北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)

1. 探究勾股定理

1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.

2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.

1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.

2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.

3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.

通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.

【重点】勾股定理的探究及应用.

【难点】勾股定理的探究过程.

【老师准备】分发给学生打印的方格纸.

【学生准备】有刻度的直尺.

导入一:

展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?

事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.

[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.

导入二:

如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?

【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?

在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!

一、用测量的方法探究勾股定理

思路一

【学生活动】

1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.

2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.

3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.

【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?

[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.

思路二

任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.

直角三角形直角边

长

直角边

长

斜边

长

1

2

3

【师生活动】

师:观察表格,有什么发现?

生1:a2+b2=c2.

生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.

师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?

生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……

师:哪些数据没得到a2+b2=c2?

生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……

师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?

二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理

1.探究等腰直角三角形的情况.

思路一

展示教材P2图1 - 2局部图.

探究问题:

(1)这个三角形是什么样的三角形?

(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)

[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.

思路二

展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?

【师生活动】

师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?

生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.

师:再准确点说呢?

生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.

师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.

(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)

生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.

师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?

生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.

生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)

师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?

生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)

师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?

生1:S A+S B=S C.

生2:a2+b2=c2.

师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?

2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.

展示教材P2图1 - 3局部图.

对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?

【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?

(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?

(3)三个正方形的面积之间有什么关系?

同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.

【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.

【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.

学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.

【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么

a2+b2=c2.

[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?

(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?

(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用

求出.

[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.

[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).