求轨迹方程的六种方法

中学数学解题方法讨论-------求轨迹方程的方法道县五中 周昌雪内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。

本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。

曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。

曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。

求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。

检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。

、交轨法等求之。

求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。

求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。

一、用待定系数法求轨迹方程曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。

例1 已知椭圆2251470x y +=和直线:90l x y -+=，在直线l 上任取一点P ，过P 且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。

解 已知椭圆的焦点()()123,0F 30F -和，，从而设所求椭圆的方程为222219x y a a +=-。

若过l 上的P 点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。

把直线方程代入椭圆方程，利用判别式等于0，得245a =，从而椭圆方程为2214536x y +=.例2 已知双曲线C 的两个焦点为12,F F ，直线L 过点2F ，与线段12F F 夹角为,α且 tan α=2，与线段12F F 垂直平分的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF =，求双曲线方程。

解 取12F F 所在直线为x 轴，12F F 的中垂线为Y 轴建立直角坐标系，设双曲线方程为22221x y a b-=，设()()12,0,,0F c F c -,由题意直线L 的方程为)y x c =-，令0x =，得点P 的坐标为0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又22P Q Q F =，由定比分点坐标公式可得点Q 坐标2,36c ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 因为点Q 在双曲线上，所以22224211936c c a b-=， ① 又222c a b =+, ② 由①、②消去c ，化简整理得421641210b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得b a =③又由已知有ab =④由③、④得a=1,b=,则所求双曲线方程为2213y x -=。

又由对称性知，双曲线2213x y -=也适合。

故所求双曲线方程为2213y x -=或2213x y -=二、用直译法求轨迹方程直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论。

例3 已知直角任何坐标平面上的点Q(2,0)和圆O:x 2+y 2=1，动点M 到圆O 的切线长与MQ 的比等于常数λ(λ>0)。

求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

解 设直线MN 切圆于点N ，则动点M 组成的集合是P={M ∣∣MN ∣=λMQ }.设M(x,y)=()()2222214140x y x λλλ-+-++=经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故这个方程为所求，当λ=1时，它表示一条直线，当λ≠1时，它表示一个圆。

例4 求与y 轴相切，并且和圆2240x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程.解 由2240x y x +-=,有()22222x y -+=.设动圆的圆心P （x,Y ）,由题意记A （2，0），则2PA x =+,2x =+,化简得244y x x =+,当0x ≥时，28;y x =当x ﹤0时,y=0.综上，所求圆心的轨迹方程为28y x =(x ≥0)或y=0(x <0)三、用定义法求轨迹方程若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之。

例5 如图所示，直线1l 和2l 相交于M ，12l l ⊥,点1N l ∈，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，AM =3AN =,且6AB =，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

M N 1l解 如图所示，建立坐标系，以1l 和2l 为轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，点 O 为坐标原点建立直角坐标系。

依题意知：曲线段C 是以点 N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点，设曲线段C 的方程为y 2=2px(p>0,x A ≤x ≤x B ,y>0)其中P=｜MN ｜,M(-2P ,0),N(2P，0),由AM =,3AN =得22217,2922A A A A p p x px x px ⎛⎫⎛⎫++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立解得1,4 2.2A A x p x P ====或△AMN 是锐角三角形，2A Px ∴>,舍去2,2A x P == 1,4A x P ∴== 又点B 在双曲线段上C 上，所以42B P x BN =-=，因此所求的曲线段C 的方程为y 2=8x(1≤x ≤4,y>0)例6 已知圆C ()22125x y ++=内一点A （1，0），Q 点为圆C 上任意一点，线段CQ 连线交于点M ，求点M 的轨迹方程。

解 连结AM ，点M 在线段AQ 的垂直平分线上,则AM=MQ,55CM MQ CM MA +=∴+=故点M(x,y)到点C （-1，0）和点A （1，0）的距离之和是常数5，且5>2，所以点P 的轨迹是一个以A 、C 为焦点的椭圆，∵2a=5, 2c=2, ∴222214b ac =-=, ∴点M 的轨迹方程为221252144x y +=. 四、用代入法求轨迹方程当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法。

例7 抛物线x 2=4x 的焦点为F ，过点M(0,-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程。

解 设R(x,y)，平行四边形FARB 的对角线的点为P(x 0,y 0)，F(0,1)由中点坐标公式得001,22x y x y +==, 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)则x 1≠x 2, 且x 12=4y 1,x 22=4y 2，，相减得x 12-x 22=4(y 1-y 2), 从而02AB x k =，又A 、P 、B 、M 四点共线，且001PM y k x +=，由K AB =K PM 得x 02=2(y 0+1)把001,22x y x y +==代入并整理得x 2=4y+12 注：动点是直线被方程圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程，这事实上就是中点弦问题的处理方法。

五、用参数法求轨迹方程若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法。

例9 给出定点A(a,0)(a ＞0)和直线l :x=-1,B 是直线l 上的动点,∠BOA 的平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 的关系解 设B(-1,t)，C(x,y)，则OB =C 分BA 所成的比为11BC OBx y CA OA a a x y aλ+-===∴==--消去t 并整理得点C 的轨迹方程为(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0(0≤x ＜a) 当a=1时，轨迹方程为y 2=x(0≤x ＜a)，它表示抛物线段；当a1≠时，轨迹方程可化为 222221111a x y a a a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+=⎛⎫⎪--⎝⎭(0≤x ＜a). 故当a ＞1时，方程表示双曲线一支上的弧段，当0＜a ＜1时，表示方程椭圆弧段。

例10 已知点P 在直线x=2上移动，直线l 通过原点且和OP 垂直，通过点 A （1，0）及点P 的直线m 和直线l 相交于Q ，求点Q 的轨迹方程。

解 如右图所示，设OP 所在直线的斜率为k ，则点P 的坐标为（2由l OP ⊥，得直线的方程为x+ky=0. ① 易得直线m 的方程为y=2k(x-1). ②因为点Q （x,y ）是直线l 和直线m 的交点，X所以由①②联立，消去k ，得点Q 的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(x ≠1). Q六、用交轨法求轨迹方程 m如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程。

“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。

例11 设点A 和B 为抛物线24(0)y px p =>上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB 、OM ⊥AB ，求点M 的轨迹，并说明它表示什么曲线。

解 设M(x,y)，直线AB 方程为y=kx+b ，把它代入y 2=4px ，消去x 得ky 2-4py+4pb=0，从而124pby y k=，因此2122b x x k =. 由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0，即b=-4kp ，所以y=kx+b=k(x-4p), 又OM ⊥AB,故x k y=-. 消去k 得点M 的轨迹方程x 2+y 2-4px=0(x ≠0).例12 已知点O 、点B 为二定点，1OB =,点P 是线段OB 上一点，分别以OP 、OB 为斜边在线段OB 的同一侧作等腰三角形OCP 和ODB 。