高中数学中二次函数根的分布问题详解详析
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二次函数根的分布问题
1、 二次函数 y f (x) ax 2 bx c (a 0) 在闭区间 [m, n] 上的值域和最值问题 。
① 当对称轴 x
b m 时，函数 y f (x)
ax 2 bx
c ( a 0) 在闭区间 [ m, n] 是单
2a
调递增函数，所以 y max
f ( n)
an 2 bn c ， y min
f (m)
am 2
bm c ；
② 当 对 称 轴 x
b (m ,m n
]时 ， 函 数 y f( x) a 2x
b x c( a 0 )在 区 间
2a 2
(m ,
b
] 上 是 单 调 递 减 函 数 ， 在 区 间 (
b
, n] 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 且
b 2a
b
2a
|
m | | n |
，
所
以
y m
f a (n) x an 2
bn c
，
2a
b 2a
b
b
y
min
f (
) a( ) 2 b( ) c ；
2a 2a 2a
③ 当 对 称 轴 x
b (
m n
,n] 时 ， 函 数 y f (x) ax 2
bx c (a 0) 在 区 间
2a 2
(m ,
b
]上 是 单 调 递 减 函 数 ， 在 区 间 ( b
, n] 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 且
2a 2a
| b
m | | b n | ， 所
以
y m
a f (m) x am
2
bm c
，
2a
b 2a
b
b
y
min
f (
) a( ) 2 b( ) c ； 2a b 2a 2a
④ 当对称轴 x n 时，函数 y f ( x) ax 2 bx
c ( a 0) 在闭区间 [ m, n] 是单
2a
调递减函数，所以
y max
f (m ) am 2 bm c ， y min
f (n)
an 2
bn c 。
其中，值域就是在最大值与最小值之间。
综上所述：
f (n) an 2
bn c ( x
b m n )
y
max
2a
2
b
m n )
f (m) am 2
bm c ( x
2a
2
f (m)
am 2 bm c
( x
b
m)
2a
y
f (
b
) a( b )2 b( b
) c (m x
b n) min
2a 2a 2a
2a
f (n)
an 2 bn c
( x
b n)
2a
2.二次函数y f (x)ax2bx c( a0) 在区间 (, n] 上的值域和最值问题。
① 当对称轴
b2
x
(,]时，函数
y f( x) a x b x ( c
在2a n0a ) b b
( ,] 单调递减，在 (, n] 单调递增所以 y f ( x)ax2bx c (a0) 2a2a
b )b b )
无最大值，最小值y min f (a()2b( c ；
b 2a2a2a
②当对称轴 x n 时，函数 y f ( x)ax 2bx c( a0)在(, n] 上是减
2a
函数，所以无最大值，最小值y
min f (n)an2bn c 。
2、二次函数y ax2bx c(a 0) 在区间 [n,) 上的值域和最值问题。
①当对称轴 x b(, n) 时，函数 y f ( x)ax2bx c ( a 0) 在 [ n, )
2a
单调递增，所以 y
2
b x (c
a0无) 最大值，最小值
为
f( x)a x
y min f (n)an2bn c ；
②当对称轴
递减，在x b n 时，函数 y f (x)ax2bx c (a0) 在 [ n,
b
] 单调2a2a ( b ,
)
单调递增，所以y f ( x)ax 2bx c ( a 0) 无最大值，2a
最小值 y min f ( b )a( b )2b( b ) c ；
2a2a2a
3、二次函数y ax2bx c(a0) 在闭区间 [ m, n] 上的值域和最值问题。
① 当对称轴x b m 时，函数 y f ( x)ax2bx c (a0) 在闭区间 [ m,n] 是
2a
单调递减函数，所以y
max f ( m)am2bm c ， y min f (n)an2bn c ；
② 当对称轴
x
b( ,
m
n ]
时，函数y f ( x)
2
bx c (a0) 在区间2a m2ax
(m,
b
] 上是单调递增函数，在区间 (
b
, n] 上是单调递减函数，且2a2a
|b m | |b n |，所以y
max f (b)a(b)2b(b) c，
2a2a2a2a2a y
min f (n)an2bn c ；
③ 当对称轴
x b(
m n
, ]
时，函数 y f( x)
2
b x c( a 0 )在区间2a2n a x