stone是Weierstrass定理在抽象空间的推广[]15.函数逼近论不外乎研究下面三个问题：第一, 给定一个函数)(xf, 能否用更为简单的函数列近似逼近？第二, 如果能近似逼近？精确度又如何？第三. 逼近的结果是否最佳？在第一章中我们队第一、二两个问题给出了回答, 在第二章中我们研究了第三个问题—最佳逼近理论, 给出了最佳逼近的研究与证明, 以及最佳逼近多项式的性质与应用.插值法是函数逼近的重要方法之一, 在函数逼近中有着广泛的应用, 在一般插值问题中, 若选取φ为n次多项式类, 由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件. 从几何上看可以理解为：已知平面上1n个不同点, 要寻找一条n次多项式+曲线通过这些点. 插值多项式一般有两种常见的表达形式, 一个是拉格朗日插值多项式, 另一个是牛顿插值多项式. 在第三章中, 我们主要研究了Lagrange插值多项式, 牛顿插值多项式, 以及Hermite插值[]16.由于所学知识有限, 本文只在粗浅的层面上描述了做出了简单的研究, 矩函数逼近的根源还有待于深入研究, 我会在今后的学习工作中继续关注函数逼近的研究和发展.参考文献[1] 陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962[2] 阎庆旭, 陈北斗, 刘慧芳.Weierstrass逼近定理的应用[J].数学实践与认识, 2004.[3] 周民强.实变函数[M].北京：北京大学出版社, 2001.[4] 聂铁军.计算方法[M].国防工业出版社,1982.[5] 张可村,赵英良.数值计算的算法与分析[M].北京:科学出版社2003.[6] 黄志远.随机分析学基础[M], 北京：科学出版社, 2001[7] 龙熙华.数值分析[M].西安：陕西科学技术出版社, 2005[8] 王仁宏.数值逼近[M].北京:高等教育出版社, 1999.[9]陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962[10] 文世鹏, 张明.应用数值分析[M].北京:石油工业出版社, 2005.[11] W.Da.hmen, C.A.Micchelli. Recent, eprogress in multivariate splies, interpolat-ingcardinal splines as their degree rends to infinity, IsraelJ.Whrd(des.), AedaeePress, 1983, 27-29.[12] O.Davydov. On almost interpolation, J.Approx, Theory 91 1997,398-412.[13] O.VSeleznjev. Spline approximation of random processes and design problems, J. Statist.Plann Inference 84(2000), 249-252.[14] H.B.Curry, I.J.schoenberg. OnP6lya frequency functins, VI:The fundamental splinefunctions and their limits, J.analysis Math.171966, 71-75.[15] P.Sablonniere. A Family of Bernstein quasi-interpolants on[]1,0, Apprxo.Theory & itsAppl.(8)3(1992), 62-63[16] R.H.Wang. Multivariate spline and algebraic geometry, put.Appl.Math., 121(2000),153-155.。
Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用
本科毕业论文题目： Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用学院：班级：姓名：指导教师：职称：完成日期：年月日Weierstrass逼近定理的证明及其推广应用摘要：Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,该定理阐述了在预先给定的精度下,可以用多项式逼近任意给定的闭区间上的连续函数.本文第一部分用Bernstein多项式证明了Weierstrass逼近定理,从而很直观地说明了[]bC,中的函a数()xf可被函数多项式一致逼近.之后又引入切比雪夫多项式的一个多项式核来给出另外一种不同的证明方法.第二部分简单介绍了Weierstrass逼近定理在不同情形下的一些推广.最后一部分则是Weierstrass逼近定理的一些应用.关键词：Weierstrass逼近定理； Bernstein定理；切比雪夫多项式；测度收敛目录1 Weierstrass逼近定理及其证明 (3)1.1 Weierstrass逼近定理的第一种证明 (3)1.1.1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)1.1.2 闭区间[]ba,上的weierstrass逼近定理 (5)1.2 Weierstrass逼近定理的第二种证明 (6)2 Weierstrass逼近定理的推广 (8)2.1 Weierstrass第二定理 (8)2.2 Weierstrass-Stone定理 (9)2.3 复函数情形下的Weierstrass逼近定理 (9)2.4 非连续函数的情形 (10)3 Weierstrass逼近定理的应用 (11)3.1 复合函数的测度收敛定理 (11)3.2 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)在一致逼近的理论中,遇到的第一个问题是:在预先给定的精度下,能否用多项式逼近任意给定的连续函数?1985年,weierstrass 对这个问题给出了肯定回答: Weierstrass 逼近定理设()[]1,0C x f ∈ ,则存在多项式n n P x p ∈)(,使0)()(max lim 10=-≤≤∞→x p x f n x n .1 Weierstrass 逼近定理的证明1.1 Weierstrass 逼近定理的第一种证明1.1.1 Weierstrass 逼近定理的Bernstein 证明对于这个著名的定理,至今有多种不同的证明方法.下面将给出Bernstein 的证明,其精度虽不是最好的,但非常精彩.定义1 设()[]1,0C x f ∈,()x f 的第()1≥n n )个Bernstein 多项式由下式给出:kn k nk n n x x k n n k f x f B f B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑)1();()(0.显见n n P f B ∈)(.引理1 下列恒等式成立:(1)()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , (2)()()010=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑kn k nk x x k n nx k, (3)()()()x nx x x k n nx k k n k nk -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112. 引理2 对任意给定的δ＞0 及10≤≤x ,有()2411δδn x x k n k n k x n k≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑,其中求和号表示对固定的x 满足不等式δ≥-x nk 的k 求和.该引理的意义在于当n 很大时,在和式()kn nk kx x k n -=∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01中,起主要作用的只是满足条件δ<-x nk 的那些k 值所对应的项的和,而其余的项对和的值无多大影响.证 我们从(1)知()110=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k n knk k x k n , 因此两边同时乘以()x f 有()x f =()()kn k nk x x k n x f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10.对任意0>δ,我们有()()x f f B n -≤()()kn k nk x x k n x f n k f -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10=()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 +()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1. 由于()x f 在x 处连续,对任给0>ε,存在0>δ,使得 当δ<-x n k 时,()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f ,故第一个和式()∑<--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f nk f ()k n k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ε≤()kn k x n kx x k n -<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1δ ε≤()kn k nk x x k n -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑10ε=.又由()x f 在[]1,0上连续,所以存在M >0,使得()()M x f n k f x f n k f ≤+⎪⎭⎫⎝⎛≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛.故由引理2,第二个和()∑≥--⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k x f n k f ()kn k x x k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 ≤()∑≥---⎪⎭⎫ ⎝⎛δx n k kn k x x n k M124δn M ≤.因此,对任何0>ε,先取0>δ,使得当δ<-x nk 时，()ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f然后固定δ,再取n 充分大,就有()()ε2<-x f f B n .注意到我们在定理的证明中,对第一个和只用到()x f 在x 处连续,对第二个和只用到()x f 在[]1,0上有界.因此有Bernstein 定理 ：设()x f 在[]1,0上有界,则()()x f f B n n =∞→lim 在任何()x f 的连续点[]1,0∈x 成立.如果()[]1,0C x f ∈,则极限在[]1,0上一致成立.注(1)若有界函数()x f 在点x 处存在有限的二阶导数()x f ", 则()()()()()nn x x nx f x f f B n ρ+-''+=12,其中()()∞→→n n 0ρ.(2) 若()x f 在[]1,0上有连续的导数()x f ',则()x B n '一致收敛于()x f '.(3) 设()[]1,0C x f ∈,那么()()()()x ff B p p n n =∞→lim 在[]1,0上一致地成立.(4) 若()()0≥x fp ,∈x []1,0,那么，()()0≥f B p n ,∈x []1,0.(5) 若()x f 在[]1,0上是非减的,那么()f B n 在[]1,0上也是非减的. (6) 若()x f 在[]1,0上是凸的,那么()f B n 在[]1,0上也是凸的.由以上的推论可知,一个连续函数的Bernstein 多项式逼近与被逼近函数的极值和高阶导数有关,并且单调的和凸的函数分别产生单调的和凸的逼近.总之,Bernstein 多项式模拟被逼近函数的特性达到十分惊人的程度. 1.1.2 闭区间[]b a ,上的weierstrass 逼近定理 设()[]b a C x f ,∈,则存在多项式n n P x p ∈)(,使得0)()(max lim =-≤≤∞→x p x f n bx a n .证 令()a b y a x -+=,则有()()()()y a b y a f x f ϕ=-+=. 因为ab a x y --=,所以()y ϕ是定义在[]1,0上的连续函数,于是由Weierstrass 逼近定理知存在多项式()knk kycy Q ∑==,使得对于一切[]1,0∈y ,有()()()()εϕ<--+=-∑=nk kkyca b y a f y Q y 0.也就是()[]b a x a b a x c x f nk kk ,,0∈<⎪⎭⎫⎝⎛---∑=ε.1.2 Weierstrass 逼近定理的第二种证明首先引入切比雪夫多项式(Chebyshev ’s polynomials)的一个多项式核. 引理3 恒等式cos (),2,1,cos cos 211=+=∑-=-n n kn k n knn θλθθ为真,其中()()n n n 10,,-λλ 为某些常数.推论3 当[]1,0∈x 时,恒等式()(),2,1,2arccos cos 11=+=∑-=-n x x x n kn k n knn λ成立.定义2 称多项式()()x n x T n arccos cos =为n 次切比雪夫多项式.设()()()x n x T n arccos 12cos 12+=+是12+n 次切比雪夫多项式,对任意N n ∈,在[]1,1-上令()()2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x x T x K n n n γ,其中()dx x x T n n 21112⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=γ. 如上定义的()x K n 在定理证明中将起到多项式核的作用.它具有下列性质: 性质1 ()x K n 是n 4次多项式,且是偶数.性质2 由定义显然有下面的恒等式()111=⎰-dx x K n .性质3 对于 何()1,0∈δ,及N n ∈都有()δδn dx x K n 11<⎰.证 由第一种证明可知,我们只需证明[][]1,1,-=b a 的情况即可.首先将()x f 连续开拓到[]2,2-上.例如,我们令()x f =()()()[)[](].,,2,11,11,2,,,11∈-∈--∈⎪⎩⎪⎨⎧-x x x f x f f 显然,()x f 在[]2,2-上一致连续.对任意N n ∈,当∈x []1,1-时,以n K 为核构造函数 ()()dtx t K t f x P n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-33122. (1)由于n K是n 4次多项式,故()()knk n kn x t x t K ∑==⎪⎭⎫⎝⎛-403λ.所以()()()()kn k k n kx dtx t t f μλ=⎰-22,其中()n k μ是常数,故而()x P n 是一个n 4次的多项式.令3x t -=η，(1)就变为()()()ηηηd K x f x P n xx n ⎰---+=32323 (2)由性质2,可得()()=-x P x f n ()()()()⎰⎰----+-3232113xx n n d K x f d K x f ηηηηη=()()[]()ηηηδδd K x f x f n⎰-+-333+()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰----≤()()⎰-+-333δδηx f x f ()ηηd K n +()()ηηδδd K x f n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰--1331+()()ηηηδδd K x f n xx 3323332+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰----. 将上式中最后所得三个积分依次记为32,1,I I I .由于()x f 在[]2,2-上一致连续,故对任意0>ε,存在0>δ.当[]2,2,,2121-∈<-x x x x δ时必有()()ε<-21x f x f , (3)所以()εηηεδδ<≤⎰-d K I n 331.设[]()x f M x 2,2max -∈=,那么()δηηδn M d K MI n 62132<≤⎰.()ηηδδd K M I n xx⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎰⎰----3233323()δηηδδn M d K M n61331<⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎰⎰--.所以()()δεn M x P x f n 12+<-.因此,对任意0>ε,先取定δ,使(3)成立,然后固定δ,再取n 充分大就有()()ε2<-x P x f n .2 Weierstrass 逼近定理的推广 2.1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理说明了可以用多项式来逼近[]b a ,上的连续函数,Weierstrass 第二定理将给出关于三角多项式和周期连续函数的一个相应的结论.设()π2C x f ∈,对任意0>ε,存在三角多项式()x T ,使得对于一切实数x ,都有()()ε<-x f x T .其中π2C 表示()∞∞-,上以π2为周期的连续函数集合.也就是说,任何具有周期π2的连续函数都能用三角多项式一致地逼近. 注:通常把这个定理和Weierstrass 逼近定理分别称作Weierstrass 第二定理和Weierstrass 第一定理.我们可以通过以下几个引理证得这个定理,这里不做详细证明.见参考文献[1].引理1 若()πϕ2C x ∈,则对于任何a ,等式()()dx x dx x a a⎰⎰=+ππϕϕ202都成立.引理2 对任何N n ∈有下面的恒等式()2!!2!!12cos 202ππn n tdt n -=⎰.引理3 对于一切实数,一致地有 ()()x f x V n n =∞→lim .其中()π2C x f ∈,()()()dt x t t f n n x V nn 2cos21!!12!!22--=⎰-πππ.要想由此推得Weierstrass 第二定理,只须证明()x V n 是一个三角多项式即可.为此,我们需要下列引理.定义1 若0>+n n b a ,则称三角多项式()()∑=++=nk k kn kx b kx aA x T 1sin cos 的阶为n.引理 4 两个三角多项式的乘积仍为一个三角多项式,且其阶等于两因子阶之和.引理5若三角多项式()x T 为一偶函数,即()()x T x T =-,则 它可以表示成()∑=+=nk k kx a A x T 1cos 的形式,即式中不含倍角的正弦.2.2 Weierstrass-Stone 定理设E 是某个度量空间中的任意子集,它至少包含两个不同的元素,并且在E 上成立有限覆盖定理.设定义在E 上的实函数系(){}x p 组成一个线性空间,且构成一个环Y ,这个环包含常数,且对于E 中任意两个不同的元素1x ,2x ,在环Y 中存在函数()x p ,使()()21x p x p ≠,于是对于E 上定义的任意一个实连续函数()x f ,对于任给0>ε,在Y 上存在元素()x p ,使得有()()E x x p x f ∈<-,ε.利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理,例如下面的有理函数逼近定理设()()∞∞-∈,C x f ,则任给0>ε,存在有理函数()Ω∈x R , 使()()ε<-x R x f ,∞<<∞-x .其中Ω表示分子的次数不大于分母次数的全体实系数有理函数()x R 空间. 2.3复函数情形下的Weierstrass 逼近定理定理1 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂， 使得()()x f x p n n =∞→lim .引理1 度量空间[]()d b a C X ,,=中点列(){}x f n 收敛于()x f 当且仅当函数列(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f .证 []()d b a C X ,,=中点列{}n f 收敛于()x f .当且仅当()[]()()0max lim ,lim ,=-=∈∞→∞→x f x f f f d n b a x n n n等价于(){}x f n 在[]b a ,上一致收敛于函数()x f . 由定理1和引理1即可证得如下定理:定理2 ()[]b a C x f ,∈∀，存在有理（或复有理）系数多项式序列(){}P x p n ⊂，使得(){}x p n 在[]b a ,上一致收敛于()x f . 2.4 非连续函数的情形定理1 如果一个函数()x f 与一个连续函数()x g 在闭区间[]b a ,上几乎处处相等（即除了一个零测集A 外都相等）,那么0>∀ε,都存在多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.证 函数()x f 与连续函数()x g 在[]b a ,上几乎处处相等,因此对0>∀ε,有[]()()[]()()[]()()εεε<-≤-=-∈x g x p x g x p x f x p b a x Ab a x Ab a x ,\,\,max maxmax.由此可以看出,是否存在多项式()x p 逼近定义在闭区间上的函数()x f ,只要衡量函数()x f 是否能与一个连续函数()x g 几乎处处相等,即使函数()x f 是处处不连续的,也有上面定理的结论.利用这个定理可以解释下面两个例子.例1:().20,02,1,1≤<≤≤-⎩⎨⎧-=x x x f显然,函数()x f 是除了零点以外其它各点都连续的分段函数,几乎处处连续但不连续,我们不能找到一个多项式使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立,只能找到一个分段多项式满足不等式,这个多项式恰恰是这个函数本身.例2:()[].\2,1,,0,1Q x Q x x f ∈∈⎩⎨⎧=其中Q 是定义[]2,1在上的有理数集.显然函数()x f 是处处不连续的,但取()0p =x ,不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max 成立.3 Weierstrass 逼近定理的应用 3.1 复合函数的测度收敛定理设()x g 在R 上连续函数,若在可测集E 上几乎处处一致有界可测函数列(){}x f n 测度收敛于()x f ,则在E 上可测函数列()(){}x f g n 测度收敛于()()x f g . 3.2 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理从正面阐述了连续函数可以用多项式来逼近的重要性质,反之,如果一个定义在闭区间上的函数能用多项式逼近,则该函数必然是连续函数.定理 在实数范围内,对定义在闭区间[]b a ,上的函数()x f ,如果满足对0>∀ε,都存在这样的多项式()x p ,使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立,那么函数()x f 必然是连续函数.由此,我们得到如下结论,这可以作为Weierstrass 逼近定理的补充或充要条件.结论1 ()[]b a C x f ,∈的充分必要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p b a x ,max 成立.结论2 函数()x f 是连续函数或是与一个连续函数几乎处处相等的函数的充分必 要条件是:对0>∀ε,都存在一个多项式()x p 使不等式[]()()ε<-∈x f x p Ab a x \,max成立.这里A 为零测度集.例1: 设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，且在该区间上与一个连续函数()x f 几乎处处相等,则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是()0=x f 在[]b a ,上几乎处处成立.证 充分性显然,只需证明必要性.由条件有()()x g x f =,([])A b a x \,∈,其中A 是[]b a ,上的零测度集.所以0=()()[]()dx x f x dx x f x dx x f x AnAb a n ban ⎰⎰⎰+=\,=()[]()dxx g x dx x g x AnAb a n⎰⎰+\,=()dx x g x ban ⎰因此由注释①可得()0=x g ,[]b a x ,∈注意当[]A b a x \,∈时, ()()x g x f =,所以()0=x f ,[]A b a x \,∈.证毕. 注释：①设函数()[]b a C x f ,∈.则()0=⎰dx x f x ban, 2,1,0=n成立的充分必要条件是: ()0=x f ,[]b a x ,∈. ②设E 为有界集,当E m E m **=时,称E 为可测的.其中外测度mG E m EG ⊃*=inf ,内测度mF E m EF ⊂*=sup .③设()x f n 是可测集E 上的可测函数列,()x f 是E 上的可测函数.如果对每个0>ε, 有()0lim =≥-∞→εf fmEnn ,则称序列()x f n 测度收敛于()x f .参考文献：[1]莫国端，刘开第．函数逼近论方法[M]．北京：科学出版社，2004：11-44．[2]艾斯卡尔·阿布力米提．Weierstrass 逼近定理的一个应用 [J]．新疆教育学院学报，1999，15 (45)：53-54．[3]Parlett B N.The QR algorithm[J]．Computing in Science & Engineering ，2000，2(1):38-42． [4]Powell M J D ．Approximation theory and methods[M].New York:Cambridge University Press ，1981．[5]刘洋，李宏．关于Weierstrass 逼近定理的几点注记[J]．数学实践与认识，2009，39(2)：208-210．[6]郝玉斌．关于Weierstrass 一致逼近定理的证明[J]．黑龙江大学自然科学学报，1985，3． [7]沈燮昌．Weierstrass 逼近定理及其应用[J]．曲阜师范大学学报，1989，15(2)．Proof and Extension on Weierstrass Approximation TheoremAbstract :The weierstrass approximation theorem is one of the important theorems in functional approximation theories. This theorem expounds that, the precision can be given in advance ,continuous function defined any given on the closed interval can be approximated by a polynomial. At the first part, the article uses the bernstein polynomials to prove the weierstrass approximation theorem. Thus it directly expresses the fanction f(x) in C[a,b]could be approximated uniformly by polynomials.In addition, the article can offer another different proof by chebyshev’s polynomials. At the second part, there are some generalized theorems in different places. And some applications of the weierstrass approximation theorem is given finally.Key words : W eierstrass approximation theorem; Bernstein theorem; Chebyshev’s polynomials; convergence in measure.。
3 逼近定理
k C k x k (1 − v ) = ∑ Cnk u k v n−k 中,令 u = x v,= 1 − x 在二项式展开 n k =0 n−k k k 得 ∑ Cn x (1 − x ) = 1 ,作多项式
n k =0
n
Bn ( x ) = ∑
k =0
n
称 Bn ( x ) 是 f ( x ) 的 n 阶伯恩斯坦多项式 阶伯恩斯坦多项式.可以证明,当
§3 .逼近定理
设 f ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,一般来说,虽然它不一 定能够展开成一个幂函数,然而,总可以找到一个多项 式 p( x ) ,使得对一切 x ∈ [a, b] , f ( x ) 与 p( x ) 之差比预先 给定的任意正数都小.换句话说,可以用一个多项式 p( x ) 来逼近连续函数 f ( x ) ,其逼近程度(即误差)可以比预先 给定的任意正数小. 定理(魏尔斯特拉斯定理 定理 魏尔斯特拉斯定理) 设 f ( x ) 是 [a, b] 上的连续 魏尔斯特拉斯定理 函数,那么对任意给定的 ε > 0 ,总存在多项式 p( x ) , 使得 max f ( x ) − p( x ) < ε 这个多项式 p( x )就是由伯恩斯坦构造的多项式.它的表 示如下 不妨设 [a, b] = [0,1] .
cybenko 定理
cybenko 定理Cybenko定理是神经网络理论中的一项重要成果，它对于理解神经网络的万能逼近能力提供了重要的理论依据。
本文将对Cybenko定理进行详细介绍和解析。
我们需要明确什么是万能逼近能力。
在神经网络领域，万能逼近能力指的是神经网络能够以任意精度逼近任意连续函数。
换句话说，对于任意给定的连续函数，我们总能够找到一个足够复杂的神经网络，使得该网络可以对该函数进行逼近。
Cybenko定理是由数学家George Cybenko于1989年提出的，它给出了一种特殊情况下神经网络的万能逼近能力。
具体而言，Cybenko 定理指出，任意一个连续函数在有限区间上的近似可以通过一个具有至少一个隐藏层的神经网络来实现。
在Cybenko定理的证明中，他首先构造了一个特殊的激活函数，即sigmoid函数。
这个函数具有非常重要的性质，即它是连续的、非线性的、可微分的，并且在定义域上取值范围在(0,1)之间。
接下来，Cybenko使用一种称为"分割函数"的方法，将连续函数分割成多个小的线性函数，然后利用这些线性函数来逼近原函数。
具体来说，Cybenko定理证明了对于任意一个连续函数 f(x)，我们总能够找到一个具有至少一个隐藏层的神经网络，使得该神经网络可以以任意精度逼近 f(x)。
这个证明的关键在于利用了分割函数的性质，将原函数分割成多个小的线性函数，然后使用sigmoid函数作为激活函数来逼近这些线性函数。
通过逐步增加隐藏层的个数，我们可以使得神经网络的逼近能力越来越强。
需要注意的是，Cybenko定理只是针对连续函数的逼近能力进行了证明，并没有考虑到离散函数的情况。
此外，虽然Cybenko定理证明了神经网络的万能逼近能力，但它并没有给出如何构造这样一个能够实现逼近的神经网络的方法。
然而，尽管Cybenko定理在理论上证明了神经网络的万能逼近能力，但实际应用中仍然存在一些限制。
首先，隐藏层的个数和神经元的数量会直接影响神经网络的复杂度和计算量，过多的隐藏层和神经元可能导致过拟合问题。
关于Weierstrass逼近定理的推广
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笔者将上述结论推广到函数八 在 闭区间［，］ 可测 的情形 ， ） 。６ 并研究 了相应 的砬用问题．
１ Ｗｅｅｓｒｓ 逼近 定理 的推广 ｉｒｔ ｓ ａ
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Bernstein—Durrmeger—Bézier算子的逼近定理
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函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
逼近分解定理
逼近分解定理逼近分解定理（Approximation Decomposition Theorem）是数学上的一个重要定理，被广泛应用于函数逼近和数值计算的领域。
该定理的核心思想是将一个复杂的函数逼近问题分解为简单的函数逼近问题，从而更加高效地进行求解。
逼近分解定理最早由哈恩（Hahn）在20世纪30年代发展而来，随后经过多位数学家的不断完善和推广，逐渐形成了现在的成熟理论。
该定理的核心思想是通过对函数进行适当的分解，将原函数表示为一系列简单函数的和或积的形式，并通过对每个简单函数进行逼近，获得对原函数的近似解。
逼近分解定理的主要应用之一是在数值计算中的函数逼近问题。
例如，在计算机科学中，我们经常需要使用复杂的函数来模拟实际问题，但这些函数的计算通常是困难和耗时的。
利用逼近分解定理，我们可以将这些复杂函数分解为若干简单函数的组合，然后分别对这些简单函数进行逼近，以获得对原函数的近似解。
这种分解和逼近的过程可以大大提高计算效率和准确性。
另一个重要的应用领域是信号处理中的函数逼近问题。
在实际应用中，我们经常需要对信号进行采样和处理，但由于采样频率的限制，我们只能得到离散的信号数据。
利用逼近分解定理，我们可以将离散的信号分解为若干离散谱函数的线性组合，然后通过对每个离散谱函数进行逼近，获得对原信号的近似解。
此外，逼近分解定理还在数学分析中具有广泛的应用。
例如，在泛函分析中，我们经常需要对函数进行近似表示，以便进行求解和证明。
逼近分解定理提供了一种将复杂函数逼近为简单函数的方法，从而方便我们进行进一步的研究和分析。
同时，逼近分解定理还为不同的函数空间提供了一种联系的桥梁，使得我们可以在不同的函数空间间进行逼近和展开。
总之，逼近分解定理是一个重要的数学定理，在函数逼近和数值计算领域发挥了重要的作用。
通过将复杂的函数逼近问题分解为简单的函数逼近问题，我们可以更加高效地进行求解和计算。
逼近分解定理不仅提供了一种实际的数值计算方法，还为数学分析和信号处理等领域提供了理论基础和证明手段。
威尔斯特拉斯第一逼近定理
威尔斯特拉斯第一逼近定理威尔斯特拉斯第一逼近定理是一个重要的数学定理，它的主要内容是：任何函数都可以用一组三角多项式来逼近，这组三角多项式可以通过逼近函数的傅里叶系数来得到。
在讲解这个定理之前，我们先来回顾一下函数逼近和三角多项式。
函数逼近是指用简单的函数来近似表示复杂的函数，以便更容易进行计算和分析。
为了表示一个函数，我们通常需要选择一个基函数，比如多项式、三角函数等。
而三角多项式是一种特殊的基函数，它可以表示为正弦和余弦函数的线性组合，形如：$$ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)) $$其中$a_n$和$b_n$是正常数，称为傅里叶系数。
这个式子包含了无限个三角函数，因此称之为三角级数。
威尔斯特拉斯第一逼近定理告诉我们，给定一个函数$f(x)$，我们可以用一个三角多项式的序列$(T_n)$来逼近$f(x)$，即存在一个数列$(\alpha_n)$，使得$$ \lim_{n\to\infty}\Vert f-T_n\Vert_2 = 0 $$其中$\Vert\cdot\Vert_2$是平方$L^2$范数，表示函数的平方和的平方根。
换句话说，这个定理保证了任何函数都可以用三角多项式逼近到任意精度。
证明这个定理需要用到一些抽象的数学理论，包括傅里叶级数、内积空间等。
这里只给出简要的证明思路。
首先，我们可以证明一个较弱的结论：对于周期为$2\pi$的连续函数$f(x)$，存在一个三角多项式$T(x)$，使得$\Vert f-T\Vert_\infty<\epsilon$，其中$\Vert\cdot\Vert_\infty$是无穷范数，即函数的最大值。
这个结论的证明可以通过将$f(x)$投影到三角多项式的空间上，然后利用内积空间的性质得到。
为了得到精度更高的逼近，我们可以将$f(x)$分解成一个低频部分和一个高频部分，分别进行逼近。
简单函数逼近定理
简单函数逼近定理
简单函数逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它表明在某些条件下，任何连续函数都可以用一系列简单函数逼近。
简单函数是指具有有限个取值的函数，例如阶梯函数和分段线性函数等。
简单函数通常比较容易处理，因此简单函数逼近定理的重要性在于将复杂的函数问题转化为简单函数的问题，从而简化计算和分析过程。
简单函数逼近定理的一个常见形式是Stone-Weierstrass定理，它表明在闭区间上的连续函数可以用多项式函数逼近。
具体而言，对于给定的闭区间[a, b]上的任意连续函数f(x)，存在一系列多项式函数P_n(x)可以无限接近于f(x)，即对于任意给定的误差ε>0，存在某个多项式函数P_n(x)使得|f(x) - P_n(x)| < ε，其中n是多项式的次数。
简单函数逼近定理的证明通常基于构造逼近序列的方法，即通过构造一系列简单函数来逼近给定的连续函数。
这些简单函数通常具有一定的性质，例如在给定的区间上连续、有界等，从而确保逼近的有效性和精度。
总而言之，简单函数逼近定理是数学中的一个重要工具，它将复杂的函数逼近问题转化为简单函数的逼近问题，简化了计算和分析过程，同时也为其他数学理论和应用提供了基础。
威尔斯特拉斯第一逼近定理
威尔斯特拉斯第一逼近定理
威尔斯特拉斯第一逼近定理是数学中的一条重要定理，它关于在特定条件下，任何连续函数都可以由三角函数的线性组合逼近，即可以用正弦函数和余弦函数的线性组合来逼近任何连续函数。
这一定理在分析学和调和分析中有着广泛的应用。
其数学表达式为：对于任意一个周期为2π的连续函数f(x)，以及任意一个正整数n，都存在唯一的一组实数a0，a1，b1，a2，b2，...，an，bn，使得：f(x)=a0+∑(k=1)^n(a_kcoskx+b_ksinkx)。
这一定理的证明需要用到一些高深的数学知识，如傅里叶级数等，但对于对数学有兴趣的人来说，了解威尔斯特拉斯第一逼近定理的原理和应用，将会对自己的数学知识体系有很好的补充和提升。
- 1 -。
三角函数的逼近性质
三角函数的逼近性质近年来，三角函数的逼近性质成为了数学研究领域的一个重要课题。
三角函数在数学中有着广泛的应用，因此对其逼近性质的研究有助于解决一系列相关问题。
本文将介绍三角函数的逼近性质及其应用，并讨论一些与之相关的数学定理。
首先，我们来探讨三角函数的泰勒级数展开。
三角函数的泰勒级数展开是一种将一个任意函数表示为幂级数的方法。
对于三角函数而言，它们的泰勒级数展开非常简洁。
例如，对于正弦函数sin(x)，它的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...我们可以看到，通过不断增加级数的项，我们可以逼近原函数sin(x)，而且近似程度随着项数的增加而提高。
这说明三角函数具有很好的逼近性质。
三角函数的逼近性质在科学计算、信号处理和图像处理等领域得到了广泛应用。
在科学计算中，我们经常需要对某些复杂函数进行求值，但是计算机往往只能处理简单的数学运算。
这时候，我们可以利用三角函数的逼近性质，将复杂函数表示为简单函数的级数形式，从而用计算机进行近似计算。
这种方法被广泛应用于科学计算软件和数值计算领域。
另一个重要的三角函数逼近性质是傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是将周期函数表示为三角函数级数的一种方法。
它在信号处理领域有着广泛的应用。
根据傅里叶级数展开定理，任意一个周期为2π的函数f(x)可以表示为以下形式的级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中，an和bn可以通过以下公式计算得到：an = (1/π)∫[0, 2π] f(x)cos(nx)dxbn = (1/π)∫[0, 2π] f(x)sin(nx)dx傅里叶级数展开的应用广泛，例如在通信领域中，我们经常需要对信号进行频谱分析，此时可以利用傅里叶级数展开将时域信号转换为频域信号，从而得到信号的频谱信息。
此外，在数字图像处理中，傅里叶级数展开也被用于图像压缩和去噪等领域。
逼近理论
一致逼近问题及相关定义
一致逼近问题（切比雪夫逼近问题）： X C[a,b] , Y X ，采用一致（无穷）范数。
设 X C[a,b] , t0 [a,b]，如果 x(t0) x ，则t0 称为x的一个极值点。
Haar条件：设Y是C[a,b]的有限维子空间， 对任意 y Y, y 0，它在[a,b]区间上至多有n-1 个零点，其中n=dimY。
函数逼近问题
函数逼近是数值分析的基础，同时在求取 微分方程数值解等方面有重要应用。
具体说来，函数逼近问题是指：在某一区 间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。
通常这些简单函数包括：(1)多项式函数； (2)分段多项式函数；(3)有理分式函数。
赋范线性空间上最优逼近的定义
设X是赋范线性空间，Y X 是其子空间； x X ，如果 y0 Y 使得
yi(t)=ti，i=0,1, …,n-1；问题：选择 0 ,1,L ,n1 R ，
使得
n1
y(t) it i
是对x按Y的最优一致逼近。
i0
令t=cosθ,θ∈[0,π]，有下式成立，其中βnj为常数：
x -y 余项 n1
cos n 2n1 cosn nj cos j , n 0,1, 2,L
对固定的n∈N，是[-1,1]上所有n次实系数且tn系数为1 的多项式中，距0最大偏差为最小的一个多项式。
n
证明：对于任意y∈Y，则 y i yi ,i R i 1 若Y满足Haar条件则Y在[a,b]至多有n-1个零点如t1, t2, …, tn-1
y1(t1)
[ y(t1),
y(t2 ),L
,
y(tn )] [1,2,L
,n
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
[ E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) }] [ E{ x | f ( x )} 0} E{ x | g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
集后逐点收敛）。显然，如果我们证明 了一个几乎处处收敛的可测函数序列的 极限是可测函数，则上述任何意义下的 极限函数都是可测的。为此，先证明一 个引理。 引理1 假设 { f m ( x )} m 1是上的可测函数序列， 则
(i) h( x ) sup f m ( x ), l ( x ) inf f m ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又 如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列 的极限是否是可测函数？到目前为止， 至少有三种意义下的极限概念，其一是 “一致收敛”、其二是“处处收敛” （即在给定的集上逐点收敛），其三是 “几乎处处收敛”（即在给定的集上， 除去一个零测
| f ( x ) | f ( x ) f ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题5：f(x) 的可测性 与f+(x)、f-(x)的可测 性是否等价？ 问题 6 ： |f(x)| 的可测性与 f+(x) 、 f-(x) 的可 测性是否等价？ 问题7：f(x) 的可测性与|f(x)|的可测性是 否相同？ f ( x) ，f ( x) 由引理1的（i），知 都是
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
lim f m ( x ) f ( x ) ，则称在上几乎处处收 m 敛到f，记作 f ( x ) lim f m ( x )a.e.[E]
隶莫佛拉普拉斯定理
隶莫佛拉普拉斯定理
拉普拉斯定理，也称为拉普拉斯逼近定理或拉普拉斯大数定理，是概率论中的一个重要定理，它给出了当n趋向于无穷大时，二项分布的近似形式。
具体而言，拉普拉斯定理表述如下：设X为一个二项分布变量，其概率质量函数为f(x) = C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)，当n趋向
于无穷大时，X的近似分布可以用正态分布来表示。
即当n趋向于无穷大时，X的概率质量函数可以近似为g(x) =
(1/√(2πnpq)) * e^(-(x-np)^2/2npq)，其中C(n,x)为组合数，p为
二项分布的成功概率，q=1-p。
该定理的应用非常广泛，特别是在大数定律的证明过程中。
它也为概率论和统计学提供了一个在实际问题中近似计算二项分布的方法。
泊松逼近定理是
泊松逼近定理是泊松逼近定理是概率论中的一种重要定理，它描述了大量试验中成功事件发生次数的概率分布。
这个定理可以用于预测某个特定的成功事件在一系列试验中发生的概率，例如在一家餐厅里，平均每小时有15名顾客到来，预测下一小时有20名顾客到来的概率。
以下是泊松逼近定理的步骤：步骤一：确定成功事件的平均发生次数泊松逼近定理是基于平均成功事件发生次数的，所以我们需要确定成功事件的平均发生次数。
例如，在一个小区内，每月有30起车祸，因此平均每天会发生1次车祸。
步骤二：确定成功事件的概率在确定成功事件的概率时，需要考虑事件的独立性。
事件的独立性指的是一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
例如，一个人在扔硬币时，每次扔硬币的结果独立，扔到正面向上的概率是50%。
步骤三：使用泊松分布计算所需的概率泊松逼近定理的核心是使用泊松分布计算所需的概率。
泊松分布是一种描述在一定时间内一个随机事件发生次数的概率分布函数，适用于事件发生的平均次数较小，但事件总体发生次数较大的情况。
使用泊松分布可以计算出在一定时间内成功事件发生的概率。
例如，在一个餐厅里，平均每小时有15名顾客到来，使用泊松分布可以计算出下一小时有20个顾客光顾的概率是多少。
步骤四：应用泊松逼近定理泊松逼近定理可以应用于很多领域，包括生物学、金融学和运输学等。
在生物学中，泊松逼近定理可以用于预测某个蛋白质发生变异的概率。
在运输学中，泊松逼近定理可以用于预测某个地区每天的车流量。
总之，泊松逼近定理是概率论中的一种重要定理，可以帮助我们预测一系列事件中成功事件发生的概率，并应用于不同领域的研究中。
威瓦尔定理
威瓦尔定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：威瓦尔定理，又称作瓦伊设定理（Vivaris theorem），是一项在数学领域中非常重要的定理，主要涉及到多元微分学中的一些概念和技巧。
该定理由法国数学家爱德华·威瓦尔（Édouard Jean-Baptiste Victor Vivor）于19世纪提出，因此得名。
威瓦尔定理的内容主要是关于对多元函数的积分计算中的一种方法，它提供了一种简化计算过程的途径，特别是在处理涉及到多个变量的积分时。
威瓦尔定理在微积分学中扮演了重要的角色，许多与积分相关的问题都可以通过应用该定理来求解。
在数学中，多元函数是指自变量有多个的函数，通常用n个实数变量定义一个多元函数，即f(x1, x2, ..., xn)。
而对于这样的多元函数，积分的计算一般比较复杂，需要运用一些技巧来简化计算过程。
威瓦尔定理就提供了一种有效的方法来处理这类积分。
威瓦尔定理的表述如下：假设f(x, y)是一个具有二阶连续偏导数的函数，并且区域D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}是有界闭区域，那么对于这个区域上的二重积分∬Df(x, y)dxdy，可以通过以下公式来求解：∬Df(x, y)dxdy = ∫c^d∫a^bf(x, y)dxdy = ∫a^b∫c^df(x, y)dydx这个式子的意义是，我们可以先对f(x, y)关于x进行积分，再将结果对y积分，也可以先对y积分，再对x积分，最终得到的结果是相同的。
这样，我们就可以根据具体情况来选择适合的计算方式，从而简化复杂的计算过程。
威瓦尔定理的一个重要应用就是在计算二重积分时对积分次序的调整。
在实际应用中，有时会遇到交换积分次序可以简化计算的情况，这时就可以利用威瓦尔定理来实现这一目的。
通过适当地划分积分区域，我们可以将原来的二重积分转化为两次单变量积分相乘的形式，从而更加方便地进行计算。
第二篇示例：威瓦尔定理是数学中的一个重要定理，它在代数学和几何学中有着广泛的应用。
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普遍逼近定理
普遍逼近定理是数学分析中的一个重要结果。
它描述了在某些条件下，通过简单函数的线性组合可以逼近任意连续函数。
具体来说，普遍逼近定理指出，在一定条件下，对于任意连续函数f(x)，存在一个函数序列{phi_n(x)}，使得通过它们的线性组合Σa_n*phi_n(x)可以无限逼近f(x)。
也就是说，对于给定的ε>0，存在足够大的N，使得对于所有n>N，有|f(x) -
Σa_n*phi_n(x)| < ε。
这个定理的条件一般要求函数序列{phi_n(x)}满足一些特定的性质，例如线性无关、正交等。
常见的函数序列包括傅里叶级数、勒贝格多项式等。
普遍逼近定理在数学分析、信号处理、图像处理等领域被广泛应用。
它提供了一种途径，通过使用简单函数的线性组合，可以近似表示复杂的连续函数，从而简化计算和处理的复杂度。