高中数学中二次函数根的分布问题详解详析

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微专题11 二次函数根的分布问题(解析版)

微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m为实数，命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R；命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m的取值范围为_______．【答案】(20,0]-【解析】由命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R，当0m=时，不等式40-<恒成立；当0m≠时，则满足2160mm m<⎧⎨∆=+<⎩，解得160m-<<，综上可得160m-<≤．由命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根，则满足2121244(20)020200m m x x m x x m ⎧∆=-+>⎪+=<⎨⎪=+>⎩，整理得2200020m m m m ⎧-->⎪<⎨⎪>-⎩，所以45020m m m m <->⎧⎪<⎨⎪>-⎩或，解得204m -<<-．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有160m -<≤或204m -<<-，可得200m -<≤，即实数m 的取值范围为(20,0]-．故答案为：(20,0]-．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.【答案】0a ≤或1a =【解析】若方程2210ax x ++=有且仅有一个负实数根，则当0a =时，12x =-，符合题意.当0a ≠时，方程2210ax x ++=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，当1a =时，方程有且仅有一个负实数根1x =-，当1a <且0a ≠时，若方程有且仅有一个负实数根，则10a<，即0a <.所以当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“0a ≤或1a =”.故答案为：0a ≤或1a =.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________.【答案】125k ≤-或3k >【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则12121200,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k kkk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-或3k >．故答案为：125k ≤-或3k >．例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.故答案为：112m -<<例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,31113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣.例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根1x ､2x 故20,(4)16(+1)0k k k k ≠∆=-≥，即0k ≤，且121210104x x k x x k +=>⎧⎪+⎨=>⎪⎩，解得：1k <-．（2）由题意，当0∆≥，即0k ≤时，有121211,4k x x x x k++==()()2221212121212129(1)93222+252()92442k k x x x x x x x x x x x x k k ++--=-=+-=-=-=-解得：95k =，与0k ≤矛盾.故不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.故答案为：5(,2)2--.例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．【解析】令2()22f x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内，所以213Δ44(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩，解得1125<<a ，故答案为：112,5⎛⎫⎪⎝⎭例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．【解析】（1）设二次函数()2221y x tx t t =-+-∈R 的两个零点分别为1x ，2x ，由已知得120x x +=，而122x x t +=，所以20t =，故0=t ，不等式22210x tx t -+-≥即210x -≥，解得1≥x 或1x ≤-，故不等式的解集为{1x x ≥或}1≤-x .（2）因为方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，所以()()()()222222Δ2t 4t 102t 422t 2t 1042t 4t 10⎧=---≥⎪⎪-<<⎨⎪--⨯-+->⎪-⨯+->⎩，即2240244308150t t t t t ≥⎧⎪-<<⎪⎨++>⎪⎪-+>⎩，解得：13t -<<，即实数t 的取值范围为{}13t t -<<.例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221 260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.【答案】(1)1m <-(2)7554m -<<-(3)1m ≤-【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()()2,13,4--【解析】令()()227132f x x a x a a =-++--，因为程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()22220713202821320a a a a a a a a ⎧-->⎪--+--<⎨⎪-++-->⎩，解得21a -<<-或34a <<，所以实数a 的取值范围为()()2,13,4--.故答案为：()()2,13,4--.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】16(5,]3【解析】关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，令()()214f x x a x =--+，则有()()()2Δ1160113216031630a a f a f a ⎧=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=-≥⎪=-≥⎪⎩，解得1653a <≤，所以实数a 的取值范围是16(5,]3.故答案为：16(5,]3例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于 2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】()3,0-【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即2030a <⎧⎨+<⎩，解得a ∈∅；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，即2030a >⎧⎨+>⎩，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是()3,0-．故答案为：()3,0-．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,2故答案为：5[2,)2例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a<-，故2011a -<<，故选：D例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)，()2(2)4210m m ∆=---=，解得6m =±当6m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为2-若6m =-2(2)210x m x m +-+-=2，符合题意综上：实数m的取值范围为{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.【解析】（1）假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-，95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.（2）()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-==-=-=-++，∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，，0k <，235k ∴=---，，.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21.故选：C例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】BC【解析】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______.【答案】1【解析】方程化为()221860k x x --+=，由()Δ6424210k =-->，12k ≠解得116k <，所以k 最大整数值是1.故答案为：1.题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.【答案】3-【解析】a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，∴可得2a b +=，10ab t =-≥，1t ∴≥，又()4410t ∆=--≥，可得2t ≤，12t ∴≤≤，又()()()()()()222222211121a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++()()()()2221114211a b t t ∴--=--+-+，24t =-，又12t ≤≤，2340t ∴-≤-≤，故答案为：3-．例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x .(1)当1m =时，求1211+x x 的值；(2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.【解析】（1）当1m =时，方程为2410x x -+=，2(4)4120∆=--=>，所以12124,1x x x x +=⋅=，122112114x x x x x x ∴+⋅+==.（2）因为240x mx m -+=两根120,0x x >>，所以21212Δ1640400m m x x m x x m ⎧=-≥⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得14m ≥.因为12124x x x x +=，120,0x x >>，所以12114x x +=，所以211212121241111194(4)()(5)54444x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当21124x x x x =，即1233,48x x ==时等号成立，此时91324m =>符合题意，124x x ∴+的最小值为94.例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】因为函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=，所以1012200288b c b c +=++-，解得4b =-，所以()224f x x x c -+=，因为方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，所以()Δ168000c f c =-≥⎧⎨=>⎩，解得02c <≤，所以121212112422x x c x x x x c =++==≥，当c =2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+ ，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331k k k==++，6k ，∴1106k < ，3102k < ，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A ．12a x x b <<<B ．12x a b x <<<C ．12a x b x <<<D ．12x a x b<<<【答案】A【解析】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<.故选：A.例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．(1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【解析】(1)当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅱ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x ∈R ，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．(2)依题意，()()()2211,11,x a x a x af x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得3x =因为函数()g a ()3,+∞上单调递增，所以()332x g >=31012x <<-．所以123111x x x ++．所以a 的取值范围是21,22⎛- ⎝⎭．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <.因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-.故选：C2．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞【答案】C【解析】令()2(2)5mf x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈--故选：C3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（）A ．3B ．6C．D．【答案】D【解析】2610x x -+=，364320∆=-=>，故121261x x x x +=⎧⎨=⎩，12||x x -===.故选：D.4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103-<<a ，故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．2a <【答案】C【解析】由题意，不妨设2()21f x ax x =++，因为(0)10=>f ，且()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根，所以2()21f x ax x =++的图像开口向下，即0a <，故对于选项ABCD ，只有C 选项：1a <-是0a <的充分不必要条件.故选：C.6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由题意，{}2320{|12}A x x x x x =-+<=<<若AB ⋂≠∅，即方程2210ax x --=存在根在区间(1,2)（1）若102102a x x =∴--=∴=-，不成立；（2）若0a ≠，由于0x =不为方程的根，故0x ≠，则222221211210(1)1x ax x a x x x x+--=⇔==+=+-由于21115(1,2)(,1)(1)1(,3)24x x x ∈∴∈∴+-∈综上，实数a 的取值范围是5,34⎛⎫⎪⎝⎭故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{}12a a -<<B ．{}21a a -<<C ．{}2a a <-D ．{}1a a >【答案】B【解析】由题意可得()2211220a a a a +-+-=+-<，解得21a -<<.故选：B.8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【答案】A【解析】因为元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)1f x x m x =+++，则由题意可得(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10,30,1330,m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩解得1333m -<<-，又m Z ∈，可得4m =-.故选：A 二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）.A ．24a b=B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c =【答案】ABD【解析】由题意，不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，所以240a b ∆=-=，24a b ∴=，所以A 正确；对于B ：2+x ax b c +<变形为2+0x ax b c +-<，其解集为(3,1)-，所以231 314 a b c a b -+=-⎧⎪-⨯=-⎨⎪=⎩，得214a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故7a b c ++=成立，所以B 正确；对于C ：若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：若不等式2x ax bc ++<的解集为12(,)x x ，即20x ax b c ++-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21212,4a x x a x x b c c +=-=-=，则12||4x x -==，解得4c =，所以D 正确.故选：D.10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（）A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m 【答案】ACD【解析】设()24f x x x m =-+，则二次函数()f x 的图象的对称轴为2x =．当4m =时，方程即()224420x x x -+=-=，求得2x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故4m =是方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故A 满足条件；当5m =时，方程即()224521x x x -+=-=-，求得x ∈∅，不满足方程有正实数根，故5m =不是方程240x x m -+=有正数根的充分条件，故排除B ．当1m =时，方程即()224123x x x -+=-=，求得2=±x 但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故1m =方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故C 满足条件；当12=-m 时，方程即24120x x --=，求得2x =-，或6x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故12=-m 方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故D 满足条件，故选：ACD ．11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．3-B ．18C ．14D ．1【答案】BC【解析】由题意22x x λ=--在(1,0)-上有解．∵(1,0)x ∈-，∴222(1)1(0,1)x x x λ=--=-++∈，故选：BC ．12．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈<B ．方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈>D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确；对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误；对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.13．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC 【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f f m f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-，又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．【答案】a <-2【解析】∵关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，另一根小于1，令2()1=++f x x ax ，则(1)20f a =+<，求得2a <-，故答案为：2a <-15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-，所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.故答案为：(),3-∞-.17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【解析】由()()2320x x x -+-≤，得23020x x x ⎧-≥⎪⎨+-≤⎪⎩或23020x x x ⎧-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得13x ≤≤，所以集合{|31A x x =-≤≤-或}13x ≤≤，因为A B ⊆，令()212f x x ax =--，则()()3030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即9312093120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,1-故答案为：[]1,1-四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】（1）若命题q 为假命题，则对()0,x ∀∈+∞，2390x mx -+≥为真命题；239mx x ∴≤+，即93m x x ≤+；96x x +≥（当且仅当9x x =，即3x =时取等号），36m ∴≤，解得：2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞.（2）由（1）知：若命题q为真命题，则2m >；若命题p 为真命题，则Δ1400m m =->⎧⎨>⎩，解得：104m <<；若p 真q 假，则104m <<；若p 假q 真，则2m >；综上所述：实数m 的取值范围为()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．【解析】令2()57f x x x a =--，则根据题意得(1)057012(0)000(1)0202(2)0201406f a a f a a f a a f a a ->⇒+->⇒<⎧⎪<⇒-⇒⎪⎨<⇒--⇒-⎪⎪>⇒-->⇒<⎩，∴06a <<.故实数a 的取值范围(0,6).20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）1.已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()()2213f x x a x =+-+的对称轴为1x a=-要想方程()0f x =在()0,3有两个根，需要满足()()()100001330f a f a f ⎧-<⎪>⎪⎨<-<⎪⎪>⎩解得：(1,1a ∈--(2)[]1,2x ∃∈，()22130x a x +-+>成立，即3122x a x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上有解，只需1a -大于()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值，其中()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为对勾函数，在x ⎡∈⎣上单调递增，在)x ∈上单调递减，又()131222g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2372244g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以最小值为()12g =-故12a ->-，解得：1a >-，实数a 的取值范围为()1,-+∞21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围；(2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.【解析】（1）∵()22820440x x x -+=-+>∴()()221940f x ax a x a =++++<在R 上恒成立∵0a ≠，则()()20Δ414940a a a a <⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得12a <-综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）∵()()0,1f c f a b c ==++，则c 为奇数，a b +为偶数当Z x ∈时，则有：1.若a b 、均为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根2.若a b 、均为奇数时，则有①若x 为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根②若x 为奇数时，则()2ax bx x ax b +=+为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根综上所述：方程()0f x =无整数根（3）()()2221f x x k x k =+-+由题意可得()()222Δ21402112120k k k f k k ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪=+>⎪⎩，解得2k <-则k 的取值范围为(),2∞--.。

二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2+bx+c = 0根的分布情况设方程ar+bx+c = 0(d H 0)的不等两根为心兀且片 < 心，相应的二次函数为f (x) = or? +bx+c = 0, 方程的根即为二次函数图象与X轴的交点，它们的分布情况见下而各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)表二：（两根与£的大小比较）表三：（根在区间上的分布）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在(/,")有以下特殊情况：1°若/(/«) = 0或/(") = 0,则此时/(/«>/(/?)< 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或"，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加丿)，从而可以求出参数的值。

如方程〃区2—(加+ 2)x+2 = 02 2在区间(1,3)上有一根，因为/(1) = 0> 所以mx2—(m+2)x+2 = (x—l)(mr—2)> 另一根为— > 由1 < — <3 2得一<tn<2即为所求；32°方程有且只有一根，且这个根在区间(〃?,〃)，即△ = 0,此时由4 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给左的区间，如若不在，舍去相应的参数。

如方程x2-4/^ +2w+ 6 = 0有且一根在区间(-3,0),求加的取值围。

分析：①由/(-3>/(0)< 0即(14加+ 15)(加+ 3)< 0得出]5 3一3<〃？<一訂：②由△ = ()即16〃/一4(2〃? + 6) = 0得出〃？= -1 或加=；,当〃？ = 一1 时，根兀= -2e(-3,0),3 3 15即〃2 = —1满足题意：当/« = -时，根兀=3点(一3,0),故/// = -不满足题意：综上分析，得出一3<〃2<-一或2 v 7 2 14m = -1根的分布练习题例1、已知二次方程(2加+ 1)疋_2皿+(加_1) = 0有一正根和一负根，数加的取值圉。

二次函数根的分布

特点二：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(10) 都是两根在不同的区间内。
现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”
分成两组研究: 第一组：(1)-(5) 第二组：(6)-(10)
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（2）有两个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
（6）一个正根，一个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
( m 3)2 4m 0
x1x2 m 0
m m0
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（6）一个正根，一个负根
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题
解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
＝(3-m)2 -4m 0

- b =- 3-m >0 2a 2 f ( 0 )=m>0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布
两个根都小于k
小
y
两个根都大于k
y
两个根都在（k1.k2)内
y
kx
k
x
k1 O
kx 2
结
0
0

b 2a

k

二次函数根的分布

二次函数根的分布二次函数是二次多项式的函数，其一般形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）。

首先，我们需要了解二次函数的图像特点。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。

其次，我们来探讨二次函数的根的分布。

二次函数的根即方程的解，即使二次方程的解的个数以及位置。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用判别式来判断解的情况：判别式Δ=b^2-4ac。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

实根的个数与开口方向无关，只与判别式Δ有关。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

-当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。

-当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。

值得注意的是，只有在a≠0时，方程为一元二次方程，才能求解二次函数的根。

接下来，我们来分析二次函数根的分布。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，二次函数与x轴交于两个不同的点，也就是有两个实根。

这两个实根的位置由二次函数的对称轴决定，对称轴的方程为x=-b/2a。

假设根的位置为x1和x2，那么有以下三种情况：-当x1和x2均小于对称轴的x坐标时，二次函数开口向上，根的位置为x1>x2-当x1和x2均大于对称轴的x坐标时，二次函数开口向下，根的位置为x1<x2-当x1小于对称轴的x坐标，x2大于对称轴的x坐标时，一个根位于对称轴的左侧，一个根位于对称轴的右侧。

2.当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。

此时，二次函数与x轴有且仅有一个交点，也就是有一个实根。

这个实根的位置正好位于二次函数的对称轴上，对称轴的方程为x=-b/2a。

3. 当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。

此时，二次函数与x轴没有交点，也就是无实根。

二次函数根的分布和最值

二次方程根的【2 】散布与二次函数在闭区间上的最值归纳1.一元二次方程02=++c bx ax 根的散布情形设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,响应的二次函数为()20f x ax bx c =++=,方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的散布情形见下面各表（每种情形对应的均是充要前提）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情形）散布情形两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f分解结论（不评论辩论a ）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）散布情形两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f分解结论（不评论辩论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a表三：（根在区间上的散布）kkk散布情形两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情形,只画了一种）一根在()n m ,内,另一根在()q p ,内,q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩分解结论（不评论辩论a ）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的散布还有一种情形：两根分离在区间()n m ,外,即在区间两侧12,x m x n <>,（图形分离如下）需知足的前提是（1）0a >时,()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩;（2）0a <时,()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的散布表中一些特别情形作解释：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特别情形：1︒ 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n <不成立,但对于这种情形是知道了方程有一根为m 或n ,可以求出别的一根,然后可以依据另一根在区间()n m ,内,从而可以求出参数的值.如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根,因为()10f =,所以()()()22212mx m x x mx -++=--,另一根为2m,由213m <<得223m <<即为所求; 2︒方程有且只有一根,且这个根在区间()n m ,内,即0∆=,此时由0∆=可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出响应的根,磨练根是否在给定的区间内,如若不在,舍去响应的参数.如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内,求m 的取值规模.剖析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-;②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =,当1m =-时,根()23,0x =-∈-,即1m =-知足题意;当32m =时,根()33,0x =∉-,故32m =不知足题意;综上剖析,得出15314m -<<-或1m =-根的散布演习题例1.已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根,求实数m 的取值规模.解：由()()2100m f +<即()()2110m m +-<,从而得112m -<<即为所求的规模.例2.已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根,求实数m 的取值规模.解：由()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒3223220m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或⇒ 0322m <<-或322m >+即为所求的规模.例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m 的取值规模.解：由()()210m f +<即()()2210m m ++<⇒122m -<<即为所求的规模.例4.已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1,求实数m 的取值规模.解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根,则()()010f f <⇒()4310m +<⇒13m <-即为所求规模.（注：本题对于可能消失的特别情形方程有且只有一根且这个根在()0,1内,由0∆=盘算磨练,均不复合题意,盘算量稍大）1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),判别式Δ=b 2-4ac,当Δ＞0时y=f(x)与x 轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x 轴仅有一交点;当Δ＜0时,y=f(x)与x 轴无交点．当Δ＞0时,设y=f(x)图象与x 轴两交点为x 1＜x 2．一元二次函数y=f(x)与x 轴交点x 1,x 2就是响应一元二次方程f(x)=0的两根．不雅察图象不难知道．图像为不雅察图象不难知道△=0,a＞0 , △=0,a＜0当△＜0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为不雅察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．2．评论辩论一元二次方程的根的散布情形时,往往归结为不等式（组）的求解问题,其办法有3种：（1）应用求根公式;（2）应用根与系数关系;（3）应用二次函数图象．在进行转化时,应保证这种转化的等价性．就这三种办法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种办法．设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0）,方程ax2＋bx＋x=0的个根为α,β（α≤β）,m,n为常数,且n＜m,方程根的散布无外乎两种情形：②α,β同居一区间时,不但要斟酌端点函数值的符号,还要斟酌三.好题解给你(1)(1)预习题1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大照样变小？由此y＝f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分离是什么？解：经配方有y＝2(x-2)2-7∵对称轴x＝2,区间[3,4]在对称轴右边,∴y＝f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,是以y max=f(4)＝1．y min＝f(3)＝-5．2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问,此函数对称轴是什么？当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大照样变小？与a取值有何干系？由此,求y＝f(x)在[3,4]上的最大值与最小值．解：经配方有y＝2(x-a)2+3．对称轴为x=a．当a≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,是以,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值也变大．当3＜a＜4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3≤x≤a,随x变大,y的值变小,但若a≤x≤4,随x变大,y的值变大．当4≤a时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,是以,当x∈[3,4]时,随x变大,y的值反而变小．依据上述剖析,可知．当a≤3时,y max=f(4)=2a2-16a+35．y min=f(3)＝2a2-12a+21．当3＜a＜4时,y min＝f(a)＝3．个中,a≤3.5时,y max＝f(4)＝2a2-16a+35．a≥3.5时,y max＝f(3)＝2a2-12a+21．当a≥4时,y max＝f(3)＝2a2-12a+21．y min＝f(4)＝2a2-16a+35．(2)(2)基本题例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时,有一正根.一负根．(2)m为何值时,有一根大于1.另一根小于1．(3)m为何值时,有两正根．(4)m为何值时,有两负根．(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内？解：(1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x1.x2＜0,依违达定理有m+2＜0．∴ m＜-2．反思回想：x1.x2＜0前提下,ac＜0,是以能保证△＞0．(2)设x1＜1,x2＞1,则x1-1＜0,x2-1＞0只请求(x1-1)(x2-1)＜0,即x1x2-(x1+x2)+1＜0．依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1＜0．(3)若x1＞0,x2＞0,则x1+x2＞0且x1,x2＞0,故应知足前提依韦达定理有(5)由图象不难知道,方程f(x)＝0在[3,4]内仅有一实根前提为f(3)·f(4)＜0,即[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0．例2.当m为何值时,方程有两个负数根？解：负数根起首是实数根,∴,由根与系数关系：要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正．由以上剖析,有即∴当时,原方程有两个负数根．(3)(3)应用题例1.m取何实数值时,关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m,如图原方程两个实根都大于2所以当-5＜m≤-4时,方程的两个实根大于2．例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α,β,且知足0＜α＜1,β＞2,求实根a的取值规模．解：设f（x）=x2-2ax＋a,则方程f（x）=0的两个根α,β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标,如图0＜α＜1,β＞2的前提是：＜1,β＞2．例3．m为何实数时,关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要前提是f（2）＜0,即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2．(4)(4)进步题例1．已知函数的图象都在x轴上方,求实数k的取值规模．解：（1）当,则所给函数为二次函数,图象知足：,即解得：（2）当时,若,则的图象不可能都在x轴上方,∴若,则y=3的图象都在x轴上方由（1）（2）得：反思回想：此题没有解释所给函数是二次函数,所以要分情形评论辩论．例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α,β,且知足0＜α＜1＜β,求实数m的取值规模．解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6,则方程f（x）=0的两个根α,β,就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．如图,0＜α＜1＜β的前提是解得例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α,β,知足前提α∈（-2,0）,β∈（1,3）,求实数a 的取值规模．解：设f（x）=3x2-5x＋a,由图象特点可知方程f（x）=0的两根α,β,并且α∈（-2,0）,β∈（1,3）的解得-12＜a＜0．四.课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数,则m的取值规模是（ B ）A．B．C．D．2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m的取值规模是（ C ）A．0＜m＜2B．-3＜m＜1C．-2＜m＜0D．-1＜m＜13.已知方程有两个不相等的实数根,则k的取值规模是（ C ）A．B．C．D．4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值规模．可知方程f（x）=0的一根大于4,另一根小于4的充要前提是：f（4）＜0）5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0,2）内,求实数m的取值规模．征可知方程f（x）=0的两根都在（0,2）内的充要前提是2.二次函数在闭区间[]n m ,上的最大.最小值问题商量设()()002>=++=a c bx ax x f ,则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大.最小值有如下的散布情形：ab n m 2-<< n a b m <-<2即[]n m ab ,2∈- n m ab<<-2 图象最大.最小值()()()()n f x f m f x f ==min max()()(){}()⎪⎭⎫⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,max min max()()()()m f x f n f x f ==min max对于启齿向下的情形,评论辩论相似.其实无论启齿向上照样向下,都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b,2∈-,则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ,()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ; （2）若[]n m ab,2∉-,则()()(){}n f m f x f ,m ax max =,()()(){}n f m f x f ,m in min = 别的,当二次函数启齿向上时,自变量的取值分开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数启齿向下时,自变量的取值分开对称轴轴越远,则对应的函数值越小.二次函数在闭区间上的最值演习二次函数在闭区间上求最值,评论辩论的情形无非就是从三个方面入手：启齿偏向.对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情形.例1.函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2,求,a b 的值. 解：对称轴[]012,3x =∉,故函数()f x 在区间[]2,3上单调.（1）当0a >时,函数()f x 在区间[]2,3上是增函数,故()()()()max min32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒32522a b b ++=⎧⎨+=⎩⇒10a b =⎧⎨=⎩; （2）当0a <时,函数()f x 在区间[]2,3上是减函数,故()()()()max min 23f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒13a b =-⎧⎨=⎩ 例2.求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值.解：对称轴0x a =（1）当1a <时,()min 122y f a ==-; （2）当13a ≤≤时,()2min 1y f a a ==-;（3）当3a >时,()min 3106y f a ==-改：1．本题若修正为求函数的最大值,进程又若何？解：（1）当2a <时,()()max 3106f x f a ==-; （2）当2a ≥时,()()max 122f x f a ==-.2．本题若修正为求函数的最值,评论辩论又该如何进行？解：（1）当1a <时,()()max 3106f x f a ==-,()()min 122f x f a ==-;（2）当12a ≤<时, ()()max 3106f x f a ==-,()()2min 1f x f a a ==-;（3）当23a ≤<时,()()max 122f x f a ==-,()()2min 1f x f a a ==-;（4）当3a ≥时, ()()max 122f x f a ==-,()()min 3106f x f a ==-.例3.求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值.解：对称轴02x =（1）当2t <即2t >时,()2min 43y f t t t ==-+;（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时,()min 21y f ==-;（3）当21t >+即1t <时,()2min 12y f t t t =+=-例4.评论辩论函数()21f x x x a =+-+的最小值.解：()2221,11,x ax x a f x x x a x ax x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩,这个函数是一个分段函数,因为高低两段上的对称轴分离为直线12x =-,12x =,当12a <-,1122a -≤<,12a ≥时原函数的图象分离如下（1）,（2）,（3）是以,（1）当12a <-时,()min 1324f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭; （2）当1122a -≤<时,()()2min 1f x f a a ==+; （3）当12a ≥时,()min 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 二次函数根的散布二次函数根的散布是二次函数中的重要内容.这部分常识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够体系和完全,且解决的办法着重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的应用.下面我们将重要联合二次函数图象的性质,分两种情形体系地介绍二次函数根的散布的充要前提及其应用. 一．一元二次方程根的根本散布——零散布所谓一元二次方程根的零散布,指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根散布在零的两侧.设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ,2x ,且21x x ≤.【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根,求m 的取值规模. 【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则【定理3】0021<<<ac x x ，则例3k 在何规模内取值,一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】 1)01=x ,02>x ⇔0=c 且0<ab;2)01<x ,02=x ⇔0=c 且0>ab.例4若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零,则另一根是正根照样负根？二．一元二次方程的非零散布——k 散布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ,2x ,且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 散布（即1x ,2x 相对于k 的地位）有以下若干定理.【定理1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k ab k af ac b k x x 20)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 此定理可直接由定理4推出,请自证.【定理6】2211k x x k <≤<,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b1.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1,一个根小于1,求p 的取值规模2.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值规模3.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根,求m的取值规模4.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根,求k的取值规模5.已知聚集A={x|x2+(2-a)x+1=0},若A R+,求a的取值规模6.已知A={x|x2+2x+2-p=0},且A∩R+=φ,求p的取值规模7. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且都在[1,3]外,求m规模8.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内正好有一个实根,求a的规模9.方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,是否消失实数a使它的两根都大于110.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两头点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点,求m的规模11.已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧,求m的取值规模。

二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。

二次函数根的分布和最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bx 0根的分布情况设方程ax2 bx 0 a = 0的不等两根为X i, X2且x i ：：：X2，相应的二次函数为f x =ax2■ bx ■ c = 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧为：：：m,x2• n ,（图形分别如下）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1) 两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况:1 若f m =0或f n =0，贝眦时f m|_f n ：： 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。

如方程 mx 2-m ・2x ・2=0在区间 1 , 3E 有一根，因为 f1=0 , 所以222mx 2 - m2x ^ x-1 mx-2，另一根为一，由13得 m ：：： 2即为所求； mm 32 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n 内，即丄=0，此时由厶=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程x 2 -4 m x 2 m 6 = 0有且一根在区间-3,0内，求m 的取值范围。

分析：①由15f -3Lf 0 :： (即卩 14m 15 m 3 ：： 0得出 -3 ：： m ;②由• ； -0即 16m 2-4 2m 6；=0得 143 3出m~-1或m ,当m = -1时，根x=-2三i 3。

,即m=-1满足题意；当m 时，根2 23 15-3, 0，故m 不满足题意；综上分析，得出 -3：：：m 或m=-1』 2 14根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x 2 -2mx ■ m -1 =0有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。

二次函数根的分布

第四节二次函数【考纲解读】结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性几根的个数.【命题趋势】对于二次函数，高考中主要考察二次的性质及其应用，尤其是二次函数，一元二次方程及一元二次不等式的综合运用。

对与二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间有着密切的联系。

在高中数学中的应用十分广泛，并对考察学生的数学能力有重要意义，所以二次函数的命题仍将是一个重点。

【知识点精讲】一、二次函数解析式的三种形式及图像 1．三种解析式：(1)一般式：()()20f x ax bx x a =++≠(2)顶点式：()()()20f x a x m n a =-+≠(3)零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠2．二次函数的图像(1)单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示②当0a <时如图2-9所示(2)与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点A ()1,0x ，B ()2,0x ，12||||||AB x x a =-==二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数取得最值一定是在区间端点或者定点处对于二次函数()()20f x ax bx c a =++≠当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令02p qx +=①若()(),,M 2bp m f p f q a-≤== ②若()0x ,,M 22b b p m f f q a a ⎛⎫<-<=-= ⎪⎝⎭③()0,,M 22b b x q m f f p a a ⎛⎫≤-<=-= ⎪⎝⎭④ ()()q,,M 2bm f q f p a-≥==三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程()()20f x ax bx c a =++≠的实数根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根有一负根，设两根为12,x x ，则120cx x a=< 2.一元二次方程()()20f x ax bx c a =++≠的根的分布问题从以下四个方面考虑（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴与区间的位置关系（4）区间端点值的正负设12,x x 为实系数方程()()20f x ax bx c a =++>的两根，则一元二次方程()()20f x ax bx c a =++≠根的分布如图所示四、二次不等式转化策略 1.二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式()20f x ax bx c =++≤ 的解集是0(,][,)b a c a ααβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪=⎪⎩2.二次函数恒大于零或者恒小于零的转化策略已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩ ()0f x <恒成立0a <⎧⇔⎨∆<⎩ 注：若表述为“已知函数()2f x ax bx c =++”并未注明为二次函数，则应有：()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩ 或0a b c ==⎧⇔⎨>⎩ ()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或0a b c ==⎧⇔⎨<⎩五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题---动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间的两个端点和区间的中点，一轴指的是对称轴。

二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。

例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

二次函数根的分布

二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。

设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。

根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。

第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。

第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。

第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。

经过观察得出，文章中存在大量格式错误和重复内容，需要进行整理和删减。

同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。

根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。

二次方程根的分布情况归纳

二次方程根的分布情况归纳二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

对于一个二次方程，可以通过求解其判别式来分析其根的分布情况。

判别式的公式为Δ = b² - 4ac，Δ可以通过求解来判断方程的根的类型和个数。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

当判别式Δ大于零时，可以得出两个不相等的实根。

这意味着方程图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上的截距为两个不相等的实数。

这种情况下，方程有两个解，一个解对应于图像与x轴交点的左侧，另一个解对应于图像与x轴交点的右侧。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

当判别式Δ等于零时，可以得出两个相等的实根。

这意味着方程图像与x轴只有一个交点，也就是图像在x轴上的截距相等。

这种情况下，方程有两个相等的解，对应于图像与x轴交点的位置。

3.当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

当判别式Δ小于零时，可以得出方程没有实根。

这意味着方程图像与x轴没有交点，图像完全位于x轴的上方或下方。

但是，方程仍然有两个根，称为共轭复根，其中一个虚部为正，一个虚部为负。

这种情况下，方程的解无法在实数域内找到，需要在复数域中寻找。

在二次方程根的分布情况中，可以根据判别式Δ的正负来进行分类。

其中，Δ>0时有两个不相等的实根，Δ=0时有两个相等的实根，而Δ<0时没有实根但有两个共轭复根。

此外1.当a=0时，方程退化为一次方程。

当二次方程中a的系数为0时，方程退化为一次方程，形式为bx + c = 0。

这种情况下，方程只有一个解，即x = -c/b，对应于直线与x轴的交点。

2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根。

当判别式Δ等于零时，有特殊情况。

此时，方程的两个根相等，即x₁=x₂=-b/2a。

此时方程图像在x轴上的截距相等，方程只有一个解。

总结起来，二次方程根的分布情况主要根据判别式Δ的正负进行分类。

高一数学必修一二次方程根的分布

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是时，；
一元二次方程在开区间上有根应分下列情况讨论
或或或
一元二次方程在闭区间上有根应分下列情况讨论
1）若，解出参数
2）若，解出参数
3）
4）
二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧
例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
解：由即，从而得即为所求的范围。
变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于，一个小于，求实数的取值范围。
解：由即即为所求的范围。
变式2：求实数的范围，使关于的方程．
（1）有两个实根，且一个比大，一个比小．
（2）有两个实根，且满足．
（3）至少有一个正根．
解：设．
（1）依题意有，即，得．
（2）依题意有
解得：．
（3）方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即．
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得．
综上所述，得．
（3）在区间有两个实根
例3：已知关于的二次方程 .若方程两根均在区间内，求的范围.
解：据抛物线与轴交点落在区间内，列不等式组 ,
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）
得出的结论
得出的结论
表二：（两根与的大小比较）
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于，一个大于即

二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布情况归纳(完整版) 大家好，我今天要和大家聊聊二次方程根的分布情况。

在我们的生活和工作中，二次方程是一个非常常见的数学概念，它在很多领域都有着广泛的应用。

那么，二次方程的根到底有哪些分布情况呢？接下来，我将从三个方面来详细阐述这个问题。

我们来看一下二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

在这个式子中，a、b、c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。

我们需要求解这个方程的根，也就是找到x的值使得上述等式成立。

根据一元二次方程的求根公式，我们可以得到x1、x2是这个方程的两个根，它们满足以下关系：x1 + x2 = -b / ax1 * x2 = c / a接下来，我们来探讨一下二次方程根的具体分布情况。

我们来看一下当a > 0时的情况。

这时候，二次方程有两个实数根，分别为正根和负根。

具体来说，如果b^24ac >= 0,那么x1、x2都是正数；如果b^2 4ac < 0,那么x1、x2中有一个是正数，另一个是负数。

这种情况在现实生活中比较常见，例如我们在解决一些物理问题时，往往需要考虑到物体受到的力的方向和大小，这些因素都会影响到物体的运动轨迹。

我们来看一下当a < 0时的情况。

这时候，二次方程有两个共轭复数根，分别为正根和负根。

具体来说，如果b^2 4ac >= 0,那么x1、x2都是正数；如果b^2 4ac < 0,那么x1、x2中有一个是正数，另一个是负数。

这种情况在现实生活中也比较常见，例如我们在解决一些化学问题时，往往需要考虑到物质之间的反应条件和过程，这些因素都会影响到反应的结果。

我们来看一下当a = 0时的情况。

这时候，二次方程有两个相等的实数根或者一个实数根和一个虚数根。

具体来说，如果b^2 4ac = 0,那么x1 = x2;如果b^2 4ac > 0且a != 0,那么x1、x2中有一个是实数根，另一个是虚数根；如果b^2 4ac < 0且a != 0,那么x1、x2都是虚数根。

二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情况
设方程ax2bx c 0 a 0的不等两根为x i,x2且x1 x2,相应的二次函数为f x ax2bx c 0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0
x1 0, x20
两个正根即两根都大于0
X 0, x20
一正根一负根即一个根小于0,
一个大于0 X1 0 x2
得出的结论得出的结
论综合结论
{不讨论a
2a
2a
表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即
x1 k, x2k
两根都大于k即
x1 k, x2k
得出的
结论
2a f k
得出的结论综合结论{不讨论a
b k
2a
f k 0
2a
a f k 0
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n n
o b a
t 2 n 得出的结论
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n
n
o o
b
m n f f m
得出的结论
综合结论{不讨论
a
m,n 夕卜，即在区间两侧 x i m,X 2 n,（图形分别如下）需满
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
足的条件是。

二次函数实根分布总结

解：（） f (x)=2kx − 2 x − 3k − 2, k ≠ 0 1 令
2
由题 kf (1) < 0, k (2k − 2 − 3k − 2) < 0, (1) （k + 4）>0即 k > 0或k < −4. k
(2) 已知二次方程 (m − 2) x 2 + mx + (2m + 1) = 0 的两根分别属于（ − 1， 0）和（， 1 2）求 m 的取值范围.
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，方程的根用紧紧以函数图像为中心，将方程的根用图像直观的画出来直观的画出来，图像直观的画出来，或数形结合或等价转将函数、方程、化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响。形的影响。
2
f(x)
x1
x2
0
1
x
∆ = m 2 − 4(m + 3) ≥ 0 ⇒m≥6 f (1) > 0 m >1 2
转化为韦达定理的不等式组
助于图像，解不助于图像，等式组
法二：法二：
∆ = m 2 − 4(m + 3) ≥ 0 m ≥ 6或m ≤ -2 ⇒ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0 ⇒ m ≥ 6 ( x1 − 1)( x2 − 1) > 0 ( x − 1) + ( x − 1) > 0 x + x − 2 > 0 2 1 2 1
m ≥ 6或m ≤ −2 ∆ ≥ 0 (2) x1 + x2 > 0 得 m > 0 得：m ≥ 6 x x > 0 m + 3 > 0 1 2

高二数学二次方程实根在区间的分布

二、新课 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均y 为正根
b2 4ac 0
x1>0,x2 >0
（f 0）
c
0
o x1
b 2a
0
x2 x
类比:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为负根呢?
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均在区间（m,+∞)内
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0一根大于m,另一根小于m
y
y
m x1 o
x2 x
x1 o m x2 x
x1<m<x
a 0
（f m）<0
或
a 0
（f m）>0
2
af（m）＜ 0
练一练 1.kx2+3kx+k-3=0的两根均为负，求k的取值范围。
2.如果二次方程mx2-（m+1）x+3=0的两根均大于-1，求m 的取值范围。
k1
k2 p1 x1 o
p2 x2
x
a0
k1
x1
k2
p1
x2
p2
f（k1）0 f（k 2）0
f（p1）0
f（P2）0
4.一元二次方程ax2+bx+c=0两根都在区间（m，n）内
y 若方程x2+（a+2）x-a=0 的两实根均在区间（-1，1），求实数a的取值范围。
m x1 o x2 n x
2.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 只有较大根在（0，1），求m的取值范围。 3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 只有较小根在（0，1），求m的取值范围

二次函数根的分布和最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。