求轨迹方程的六种方法

中学数学解题方法讨论

-------求轨迹方程的方法

道县五中 周昌雪

内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。

曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。

求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。、交轨法等求之。

求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法

由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。

一、

用待定系数法求轨迹方程

曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。

例1 已知椭圆2

2

51470x y +=和直线:90l x y -+=，在直线l 上任取一点P ，过P 且以已

知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。

解 已知椭圆的焦点()()123,0F 30F -和，，从而设所求椭圆的方程为22

2219

x y a a +=-。若过l 上的P 点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。把直线方程代入椭圆方程，利用判别式

等于0，得2

45a =，从而椭圆方程为

22

14536

x y +=.

例2 已知双曲线C 的两个焦点为12,F F ，直线L 过点2F ，

与线段12F F 夹角为,α且 tan α=

2

，与线段12F F 垂直平分的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF =，求双曲线方程。

解 取12F F 所在直线为x 轴，12F F 的中垂线为Y 轴建立直角坐标系，设双曲线方程为

22

2

21x y a b

-=，设()()12,0,,0F c F c -,

由题意直线L 的方程为)y x c =

-，令0x =，得点P 的坐标为0,2⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

，又2

2P Q Q F =，

由定比分点坐标公式可得点Q 坐标2,36c ⎛⎫

-

⎪ ⎪⎝⎭

. 因为点Q 在双曲线上，所以22

22

4211936c c a b

-=， ① 又2

2

2

c a b =+, ② 由①、②消去c ，化简整理得

42

1641210b b a a ⎛⎫⎛⎫

--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

解得b a =③

又由已知有ab =④

由③、④得a=1,b=,则所求双曲线方程为2

2

13

y x -=。 又由对称性知，双曲线2

2

13

x y -=也适合。

故所求双曲线方程为22

13y x -=或22

13

x y -=

二、用直译法求轨迹方程

直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论。

例3 已知直角任何坐标平面上的点Q(2,0)和圆O:x 2

+y 2

=1，动点M 到圆O 的切线长与MQ 的

比等于常数λ(λ>0)。求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

解 设直线MN 切圆于点N ，则动点M 组成的集合是P={M ∣∣MN ∣=λMQ }.

设M(x,y)=

()()2

222214140x y x λ

λλ-+-++=

经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故这个方程为所求，当λ=1时，它表示一条直线，当λ≠1时，它表示一个圆。

例4 求与y 轴相切，并且和圆2

2

40x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程.

解 由2

2

40x y x +-=,有()2

22

22x y -+=.

设动圆的圆心P （x,Y ）,由题意记A （2，0），则2PA x =+,2x =+,化

简得2

44y x x =+,当0x ≥时，2

8;y x =当x ﹤0时,y=0.

综上，所求圆心的轨迹方程为2

8y x =(x ≥0)或y=0(x <0)

三、

用定义法求轨迹方程

若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之。

例5 如图所示，直线1l 和2l 相交于M ，12l l ⊥,点1N l ∈，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点

到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，AM =3AN =,且6AB =，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。