利用平行四边形性质巧解生活难题

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利用平行四边形的性质 巧解生活难题

平行四边形是特殊的四边形，在实际生活中着广泛的应用，对于生活中的一些实际问题，同学们可以巧借平行四边形的相关性质加以解决。下面撷取几个生活实例说明如下.

一、比较线路长短

图1是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，BC=DA ，BC ∥DF ，FD//BC ．从B 站乘车到E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B －D －A －E ，路线2

是B －C －F －E ，请比较两条路线路程的长短，并说明理由.

【分析】本题是一道设计比较新颖的实际问题,要比较两条线段的长短,首

先要从实际问题构建数学模型。实际上线路1,可用线段BD 、DA 、AE 的和来表示；线路2可用线段BC 、CF 、FE 的和来表示，本题就可以通过比较BD+DA+AE 和BC+CF+FE 的大小即可.

解：两条线路相等.

理由：因为DE 垂直平分AF ，所以DF=DA ，FE=AE.

又BC ∥DF ，FD//BC ，所以四边形FDBC 是平行四边形，所以BD=CF ，CB=DF=DA ， 所以BD+DA+AE=CF+BC+FE ，所以线路1与线路2的路程相等.

二、扩大池塘的面积

如图2，一口呈四边形的池塘，在它的四周A 、B 、C 、D 处各

有一棵桃树，如果想把池塘扩大一倍，而保住四棵桃数不动，并要

求扩建的池塘为平行四边形的形状，请你判断这一想法能否实现？

【分析】由于四棵桃树分别在四边形的顶点，所以要想把池塘改成平行四边形，切面积扩大一倍，图1 图2

则四棵桃树应在平行四边形的边上，且每条边上都有一棵桃树.为此只要过四边形的顶点A 、C 两点作对角线BD 的平行线，过顶点B 、D 作对角线AC 的平行线即可.

解：如图1，分别过点A 、C 作BD 的平行线，过点B 、D 作AC 的平行线，四条线分别相交于点E 、F 、G 、H 。由作图可知四边形AEBO 、BFCO 、CGDO 、DHAO 均为平行四边形，且△ABO 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别为平行四边形AEBO 、BFCO 、CGDO 、DHAO 面积的一半，所以平行四边形EFGH 为四边形ABCD 面积的一半.

三、计算影子的面积

如图3，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现了一个明亮的四边形，小刚用量角器量出了一条对角线与一边垂直，，用直尺量出了

四边形的四条边分别是30cm ，50cm ，30cm ，

50cm ，小刚说用这些数据就能计算出四边形的

面积，你知道小刚是如何计算的吗？这样计算

的根据是什么？ 【分析】根据小明测量的数据可知这个四边形的对边相等，由此可确定该四边形为平行四边形，可画出如图所示的图形，根据已知可得AB ⊥AC ，AB=30cm ，BC =50cm ，根据勾股定理可以计算出△ABC 的面积和△ACD 的面积，所以计算四边形ABCD 的面积.

解：如图4，根据已知条件可四边形ABCD 是平行四边形，所以AB//CD ，因为AB ⊥AC ，所以CD ⊥AC ，所以△ACD 为直角三角形.

在Rt △ABC 中，因为AB2+AC2=BC2，所以AC2=502-302=402，所以AC =40，所以△ABC 的面积为2

1×40×30=600（cm 2）.同样△ACD 的面积为600cm 2，所以四边形ABCD 的面积为1200cm 2.

四、等分地块的面积

图4

图3

如图5，ABCD 是老王家的一块平行四

边形田地，P 为水井，现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请

你来设计一下，并说明你的理由.

【分析】 我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以。那么可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题。找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块.

解：设对角线AC ，BD 交于O ，如图6，过O 、P 作直线交BC ，AD 于E 、F ，则线段EF 分割的这两块田地符合要求.理由如下：易证OE=OF ，BE=ＤF ，AF=CE （把证线段相等转化为证三角形全等），四边形ABEF 绕点O 旋转180°，就与四边形CDFE 重合，这两部分面积相等,又点P （井）在EF 上，符合水井和两块地相邻的要求，故此种分法符合要求.

实际生活中有很多需要直接或间接用平行四边形的性质来解决的问题，只要我们牢牢把握住平行四边形的性质并加以灵活地运用，就可以巧妙地解决生活中的数学难题.

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E 图5 图6