基于拓扑不变性的GSRBF隐式曲面重建

基于拓扑不变性的GSRBF隐式曲面重建王强;况立群;韩燮;李瑞【摘要】为提高大规模点云曲面重建的精度和效率,提出一种基于拓扑不变性的全局支撑的径向基函数(GSRBF)隐式曲面重建算法.结合Hausdorff算法,根据点云的主曲率和高斯曲率引入一个临界值,防止提取特征点时产生较大误差,构造特征点点云拓扑同胚的拓扑结构;引入八叉树网格划分法进行点云拓扑关系的构造,通过构造与模型控制网格拓扑同胚的拓扑结构来重建曲面的拓扑;构造基函数确定特征点的影响范围,将其归一化得到曲面拓扑上的单位分解,复合单位分解与特征点得到隐式曲面.实验结果表明,该算法适用于任意拓扑的曲面重建,具有较高的精度和效率.【期刊名称】《计算机工程与设计》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】4页(P1081-1084)【关键词】点云重建;拓扑不变性;隐式曲面;豪斯多夫算法;径向基函数【作者】王强;况立群;韩燮;李瑞【作者单位】中北大学计算机与控制工程学院,山西太原030051;中北大学计算机与控制工程学院,山西太原030051;中北大学计算机与控制工程学院,山西太原030051;中北大学计算机与控制工程学院,山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】TP391.9在曲面重建的方法中，隐式曲面重建具有高精度和高稳定性等优点，是重建问题中研究的重点[1-3]。

Frank等[4]提出通过径向基函数对三维散乱点云进行插值拟合隐式曲面，该方法稳定且精确；Angelo等[5]采用基于流形的三角网格法进行曲面重建，适用于形状特殊的复杂曲面和柔性变形体，重建精度较高。

从本质上讲，隐式曲面重建方法分为两类：一类是使用光滑基函数来拟合所有的点，武敬民等[6]采用带有椭球约束的径向基函数进行隐式曲面拟合，在局部交叠空间对曲面片进行拼接，拟合出的模型效果优良且效率较高，但由于径向基函数的引入，需要求解大规模的矩阵来获取隐式曲面的权值系数；另一类是根据点在矩形网格上的符号距离函数求取零等值面，Franchini E等[7]采用一组椭圆偏微分方程来拟合曲面，能够高精度的解析物体表面，但是重建过程涉及到水平集符号距离函数的初始化等问题，导致PDE方程求解较为复杂。

为了重建任意拓扑结构的光滑曲面，提高重建的精度，基于拓扑不变性的重建算法逐渐被研究者所关注[8]。

考虑到重建曲面拓扑的任意性[9]，以及受文献[6,7]的启发，本文引入大规模点云结构的拓扑不变性结合GSRBF来进行隐函数曲面重建，通过构造与模型控制网格拓扑同胚的拓扑结构来重建曲面的拓扑，加载几何信息得到隐式曲面，建立完整的曲面模型，不仅将曲面重建的范围扩大到了任意拓扑，避免了隐函数曲面重建中权值系数求解过程中大量迭代的问题，而且提高了重建的精度和效率，最后通过实验证明了该算法的有效性。

1.1 点云的拓扑关系三维点云在经过去除噪点、滤波等预处理之后，部分拓扑信息将会丢失，只剩下关于物体表面的三维坐标信息。

如果直接对这些散乱的点云进行精简，而不建立合理的拓扑关系，效率将会非常低[10]。

本文将八叉树网格划分方法引入重建算法，得到点云的拓扑关系，这样在计算点间的欧氏距离时效率就可以得到极大地提高。

本文根据网格内部所有数据点的法向量保持一致的原则运用八叉树网格划分法对点云进行划分。

主要思想是计算每一个网格内所有点的平均法矢与每一点的法矢的夹角，并得到所有夹角中的最大夹角，如果这个最大夹角大于某个设定的值就继续分割。

(1)计算出平均法矢量f，计算公式如下(2)对平均法矢进行单位化处理，并计算得出所有夹角，夹角计算公式如下式(2)表示向量(x1,y1,z1)和向量(x2,y2,z2)的夹角。

依据网格内计算出的最大夹角，利用该夹角与预先设定的阈值h作比较。

若比阈值h大的话，则对该网格继续细分。

反之，则不继续细分。

常见的径向基函数有全局支撑的径向基函(GSRBF)，和紧支撑的径向基函数(CSRBF)。

CSRBF求解线性系统的速度比GSRBF要快，但是GSRBF比CSRBF更适合曲面的外插延伸，并且在不规则插值、填补空洞或不均匀的采样点方面也具有一定优势。

本文采用基函数为r3的GSRBF来拟合模型曲面。

(2)在满足插值约束 s(xi)=fi,i=1,2,...,n下，为了得到尽量精确、光滑即能量最小的插值曲面，可转化为用变分技术求解在式(3)约束下式(4)能量最小的问题其中，P=(x,y,z)为任意点，Pi为采样点，λi为每一个径向基的权重，是欧几里得距离，φ)是一个正定的基函数，P(P)是一个多项式。

本文提出的重建算法总共分为5个步骤，为了提高重建精度，在第(2)步中引入一个临界值ε，用来防止在提取特征点时产生较大误差。

在第(3)步中引入八叉树网格划分法进行点云拓扑关系的构造，通过构造与模型控制网格拓扑同胚的拓扑结构重建曲面的拓扑关系，并构造基函数确定特征点的影响范围，归一化基函数得到点云数据拓扑上的单位分解，然后复合单位分解与特征点得到隐式曲面片。

算法基本思想如下：(1)根据点云曲率信息提取曲面特征点(曲面控制点)，建立曲面控制网格，曲率刻画了曲面的弯曲程度，点云高斯曲率计算公式为点云的主曲率公式为其中，L，M，N为曲面第二基本量，计算公式如下(2)提取特征点。

特征点的定义类型繁多，但无论怎么定义，它们共同的特点是该特征点与周围的点曲率差别大。

以下是利用Hausdorff距离的性质判断一个点是否为特征点：在点云的一个控制网格内取任一点p和其领域内的任一点q，这两个点的主曲率分别是k1、k2和，点p与点q曲率的差别为{k1、k2}和}两个集合的差别。

通过相对度量H衡量Hausdorff距离当分母接近0时，误差很大。

为解决这个问题，引入一个临界值ε，当<ε时，转化为)/2。

依据上面的计算方法，计算出点p与周围邻域内所有点的H，将所有的H进行比较，最大的H为该点的Hausdorff距离，将该值较大的点也就是曲率较大的点保留，反之则选择部分间隔删除。

(3)获取点云的拓扑不变关系将八叉树法引入本算法，并根据网格内部所有数据点的法向量保持一致的原则对点云进行划分。

主要思想是计算每一个网格内所有关键点的平均法矢与每一点的法矢的夹角，并获得所有夹角中的最大夹角，如果这个最大夹角大于某个设定的值就继续分割。

1)利用式(1)计算出平均法矢量f；2)利用式(2)对平均法矢进行单位化处理，并计算得出所有夹角。

依据网格内计算出的最大夹角，利用该夹角与预先设定的阈值h做比较。

若比阈值h大的话，对该网格继续进行细分。

反之，就不需要进行细分。

得出拓扑关系数据{PI}。

图1、图2为实验中在点云Bunny和点云Buddha进行八叉树分割时的分割。

(4)利用步骤(3)得到的拓扑关系数据{PI}，其中1≤I≤n，为每个特征点建立基函数Gi，将Gi归一化得到{PI}上的单位分解{gi}：点云拓扑关系上的单位分解指的是一族连续函数{fi：M →R|i∈I}，fi是非负函数，对于关系数据{PI}上任一顶点P∈{PI}，有,将Gi加权平均后可得式中：wi——权值系数，{gi|1≤i≤n}构成了W上的一个单位分解，将点云拓扑关系上的单位分解gi(p)与特征点复合可得到一个隐式曲面模型。

为确定每个特征点的影响范围，需要在关系数据{PI}上建立基函数。

为此，在{PI}上取第i个特征点的2环邻域，若ai=∪cj为此邻域中所有边对应的坐标卡的集合，{Dai=ψ(ai),1≤i≤n}是拓扑关系上的一个开覆盖，则有其中，h(u)为连续的单峰函数，ri是GI的控制半径，vi是特征点在{pI}中的对应点，k是q和vi上的最短距离，如果q和vi不在同一个坐标卡上，则通过转换函数连接两个坐标卡再求最短距离，通过求取最短距离构造基函数，得到最终的隐式曲面片。

(5)将单位分解gi(p)和控制顶点Vj复合，通过求解最优化问题得到隐式曲面片；基于拓扑不变性的全局径向基隐式曲面重建实际为最优化问题的求解其中，E1的取值反映了插值点的逼近情况，E2的取值反映了曲面的光顺情况，若特征点Vi的参数为(ui,vi)，L，M，N是曲面第二基本量，则随着λ的增大，曲面会不断逼近数据点集，当minE=0，λ=1时，插值完成，得到曲面的零水平集，算法结束。

3.1 实验环境实验环境硬件配置为AMD X4 740、8 G内存、GeForce GTX 750 2 G 显卡，软件配置为Windows8 64位操作系统，VS2013、OpenGL、Matlab2013a。

3.2 重建算法为验证本算法重建的效率和精度，利用斯坦福大学的Bunny、Buddha点云进行重建，并与文献[6]、文献[7]中提及的算法进行对比实验，重建结果及分析数据见表1。

从图3和表1中可以看出，对于具有34 834点的Bunny点云重建，本文算法的重建时间略长于文献[6,7]中提及的算法，但本文算法重建出的Bunny模型的耳朵边缘、腰部以及腿部的效果明显优于其它两个算法。

从图4和表1可知，对于具有271 306点的Buddha模型重建，本算法重建时间略长于文献[6]的算法，但是本算法所得Buddha模型在头部、褶皱衣服及底盘处光滑性较好，特征较明显。

本文针对三维重建中曲面拓扑结构复杂，重建精度、效率不高等问题，提出一种基于拓扑不变的GSRBF曲面重建算法，总体思路是先建立曲面的拓扑结构，然后通过加载几何信息拟合曲面，最后在局部交叠区域利用拓扑关系进行重建，得到最终的曲面模型。

实验结果表明：该算法适用于任意拓扑的曲面重建，并且具有较高的精度和效率。

但对于大规模点云的重建，控制网格上需要存储大量的几何信息，导致了存储量有所增加，这将是今后改进的方向。

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【相关文献】[1]Maynard,Daren.Simulation and reverse engineering[J].IndustrialEngineer,2013,45(8):99-102.[2]YANG Gang,SUN Quanping,LIU Dafeng,et plicated surface reconstruction technique based on measured pound cloud[J].Machine and Hydraulics,2010(5):38-41(in Chinese).[杨刚,孙全平,刘大峰,等.基于测量点云的复杂曲面重建技术研究[J].机床与液压,2010(5):38-41.][3]WANG Ting,GAO Dongqiang.Study on the automatic surface reconstruction technique based on reverse engineering[J].Journal of Shanxi University of Science and Technology:Natural Science Edition,2011,29(5):73-77(in Chinese).[王婷,高东强.基于逆向工程的自由曲面模型重建技术[J].陕西科技大学学报:自然科学版,2011,29(5):73-77.][4]ZHOU Fan,SHAO Shiwei,WU Jianhua,et al.A joint linear characteristics of matrix calculation method[J].Journal of Optics,2013,33(10):195-202(in Chinese).[周凡,邵世维,吴建华,等.一种联合直线特征的基础矩阵计算方法[J].光学学报,2013,33(10):195-202.][5]Angelo L D,Stefano P D,Giaccari L.A fast mesh growing algorithm for manifold surface reconstruction[J].Computer Aided Design and Applications,2013,10(2):197-220.[6]HAN Xie,WU Jingmin,HAN Huiyan,et al.Implicit fitting using RBF based on ellipsoid constraint[J].Journal of Gra-phics,2014,35(4):504-510(in Chinese).[韩燮,武敬民,韩慧妍,等.基于椭球约束的径向基函数隐式曲面重建[J].图学学报,2014,35(4):504-510.][7]Franchini E,Morigi S,Sgallari F.Implicit shape reconstruction of unorganized points using PDE-based deformable 3D manifolds[J].Numerical Mathematics:Theory,Methods and Applications,2010,43(5):356-341.[8]MIAO Lanfang,ZHOU Tingfang,PENG Qunsheng.Fast implicit surface reconstruction for densely sampled pound model[J].Journal of Engineering Graphics,2010,31(2):84-91(in Chinese).[苗兰芳,周廷方,彭群生.稠密采样点模型的快速隐式曲面重建[J].工程图学学报,2010,31(2):84-91.][9]Huang Y,Huang K,Tan T,et al.A novel visual organization based on topological perception[G].LNCS 5994:Computer Vision-ACCV.Springer Berlin Heidelberg,2010:180-189.[10]Huang Y,Huang K,Tao D,et al.Enhanced biologically inspired model for object recognition[J].IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics,PartB:Cybernetics,2011,41(6):1668-1680.。