分圆多项式不可约证明

不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1）如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

分圆多项式资料课件

分圆多项式的概念最早可以追溯到19世纪末，当时数学家开始研究图论和组合数学中的一些问
题。
在20世纪初，一些数学家开始深入研究分圆多项式的性质和应用，并取得了一些重要的成果。
近年来，随着计算机科学和离散概率等领域的发展，分圆多项式在解决一些实际问题中得到了广
泛应用。
02
分圆多项式的计算方法
计算步骤
确定n的值
根据题目要求或多项式定义，确定多项式的最高次数n。
初始化变量
设置变量$C_n^k$和$x^{n-k}$ 的初始值为0，对于$0 leq k leq n$。
循环计算
对于$0 leq k leq n$，计算 $C_n^k$和$x^{n-k}$的值，并累加到$P_n(x)$中。
返回结果
计算公式
分圆多项式计算公式
$P_n(x) = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k x^{n-k}$，其中$C_n^k$表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合方式数。
特殊情况
当n=0时，$P_0(x) = 1$；当n为奇数且k=n时，$(-1)^k C_n^k = -1$，因此 $P_n(x) = (x - 1)^n$。
05
分圆多项式的实际应用
在密码学中的应用
分圆多项式在密码学中主要用于构造公钥密码系统。
分圆多项式在密码学中还用于构造数字签名、密钥交换等安全协议。
分圆多项式的周期性和复杂性使其成为一种安全的加密算法。
在计算机科学中的应用
分圆多项式在计算机科学中主要用于算法设计和数据结构。
分圆多项式的计算复杂度是计算机科学中研究的重要问题。
在组合数学中的应用
分圆多项式在组合数学中也有着重要的应用，特别是在组合计数和组合优化中。分圆多项式的根可以用来解决一些组合计数问题，如对特定组合模式的计数和排列组合问题等。

关于多项式不可约性的定理

关于多项式不可约性的定理
多项式不可约性定理（Irreducibility Theorem）是数论中
一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根。

多项式不可约性定理的形式很简单：任何一个非负整数的多项式，只要它的系数不全为
0，就是不可约的。

这个定理的证明是由古典数论中的结论——“欧拉定理”推导而来的。

欧拉定理宣称：任何一个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。

通过把多项式的系数转换为质数的乘积，可以把多项式分解为该质数的乘积，从而证明多项式不可约性定理。

多项式不可约性定理有着重要的应用价值。

它可以用来确定一个多项式是否可以被约分，以及求解多项式的根。

例如，如果一个多项式的系数都是质数，那么它就是不可约的，而且可以求出它的根；如果一个多项式的系数不全是质数，那么它就是可约的，可以用约分的方法求解。

多项式不可约性定理的另一个重要的应用是，它可以用来证明另外一个重要的定理，即“欧拉定理”。

例如，如果一个正整数大于
1，它可以表示为质数的乘积，那么它就是不可约的，而
且可以用多项式不可约性定理来证明。

总之，多项式不可约性定理是数论中一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根，也可以用来证明欧拉定理。

因此，它对数论的研究有着重要的意义。

分圆多项式的性质

分圆多项式的性质1 引言在多项式理论及其应用中，分圆多项式具有重要的作用，分圆多项式的研究是一项很有意义的工作．对分圆多项式有两种常见的定义方法：（1）设n 次本原单位根为12(),,,n ϕξξξ，则称12()()()()()nn x xxx为分圆多项式．其中()n 为欧拉函数．（2）设p 是一个素数．多项式12()1p p f x xx x --=++++叫做分圆多项式．文章分析了分圆多项式在有理数域上的不可约性，以及报告了近年来学者们对分圆多项式系数全为0或1的充分必要条件的讨论现状．2 分圆多项式的定义一个复数是n 次单位根，当且仅当它具有下列形式： 22cos k + i sin k n n， (1) 由于22cos k+ i sin k n n = k22( cos + i sin ) n n，故若命22= cos+ i sin n n． (2) 则一个复数是n 次单位根，当且仅当它是的整数次方．由此可见，所有n 次单位根在乘法下作成一个循环群，（2）所规定的是它的一个生成元素．在（1）中取0,1,2,,1,k n =-我们得到n 个n 次单位根：211, ,,,.n (3)这n 个单位根的幅角都是2n的整倍数；用平面上的点代表复数，把代表这n 个单位根的点用线段联结起来便成为单位圆的一个内接正n 边形．可见，（3）式中n 个n 次单位根都不同．是n 次单位根，当然1n．所以的周期恰等于n ．有了这些知识做基础，我们给出分圆多项式的定义：复数域中恰有n 个n 次单位根．它们在乘法下作成一个n 元循环群，（2）所规定的是一个生成元素．这个n 元循环群的生成元素称为n 次本原单位根，我们知道，n 元循环群共有()n 个生成元素．所以，共有()n 个n 次本原单位根，假定它们是12(),,,.n命12()()()()()nn x xxx． (4)()nx 称为分圆多项式．例 1n =时，生成元22cos+ i sin =111， (1)=1ϕ，故1()1x x Φ=-． 2n =时，生成元22cos+ i sin =-122， (2)=1，故2()1x x Φ=+． 3n =时，生成元22-1+-3cos+ i sin =33， (3)=2，另一个生成元为：244-1--3cos+ i sin =33，故23()()()x x x-1+-3-1--3()()22xx 21x x ．4n =时，生成元22cos+ i sin =i 44， (4)=2，另一个生成元为：3i ，故34()()()x x x()()x i x i21x ．常见的分圆多项式的定义还有另一种：定义[1](76)P 设p 是一个素数．多项式12()1p p f x x x x --=++++叫做一个分圆多项式．定理[1](76)P 多项式12()1p p f x xx x --=++++在有理数域上不可约．证明令 1x y =+，由于(1)()1p x f x x -=-，所以(1)(1)1p yf y y +=+-11221p p p p p p p y C yC y C y ---=++++．于是11221()(1)p p p p pp pg y f y y C y C y C ----=+=++++．当0k p <<时，(1)(1)!kp p p p k C k ---=．因为kp C 是整数，但!k 与p 互素，所以!|(1)(1)k p p k ---，因此|k p p C ，又由于|1p ，21|p p p C -，故由Eisenstein 判别法知()g y 在有理数域上不可约．因此()f x 在有理数域上也不可约．例分解多项式12963()1F x x x x x =++++．在整数范围内可分解为155105331(1)(1)()11x x x x F x x x --++==-- 43287543(1)(1)x x x x x x x x x x =++++-+-+-+．这两个多项式都是分圆多项式．我们也可以用初等的方法证明4321()(1)f x x x x x =++++和875432()(1)f x x x x x x x =-+-+-+在整数范围内不可约．1()f x 和2()f x 都是151x -的因子，151x -除了1之外没有其他实根，而1不是1()f x 和2()f x 的根，所以1()f x 和2()f x 没有实数根．于是它们不可能有奇数次因子．如果1()f x 和2()f x 有二次因子，形如222cos1(17,5),15k x x k k π-+≤≤≠而这时2cos 015k x π≠、12±、1±，所以22cos 15k π不是整数，因此1()f x 和2()f x 不可能只有二次因子，这样我们就证明了1()f x 不可约．而2()f x 如果能分解只能是4324322()(1)(1)f x x ax bx ax x cx dx cx =++++++++，（两个二次因式222cos115k x x π-+相乘得到的四次因子一定是上述形式）．比较等式两边的系数，可得1a c +=-0d ac b ++= 1c ad bc a +++=221ac bd ++=-由第二个方程乘2减去第四个方程得(2)(2)1d b --=，因而(2)(2)1d b --=，由第三个方程得出2b =-．与假设矛盾，所以2()f x 不可约．3 分圆多项式的性质定理[2](8)P 我们有下列公式|1()n dd nx x ． (5)证明（5）式右边表示让d 经过n 的所有正因数而取所有这些()d x Φ的乘积．设 12,,,n θθθ． (6)是所有n 次单位根，于是121()()()nnx xxx． (7)取一个|d n ．设是一个d 次本原单位根．于是，1d，因而1n，可见必出现在（6）中．这就是说，所有()d 个d 次本原单位根都出现在（6）中，它们在（7）中所对应的一次式之积便是()dx ．因之，()|1ndx x ．若d 和'd 不同，则()dx 和'()d x 没有公共一次式．因为，前者的根是d 次本原单位根，后者的根是'd 次本原单位根，由此可见，|()1n dd nx x ｜．但（6）中的任意q 必有一个周期d ，|d n ，因而q 是d 次本原单位根．这就是说，（10）中的任意一次式必出现在某个()dx 之内，其中|d n ，所以1nx 比|()dd n x 多不出什么，因而（5）成立．下面利用该定理重新计算例题中的1234()()()()x x x x ，，，．例因为 d|n1()dx x 1()x ＝，故1()x ＝x-1．因为 2d|n1()dx x 21()()x x ，故222111()1()1x x x x x x ．因为 3d|31()d x x 31()()x x ，故3()x33111()1x x x x 21x x ．因为 41xd|4()dx 421()()()x x x ，故4()x442111()()(1)(1)x x x x x x 21x ．定理[2](9)P()nx 是首项系数为1的整系数多项式．证明1()1x x 是整系数多项式．假定已知kn 时，()k x 是整系数多项式，试证()nx 亦然．由（8），1()nnx x,|()dd n d nx ，此式右边每个()dx 由归纳法假定都是整系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系数为1．所以,|()dd n d nx 是本原多项式，而1nx 是整系数多项式，故知()nx 必为整系数多项式．4 分圆多项式的根在任意域上，若n 是特征p 的倍数，设 mn kp =，其中k 不是p 的倍数，则()1m kp f x x =-= (1)mk p x ．这时1nx -的根即是k 次单位根，且()f x 的每个根都是mp 重根．当n 不是域F 的特征的倍数时，方程1n x在F 中的根也称为n 次单位根，但未必都在F 中．当n 不是域F 的特征的倍数时，如果F 分圆多项式()nx 在F 中有根，那么多项式1n x 在F 中恰有n 个n 次单位根他们在乘法下作成一个n 元循环群，其中()n 个生成元素恰是()nx 的所有根．但在任意域中，当n 不是域F 的特征的倍数时，1n x 的根未必都在F 中．下面证明：若p 是素数，np ，且1n p 时，分圆多项式()nx 在pF 中一定有根，并给出了多项式1nx在p F 中恰好有n 个根的充分必要条件:定理1[3](67)P - 设p 是素数，若n p 且1n p ，则()nx 在p F 中一定有根．证明我们知道：1nx -=|()dd nx =()nx,|()dd n d nx ．因为|1n p -，且由1|1m n x x --当且仅当|m n 得：11|1n p x x ---，从而 11|(1)np p x x x x x ---=-.再由()n x |1n x 知()nx | p x x -，于是得()nx 在p F 中有根．定理2[3](67)P - 设p 是素数，若n p 且1n x 在p F 中恰有n 个n 次单位根，则有1n p ．证明设 12,,,n a a a 是1n x 在p F 中的n 个根，则有10(mod ).n i a p -≡且 G={ 12,,,n a a a }是一个n 阶循环群．因此存在1ii n ．使得G =（），1mod np ，1mod kp ，（k n <）．又,1p ，因为11mod pp p ，所以n 是的指数，从而有n |()1p p φ=-．由定理1，分圆多项式的定义和定理2立得定理[3](67)P - 设p 是素数，若np 且1n x 在p F 中恰有n 个n 次单位根的充分必要条件是1n p ．5 分圆多项式的系数苏联著名的代数学家契波塔列夫在1939年于他的一篇论文“代数各部分和数论中的几个问题”中曾提出一个猜测，即：“设()nx 为1n x 之因式（在有理数域），它的根为n 次本原单位根，则对任意自然数n ，()nx 的系数只能是0或1”．事实上，苏联著名的代数学家的猜测是不正确的，后来由另一位苏联代数学家找出一个反例，即105次本原单位根为根的多项式．即：48474643424140383635343332105312826242220171615141312987652()221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x故105()x 不再具有系数只是0或1的性质了．为证明当n 为何值时契波塔列夫的猜测才正确，汤建儿先生对当n p q βγ=和2n p q βγ=（其中p 、q 为素数）时已证明()nx 各项系数只能是0或1，于此同时提出另一个猜测：“凡不属于 2p q 类型的数n ，()nx 的系数一定不能全是0或1[4](67)P -．”庄凯先生找到了一个反例，2313711n ==⨯⨯故不属于 2p q 类型．即231次本原单位根为根的多项式，()1201191181131121111091081071021011009923198979291908885817775747170686460565250494645433935323029282322212x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Φ=++------++++++----+++----+++++----+++----++++0191813121198721x x x x x x x x x x ++------+++故发现231()x Φ中只具有系数为0或1的性质，当然还有更多的不属于 2p q 类型的数n ，诸如：n ＝663，1311，4551，6063，14271等等．其本原单位根为根的多项式其系数只有为0或1的性质[5](3638)P -．当n 为何值时()nx 的系数能够满足契波塔列夫的猜测呢？这个问题目前已在理论上给出了证明，当n p q βγ=及2n p q βγ=时，()nx 的系数只有0或1．对于是否还存在其他类型的数n ，能够满足契波塔列夫的猜测；庄凯提出下述猜测：（A ）在有理域上，凡属于3np q 类型的数n ，其中3pq ，当条件3p q 且4q p 时（p 、q 为素数）．则()nx 各项系数只能是0或1．(B)当条件不满足时，则()nx 的各项系数一定不能全是0或1．宣体佐先生对于庄凯的猜测（A ）进行了严格的证明．同时指出（B ）中所提出的猜测不正确，并找出了一个反例：即3723n()nx 的系数只能取0或±1[6](3941)P -．参考文献:[1] 张禾瑞，郝鈵新．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1997 [2] 柯召，孙琦．数论讲义[M]．北京：高等教育出版社，1987[3] 冯贵莲．p F 上分圆多项式的一个性质[J]．青海师专学报，2005，4，6-7[4] 汤健儿．对关于分圆多项式既约因子的性质一文的意见[J] ．数学通报，1963，10，6-7[5] 庄凯．关于分圆多项式既约因式()n x 系数性质的猜测[J] ．数学通报，1991，10，36-38 [6] 宣体佐．关于分圆多项式的系数[J]．数学通报，1992， 5，38-41 [7] 钟玉泉等．复变函数(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2004．[8] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，2003．[9] E ．R ．Birlekamp ．Algebraic codiny theory ．M ．Graw-Hill ．1968，90-95．。

如何判别一个多项式不可约

探索不可约多项式的应用
除了在数学理论研究中的应用外，不可约多项式在实际应用中也有着广泛的应用前景。例如，在计算机科学、信息编码等领域中，不可约多项式可以用于构造一些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项式的方法
目前我们判别不可约多项式的方法主要适用于有限域上的多项式，对于其他情况是否适用还需要进一步的研究和探索。因此，推广判别不可约多项式的方法也是未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
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不可约多项式是整环上的不可约元，即它不能被其他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是不可约元，因此它在整环中是不可约的。
不可约多项式是素数，即它没有除了1和自身以外的因数。
不可约多项式在整环中是不可约的，因此它在整环中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域具有重要研究价值，有助于深入理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的判别方法可以用于设计高效的算法，例如在符号计算、数值分析等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握多项式不可约的判别方法有助于提高数学素养和解题能力。

有限域上分圆多项式

有限域上分圆多项式陈引兰【摘要】In this paper, Some calculation features on eyclotomie polynomials over finite fields have been discussed, and then the conditions of irreducibility about cyclotomic polynomials have been given. Finally, for a given positive integral , Calcula- tion all the irreducible polynomials with given degree over finite fields by cyclotomic polynomials has been solved. These re- suits provided some evidence on theory and applications of irreducible polynomials over finite fields.%探讨有限域上分圆多项式的计算性质，并给出有限域上分圆多项式不可约的条件，最后，给出由分圆多项式求有限域上给定次数的所有不可约多项式。

为有限域上不可约多项式理论的完善和应用提供一些理论依据。

【期刊名称】《湖北师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(032)002【总页数】5页(P1-5)【关键词】有限域;分圆多项式;不可约多项式【作者】陈引兰【作者单位】湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002【正文语种】中文【中图分类】TP309有限域上的不可约多项式作为有限域上多项式环的素元，在构造有限域和计算有限域中的元素时都是必不可少的，而且在密码、编码理论及随机数的产生等方面也有着广泛的应用。

这是由于在扩频通讯与序列密码中被广泛应用的伪随机序列，可在连续波雷达中用作测距信号，在遥控系统中用作遥控信号，在多址通讯中用作地址信号，在数字通讯中用作群同步信号，还可以用作噪声源在保密通讯中起加密作用。

Littlewood分圆多项式及其它数论问题

目录
v Let K/Q be a ﬁnite Galois extension, G = Gal(K/Q)={σ1 , · · · , σn } be the
Galois group. OK is the ring of algebraic integers in K . If α ∈ OK satisfy OK =
ﬁeld K =Q(ζ15 ), then it’s generators of normal integral bases is unique up to equivalent. Key words: Cyclotomic polynomial; Littlewood polynomial; Ramanujan’s sum; Normal integral base; Generator
目录其中 N = 2α pβ q γ = p1 p2 · · · pr ，r = α + β + γ ，p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr 均为素数．
iii
设 K/Q 是 n 次伽罗瓦扩张，G = Gal(K/Q)={σ1 , · · · , σn } 是伽罗瓦群，OK 是 K 的代数整数环，如果一个元素 α ∈ OK 满足 OK =
In the chapter 4 of our paper, we obtain generators of normal integral bases is unique up to equivalent in cyclotomic ﬁeld Q(ζ15 ). We have the following result: Theorem 4.1 Let OK =Z[ζ15 ] be the ring of algebraic integers in cyclotomic

分圆多项式不可约证明

分圆多项式不可约证明分圆多项式是一类非常重要的多项式，它们具有独特的性质，可以用来描述数学物理、机器学习等科学技术中的问题。

它们可以表示复杂系统及其变化规律，为计算机科学、统计学等领域提供强大的工具。

因此，有助于深入了解分圆多项式的性质，以及它们是否可以约分。

学者们一直在研究分圆多项式是否可以约分，目前存在分歧。

有学者认为它们一定不可以约分，原因是它们具有与常规多项式不同的性质；而另一些学者则认为它们可以约分。

本文旨在说明，分圆多项式不可约分，即它们不存在任何可约分的形式，并使用形式化的证明方法来证明这一结论。

二、定义分圆多项式的根本定义是：一个多项式的最高次项中的变量数量超过了它拥有的不完全根的数量。

把多项式转化为分圆多项式的前提是，该多项式拥有着不相同比例的根（或分圆系数），且其最高次不完全根的数量是有限的。

分圆多项式可以用如下公式来表示：P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +…+ an xn, x∈[0,1] 该多项式的每一次项都是不完全根，且乘积为系数a0, a1, a2,…, an。

分圆多项式的函数值可表示为以下形式：P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +…+ anxn其中x的取值范围是[0, 1]。

三、证明假设分圆多项式P(x)可被约分为P1(x)和P2(x)，其中P1(x)为一个次数 m多项式，m < n，P2(x) 为一个次数 n-m多项式，如下所示：P1(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 +…+ cm xmP2(x) = d0 + d1 x + d2 x2 + d3 x3 +…+ d(n-m) x(n-m) 将P1(x)和P2(x)代入分圆多项式P(x)，可得：P(x) = c0d0 + (c0d1 + c1d0)x + (c0d2 + c1d1 + c2d0) x2 +…+ (c0d(n-m) + c1d(n-m-1) +…+ cm d 0)x(n-m) +……+ cn xn 其中cn不为0在x的取值范围[0, 1] 中，P(x)的最高次项 xn 不会消失，而P1(x)和P2(x)的最高次项分别是xm和x(n-m)，因此 P1(x)和P2(x)不可能完全消去分圆多项式P(x)中的xn项。

分圆多项式

分圆多项式2008-02-14 12:59 P.M.对于整系数多项式我们还有一个简单的事实:如果多项式f(x)在有理数域上可约,那么对任意的素数p,f(x)(modp)也可约.反过来,如果存在素数p,f(x)(modp)不可约,那么f(x)必定是不可约的.这就为判定不可约多项式提供了另一个有效的法则,它把有理数域(整数环)上的多项式转化到了一个有限域上去了,这个有限域正是素域$Z_p$.这样事实上我们必须要建立有限域上的多项式的理论,才能更好的应用这个方法...下面的一个例子是这方面的一个典型应用:
我们将多项式$x^n-1$分解,它所分解得到的不可约多项式称为分圆多项式.事实上,分圆多项式的定义可以用以下的方式来得到:设ε是$x^n-1=0$的一个根,即ε是n次单位根,如果对任意的自然数k<n,ε都不是$x^k-1=0$的根,那么称ε为n次本原单位根.由所有n次本原单位根构成的多项式就称为n次分圆多项式.
由这个公式,我们可以得到$Phi_1(x)=x-1,Phi_2(x)=x+1,Phi_3(x)=x^2+x+1,Phi_4(x)=x^2+1$.一般的,$Phi_p(x)=x^{p-1}+...+x+1$.p是素数.
顺便指出,由分圆多项式的这个公式,比较两端的次数,我们立即得到初等数论关于Euler函数的著名结论:$\sum_{d|n}φ(d)=n$.
应用本原单位根与扩域的知识可以解决以下的问题:
我们证明:(<象代数--理论,问题与方法>,张广祥)
定理:分圆多项式$Phi_n(x)$是不可约的整系数多项式.
证明:设α是n次本原单位根,$f_1(x)$是整系数不可约本原多项式使得$f_1(α)=0$,取素数q,使得(q,n)=1.则$α^q$也是一个n次本原单位根.假定$f_2(x)$是整系数不可约本原多项式使$f_2(α^q)=0$,下证$f_2(x)=+-f_1(x)$.

多项式分解为不可约多项式的方法

多项式分解为不可约多项式的方法多项式分解是数学中非常重要的概念和技巧，它可以将一个多项式表达式拆解成不可约多项式的乘积形式。

在本文中，我们将探讨几种常见的方法来进行多项式的分解，以及如何判断一个多项式是否为不可约多项式。

我们来了解一下多项式的定义。

多项式是由常数和变量的乘积相加得到的表达式。

例如，2x^2 + 3x + 1就是一个多项式。

在进行多项式分解时，我们希望将这个多项式拆解成不可约多项式的乘积形式，即无法再进行进一步分解的多项式。

一种常见的方法是因式分解法。

这种方法适用于具有公因式的多项式。

我们首先寻找多项式的公因式，并将其提取出来。

例如，对于多项式2x^2 + 3x + 1，我们可以提取出公因式1，得到1(2x^2 + 3x + 1)。

接下来，我们需要判断括号中的多项式是否可进一步分解。

在这个例子中，括号中的多项式无法再进行因式分解，因此它是一个不可约多项式。

另一种常见的方法是配方法。

这种方法适用于具有特定形式的多项式，例如二次多项式。

我们将多项式写成(a+b)^2的形式，例如x^2 + 4x + 4可以写成(x+2)^2。

然后，我们可以将其分解为(x+2)(x+2)。

这种方法可以用于分解其他形式的多项式，例如(x+1)(x+3)。

除了因式分解法和配方法，我们还可以使用其他方法来进行多项式分解。

例如，对于高次多项式，我们可以使用根的概念来进行分解。

我们首先找出多项式的一个根，然后将多项式除以这个根得到一个较低次数的多项式。

接下来，我们可以继续寻找较低次数多项式的根，并重复这个过程，直到得到不可约多项式为止。

我们还可以使用多项式的特殊性质来进行分解。

例如，当多项式的次数较高时，我们可以使用因式定理来判断是否存在线性因子。

如果多项式的次数为n，那么我们只需要检查多项式是否有n个根即可。

如果存在n个根，那么多项式可以被分解为线性因子的乘积形式。

在进行多项式分解时，我们还需要判断一个多项式是否为不可约多项式。

不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)课件

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1）如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

不可约多项式的判定及应用毕业论文

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用Judgment and Application of Irreducible PolynomialsAbstractThe theory of polynomial is an important portion of advanced algebra. Irreducible polynomial is an important class of polynomials. We induce, in this paper, the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field, and give some judgment methods of irreducible polynomials such as Eisenstein method, Kronecker method, Perron method and Browm method. The equivalence and inclusion relations between judgment methods are also investigated. In addition, we give some applications of irreducible polynomials.Key wordsIrreducible polynomial; Judgment method; Application1.引言众所周知，多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念。

反证法证明多项式不可约

反证法证明多项式不可约在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．例1已知P（x）是一个大于零次的多项式，如果对于任意两个多项式f（x）和g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多项目类型证明假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．例2如果阶数大于1的整系数多项式f（x）的函数值是任意整数的素数f(x)为有理数域q上的不可约多项式．证明了f（x）不是有理数域Q上的不可约多项式，因为？（f（x））？1，所以f（x）在整数环Z上也是可约的，也就是说，有整系数多项式F1（x）和F2（x），所以f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．根据已知条件，如果a是整数，那么f（a）是素数，也就是f（a）？F1（a）和F2（a）是素数，那么F1（a）呢？？1或F2（a）？？1.从a的无穷远，知道F1（a）吗？1，f1（a）？？1或f2(a)?1，f2(a)??1四个式子中至少有一个式子对无限个a成立，即f1(x)与f2(x)中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．例3设置f（x）？anxn？一1xn？1.A0是一个整系数多项式，如果有素数P，那么（1）p?|an；（2）潘？1，一个？2.a0（3）p2?|a0，那么f（x）在有理数域中是不可约的证明假设f(x)在有理数域上可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即f（x）？（blxl？bl？1xl？1？？？b0）（cmxm？cm？1xm？1？？？c0）（l？n，m？n，l？m？n）因此an?blcm，a0?b0c0．因为p | a0，p可以除以B0或C0。

分圆多项式是整系数既约多项式

分圆多项式是整系数既约多项式标题：深度探讨：分圆多项式是整系数既约多项式一、引言在数学领域，多项式是一个重要的概念。

而在多项式中，分圆多项式是一种特殊的形式，它具有整系数和既约性的特点。

本文将从分圆多项式的定义、性质和应用等方面展开全面评估，希望能够为读者提供深度和广度兼具的信息。

二、分圆多项式的定义分圆多项式是指其所有根都是单位复数的多项式。

如果一个多项式的所有根的模长都是1，那么这个多项式就是一个分圆多项式。

x²-2x+1和x⁴-1都是分圆多项式。

三、分圆多项式的性质1. 整系数：分圆多项式的系数都是整数。

这是因为如果一个分圆多项式的系数不是整数，那么它的根就不一定是单位复数。

2. 既约性：分圆多项式不可约。

这是因为如果一个分圆多项式是可约的，那么它的根就可以分解成两个较小的单位复数，与分圆多项式的定义相矛盾。

四、分圆多项式的应用1. 数论领域：分圆多项式在数论领域有着重要的应用，特别是在证明费马小定理、欧拉定理等方面发挥着重要作用。

2. 代数几何领域：在代数几何领域，分圆多项式可以用来描述圆周上的点的坐标，从而有助于解决相关问题。

五、总结与展望分圆多项式作为一种特殊的多项式形式，具有整系数和既约性的特点，是数学领域中一个重要而有趣的概念。

通过本文的深度探讨，希望读者能够更全面、深刻和灵活地理解分圆多项式的定义、性质和应用。

也希望未来能够有更多的研究能够进一步挖掘分圆多项式在数学领域的潜力。

个人观点：分圆多项式作为数学领域中的一个重要概念，具有许多独特的性质和应用。

通过对其深度和广度的探讨，可以更好地认识和理解这一概念。

在未来的学习和研究中，我希望能够进一步挖掘分圆多项式在数学领域的潜力，为数学领域的发展贡献自己的力量。

以此，文章深入探讨了分圆多项式的定义、性质和应用，并结合个人观点进行总结与展望，希望能够为读者提供一篇有价值的文章。

：六、分圆多项式的定义扩展在前文中，我们已经了解了分圆多项式的基本定义，即所有根都是单位复数。

多项式分解为不可约多项式的方法

多项式分解为不可约多项式的方法多项式的分解是将一个多项式表示为更简单的不可约多项式的乘积形式。

不可约多项式是无法再进行进一步分解的多项式。

多项式分解的方法包括因式分解、开方并合并等。

1.因式分解法因式分解法是将多项式分解为一些因式的乘积形式。

这些因式可以是常数、一次因式、二次因式等。

a)常数因式分解首先，判断多项式是否可以被常数因式整除，即判断是否存在一个常数因式，使得多项式除以这个常数因式后余数为零。

如果存在，则将这个常数因式提取出来，并写在括号外面。

余下的部分为被提取出常数因式之后的多项式，继续进行因式分解，直到无法再进行因式分解为止。

例如，考虑多项式P(x)=2x^3+6x^2+12x，可以发现它可以被常数因式2整除，即P(x)=2(x^3+3x^2+6x)。

余下的部分为不可以再被2因式整除的多项式x^3+3x^2+6x，继续进行因式分解。

b)一次因式分解对于一次因式，即形式为ax + b的因式，可以使用综合除法或因式定理来进行分解。

综合除法：将多项式除以一次因式，得到商的一次多项式和余数。

商的一次多项式即为一次因式的系数，余数为0则说明一次因式是多项式的因式。

因式定理：根据因式定理，如果P(x)是一个多项式，且x-k是P(x)的因式，那么P(x)除以x-k的余数为0。

可以通过试除法找到多项式的一次因式，再用综合除法进行具体的分解。

例如，考虑多项式P(x)=x^2+2x-8，我们可以通过试除法找到一次因式，例如将x-2代入多项式中计算余数，发现余数为0。

因此可以将P(x)分解为P(x)=(x-2)(x+4)。

c)二次因式分解对于二次因式，即形式为ax^2 + bx + c的因式，可以使用求解二次方程或配方法来进行分解。

求解二次方程：对于二次因式ax^2 + bx + c，可以使用求解一元二次方程的方法来找到其根，进而得到二次因式的分解式。

根据韦达定理，一元二次方程的两个根可以由二次项系数和常数项决定。

分圆多项式的算术性质

分圆多项式的算术性质作者：周宇学位授予单位：南京师范大学引用本文格式：周宇分圆多项式的算术性质[学位论文]硕士 2014华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。

本研究最终将这一逻辑用“体制性造假”来概括。

体制性造假是受到体制逼迫的产物，是地方政府在面临体制的困境时不得不为的选择，而为了达到体制性造假的目的，地方政府又充分利用其所掌握的体制资源和力量来造假，“华南虎事件”讲述的也就是地方政府在体制困境之下如何“趋利避害”的故事。

体制性造假受到网络、媒体、公众等的制约，造假将使政府公信力受损，但造假又不得不为，因此地方政府凭借体制对专家的控制来造假。

为了掩盖造假行为，地方政府对信息加以严格控制。

但对信息的控制遭遇到网络、媒体和专家的挑战，他们既是体制性造假的障碍，又刺激地方政府不断动用体制维护造假。

而意在对造假进行惩处的制度又被体制歪曲，从而变相加剧了体制性造假，这更是一种吊诡。

关键词：体制性造假信息控制行政问责IAbstractIn 2007, the public focus on the Controversy of Huanan Tiger, and the doubt of why the local government has to fake spur me to start this disquisition.This paper inextenso narrate the story, throw the characterization of State Forestry Bureau, the local government, officeholder, the public, and the media, indicate the dominator behind them, then gradually get to the logic of the Controversy, and conclude it with "institutional fake".The institutional fake is caused by the unreasonable system, the local government have to fake in the dilemma caused by the system, in order to fake successfully, the local government use all his forces, the Controversy of Huanan Tiger is a story of how the local government fake in the dilemma.The institutional fake is enslaved to the public, the media, the public opinion, the validity would be damaged by the fake, but the local have no choice, so he has to use the experts to help to fake.In order to deceive the public, the local government has to blank off all the information.But now the monopolization of information is challenged by the public, the media. They are the limiting factors of faking but also the accelerating factors, which is self-contradictory.Key Words:The Institutional Fake; Monopolization of Information;the Condemn to BureaucracyII独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。