数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型

简介（P372）

特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型

GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测

②交通事故次数的预测

③某地区火灾发生次数的预测

④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库）

⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤

①级比检验与判断

GM(1,1)建模。

光滑比为

若序列满足

则序列为准光滑序列。

否则，选取常数c

建立模型:

（1）

③构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1),()z n ⎥⎥

⎥⎥- 1⎦(0)Y x ⎢=⎢ ⎢⎢⎣ (1

0.5(1),2,3,

x k

k -=）

④由

1ˆ()T T a

B B B Y -⎡⎤==⎢⎥

⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为

则模型还原值为

⑥精度检验和预测

残差

相对误差

相对误差精度等级表

级比偏差

，则可认为达到较高要求。利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表

经过验证，给出相应预测预报。

2、新陈代谢模型

灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。

与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能

获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度

获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。

2.1模型的应用

①深圳货运量预测；（下载文档）

②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）；

③网络舆情危机预警（下载文档）。

2.2步骤

①建立新陈代谢数据序列

②后续步骤同GM(1,1)模型。

以

此类推，将计算结果制表并分析。

3、波形预测

波形预测, 是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化, 以便进行决策。从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。 3.1 模型的应用

①区域降水量预测（下载文档）

②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 3.2步骤

①求出序列折线

X 的k 段折线图形为

序列X 的折线为

]}1,2,

,1n -

min

(),)

i

s

s σσ=-+

i

()

,1)

()

x i x i γ-+-

③等高点的计算

γ

γ))(1,2,i x i '=即γ等高点。 GM(1,1)预测。

⑤得出波形预测

画出波形图，并分析。

4、Verhulst 模型

Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S 型过程。常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。（例如B 题艾滋病疗法的评价及治疗预测） 4.1步骤

①模型的建立

则得到灰色Verhulst 模型为

灰色Verhulst 模型的白化方程为

（2） ②参数求解

构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1)(1)2,()())z n z n ⎥⎥ ⎥⎥- (

⎦Y

⎢=⎢⎢⎢⎣ 由

1ˆˆ()ˆT T a

u

B B B Y b -⎡

⎤==⎢⎥⎣⎦

③解微分方程（2）得灰色Verhulst 模型的时间序列响应为

通过累减还原得

④精度检验和预测 同GM(1,1)模型。 例题：

某地区年平均降雨量数据如表1。规定ξ= 320，并认为(0)()x i ξ≤为旱灾。预测下一次发生的时间。

表1 某地区年平均降雨量数据

解：

模型的建立： ①列出原始数据列(0)

(0)(0)(0)((1),(2),,())x

x x x n =，确定在(0)320x s ≤的条件下

的下限灾变数列0

x ξ与其相对应的时刻数列(0)t 。

计算光滑比

(0)1

(0)

1

()

()()

k i t k p k t

i -==

∑

判断序列(0)t 是否满足满足

[](1)

1,2,3,,5;()

()0,,3,4,5;

0.5.

p k k p k p k k ϕϕ+<=∈=<

②对数列(0)t 做1次累加，得(1)

t 。

③建立GM(1，1)模型。

(1)

(1),dt at b dt

+= （1） ④构造数据矩阵B 及数据向量Y

(1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ⎡⎤- ⎢⎥- ⎢

⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- 1⎣⎦(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（）