数学物理方程期末试卷
数学物理方程考试试题及解答(1)
数学物理方程考试试题及解答(1)数学物理方程考试试题及解答考试题目：求解一阶常微分方程y'+3y=x+e^(-2x)解答：1. 首先我们需要将原方程变形，得到y'和y的系数都为1的形式： y'+3y=x+e^(-2x)y'+3y-1*x= e^(-2x)即：y'+3y-(1*x)= e^(-2x)2. 根据一阶常微分方程的标准形式 y'+p(x)y=q(x) ，我们可以将上述方程的左侧写成d/dx(y*e^(3x))的形式。
具体步骤如下：(y'+3y)e^(3x) - x*e^(3x) = e^(3x)*e^(-2x)即：d/dx(y*e^(3x)) - x*e^(3x) = e^xd/dx(y*e^(3x)) = e^(3x)+x*e^(3x)+e^x3. 将方程两侧的d/dx和e^(3x)去掉，得到最终的含y的方程：y*e^(3x) = ∫(e^(3x)+x*e^(3x)+e^x)dx + C= (1/3)*e^(3x) + (1/2)*x*e^(3x) + e^x + C即：y = (1/3) + (1/2)*x + e^(-3x)*(e^(2x)*C+1)4. 因为是一阶线性齐次方程，存在唯一的初始条件y0，可以将解方程带入初始条件得到C的值。
考试题目：提出热传导方程的边界条件∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)解答：热传导方程描述的是一个物质内部温度分布随时间变化的情况，它可以用数学模型来表示:∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)其中，u(x,t)是时间t和空间x处的温度，a是热传导系数，代表了物质的传热速率。
热传导方程的边界条件通常有如下几种：1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：即在给定的边界上已知温度u，通常写成形式u(x,t)|_∂Ω = f(x,t) 。
在第一类边界上，温度保持不变，而且是已知的，所以我们直接用Dirichlet边界条件就可以描述。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学初二物理期末试卷答案
一、选择题1. 下列哪个物理量是标量？（）A. 力B. 速度C. 功D. 时间答案：D解析：标量是只有大小没有方向的物理量，时间就是这样的物理量。
2. 下列哪个物理量的单位是N·m？（）A. 功B. 力C. 速度D. 时间答案：A解析：功的单位是焦耳（J），而1J=1N·m，所以功的单位是N·m。
3. 下列哪个物理量的单位是m/s？（）A. 速度B. 加速度C. 力D. 时间答案：A解析：速度的单位是米每秒（m/s），表示物体在单位时间内移动的距离。
4. 下列哪个物理量的单位是kg·m/s²？（）A. 力B. 功C. 速度D. 时间答案：A解析：力的单位是牛顿（N），而1N=1kg·m/s²，所以力的单位是kg·m/s²。
5. 下列哪个物理量的单位是J/kg？（）A. 功B. 力C. 速度D. 热量答案：D解析：热量的单位是焦耳（J），而1J=1kg·m²/s²，所以热量的单位是J/kg。
二、填空题6. 一个物体在水平面上做匀速直线运动，速度为5m/s，则物体在2秒内通过的距离是______m。
答案：10解析：根据速度的定义，速度=位移/时间，所以位移=速度×时间=5m/s×2s=10m。
7. 一个物体在5秒内通过的距离是25m，则物体的平均速度是______m/s。
答案：5解析：根据速度的定义，速度=位移/时间，所以平均速度=位移/时间=25m/5s=5m/s。
8. 一个物体受到的合力是10N，物体的质量是2kg，则物体的加速度是______m/s²。
答案：5解析：根据牛顿第二定律，F=ma，所以加速度a=F/m=10N/2kg=5m/s²。
9. 一个物体在水平面上做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，初速度为3m/s，则物体在5秒内的位移是______m。
数学物理方程期末试卷
数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。
1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。
1.y″−2y′+2y=0的通解为______。
2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。
数学物理方程试卷及答案
数学物理⽅程试卷及答案参考解答：⼀、填空题1. A 定解 B 初值（或Cauchy 问题） C 存在性、唯⼀性和稳定性2. D 双曲3. E (1)(2)(4)4. F [x-3t,x+t] ,G 决定区域5. H 222(21)(1,2,)4n n L πλ-==L I(21)cos (1,2,)2n x X n Lπ-==L ⼆、解：⽆界区域上波动⽅程200,,0|(),|()tt tt t t t u a u x t u x u x ?ψ==?=-∞<<+∞>??==?? 的达朗贝尔公式为：22()()1(,)()22x atx at x at x at u x t d aψξξ+--++=+对于本题所给半⽆界区域上的⾃由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：2(),()||x x x x ?ψ==即可，2a = ,代⼊达朗贝尔公式得22222222(2)(2)1()||2224,25(4),24x tx tx t x t u x d x xt t x tx t x t ξξ+--++=+??++≥?=?+⼆、解：设(,)()()u x t X x T t =，则()''()4''()()X x T t X x T t =，分离变量成为''()''()4()()T t X x T t X x λ==-，则''()()0,'(0)'(1)0''()4()0X x X x X X T t T t λλ+===??+=?，解前⼀⽅程，得固有值22(0,1,2,)n n n λπ==L 和固有函数()cos X x n x π=，代⼊⽅程''()4()0T t T t λ+=中可得()cos 2sin 2T t A n t B n t ππ=+，1,2,3,)n =L （由叠加原理，原⽅程有解1(,)(cos 2sin 2)cos nnn u x t A n t Bn t n x πππ∞==+∑。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
初中数学物理期末试卷题
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是初中数学的基本概念？A. 平行四边形B. 分数C. 圆锥D. 长方体2. 物理中，下列哪个单位是表示速度的？A. 米/秒B. 牛顿C. 焦耳D. 度3. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，它的体积是多少？A. 60cm³B. 50cm³C. 45cm³D. 40cm³4. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为0.5，则这个锐角的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 下列哪个物理现象属于光的折射？A. 镜子中的成像B. 彩虹的形成C. 水中的倒影D. 电视机的遥控器6. 下列哪个物理量在物理学中被称为“能量”？A. 力B. 速度C. 质量D. 功7. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s²，2秒后它的速度是多少？A. 2m/sB. 4m/sC. 6m/sD. 8m/s8. 下列哪个选项是表示角度的单位？A. 米B. 千克C. 度D. 秒9. 在下列图形中，哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 等边三角形10. 下列哪个物理量在物理学中被称为“压力”？A. 力B. 力矩C. 压强D. 体积二、填空题（每题4分，共20分）11. 若一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积为______。
12. 在直角三角形中，若一个锐角的余弦值为0.8，则这个锐角的度数是______。
13. 下列哪个物理量的单位是N·m？A. 力B. 速度C. 质量D. 功14. 一个物体做匀速直线运动，速度为10m/s，运动时间为5秒，则它通过的路程是______。
15. 下列哪个物理现象属于光的反射？A. 彩虹的形成B. 水中的倒影C. 镜子中的成像D. 电视机的遥控器三、解答题（每题20分，共40分）16. 解答下列方程：(1) 3x + 2 = 11(2) 5 - 2x = 317. 已知一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，求它的表面积和体积。
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解：设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得：)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=，at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得：21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设u e v ct -=代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6
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ìï dU (l, t) í dt
=
-a2l 2U (l, t) ,
ïî U (l, 0) = F(l).
U (l, t) = F(l)e-a2l2t .
ò u(x, t) = sin x *
1
e = -
x2 4 a2t
1
+¥
sin
x
e
-
(
x-x 4a2
) t
2
d
x
=
sin xe-a2t .
2a p t
òò ìDu = 0,
í î
u |G =
(x, y, z) Î f (x, y, z)
W
的解可表示为（
u( M 0
)
=
-
G
f (x, y, z) ¶G dS ）。 ¶n
8. 贝塞尔方程 x2 y¢¢ + xy¢ + ( x2 - 5) y = 0 的通解是（ y( x) = AJ (x) + BJ ( x) ）。
wn
分别为（
np l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
np l
）。
3.
表达波动方程初值问题
ìíutt îu(
= x,
a2uxx , -¥ 0) = j (x),
< ut
x < +¥,t (x,0) =y
>0 ( x)
的解的达朗贝尔公式是
ò （ u(x,t) = j ( x - at) + j (x + at) + 1
=
¥ m=1
4J 2 (mm(0) )
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、常微分方程(1)证明椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的证明：曲线的曲率半径R为曲线点处的法线与曲率半径的夹角$\frac{1}{R}$的反正切值，其表达式为$\frac{，y'，}{\sqrt{1+y'^2}}$，其中$y'$为曲线其中一点处的导数值。
而椭圆线方程$x^2+y^2=1$的一阶导数分别为$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$以及$\frac{dx}{dy}=\frac{x}{y}$，这里可以得到$y' = \frac{-x}{y}=\frac{-1}{x}$。
此时曲率半径表达式变为$\frac{x}{，x，\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$，表达式中的$，x，$可以去掉，并且$x$取任意值，故椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的。
(2)证明球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率、曲率半径一致证明：根据曲线曲率的定义可知，球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率为$\kappa=\frac{，R_1\cdot R_2，}{R^3}$，其中$R_1$、$R_2$分别为曲线其中一点处的两个切线的曲率半径，$R$为曲线其中一点处的曲率半径。
而对于球面，它的两个曲率半径$R_1$和$R_2$是完全一样的，这是因为在球面其中一点的法线方向没有区别，故$R_1=R_2$。
此时曲率可以表示为$\kappa=\frac{R_1^2}{R^3}=\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}$，即曲率等于其曲率半径的倒数，也就是说球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率和曲率半径是一致的。
二、偏微分方程。
初二下物理数学试卷期末
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个物理量属于矢量？A. 质量B. 时间C. 速度D. 温度2. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 等边三角形3. 在下列四个选项中，哪个选项表示的物理量是恒定的？A. 力B. 速度C. 加速度D. 动能4. 下列哪个公式表示的是功？A. W = FsB. W = FvC. W = Fv^2D. W = Fs^25. 下列哪个数学概念表示的是数轴上的点与原点的距离？A. 绝对值B. 相对值C. 平方D. 立方6. 下列哪个选项是实数？A. 无理数B. 无穷大C. 无穷小D. 虚数7. 下列哪个方程表示的是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x^3 - 2x^2 + 3x - 1D. y = 2x^2 + 3x - 48. 下列哪个数学公式表示的是勾股定理？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 - b^2 = c^2C. a^2 + b^2 + c^2 = 0D. a^2 - b^2 + c^2 = 09. 下列哪个物理现象属于光的折射？A. 镜子反射B. 彩虹C. 水中的鱼看起来比实际位置浅D. 透过玻璃看物体变大了10. 下列哪个数学概念表示的是圆的半径？A. 半径B. 直径C. 圆心D. 圆周率二、填空题（每题5分，共50分）11. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s^2，3秒后的速度为______m/s。
12. 在直角坐标系中，点P的坐标为（3，-4），则点P关于x轴的对称点坐标为______。
13. 一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，那么第三边的长度可能是______cm。
14. 一个等边三角形的边长为6cm，那么它的周长为______cm。
15. 一个物体的质量为2kg，重力加速度为9.8m/s^2，那么它所受的重力为______N。
数学物理方法期末考试大题
2、 求解热传导问题
ut a 2u xx A sin t u x |x 0 0, u |x l 0 u | x t 0
3、 两端固定弦在点 x0 受谐变力 f t f0 sin t 作用而振动，求解振动情况。[提示： 外加力的线密度可表示为 f x, t f 0 sin t x x0 ]
4、 均匀的薄板占据区域 0 x a ， 0 y b 。边界上的温度
u |x 0 0 ， u |x a 0 ， u | y 0 u0 ， lim u 0
y
求解板的稳定温度分布。
三、非齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 长为 l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力 f 0 sin 2 x l cos t ，初始位 移为 sin x l ，初始速度为零，求解杆的纵振动。
4、 求解细杆导热问题。杆长 l ，初始温度均匀为 u0 ，两端分别保持温度 u1 和 u2 。
四、球函数（12 分） 1、一空心圆球区域，内半径为 r1 ，外半径为 r2 ，内球面上有恒定电势 u0 ，外球面上电势保 持为 u1 cos 2 ， u0 、 u1 均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。
数学物理方法期末考试大题数学物理方法判断题数学物理方法数学物理方法复习数学物理方法教材数学物理方法试卷数学物理方法课件数学物理方法pdf数学物理方法试题数学物理方法答案
一、拉普拉斯变换（8 分） 1、求积分 I t
0
cos tx dx x2 a2
二、齐次方程的分离变数法（15 分） 1、 求解细杆导热问题，杆长 l ，b 为常数，两端保持为零度，初始温度分布
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
数学物理方程考试试题及解答
2. ( 本题 7 分 )
解：设 u
[ x 2 2 y 2 3 yz At 2 ] [6 x 2t Bt 3 ]
（ 2 分）
代入方程
2 A 6Bt a 2 [(2 12 y At 2 ) (12t Bt 3 )] （4 分）
令 ，
B 0
（A） u( x, t ) A cos ( x at )
（C） u( x, t ) A cos x sin a t （D） u( x, t ) A cos ( x at )
1
三 . 解下列问题
1.
( 本题 8 分 )
u u 0 3 求问题 x 的解 y 3x u ( x,0) 8e
t 0
3 sin 2 x
解：设 u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程及边界
4
T a 2T 0 X X 0 X (0) X ( ) 0
n (
n
)2 n2 , X n sin nx
un (Cn cos ant Dn sin ant )sin nx
x
）
（A） u( x, y) e sin xy （C） u ( x, y )
（B） u ( x, y )
x2 y2
x2 y2
1 x2 y2
（D） u ( x, y) ln
2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为 F ( x, t ) ,热传导系数为 k ，侧面绝热,体密度为 ,比 热为 c ，则热传导方程是 ( （A） ) （B）
3
代入方程，
A a 2 [0 0 6 At ] 6 x
数学物理试卷A
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试（A 卷） 《 2010数学物理方程 》试卷 注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共三大题，满分100分， 考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 总分 得 分 评卷人 一、是非题(下面命题对的填写Y,错的填写 N,)（20分）: 1 .2(,)tt xx u a u f x t -=是振动方程，而2(,)t xx u a u f x t -=是热传导方程( )； 2. 拉普拉斯方程和泊松方程用于描述稳定的物理现象( )； 3．若第一边值问题(,,)0,(,,)|(,,)u x y z x y z u f x y z ∂Ω∆=∈Ω⎧⎨=⎩有解，则它的解是唯一的（ ）; 4.方程2(,)x t xx u u a u f x t -=的通解是其特解与20x t xx u u a u -=的通解之和( ) 5．用分离变量法讨论2,(0,0)(0,)0,(,)0t xx x u a u x b t u t u b t ⎧=<<>⎨==⎩得固有函数为{sin }n x b π( )； 6 三维波动方程的初值问题200(),(,,,0)|0,|2tt xx yy zz t t t u a u u u x y z t u u xy ==⎧=++-∞<<+∞>⎨==⎩的解是2222(2),{()()()}4()M at M at S t u dS S x y at t at ξηξηπ∂==-+-=∂⎰⎰( )； 7．2,(,0)(,0)0,(,0)cos tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=-∞<<+∞>⎨==⎩的解是1(,)[sin()sin()]2u x t x at x at a =+--（ ） 8．若{}n ϕ是[,]a b 上权为()q x 的正交函数系，[,]a b 上的函数()f x 有展开式1()()n n n f x c x ϕ∞==∑，则2()()()/()()b b n n n a a c f x x q x dx x q x dx ϕϕ=⎰⎰（ ）; 9．问题(,,)0,(,0,02,|(,)r R u r r R u f n θϕθπϕπθϕ=∆=<≤≤≤≤⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩ 可用球的泊松公式求解（ ）； 10．如果一个空间区域内的调和函数在区域内某一点取得最大值，那么它不会在_____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )……………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………该点取得最小值（ ）。
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2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ϕ初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。
(10分)2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()2x l x -，试写出其定解问题。
(10分)3、试用分离变量法求定解问题(10分)：.4、分离变量法求定解问题(10分)222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sin tt xxtu a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ⎧=+<<>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,040226、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）7、用积分变换法求解定解问题（10分）：8、用积分变换法求解定解问题(10分)：⎩⎨⎧==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt9、用格林函数法求解定解问题(10分)：222200, y 0, () , .y u ux y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。
(10分)⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x uy u y x y x u考试内容分析①用数理方程研究物理问题的一般步骤；数理方程的建立(导出),包括三类典型方程的建立(导出)推导过程。
这里的1,2两道题就是考察学生在实际物理背景下能否写出定解问题。
这些定解问题并不复杂，主要就是让学生了解一下。
②3,4两道题主要考察分离变量法的精神、解题步骤和适用范围。
第3题是最基本的分离变量法的运用，分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。
第4题是非齐次方程，主要考察学生对非齐次方程的处理能力。
③5，6两道题是考察行波法。
第5题就是书本中一维波动方程的D'Alembert公式的推导，是最最基础的东西，在这里考察学生平时的基础，题目不难但是能很好的考察学生对行波法的理解。
第6题考察了D'Alembert公式的应用，同时又因为方程式非齐次的，也考察了方程的齐次化。
④第7,8两道题是对积分变换法的考察。
第7题是对拉普拉斯变换的考察拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换。
第8题主要考察傅里叶变换的基本定理及其性质。
⑤9,10两道题是考察格林函数法。
第9题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄利克雷问题，主要考察对第二格林公式的理解及其应用。
第10题看似比较简单，但是也是大家比较容易忽略的问题，不一定能将其完整的解答。
这里还要求你写出其物理意义，意图当然不言而喻了，就是想体现数学物理方程这门课的意义,将数学与物理结合起来，了解古典方程的类型，明白其物理意义和现象。
答案及分析1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数(,)u x t 满足2,tt xx u a u = （2分） 其中2Ta ρ=.由于左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，所以(0,0)0,(0,)sin 0,0,x x u Tu t A t t ω=+=>因此 sin (0,),0.x A tu t t Tω=-≥ （2分） 又右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面，所以(,)(,)0,x Tu l t ku l t --= 即 (,)(,)0.x Tu l t ku l t += （2分） 而初始条件为 0(),().t tt ux u x ϕψ==== （2分）因此，相应的定解问题为200,0,0,sin (0,),(,)(,)0,0.(),().tt xx xx t t t u a u x l t A t u t Tu l t ku l t t T u x u x ωϕψ==⎧=<<>⎪⎪=-+=≥⎨⎪==⎪⎩ （2分）2、解：侧面绝热，方程为2,0,0t xx u a u x l t =<<> （3分）边界条件为 00,,0x xx lqu u t k====> （3分）初始条件为(),02t x l x u x l =-=<< （3分）因此，相应的定解问题为：2,0,0t xx u a u x l t =<<> 00,,0x x x l qu u t k ====>0(),02t x l x u x l =-=<< （1分）3、解 令（2分），代入原方程中得到两个常微分方程：，（2分），由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数(1分)，再解，得到（2分），于是（1分）再由初始条件得到（1分），所以原定解问题的解为（1分）4、解：令(,)(,)()u x t V x t W x =+（1分）将其代入定解问题可以得到：2,(0,0)(0,)0,(,)0.....(1)4(,0)31(),(,0)sin tt xx t V a V x l t V t V l t x V x W x V x x l l π⎧⎪=<<>⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪=+-= ⎪⎪⎝⎭⎩（1分）222()sin cos 0(2)(0)3,()6a W x x x l l W W l ππ⎧''+=⎪⎨⎪==⎩ （1分）(2)的解为：2224()sin 3132l x W x x al l ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2分） 对于(1)，由分离变量法可得一般解为1(,)cos sin sin n n n n at n at n x V x t a b l l l πππ+∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （2分） 由初始条件可求得：222444(,)cos sin sin 324l a l at xV x t t al a l l πππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2分) )()(),(t T x X t x u =0)()('=+t T t T λ0)()(''=+x X x X λ0)4()0(==X X λ0>λ2βλ=22224πβλn ==4sin )(πn B x X n n =)(t T 16;22)(t n n n e C t T π-=,4sin(),(16122xn eC t x u tn n n ππ-∞=∑=140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑所以，原定解问题的解为：2222224444(,)cos sin sin sin 3132432l a l at x l x u x t t x a l a l l a l l πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2分） 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） （2分） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)（2分） 所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).（2分） 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= （1分） 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ（1分）即为古尔沙问题的解。
6、解令(1分)，代入原方程中，将方程齐次化，因此(2分)，再求定解问题 (2分)由达朗贝尔公式得到以上问题的解为(4分)故(1分)7、解 对y 取拉普拉斯变换(1分)，对方程和边界条件同时对)(),(),(x w t x v t x u +=x a x w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2''2''22222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-=>∂∂=∂∂==,0),(cos 12sin 0,02022222t t tv x xw a x t xv a t v v atx a at x at x aat x at a a at x t x v cos cos 1cos sin 0)]cos(1)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x a at x a at x t x u +-=),()],([p x U y x u L =y 取拉普拉斯变换得到(3分)，解这个微分方程得到(3分)，再取拉普拉斯逆变换有(2分)所以原问题的解为.(1分) 8、解：对于初值问题关于x 作Fourier 变换，得：⎪⎩⎪⎨⎧==>∈+0)0,(ˆ),(sin )0,(ˆ0,),,(ˆd ),(ˆd 2222ωωωωωt u x F u t R x t u a t t u（2分）该方程变为带参数ω的常微分方程的初值问题。
解得t ja t ja e C e C t uωωω-+=21),(ˆ （2分） 于是0)()0,(ˆ,)(sin )0,(ˆ2121=-=+==C C ja u C C x F u t ωωω（2分）则由)(sin 2121x F C C ==，得：))((sin 21),(ˆt ja t ja e e x F t u ωωω-+=。