空间几何直线与平面的位置关系与夹角
5高中数学：用空间向量研究直线与平面的位置关系
高中数学：用空间向量研究直线与平面的位置关系一、引言空间向量是高中数学中的重要内容，它为我们研究三维空间中的几何对象提供了有力的工具。
其中，利用空间向量研究直线与平面的位置关系是一个核心的应用领域。
通过向量的运算性质，我们可以清晰地描述和判断直线与平面之间的平行、垂直和相交等关系。
本文将详细解析如何利用空间向量来研究直线与平面的位置关系，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、基本概念与性质1.直线与平面的位置关系：在三维空间中，直线与平面的位置关系主要有三种：平行、相交和直线在平面内。
2.向量的表示：直线可以用方向向量和一点来表示，而平面则可以用法向量和一点来表示。
方向向量和平面的法向量都是描述直线和平面方向的重要工具。
3.向量的运算：通过向量的加法、减法、数乘和数量积等运算，我们可以推导出判断直线与平面位置关系的关键条件。
三、判断方法1.判断直线与平面平行：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与平面平行。
即，如果两向量的数量积为零，则直线与平面平行。
2.判断直线与平面垂直：如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则这条直线与平面垂直。
即，如果两向量平行（方向相同或相反），则直线与平面垂直。
3.判断直线在平面内：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线上的一点在平面内，则这条直线在平面内。
4.判断直线与平面相交：如果直线既不与平面平行也不在平面内，那么这条直线与平面相交。
相交的情况比较复杂，可能涉及到求交点和交角等问题。
四、应用举例1.求交点：通过联立直线的方程和平面的方程，可以求出直线与平面的交点。
交点坐标满足两个方程，因此可以通过解方程组得到。
2.求交角：交角是直线与平面相交时的一个重要参数。
通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角，可以得到交角的大小。
夹角可以通过向量的数量积和模长计算得出。
3.解决实际问题：在实际问题中，经常需要判断或求解直线与平面的位置关系。
例如，在建筑设计中，需要确定光线照射角度；在机械工程中，需要计算零件的加工角度等。
空间直线与平面的位置关系与交点求解
空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要，用于解决许多实际问题，比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系，以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况：1. 相交当空间直线与平面交于一点时，它们的位置关系是相交。
此时，交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言，假设空间直线的参数方程为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标，$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标，$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中，可得到：$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组，即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时，它们的位置关系是平行。
此时，两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同，则直线和平面不相交，否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时，它们的位置关系是垂直。
此时，它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先，需要判断直线和平面是否相交或平行，从而决定是否存在交点。
其次，如果相交，则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$，经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为：$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先，需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算，直线的方向向量和平面的法向量的点积为：$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$，所以直线和平面垂直，相交于一点。
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的夹角
高中数学知识点总结立体几何中的直线与平面的位置关系之直线与平面的夹角直线与平面的夹角是立体几何中的重要概念之一。
它描述了直线与平面之间的相对位置关系，对于解决立体几何中的问题具有重要的指导意义。
本文将对高中数学中立体几何中直线与平面的夹角进行总结，并解释其相关概念和性质。
一、直线与平面的交点及夹角的定义在立体几何中，直线与平面的相交情况主要有三种，即直线在平面内、直线与平面相交于一点、直线与平面平行。
这些情况都涉及到直线与平面的夹角。
1. 直线在平面内当直线完全位于平面内时，直线与平面的夹角为0°。
这表示直线与平面的方向完全一致，没有倾斜。
2. 直线与平面相交于一点当直线与平面在一点相交时，可以定义出直线与平面的夹角。
夹角的度数介于0°到90°之间。
夹角的大小取决于直线在平面上的倾斜程度，倾斜越大，夹角越大。
3. 直线与平面平行当直线与平面平行时，它们之间没有交点，因此无法定义直线与平面的夹角。
但是，我们可以将夹角定义为零度，以保持夹角概念的完整性。
二、直线与平面夹角的性质在理解直线与平面的夹角的基本定义之后，我们可以进一步了解其相关性质和应用。
1. 夹角的度数与两者的倾斜程度有关直线与平面夹角的度数取决于直线在平面上的倾斜程度。
当直线垂直于平面时，夹角为90°；当直线与平面平行时，夹角为0°。
夹角的大小和方向可以通过解析几何等方法进行精确计算。
2. 夹角的度数可以表示两者之间的关系夹角的度数可以表示直线与平面之间的相对位置关系。
例如，当夹角为90°时，表示直线垂直于平面，可以用于判断垂直线段或垂直面的性质。
夹角为0°或呈现其他度数时，可以表示直线与平面的平行性或不平行性。
三、直线与平面夹角的应用举例直线与平面的夹角概念在实际问题中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：1. 判断线段与平面的相对位置通过计算线段与平面的夹角，可以判断线段是否垂直于平面，从而判断两者的相对位置关系。
直线与平面的位置关系与相交性质
直线与平面的位置关系与相交性质直线与平面是几何学中两个基本概念，它们的位置关系以及相交性质对于解决几何问题具有重要意义。
本文将就直线与平面的位置关系以及相交性质进行探讨。
一、直线与平面的位置关系1. 直线在平面内部：当一条直线完全位于一个平面之内时，我们称这条直线在平面内部。
直线的每一个点都在平面上。
2. 直线与平面相交：直线与平面相交表示直线上的至少一个点与平面的任意一点重合。
3. 直线与平面平行：直线与平面平行表示直线上的任意一点到平面的距离为常数。
4. 直线在平面上：当直线上的点都在平面上时，我们称这条直线在平面上。
二、直线与平面的相交性质1. 直线与平面的交点：如果直线与平面相交于一点，则该点称为直线与平面的交点。
2. 直线与平面的交线：当直线与平面相交于一点时，该点也可以看作是直线与平面的交线。
交线是直线在平面上的投影。
3. 直线与平面的相交情况：直线与平面的相交情况可分为三种情况：a) 直线与平面的相交于一点，即直线与平面有且只有一个交点；b) 直线与平面平行，即直线与平面没有交点；c) 直线与平面扩展成其他形状，即直线与平面有无数个交点，如直线与平面相交成一条直线。
三、直线与平面相交性质的应用1. 证明定理：直线与平面垂直的充要条件是直线上的任意一条垂线都在平面上。
证明：设直线L与平面P相交于一点A，过点A做直线与平面P 垂直的垂线AB，若垂线AB不在平面P上，则可得到矛盾。
2. 证明定理：一个直线与一个平面至多只有一个公共点的充要条件是这个直线与这个平面都与同一个过该点的平行线平行。
证明：设直线L与平面P至多只有一个公共点，过该公共点A做平面P的垂线AB，若平行线CD与直线L相交于一点E，若点E不在平面P上，则可得到矛盾。
结论：直线与平面的位置关系与相交性质是几何学中的重要内容。
直线与平面的位置关系包括直线在平面内部、直线与平面相交以及直线与平面平行。
直线与平面的相交性质涉及交点、交线以及相交情况。
空间几何中的平面与直线的位置关系
空间几何中的平面与直线的位置关系在空间几何的研究中，平面和直线是最基本的几何元素之一。
它们之间的位置关系对理解空间几何的特性和性质起着至关重要的作用。
本文将探讨平面与直线的七种常见位置关系，并通过具体例子进行说明。
一、平面与直线相交于一点当一个平面与一条直线相交于一点时，我们称这两者的位置关系为相交于一点。
在这种情况下，平面可以被视为一个切平面，将直线切割成两段。
如图1所示，平面P与直线L相交于点A。
图1 平面与直线相交于一点二、平面与直线相交于多个点当一个平面与一条直线相交于多个点时，我们称这两者的位置关系为相交于多点。
这种情况下，平面将直线切割成多段，直线的起点和终点都在平面上。
如图2所示，平面P与直线L相交于点B、点C和点D。
图2 平面与直线相交于多个点三、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面上时，我们称这两者的位置关系为直线在平面上。
换句话说，直线上的任意一点都落在平面上。
如图3所示，直线L完全位于平面P上。
图3 直线在平面上四、平面与直线相交当一个平面与一条直线有公共点，但该直线不完全位于平面上时，我们称这两者的位置关系为相交。
如图4所示，平面P与直线L相交于点E和点F，但直线L的一部分位于平面外。
图4 平面与直线相交五、直线平行于平面当一条直线与一个平面没有公共点，且直线与平面的方向相同或者相反时，我们称这两者的位置关系为平行。
如图5所示，直线L与平面P平行。
图5 直线平行于平面六、直线垂直于平面当一条直线与一个平面垂直且通过该平面的法线时，我们称这两者的位置关系为垂直。
如图6所示，直线L垂直于平面P。
图6 直线垂直于平面七、直线与平面重合当一条直线与一个平面重合，即二者完全重合时，我们称这两者的位置关系为重合。
如图7所示，直线L与平面P重合。
图7 直线与平面重合综上所述，空间几何中的平面与直线有七种常见的位置关系，分别为相交于一点、相交于多点、直线在平面上、相交、平行、垂直和重合。
空间几何中的平面与直线的夹角与垂直关系的计算
空间几何中的平面与直线的夹角与垂直关系
的计算
空间几何是几何学的一个分支，研究三维空间中的几何对象和它们
的性质。
在这个领域中，与平面和直线的夹角和垂直关系有关的概念
和计算方法是非常重要的。
本文将介绍如何计算平面和直线之间的夹
角以及它们的垂直关系。
1. 平面与直线的夹角
平面与直线的夹角是指从一个垂直于该平面的向量到该直线的向量
所形成的角度。
用符号“∠(平面，直线)”表示。
计算平面与直线的夹角
需要用到向量的内积和模长的概念。
具体计算方法如下：
首先，找到垂直于平面的单位向量n，用点A表示直线上的一个点，用向量a表示直线的方向，则向量a是垂直于直线的单位向量。
然后，计算向量a和向量n的内积 a·n，得到cos(∠(平面，直线))的值，即cos(∠(平面，直线))=a·n。
最后，通过反余弦函数acos()求得∠(平面，直线)的值。
2. 平面与直线的垂直关系
平面与直线的垂直关系是指该直线与平面上的所有向量都垂直。
用
符号“直线⊥平面”表示。
计算平面与直线的垂直关系需要用到向量的
内积概念。
具体计算方法如下：
首先，找到平面的法向量n，用向量a表示直线的方向，则 a·n=0。
然后，将直线上的一个点A代入平面的方程，得到点A到平面的距离，如果距离为0，则直线与平面垂直，否则不垂直。
以上是平面与直线的夹角和垂直关系的计算方法，在实际应用中，可以通过这些方法来解决空间几何中的实际问题，比如计算两个物体间相对角度、判断两个物体是否垂直等问题。
空间中直线与平面的关系
空间中直线与平面的关系在空间几何学中，直线和平面是两种基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨直线与平面的相互作用，以及它们在空间中的几何性质。
一、直线在平面内的位置关系直线可以分为三种不同的位置关系：直线在平面内的情况、直线在平面上的情况和直线与平面相交的情况。
1. 直线在平面内的情况当直线和平面没有交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面是平行的。
平行的定义是：两条直线在平面内不存在交点，并且它们的方向向量也是平行的。
例如，在笛卡尔坐标系中，直线方程为y = mx + c，而平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中m、c、a、b、c、d为常数。
当平面的法向量[a, b, c]与直线的方向向量[1, m, 0]平行时，我们可以确定直线在平面内。
2. 直线在平面上的情况当直线与平面有交点时，我们说直线在平面上。
直线在平面上可以有不同的位置关系：直线与平面相切、直线在平面内部和直线穿过平面。
- 直线与平面相切：在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且这个交点同时属于直线和平面。
我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线在平面内部：当直线与平面有无数个交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面相交但不重合。
- 直线穿过平面：当直线与平面有无穷多个交点时，我们说直线穿过平面。
在这种情况下，直线与平面重合。
3. 直线与平面相交的情况当直线与平面相交时，我们可以进一步讨论相交点的情况。
直线可以与平面相交于一个点、一条直线或平面本身。
- 直线与平面相交于一个点：在空间几何中，直线与平面相交于一个点是最常见的情况。
这时，我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线与平面相交于一条直线：在这种情况下，直线与平面共面并且有无数个公共点。
这种情况也可以通过求解直线和平面的方程组来确定。
- 直线与平面相交于平面本身：直线与平面之间存在特殊的关系，即它们有一条公共直线。
直线与平面的位置关系与夹角求解
直线与平面的位置关系与夹角求解直线与平面的位置关系和夹角求解是空间几何中经常涉及的问题。
本文将详细探讨直线与平面的几种位置关系，并介绍求解夹角的方法。
一、直线和平面的位置关系1. 直线在平面内部：当一条直线完全位于一个平面内时，我们称该直线在平面内部。
直线可以与平面有无穷多个交点，也可以没有交点。
2. 直线与平面相交于一点：当一条直线与一个平面有且仅有一个交点时，我们称该直线与平面相交于一点。
该交点既是直线上的一点，又是平面上的一点。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面没有交点时，我们称该直线与平面平行。
平行的直线与平面之间的距离相等。
4. 直线与平面垂直：当一条直线与一个平面相交，并且与该平面上的任意一条直线都垂直时，我们称该直线与平面垂直。
二、夹角的求解方法夹角是空间几何中常用的概念，用于描述两个直线或两个平面之间的角度关系。
求解夹角的主要方法有以下几种：1. 使用向量求解夹角：对于两条直线的夹角，可以利用它们的方向向量来求解。
假设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，则两条直线的夹角θ可以通过向量的夹角公式求得：cosθ = (a·b) /(|a|·|b|)，其中·表示向量的数量积。
2. 使用法线向量求解夹角：对于一条直线和一个平面的夹角，可以利用直线的方向向量和平面的法线向量来求解。
假设直线L的方向向量为a，平面P的法线向量为n，则直线与平面的夹角θ可以通过向量的夹角公式求得：cosθ = |(a·n) / (|a|·|n|)|。
3. 使用平面方程求解夹角：对于两个平面的夹角，可以利用它们的法线向量来求解。
假设平面P1的法线向量为n1，平面P2的法线向量为n2，则两个平面的夹角θ可以通过向量的夹角公式求得：cosθ =|(n1·n2) / (|n1|·|n2|)|。
三、实例分析为了更好地理解直线与平面的位置关系和夹角求解，我们来看一个具体的实例。
空间直线与平面的位置关系(夹角)
§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角）【知识解读】1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面．7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角FEDCBA【例题讲解】例1 、简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？例2、已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证 MN ∥平面BCE_ CBM HS CAA例4、在正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ；例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2）求证：AF ⊥BD ；【课堂练习】1、在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=4,BC=3,1CC =2 (1)求B A 1与面ABCD 所成的角; (2)求D A 1与面ABCD 所成的角;(3)求C A 1与长方体的各个面所成的角的大小; (4)求C A 1与长方体的各条棱所成的角的大小;2、.在正方体1111D C B A ABCD -中,求B A 1和平面CD B A 11所成的角的大小;3、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.D 1C 1B 1A 1D C BA。
空间几何直线与平面的位置关系
空间几何直线与平面的位置关系空间几何中，直线和平面是两个基本要素，它们之间存在着丰富的位置关系。
本文将就直线与平面的位置关系展开探讨，包括直线在平面上、直线与平面的交点、直线与平面的平行与垂直等方面。
一、直线在平面上直线可以与平面有三种不同的位置关系：直线在平面之内、直线在平面之上以及直线与平面相交。
1. 直线在平面之内直线在平面之内指的是直线的所有点都在平面上。
当直线与平面没有交点时，可认为直线在平面之内，如图1所示。
2. 直线在平面之上直线在平面之上指的是直线与平面不相交，也就是直线的所有点都在平面的同一侧。
当直线与平面平行时，可认为直线在平面之上，如图2所示。
3. 直线与平面相交直线与平面相交通常存在交点，交点可以是唯一的也可以是无穷多个。
当直线与平面仅有一个交点时，可认为直线与平面相交，如图3所示。
二、直线与平面的交点当直线与平面相交时，交点的性质也具有一定的规律和特点。
1. 交角直线与平面相交时，与平面相切的直线与平面的夹角被称为交角。
交角的大小受到直线与平面的位置关系的影响。
当直线在平面之上时，所对应的交角为锐角；当直线在平面之内时，所对应的交角为钝角，如图4所示。
2. 交点的个数直线与平面的位置关系决定了交点的个数。
当直线与平面平行时，直线与平面没有交点；当直线与平面有且只有一个交点时，直线穿过平面。
若直线与平面有无穷多个交点，则直线包含于平面中，如图5所示。
三、直线与平面的平行与垂直关系直线与平面之间的平行和垂直关系是空间几何中常见的情况。
1. 直线与平面的平行关系直线与平面平行指的是直线与平面没有任何交点，并且它们的方向也相同或者完全相反。
当两条直线都与同一个平面平行时，这两条直线也可以认为是平行的。
平行关系是指直线与平面之间的一种基本的位置关系，具有重要的数学应用价值。
2. 直线与平面的垂直关系直线与平面垂直指的是直线与平面之间的夹角为90度。
当直线与平面的方向垂直时，可以说直线与平面垂直。
空间平面的位置关系与角度计算
空间平面的位置关系与角度计算一、空间平面的位置关系在空间几何中，平面是一个重要的概念，而平面的位置关系以及角度计算是该领域中的基础知识。
本文将介绍空间平面的位置关系以及如何计算平面之间的角度。
1. 平行平面：当两个平面上的每一对相交直线的夹角都为垂直时，这两个平面称为平行平面。
可以用符号“∥”表示平行关系。
当两个平面平行时，它们的法线向量是相互平行的。
2. 相交平面：当两个平面上存在公共直线时，这两个平面称为相交平面。
相交平面的交线是两个平面的公共部分，可以用直线上两点的坐标表示。
3. 垂直平面：当两个平面的法线向量互相垂直时，这两个平面称为垂直平面。
可以用符号“⊥”表示垂直关系。
4. 平面与直线的关系: 平面与直线之间有三种可能的位置关系，即平面与直线相交、平面包含直线和平面平行于直线。
当平面与直线相交时，它们的交点可以通过求解平面和直线的方程得到。
二、角度计算在空间几何中，我们常常需要计算平面之间的角度。
下面介绍两种常用的计算方法：1. 垂直平面的夹角计算：当两个平面互相垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量之间的夹角来计算。
假设两个平面的法线向量分别为n1和n2，它们的夹角可以通过计算n1和n2的点乘结果的余弦值得到。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
2. 平面之间的夹角计算：当两个平面不垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量所成的夹角来计算。
首先，我们需要计算两个平面的法线向量的点乘结果的余弦值，然后使用反余弦函数得到夹角的值。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
综上所述，空间平面的位置关系与角度计算是空间几何的重要内容。
通过了解平行平面、相交平面、垂直平面以及平面与直线的关系，我们可以更好地理解空间中的几何形状。
空间中直线与平面的夹角
空间中直线与平面的夹角在三维几何中，我们经常会涉及到直线与平面之间的夹角问题。
直线与平面的夹角是指直线与平面的交角，它是我们研究空间几何学中的一个重要概念。
下面将从定义、求解方法以及几个实际应用方面来详细讨论空间中直线与平面的夹角。
一、夹角的定义在空间中，我们可以将直线与平面的夹角定义为直线上任意一点到平面上的一个垂线与平面的交角。
这个交角的大小与直线与平面的相对位置有关。
二、求解直线与平面夹角的方法1. 垂线法求解夹角的一种基本方法是使用垂线法。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面的方程；（2）求解直线方程与平面方程的交点；（3）在交点处作直线与平面的垂线；（4）求解垂线与平面的交角，即为所求夹角。
2. 向量法另一种求解夹角的方法是使用向量法。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面的法向量；（2）计算直线和平面法向量的内积；（3）利用内积的性质，求解夹角的余弦值；（4）通过反余弦函数求得夹角的度数。
三、实际应用直线与平面的夹角在实际问题中有着广泛的应用。
以下将介绍几个实际应用的例子。
1. 光的反射与折射在光学中，直线与平面的夹角对于描述光的反射与折射现象非常重要。
根据折射定律，当光线从空气中斜射入玻璃等介质时，光线与介质界面的夹角决定了光线的折射方向。
利用夹角的求解方法可以计算光线在介质中的传播路径。
2. 直线运动与平面路径在物理学中，直线与平面的夹角也可以用于描述直线运动与平面路径的关系。
当一个物体沿着直线运动的同时在平面上投影，则直线与平面的夹角可以表示运动轨迹的倾斜程度。
例如，在斜面上滑动的物体，可以通过测量斜面的倾角来计算物体在斜面上的运动速度和加速度。
3. 空间向量的投影在线性代数中，空间向量的投影是一个重要的概念。
直线与平面的夹角可以用来计算空间向量在平面上的投影长度。
这在计算机图形学、机械设计等领域中有着广泛的应用。
综上所述，空间中直线与平面夹角是一个重要的几何概念，通过垂线法和向量法可以求解夹角的大小。
空间几何中的直线和平面的性质
空间几何中的直线和平面的性质在空间几何中，直线和平面是两个基本的几何概念。
它们在数学研究和实际问题中起着重要作用。
本文将探讨直线和平面的性质，包括定义、性质以及二者之间的关系。
一、直线的性质直线是最简单的几何图形之一，可以由无限多个点组成，并且通过任意两点可以唯一确定一条直线。
直线有以下一些重要的性质：1. 直线的长度：由于直线是无限延伸的，因此直线没有长度。
直线只有方向，用箭头表示。
2. 直线的笔直性：直线上的任意两点之间的线段都位于直线上，直线没有弯曲和交叉。
3. 直线的平衡性：直线的两侧没有明显的倾向性，可以在任意一点作垂直于直线的线段，该线段在两侧长度相等。
4. 直线的延伸性：直线可以无限延伸，既可以向前延伸，也可以向后延伸。
5. 直线的平行性：直线可以与自身平行，也可以与其他直线平行。
当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。
二、平面的性质平面是一个二维的几何概念，由无限多个点组成，并且任意三点不共线可以确定一个平面。
平面有以下一些重要的性质：1. 平面的无限延伸性：平面可以无限延伸，既可以在平面上平移，也可以在平面上旋转。
2. 平面的平直性：平面上的任意两点之间的线段都位于平面上，平面没有弯曲和折叠。
3. 平面的两面性：平面可以分为两个互相垂直的半平面，一侧为正面，另一侧为背面。
4. 平面的无限大性：平面没有大小之分，可以根据需要调整大小，但保持平面特性不变。
5. 平面的垂直性：平面可以与自身垂直，也可以与其他平面垂直。
当两个平面的法向量垂直时，它们是垂直的。
三、直线与平面的关系直线和平面在空间几何中有着紧密的联系，它们之间的关系如下：1. 直线与平面的交点：一条直线可以与一个平面相交于一个点，也可以与一个平面相交于多个点。
交点的位置取决于直线和平面的相对位置。
2. 直线与平面的平行关系：一条直线可以与平面平行，也可以与平面不平行。
当直线与平面平行时，它们没有交点。
3. 直线在平面上的投影：一条直线在平面上的投影是与该直线平行的平面上的线段。
空间几何中直线与平面的夹角关系
空间几何中直线与平面的夹角关系在空间几何中，直线与平面是两个基本的几何元素。
研究直线与平面的夹角关系是我们理解空间几何的重要一步。
本文将探讨直线与平面的夹角概念、计算方法以及相关性质。
首先，我们来定义直线与平面的夹角。
直线与平面的夹角可以理解为直线在平面上的投影与平面的法线之间的夹角。
具体而言，设直线L的方向向量为d，平面P的法线向量为n，则直线L与平面P的夹角定义为它们的方向向量d和法线向量n的夹角θ。
接下来，我们将讨论如何计算直线与平面的夹角。
在空间几何中，计算夹角的方法可以利用向量的内积。
设直线L的方向向量为d，平面P的法线向量为n，则直线L与平面P的夹角θ可以通过以下公式计算得出：θ = arccos(|d·n| / ||d|| ||n||)其中，d·n表示向量d和向量n的内积，||d||和||n||分别表示向量d和向量n的模。
这个公式是根据向量的内积和模的定义推导得出的，能够准确计算直线与平面的夹角。
除了计算夹角，直线与平面的夹角还有一些重要的性质。
首先是直线与平面的夹角与法线的夹角是互补角的关系。
也就是说，直线L与平面P的夹角θ与直线L在平面P上的投影线与平面P的法线的夹角是互补角，即θ + φ = 90°。
这个性质可以通过向量的投影和内积的性质进行推导。
另外一个重要的性质是直线与平面的夹角与平面的倾斜角相等。
平面的倾斜角定义为该平面与水平面之间的夹角。
因此，直线L与平面P的夹角θ与平面P与水平面的夹角是相等的。
这个性质可以通过夹角的定义和平面的倾斜角的定义进行证明。
最后，我们将讨论直线与平面的夹角在实际问题中的应用。
直线与平面的夹角在机械工程、建筑工程等领域有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定建筑物的屋面倾斜角度，就可以利用直线与平面的夹角来计算。
在机械制造中，机械零件的装配和调整也需要考虑直线与平面的夹角。
总之，直线与平面的夹角关系是空间几何研究的重要内容。
空间几何中的平面与直线的夹角
空间几何中的平面与直线的夹角空间几何是数学中的一个重要分支，研究了点、线、面以及它们之间的关系。
在空间几何中，平面和直线是两个基本的几何元素，它们之间的夹角是我们研究的主题之一。
一、在平面上的夹角在二维平面中，两条线段之间的夹角可以通过它们的斜率来计算。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则直线L1和L2之间的夹角θ可以表示为：θ = arctan(|(k1-k2)/(1+k1k2)|)其中，arctan函数代表反正切函数，|x|代表x的绝对值。
举个例子来说明，假设直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为-1/2，则它们之间的夹角θ可以计算为：θ = arctan(|(1-(-1/2))/(1+1/2)|) = arctan(3/2)二、在三维空间中的夹角在三维空间中，平面与直线的夹角的计算稍微复杂一些。
我们可以通过计算平面的法向量与直线的方向向量之间的夹角来确定。
1. 平面的法向量平面可由一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0。
其法向量可由系数A、B、C得到，即向量N = (A, B, C)。
2. 直线的方向向量直线可表示为参数方程：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中向量V = (a, b, c) 就是直线的方向向量。
3. 夹角的计算设平面的法向量为N = (A, B, C)，直线的方向向量为V = (a, b, c)，则平面与直线的夹角θ可以计算为：θ = arccos(|N·V| / (|N| * |V|))其中，·代表向量的点乘，|N|和|V|分别表示向量N和向量V的模。
举个例子来说明，假设平面的法向量为N = (1, 2, 3)，直线的方向向量为V = (4, 5, 6)，则它们之间的夹角θ可以计算为：θ = arccos(|(1, 2, 3)·(4, 5, 6)| / (√(1^2+2^2+3^2) * √(4^2+5^2+6^2)))= arccos(32 / (√14 * √77))在计算夹角的过程中，要注意向量的模不为零，否则会出现除数为零的情况。
直线与平面的夹角
直线与平面的夹角直线与平面的夹角是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将对直线与平面的夹角进行详细的介绍。
一、直线与平面的定义直线是由无数相互平行的点组成的，它没有长度和宽度，只有方向。
平面是由无数相互平行的直线组成的，它有无限大的长度和宽度，没有厚度。
直线与平面的夹角，指的是直线与平面之间的夹角。
夹角的大小可以通过两条直线的夹角来衡量。
二、直线与平面的基本关系直线与平面的相对位置有三种情况：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行。
1. 直线在平面上：当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面上。
例如，过点A(1, 2, 3)且方向向量为向量a(2, -1, 1)的直线在平面Ax+By+Cz+D=0上。
由于向量a与平面的法向量(1, -2, -3)相垂直，所以直线在平面上。
2. 直线与平面相交：当直线上有一点同时在平面上时，直线与平面相交。
Ax+By+Cz+D=0相交。
将点A代入平面方程可得A的坐标满足方程，因此直线与平面相交。
3. 直线与平面平行：当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面平行。
例如，过点A(1, 2, 3)且方向向量为向量a(2, -1, 1)的直线与平面4x-2y+2z+5=0平行。
由于向量a与平面的法向量(2, -1, 1)平行，直线与平面平行。
三、直线与平面的夹角计算直线与平面的夹角可以通过点乘运算和向量的模长计算得到。
点乘运算可以求得两个向量之间的夹角。
设P为直线上的一点，n为平面的法向量，则向量PN垂直于平面。
设向量a为直线的方向向量，则夹角的余弦可以通过向量的点乘运算得到：cosθ = (n·a) / (|n|·|a|)其中，θ为直线与平面的夹角，(n·a)为点乘运算结果，|n|和|a|为向量的模长。
四、示例计算现在，我们通过一个实际例子来计算直线与平面的夹角。
2y+2z+5=0的夹角。
空间几何中的平面与直线的夹角与垂直关系
空间几何中的平面与直线的夹角与垂直关系在空间几何中，平面与直线是两种重要的几何要素，它们的夹角和垂直关系是我们研究几何性质的基础。
本文将介绍平面与直线之间的夹角以及垂直的定义、性质和应用。
一、平面与直线的夹角1. 夹角的定义在空间几何中，平面与直线之间的夹角可以由两个向量的夹角来定义。
设平面P与直线L相交于点O，过O点取平面上的两个不同点A和B，过O点取直线上的两个不同点C和D。
则向量→OA与→OC分别是平面P和直线L的向量，它们的夹角称为平面P与直线L的夹角。
2. 平面与直线的夹角性质（1）夹角的度量：夹角的度量用弧度制表示，记作∠POC=θ。
（2）夹角的范围：夹角的范围为0≤θ≤π。
（3）零角和平角：当平面与直线重合时，夹角为零角；当平面与直线平行时，夹角为平角。
（4）夹角的正负：当平面P与直线L按照顺时针方向看去夹角为正，逆时针方向看去夹角为负。
3. 平面与直线的夹角应用（1）判断两条直线的夹角：通过计算两条直线的向量，再计算向量之间的夹角，可以判断两条直线之间的夹角大小和正负。
（2）判断平面与直线的垂直关系：若平面与直线的夹角为直角，则称该平面与直线垂直。
二、平面与直线的垂直关系1. 垂直的定义在空间几何中，平面P与直线L垂直的定义为：平面P与直线L的任意一条直线都与平面P⊥直线L。
2. 垂直关系的判定（1）向量法判定：若平面P上的两个不同向量都与直线L所在的方向向量垂直，则平面P与直线L垂直。
（2）点法判定：通过判断平面上的任意一点到直线的垂足的距离，若该距离为零，则平面P与直线L垂直。
3. 垂线的性质（1）垂线与直线的夹角：垂线与直线夹角为零角。
（2）垂线的唯一性：从直线到平面的垂线只有一条。
三、平面与直线夹角与垂直关系的应用1. 平面与直线的交点问题：通过夹角和垂直关系的判定，可以确定平面与直线的交点，从而解决相关几何问题。
2. 方位角的计算：在三维坐标系中，通过夹角的计算可以求解平面与直线的方位角，进而应用于导航、航空等领域。
专题10空间中的位置关系与夹角问题11月19日终稿
专题10空间中的位置关系与夹角问题知识点一 直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点异面直线的公垂线定义:同时和两条异面直线垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线. 知识点二 平行与垂直的判定及性质 1．平行的判定文字语言图形语言符号语言判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行．性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．文字语言图形语言 符号语言判定定理 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行2．垂直的判定（一）直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直文字语言图形语言符号语言判 定 定 理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行文字语言图形语言符号语言判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面【例 1】已知a ，b 为异面直线.对空间中任意一点P ,存在过点P 的直线 （ ）. A. 与a ，b 都相交 B. 与a ，b 都垂直 C. 与a 平行, 与b 垂直 D. 与a ，b 都平行【例 2】(青羊区校级模拟)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则（ ） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面D ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 相交【例3】(翠屏区校级月考)已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β∥，:q αβ∥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例4】(2018•浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】(2021•浙江卷)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ） A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线MN ∥平面ABCDB ．直线【解析】由αβ∥，直线a α⊂，可得a β∥，反之不成立，α与β可能相交．p ∴是q 的必要不充分条件．故选：B ．1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线MN ∥平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【例6】(2021•新高考Ⅱ卷)如图，下列正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例7】(青岛二模)已知正方体1111ABCD A B C D -，动点P 在线段BD 上，则下述正确的是（ ） A ．11PC AD ∥ B ．11PC AC ⊥ C ．1PC ⊥平面1A BDD ．1PC ∥平面11AB D【解题总结】几个常用的结论：（1）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（2）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）垂直于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一直线的两个平面互相平行．（5）此类判断题要警惕“线在面内”的特殊情况．【例8】(金东区校级期中)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，122AB BC BB ===，90ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．求证：1A B ∥平面1ADC ；【例9】(沙坪坝区校级模拟)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，123C D =．（1）求证：1A B ∥平面1AC D ；【例10】在正方体1111ABCD A B C D -中, E 是AB 的中点,点F 在1CC 上, 且12CF FC =. 若点P 是侧面11AA D D 上一动点,且1PB ∥平面DEF , 则tan ABP ∠的取值范围是 ．【例11】(日照一模)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD DC ⊥，PA AB ⊥，12BC CD AD ==，E 是边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成角为2π． （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；【例12】(鹤壁模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形．AD ⊥底面ABC ，AD BE CF ∥∥，4AD =，3CF =，45DAE ∠=︒． （1）证明：AE DF ⊥；【例13】(2022•全国甲卷)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，3DP（1）证明：BD PA ⊥； 【解题总结】线面与面面垂直的题型最终都归结在线线垂直的证明，而显现垂直的思路可总结为： 证明12l l ⊥，先看两直线的位置关系，如果：⎧⎪⇒⎨⎪⎩三线合一（有等腰三角形就必用）共面勾股定理（题目中线段数据多）其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）⇒⇒⇒异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂直知识点三 投影与三垂线定理 1.投影的概念光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫 做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.2.投影的分类:(1)中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.(2)平行投影:把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.在平行投影中，投影线正对着(即垂直)投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影. 高中阶段我们只考虑正投影. 3.正投影的性质:(1)直线或线段的平行投影仍然是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或是重合的.(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长. (4)与投射面平行的图形，它的投影与这个图形全等.(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.注：在立体几何中，通常会运用到直线或线段的投影，只需找直线或线段中两个不重合的点，分别向平面做垂线，垂足间的连线即为投影直线.4.三垂线定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（射影即投影）证明:①三垂线定理:已知直线1l x A =，过直线上任意点P 作PO x ⊥连接OA ，则OA 为直线1l 的投影为2l x ⊂，所以2PO l ⊥，若2OA l ⊥，OA PO O =，故2l ⊥平面OAP ， 又因为1l ⊂平面OAP ，所以12l l ⊥. 记为投影垂直于平面上的线，则斜线垂直平面上的线. ②三垂线定理的逆定理:已知直线1l x A =,过直线上任意点P 作PO x ⊥，连接OA ，则OA 为直线1l 的投影，因为2l x ⊂，所以2PO l ⊥，若2PA l ⊥，POPA P =，故2l ⊥平面OAP ，又因为OA ⊂平面OAP ，所以2OA l ⊥. 记为斜率垂直于平面上的直线，则斜线在平面的投影垂直该直线.注：此定理用在大题中，需要注明.由于三垂线定理的本质就是异面直线垂直与线面垂直，所以我们可以运用逆向思维，利用三垂线定理解决线线垂直与线面垂直问题.【例14】(2017•新课标Ⅲ)在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【例15】(2022秋•甘井子区校级月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD （含端点）上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．存在点E ，使1B E AC ⊥B ．异面直线1B E 与AD 所成的角最小值为4π C ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有11AC B E ⊥D ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有1B E ∥平面1A BD【例16】(浦东新区校级开学)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（ ）A ．(12)，B ．11[)52，C ．12(5，D ．1[1)5，知识点四夹角问题1.几何法求线面角与二面角：对于线面角，一般指斜线与斜线在平面的投影所成的夹角；只需在斜线上找一点向平面做垂线，构造直角三角形求夹角，或构造垂直平面且过直线的平面，利用余弦定理求夹角. 对于二面角，一般指两个相交半平面形成的夹角，常用在平面上且垂直两平面交线的两条射线的夹角来表示二面角的平面角；只需在两个平面上分别找到垂直交线的直线，构造三角形，利用余弦定理求夹角.2.空间向量求夹角：空间向量是求夹角最常用的方式，此类问题将在本书专题14详细叙述.3.投影面积法求二面角:二面角:cos S Sθθ'=，其中S 为斜面面积，S '为投影面积在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB a ==，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小(投影面积法)如图，AD PA AD AB AD PA AB A ⎫⎪⇒⎬⎪=⎭⊥⊥⊥平面PBA 于A ，同时，BC ⊥平面BPA 于B ，故PBA △是PCD △在平面PBA 上的射影，设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则2cos 45PAB PCD S S θθ==⇒=△△. 4.已知异面直线段AB a =，CD b =，异面直线夹角θ，且异面直线距离为d 则四面体ABCD 体积为:1sin 6ABCD V abd θ=.5.空间余弦定理:空间四边形ABCD 的两条异面直线AC 与BD 夹角为θ，则满足:2222||||||||cos 2|||||AB CD AD BC AC BD θ+--=⋅【证明】如图所示，四边形ABCD 中，2222|()()()|||||||AD BC AB CD AD AB AD AB BC CD +--+⋅-+=+.()()()()2BC CD AD AB BD BD BC CD AD AB BC CD BD AC BD -=+⋅+⋅-=++-⋅=⋅，则有2222||||||||2||co ||||s A B C BD AB CD AD BC AC D ++-=⋅⋅，于是2222|||||||cos 2|||||AB CD AD BC AC BD θ--=+⋅.特别地当AC BD ⊥时，有2222||||||||AB CD AD BC +=+.6.设二面角C OB A --大小为α，1COB θ∠=，2AOB θ∠=，AOC θ∠=，如图所示，此时三余弦定理可推广为:1212cos cos cos sin sin cos θθθθθα=+，特别地，当2πα=时，有12cos cos cos θθθ=.【证明】设1OB =，则有11||cos CO θ=，21||cos AO θ=，1||tan CB θ=，2||tan AB θ=，于是2211||()cos AC θ=+2221212212111()2cos (tan (tan 2tan tan cos cos cos cos ))θθθθθαθθθ-⋅⋅=+-，化简得到12cos cos cos θθθ=+12sin sin cos θθα.特别地，当2πα=时，有12cos cos cos θθθ=.7.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，是这条斜线和平面内任一直线所成角中的最小者，即线面角是最小的线线角.(由三余弦定理cos cos cos PAB OAB θ∠=⋅∠可得)8.最大角定理:对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.(由三正弦定理sin sin sin PAB θα=⋅∠可得)【例17】如图所示为一个半圆柱，E 为半圆弧CD 上一点，5CD .（1）若25AD =，求四棱锥E ABCD -的体积的最大值；（2）有三个条件：①4DE DC EC DC ⋅=⋅；②直线AD 与BE 所成角的正弦值为23；③sin 6sin EAB EBA ∠∠.请你从中选择两个作为条件，求直线AD 与平面EAB 所成角的余弦值.【例18】如图，几何体的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PCD △和PAD △均为正三角形，M ，N 分别为CD ，PB 的中点.（1）求证：PA MN ⊥；（2）求二面角P CM N --的余弦值.【例19】如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） 3 15 10 3【例20】如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC △和VAC △均是等腰直角三角形，AB =BC ，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.(1)求证:AB ∥平面CMN ; (2)求证:AB VC ⊥;(3)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.【例21】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且12AB AA ==，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点. (1)求证:EF ⊥平面1AB F ;(2)求锐二面角1B AE F --的平面角的余弦值.【例22】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11A C 上的点.记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）A.αβγ≤≤B.βαγ≤≤C.βγα≤≤D.αγβ≤≤同步训练1.(2016•新课标Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题: ①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ①如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ①如果αβ∥，m α⊂，那么m β∥．①如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题是 ．(填序号)2.(焦作月考)在三棱锥P ABC -中，PB PC =，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，G 为PD 的中点，若EG AC ⊥且EG PD ⊥，则下列结论中不一定正确的是( ) A ．BC ∥平面EFG B ．PA ∥平面EFGC ．AC ⊥平面EFGD ．PD ⊥平面EFG3.(山东模拟)已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，E 为线段1B C 上的动点，O 为AC 的中点，P 为棱1CC上的动点，Q 为棱1AA 的中点，则以下选项中正确的有( ) A ．1AE B C ⊥B ．直线1B D ⊥平面11A BCC ．异面直线1AD 与1OC 所成角为3π D ．若直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，则m ∥平面11B D Q4.如图， 在正方体 1111ABCD A B C D - 中， O ，E 分别为1B D ，AB 的中点.求证: OE ∥ 平面11BCC B .5.(天河区三模)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线EF ∥平面PAD D ．直线EF ∥平面ABCD 6.(徐州期中)在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是PB ，BC 中点，若F 在线段AC 上，且满足AD ∥平面PEF ，则AFFC的值为 ． 7.(邢台月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是线段AC ，PD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PAB B ．EF ∥平面PBC C ．CF ∥平面PABD ．AF ∥平面PBC8.如图，平面EFGH 分别与空间四边形ABCD 中的BD 、AD 、AC 、BC 交于E 、F 、G 、H ，且AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ，CD a =，AB b =，CD AB ⊥．(1)求证EFGH 为矩形；(2)点G 在什么位置时，EFGH S 最大？9.(2022•新高考2卷) 如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点． (1)求证:OE ∥平面PAC ；10.(烟台三模)如图，在平面五边形PABCD 中，PAD △为正三角形，AD BC ∥，90DAB ∠=︒且22AD AB BC ===．将PAD △沿AD 翻折成如图所示的四棱锥P ABCD -，使得7PC ．F ，Q 分别为AB ，CE 的中点．(1)求证:FQ ∥平面PAD ；11.如图， 在正四棱锥 P ABCD - 中， E 是 PC 中点，PB 与底面所成角的正切值为 6， 请在平面 PAB 中找一点 F ，使 得 FE ⊥ 平面 PCD .12.(2018•全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明:PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．13.(2020•全国I 卷)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明:平面PAB ⊥平面PAC ；14.(江都区校级月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA AB =，E 为PB 的中点． (1)若过C ，D ，E 的平面交PA 于点F ，求证:F 为PA 的中点； (2)若平面PAB ⊥平面PBC ，求证:BC PA ⊥．15.(2021•乙卷)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥． （1）证明:平面PAM ⊥平面PBD ；16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，12AE CD =. (1)证明: PC AD ⊥；17．(北京期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 且与直线1BD 垂直的所有面对角线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．(金台区期末)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，则直线PQ 与1BD 的关系是（ ）A ．异面B ．平行C ．垂直不相交D ．垂直且相交19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，沿直线MD ，DN ，NM 分别将AMD △，CDN △，BMM △折起，点A ，B ，C 重合于一点P .(1)证明:平面PM D ⊥平面PND ； (2)若3cos 5DPN ∠=，5DP =，求直线DP 与平面DNM 所成角的正弦值. 20．如图所示，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，1BC CD ==，(1)AB AD t t ==>，将其沿对角线AC 翻折(如图)，使得60BCD ∠=︒.(1)求证:AC BD ⊥；(2)设AC 与平面BCD 所成角为1θ，二面角B AC D --的平面角为2θ，若12θθ=，求t 的值.21.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是?22.在三棱柱ABC A B C '-''中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB C C ''的中心，则AD 与平面BB C C ''所成角的大小是（ ）A.30B.45C.60D.9023.(2019·浙江卷)设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A.βγ<，αγ< B.βα<，βγ< C.βα<，γα< D.αβ<，γβ<。
空间几何中的直线与平面关系
空间几何中的直线与平面关系空间几何是研究物体在三维空间中的形状、大小和相对位置关系的数学分支领域。
在空间几何中，直线和平面是两个基本的几何要素，它们之间的关系十分重要。
本文将探讨直线与平面之间的关系，并介绍几个相关的重要定理和性质。
1. 直线与平面的交点在空间几何中，一条直线与一个平面可以有三种不同的关系：直线与平面相交，直线在平面内，或者直线与平面平行。
首先考虑直线与平面相交的情况。
当直线与平面相交时，它们一定有一个交点。
这个交点可以通过求解直线和平面的方程组来确定。
具体而言，如果直线的方程为l: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，平面的方程为π: Ax + By + Cz + D = 0，那么求解方程组l∩π即可得到直线与平面的交点坐标。
2. 直线与平面的位置关系除了相交的情况外，直线与平面还有可能在平面内或者平行于平面。
首先讨论直线在平面内的情况。
如果一条直线完全位于一个平面内部，那么该直线上的任意一点都满足平面的方程，即直线上的点(x, y, z)满足Ax + By + Cz + D = 0。
此外，直线上的两点不在平面上可以通过将直线方程带入平面方程进行验证。
如果求解方程组l∩π有无穷多解，即方程组的系数矩阵的秩小于3，那么直线就在平面内。
另外一种常见的情况是直线与平面平行。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，那么直线与平面平行。
也就是说，如果直线的方程为l: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，平面的法向量为n = (A, B, C)，那么直线与平面平行的充要条件是aA + bB + cC = 0。
在这种情况下，直线与平面没有交点。
3. 直线与平面的夹角除了位置关系外，直线与平面之间的夹角也是一个重要的概念。
直线与平面的夹角定义为直线上的向量与平面的法向量之间的夹角。
具体而言，如果直线的方向向量为d = (a, b, c)，平面的法向量为n = (A, B, C)，那么直线与平面的夹角θ可以通过向量的点乘公式计算：cosθ = (aA + bB + cC) / (|d| |n|)。
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空间几何直线与平面的位置关系与夹角
空间几何中，直线和平面是两种常见的几何图形。
它们在空间中的位置关系以及它们之间的夹角是几何学中的重要概念。
本文将探讨直线与平面的位置关系以及它们之间的夹角。
一、直线与平面的位置关系
在空间几何中，直线与平面有以下三种位置关系：平行、相交、重合。
1. 平行：当直线与平面没有交点时，它们被认为是平行的。
平行的直线与平面永远不会相交。
2. 相交：当直线与平面有一个交点时，它们被认为是相交的。
相交的直线与平面在该交点处有唯一的交点。
3. 重合：当直线完全位于平面上时，它们被认为是重合的。
重合的直线与平面完全重合，无法区分。
二、直线与平面的夹角
夹角是两条直线或两个平面之间的角度。
在空间几何中，夹角可分为以下三种情况：直线与直线的夹角、平面与平面的夹角、直线与平面的夹角。
1. 直线与直线的夹角：直线与直线之间的夹角可以通过它们的方向余弦来计算。
夹角的大小介于0度和180度之间，可以是锐角、直角或钝角。
2. 平面与平面的夹角：平面与平面之间的夹角可以通过它们的法线
向量来计算。
夹角的大小介于0度和90度之间，可以是锐角或直角。
3. 直线与平面的夹角：直线与平面之间的夹角可以通过直线在平面
上的投影长度和直线与平面法线的夹角来计算。
直线与平面的夹角大
小介于0度和90度之间。
三、应用案例
直线与平面的位置关系以及夹角在实际应用中有广泛的应用。
以下
为两个具体案例：
1. 建筑设计：在建筑设计中，直线与平面的位置关系与夹角的概念
被广泛应用。
例如，建筑师需要考虑墙体与地板的夹角以及天花板与
墙体的夹角等，以确保建筑物的结构和外观符合设计要求。
2. 机械工程：在机械工程中，直线与平面的位置关系与夹角的概念
被用于设计机器零件的装配。
例如，螺栓与螺母之间的夹角需要合适，以确保机器零件的连接牢固。
总结：
直线与平面的位置关系与夹角是空间几何中重要的概念。
通过理解
它们的定义和计算方法，我们可以更好地理解和应用几何学原理。
无
论是在建筑设计还是机械工程中，这些概念都发挥着重要的作用，帮
助我们实现准确的设计和高效的生产。
因此，深入理解直线与平面的
位置关系与夹角对于我们的学习和工作都具有重要意义。