苏教版必修四第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法(学案含答案)

向量的加法

重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 难点：向量加法的交换律与结合律的推导。

向量的减法

重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系。 难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。

向量的加法

一、向量加法的定义及运算法则

1. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 其中0,()()0a a a a a a +=+-=-+=。

2. 向量加法的运算法则

（1）三角形法则：如图1，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记做a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝。

图1

（2）平行四边形法则：

把向量a ，b 平移到同一点O ，如图2，作出平行四边形，则a ＋b ＝。

图2

【核心归纳】

准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 （1）两个法则的使用条件不同

三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，但是在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三角形法

则和它的平行四边形法则都应该熟练掌握。

（2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的。

（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同。

二、向量加法的运算律

（1）交换律：a ＋b ＝b ＋a ；

（2）结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。 【核心突破】

（1）两个向量的和仍然是一个向量。

（2）当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且a b a b <＋＋。

（3）特殊位置关系的两向量的和

①向量a 与b 同向，则a ＋b 与a 、b 方向相同，则a b a b =＋＋； ②向量a 与b 反向，若a ＋b 与b 方向相同，则a b b a =-＋

。 （4）向量加法广泛应用于力的合成、速度的合成等。

示例：在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，试判断四边形的形状。 思路分析：要结合图形中的三角形运用加、减法的法则。 答案：如图所示

由向量加法的三角形法则得AC AD DC

=+AC AB AD AB DC =+∴=

即AB ∥DC ，且AB DC =∴四边形ABCD 是平行四边形。

技巧点拨：

如果再添上AB AD =，那么四边形ABCD 是菱形；如果AB AD 和垂直，那么四边形ABCD 是矩形。

向量的减法

一、向量的减法定义

如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a b -，求两个向量差的运算叫做向量的减法。

【要点诠释】

向量的减法是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义，AB BA -=，就可以把减法转化为加法。

二、向量减法的运算法则——三角形法则

在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA BO OA OB OA a b =+=-+=-，

即a b -表示从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。 【要点诠释】

1. 向量的减法运算与向量的加法运算可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

2. 以向量,AB a AD b ==为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线AC a b =+，

BD b a =-，DB a b =-。

向量的加法

例题1 （向量加法的化简与运算） 化简或运算：

如图所示，梯形ABCD＝8＝10+

思路分析：利用三角形法则，先求和向量，再求模。

答案：如图所示，作CE＝DA，

则BC＋DA＝BC＋CE＝BE，

+

＝10－8＝2。

技巧点拨：

求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则，求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连。

例题2 （向量加法在平面几何中的应用）

如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO＝OC，DO＝OB。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

思路分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明AD＝BC，且A，B，C，D 不在一条直线上即可。

答案：由向量的加法法则，知：

又AO＝OC，∴AD＝BC，

∵A，B，C，D不在一条直线上，

∴A D与BC平行且相等，

∴四边形ABCD是平行四边形。

技巧点拨：

利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题。

向量的减法

例题1（已知向量作和（差）向量）

如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c。

思路分析：先将a，b首尾相连，作出a＋b，然后根据向量减法的定义作a＋b与c的差向量。

答案：

作法一如图（1）所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c；

作法二如图（2）所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，过点B作CB＝c，则OC＝a＋b－c。

【重要提示】

1. 求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用。

2. 求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量。

3. 作图时一定要注意箭头的方向。

例题2 （向量加减法的基本运算）