艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式

考点十六 同角三角函数的关系式及诱导公式

知识梳理

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α

cos α＝tan α.

2.诱导公式

对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”

是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

典例剖析

题型一 同角三角函数关系应用

例1 已知α是第二象限角，tan α＝－8

15，则sin α＝________．

答案

817

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝8

17

. 变式训练 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝4

5，则tan α＝________. 答案 －4

3

解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α ＝－1－sin 2α＝－35， ∴tan α＝

sin αcos α＝－43

.

例2 (1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________. (2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝ . 答案 (1)45 (2)2

5

解析 (1)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ

1

＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.

(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2

θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝2

5

. 解题要点 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α

cos α＝tan α可

以实现角α的弦切互化．

(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (3)应熟练掌握齐次式问题求值，通过代数式变形，把所求值化为关于tan θ的齐次式，从而使问题得解.

题型二 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α “三姊妹”问题 例3 已知sin α＋cos α＝1

5，且α∈()0，π；求

(1)sin α·cos α； (2)sin α－cos α； (3)tan α.

解析 (1)因为sin α＋cos α＝15

，

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝(15)2，即2sin α·cos α＝－2425，所以sin α·cos α＝－12

25.

(2) 由sin α·cos α＝－1225可得(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1＋2425＝49

25，

又2sin α·cos α＝－24

25<0,0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，

故sin α－cos α＝

4925＝75

， (3)由⎩⎨⎧

sin α＋cos α＝15

，

sin α－cos α＝7

5

，得⎩⎨⎧

sin α＝45

，

cos α＝－3

5

，所以tan α＝－4

3

.

变式训练 已知sin θ＋cos θ＝

2

3

(0＜θ＜π)，求tan θ的值．

解析 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π

2＜θ＜π，

∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4

3

.

解方程组⎩⎨⎧

sin θ＋cos θ＝23，

sin θ－cos θ＝4

3

，得⎩⎪⎨⎪⎧

sin θ＝

2＋4

6

，cos θ＝

2－4

6

，

∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－42

7

.

解题要点 对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，基本解题策略是借助方程思想，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 题型三 三角函数诱导公式的应用 例4 (1) cos ⎝⎛⎭

⎫－52

3π＝________． (2) 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3

3，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝________． 答案 (1)－12 (2) －3

3

解析 (1) cos ⎝⎛⎭⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12. (2) ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π

6－α＝π， ∴5π

6

－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－3

3. 变式训练 化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝

⎛⎭⎫－α＋3π

2cos (－α－π)sin (－π－α)

.

解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α))＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin α

cos α

·cos α

－sin α

＝－1.

解题要点 (1) 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k ∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．

(2)要善于观察角度间的关系，注意“整体思想”的运用，适当将角变形，如化3

2

π＋α为π＋

⎝⎛⎭⎫π2＋α或2π－⎝⎛⎭

⎫π2－α． (3)注意确定相应三角函数值的符号，另外切化弦是常用的规律技巧．