高等数学大一试题库

〔一〕函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -=(C)34+-=x y (D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (*)=*sin *是( )〔A 〕无穷大量 〔B 〕无穷小量 〔C 〕无界函数〔D 〕有界函数 3、 当*→1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (*)是)(x ϕ的( ) 〔A 〕高阶无穷小 〔B 〕低阶无穷小 〔C 〕同阶无穷小 〔D 〕等阶无穷小 4、 *=0是函数1()arctan f x x=的( )〔A 〕可去连续点〔B 〕跳跃连续点； 〔C 〕振荡连续点〔D 〕无穷连续点 5、 以下的正确结论是〔 〕〔A 〕)(lim x f xx →假设存在，则f (*)有界；〔B 〕假设在0x 的*邻域，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也存在；〔C 〕假设f(*)在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a ),f (b )<0则方程f (*)=0,在(a ,b )有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xx x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、 假设),1(3-=x f y Z 且x Zy ==1则f (*)的表达式为 ;2、 数列n x n1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim 1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a =,b = ; 4、 设,)(ax ax x f --=则*=a 是f (*)的第类连续点; 5、 ,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (*)]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:1、计算以下各式极限：〔1〕xx x x sin 2cos 1lim0-→； 〔2〕x xx x -+→11ln 1lim 0；〔3〕)11(lim 220--+→x x x 〔4〕xx x x cos 11sinlim30-→ 〔5〕x x x 2cos 3sin lim 0→ 〔6〕xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a ,b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在*=-1处连续.四、证明：设f (*)在闭区间[a ,b ]上连续，且a <f (*)<b , 证明在(a ,b )至少有一点ξ，使()f ξξ=.〔二〕导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则t t x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 则dy = ;4、设),0(sin >=x x x y x则=dxdy ; 5、 y =f (*)为方程*sin y +y e 0=x确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21x ey -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A)2*-y -2=0 (B)2*+y +1=0 (C)2*+y -3=0 (D)2*-y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x e x f ax处处可导，则( )(A)a =b =1 (B)a =-2,b =-1 (C)a =0,b =1 (D)a =2,b =14、 假设f (*)在点*可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim 的值为( )(A)1 (B)0 (C)-1 (D) 不确定 5、设y =f (sin *),f (*)为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx '(C)(sin )cos f x x '(D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数*有f (1+*)=2f (*),且(0)0f '=,求(1)f '2、 假设g(*)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (*)在*=0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (*)在*=a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n fx . 7、计算.〔三〕中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (*)=arctan *在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 假设01lim sin 22ax x e b x →-=则a = ,b = ; 3、 设f (*)有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin lim 0x f f x f x -→= ;4、x e y x sin =的极大值为 ，极小值为 ;5、 )10(11≤≤+-=x xxarctgy 的最大值为，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(*)=0的两个根，函数f(*)在[a,b]上满足罗尔定理条件，则方程f’(*)=0在(a,b)〔 〕〔A 〕仅有一个根； 〔B 〕至少有一个根； 〔C 〕没有根； 〔D 〕以上结论都不对。

2、 函数x x f sin )(=在区间[-]2,2ππ上〔 〕 〔A 〕满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ 〔B 〕满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ〔C 〕不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论；〔D 〕不满足罗尔定理的条件3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则〔 〕〔A 〕极大值一定是最大值； 〔B 〕极小值一定是最小值；〔C 〕极大值一定比极小值大； 〔D 〕极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。

4、 设f (*)在(a ,b )可导，则()0f x '<是f (*)在(a ,b )为减函数的〔 〕〔A 〕充分条件； 〔B 〕必要条件； 〔C 〕充要条件； 〔D 〕既非充分又非必要条件。

5、 假设f (*)在(a ,b )上两次可导，且〔〕, 则f (*)在(a ,b )单调增加且是上凹的。

〔A 〕0)(",0)('>>x f x f ； 〔B 〕;0)(",0)('<>x f x f ； 〔C 〕0)(",0)('><x f x f ； 〔D 〕0)(",0)('><x f x f三、计算题：1、 求:22011(1)lim()sin x x x→-tan 0(2)lim x x x +→ 2、 求过曲线y =*ex-上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线*=0的直线方程.四、应用题：1、 通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现承受能力〔即学生掌握一个概念的能力〕依赖于在概念引人之前教师提出和描述问题所用的时间，讲座开场时，学生的兴趣激增，分析结果说明，学生掌握概念的能力由下式给出：2()0.1 2.643G x x x =-++,其中G 〔*〕是承受能力的一种度量，*是提出概念所用的时间〔单位：min 〕 〔a 〕、*是何值时，学生承受能力增强或降低？ 〔b 〕、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？ 〔c 〕、最难的概念应该在何时讲授？ 〔d 〕、一个概念需要55的承受能力，它适于对这组学生讲授吗？五、证明题：证明不等式22arctan ln(1)x xx ≥+〔四〕不定积分一、选择题：1、 设)(x f 可微，则()f x =〔 〕〔A 〕⎰))(x df 〔B 〕⎰))((dx x f d 〔C 〕⎰)')((dx x f 〔D 〕⎰dx x f )('2、 假设F 〔*〕是)(x f 的一个原函数，则c F 〔*〕〔 〕)(x f 的原函数 〔A 〕是 〔B 〕不是 〔C 〕不一定是3、 假设⎰+=,)()(c x F dx x f 则⎰=+dx b ax f )(〔 〕〔A 〕c b ax aF ++)( 〔B 〕c b ax F a++)(1〔C 〕c x F a+)(1〔D 〕c x aF +)( 4、 设)(x f 在[a ，b ]上连续，则在〔a ，b 〕)(x f 必有〔 〕（A ）导函数 〔B 〕 原函数 〔C 〕 极值 〔D 〕 最大值或最大值5、 以下函数对中是同一函数的原函数的有〔 〕6、 在积分曲线族⎰=xdx y 3sin 中，过点)1,6(π的曲线方程是〔 〕7、以下积分能用初等函数表出的是〔 〕〔A 〕2x edx -⎰；〔B〕； 〔C 〕ln dxx⎰；〔D 〕ln x dx x ⎰. 8、一个函数的导数为，且*=1时y =2,这个函数是〔 〕〔A 〕2;y x C =+ 〔B 〕21;y x =+ 〔C 〕2;2x y C =+ 〔D 〕 1.y x =+ 9、2ln xdx x =⎰〔 〕〔A 〕11ln x C xx ++; 〔B 〕11ln x C x x ++; 〔C 〕11ln x C x x -+； 〔D 〕11ln x C x x --+. 10、10(41)dxx =+⎰〔 〕 〔A 〕9119(41)C x ++； 〔B 〕91136(41)C x ++； 〔C 〕91136(41)C x -++； 〔D 〕111136(41)C x -++.二、计算题:1、⎰++dx x x )1ln(22、1tan 1tan xdx x-+⎰ 3、⎰dx x xf )(" 3、 ⎰+++)3)(2)(1(x x x dx 5、x dx ⎰ 6、⎰+)1(x x dx 7、2arccos x xdx ⎰三、求⎰,)(dx x f 其中⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤+<<∞-=x x x x x x f 121010,1)(〔五〕定积分及其应用一、填空题：1、 设)(x f 是连续函数，dt t xf x F x)()(0⎰=，则F '(*)= ;2、 设)(x f 是连续函数，则⎰-=---+ππdx x f x f x f x f )]()()][()([ ； 3、 111lim()12n n n n n→∞+++=+++ ； 4、设)(x f 是连续函数，f (0)= -1,则=⎰→3sin 0)(limx dt t f xxx ；5、函数)(x f =xe 在区间[a ，b ]上的平均值为)(b a <.二、单项选择题：1、 设⎰<bab a dx x f )(,)(存在，则)(x f 在[a ，b ]上( )(A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界2、 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰+∞→=nta an dx x f n )(1lim ( ) 〔A 〕T a f ⋅)( 〔B 〕dx x f T)(0⎰ 〔C 〕⎰adx x f 0)( 〔D 〕()f a3、 设⎰⎰⎰++=dx x f dx x f dxd dx x f dx d I )(')()(43存在，则I =( ) (A)()f x (B)2()f x (C)2()f x C + (D) 0 4、)()(b a a x dxpba<-⎰,在( ) 〔A 〕P<1 时收敛,P ≥1时发散 〔B 〕P ≤1 时收敛,P ≥1时发散 〔C 〕P>1 时收敛,P ≤1时发散 〔D 〕P ≥1 时收敛,P<1时发散5、 曲线)0(ln ,ln ,,ln b a b y a y y x y <<===及y 轴所围的图形面积为( ) (A)⎰baxdx ln ln ln (B)dx e xe e ba⎰(C)dx e yba⎰ln ln (D)xdx ab e eln ⎰三、计算以下定积分:1、251⎰2、dx e xx--+⎰1sin 244ππ3、⎰++12)1ln(dx x x 4、⎰-+a xa x dx22四、求以下极限:1、sin 0tan 0limx x +→⎰⎰2、dt ttdt t xtxx sin )1(lim1sin 0⎰⎰+→五、设可导函数y =y 〔*〕由方程⎰⎰=+-yxt x tdt dt e 00221sin 2所决定，试讨论函数y =y 〔*〕的极值.六、抛物线)0,4(,)4(22>≠+-=a p a y p x ，求p 和a 的值，使得：（1） 抛物线与y=*+1相切； （2） 抛物线与0*轴围成的图形绕0*轴旋转有最大的体积.〔六〕向量代数 空间解析几何一、填空题：1、向量{}1,2,1a =与*，y ，z 轴的夹角分别为,,αβγ，则α=，β=，γ=。