大学数学关于积分的
大学课程《高等数学》PPT课件：7-2 二重积分的计算
则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
32 9
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
大学数学微积分基本公式
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 向量在轴上的投影： Pr ju AB = AB ⋅ cos ϕ ,ϕ是 AB与u轴的夹角。 � � � � Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 � � � � a ⋅ b = a ⋅ b cosθ = a x bx + a y by + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： cosθ =
n k ( n−k ) ( k ) (uv) ( n ) = ∑ C n u v k =0
= u ( n ) v + nu ( n−1) v′ +
n(n − 1) ( n− 2) n(n − 1)⋯(n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v′′ + ⋯ + u v + ⋯ + uv ( n ) 2! k!
dx 1 x ∫ a 2 + x 2 = a arctg a +C dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
π 2 π 2
1− x2 1 (arccos x)′ = − 1− x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = − 1+ x2
∫ tgxdx = − ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C
大学数学教案：微积分的应用——曲线的切线与法线
大学数学教案：微积分的应用——曲线的切线与法线1. 引言在微积分中，曲线的切线和法线是很重要的概念。
它们在求解曲线上某点的近似切线与法线、研究曲线性质以及解决实际应用问题时起到了关键作用。
本文将介绍曲线的切线与法线的定义、推导方法以及相关应用。
2. 曲线的切线与法线的定义2.1 切线的定义对于曲线上一点P(x,y)，如果存在一个直线通过该点，并且这条直线与曲线在该点附近仅有一个公共点Q，则称这条直线为曲线在点P处的切线。
2.2 法向量与法平面对于曲面方程F(x,y,z)=0，其中F是可导函数，如果在点P(x₀,y₀,z₀)处其梯度∇F不为零向量，则∇F垂直于该点所处的平面，称为法向量。
通过点P且垂直于切平面所构成的平面即为法平面。
2.3 法向量与切向量关系对于参数方程r(t)=(x(t),y(t))描述的二维曲线C，若r'(t₀)≠0，则向量r'(t₀)是曲线在点(r(t₀),y(t₀))处的切向量。
3. 切线与法线的计算方法3.1 使用导数求解切线和法线对于可导函数y=f(x)，通过求解函数f(x)在点(x₀,f(x₀))处的导数f'(x₀)，可以得到曲线在该点处的斜率m，从而可以得到切线的方程。
对于切线方程y-y₀=m(x-x₀)，其中m为斜率，(x₀,y₀)是待求点的坐标。
3.2 使用法向量求解法线对于参数方程r(t)=(x(t),y(t))描述的二维曲线C，可以使用r'(t)来计算切向量。
将切向量旋转90度得到法向量，并通过点P(x(t₀),y(t₀))得到直线方程。
4. 曲线切线与法线应用举例4.1 利用切线近似函数值利用切线公式可以近似计算曲线上某一点处函数的值。
例如，在数学建模中，我们需要通过测量数据拟合曲线，并利用切线来预测或估算未知数据点处的函数值。
4.2 曲面实际应用问题在物理学、工程学等领域，曲线的切线与法线经常用于解决实际应用问题，例如计算流体的速度和加速度、求解曲线上某点的斜率等。
大学数学微积分公式推导
大学数学微积分公式推导微积分是数学的重要分支，运用于各个科学领域和工程学中。
微积分公式的推导过程对于研究和理解微积分的基本概念和方法非常重要。
本文将从基本的微分和积分开始，推导一些常见的微积分公式。
1. 导数公式推导1.1 基本函数的导数1.1.1 常数函数的导数推导常数函数f(x) = C的导数为f'(x) = 0。
1.1.2 幂函数的导数推导幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = n * x^(n-1)。
1.1.3 指数函数的导数推导指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
1.1.4 对数函数的导数推导对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1 / x。
1.2 导数的基本性质1.2.1 和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
1.2.2 数乘法则若f(x)可导，k是常数，则(k * f(x))' = k * f'(x)。
1.2.3 乘法法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
1.2.4 商法则若f(x)和g(x)都可导且g(x) ≠ 0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) -f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
2. 积分公式推导2.1 基本函数的不定积分2.1.1 幂函数的不定积分推导幂函数f(x) = x^n的不定积分为F(x) = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) + C。
2.1.2 正弦函数的不定积分推导正弦函数f(x) = sin(x)的不定积分为F(x) = -cos(x) + C。
大学微积分的知识点汇总
大学微积分的知识点汇总微积分是数学中的一门重要学科，也是大学数学课程中的一部分。
它主要包括微分学和积分学两个方面。
微分学研究函数的变化率和曲线的切线问题，而积分学研究函数与曲线的面积、体积以及累积等问题。
本文将从微分学和积分学两个方面对大学微积分的知识点进行汇总。
一、微分学1.函数的极限函数的极限是微积分的基本概念之一。
它描述了函数在某一点或正无穷、负无穷处的变化趋势。
例如，当自变量趋近于某一值时，函数的取值是否趋近于一个确定的值。
2.导数导数是函数在某一点的变化率。
它表示了函数在该点的切线的斜率。
导数可以用来解释函数的变化趋势，并且可以通过导数的性质求得函数的极值点和拐点等重要信息。
3.微分微分是导数的另一种形式。
它可以用来表示函数在某一点附近的变化情况。
微分可以用来近似计算函数的值，例如在物理学中的位移和速度之间的关系。
4.高阶导数高阶导数是导数的再次求导。
它描述了函数变化率的变化率。
高阶导数可以用来研究函数的凹凸性和函数曲线上的拐点。
二、积分学1.定积分定积分是对函数在一定区间上的面积进行求解。
它可以用来解决曲线下面积、体积、平均值等问题。
定积分可以通过定义求解，也可以通过积分的性质和定理进行计算。
2.不定积分不定积分是定积分的逆运算。
它可以用来求解函数的原函数。
不定积分可以通过积分表、基本积分公式和换元积分法等方法进行计算。
3.反常积分反常积分是对无界区间上的函数进行积分。
由于函数在无穷远处可能趋于无穷或趋于零，因此需要对反常积分进行特殊处理。
常见的反常积分有瑕积分和无穷积分。
4.积分应用积分的应用非常广泛。
它可以用来计算曲线的弧长、质心和转动惯量等物理量。
在经济学中，积分可以用来计算总收益、总成本和总利润等经济指标。
以上是大学微积分的知识点汇总。
微分学和积分学是微积分的两个重要方面，它们在数学和其他学科中有着广泛的应用。
掌握微积分的知识将有助于解决实际问题和深入理解数学的本质。
希望本文对你在学习微积分过程中有所帮助。
大学数学不定积分必看习题
x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
2
；
∫ 4、若 f (x +1) = x 2 + 3x + 5 ，则 f (x)dx =
∫ ∫ 5、如果
f ( x)dx = 1 + C,则
f (e− x ) dx =
x2
ex
6、 ∫
1 dx = 3x −1
dx
35、 ∫
arcsin x x(1 − x)
dx
∫ 37、
3 + 2 tan x cos2 x dx
∫ 39、 9 − x 2 dx
∫ 41、
1 dx
x2 1+ x2
12、
∫
(2
2 + x)
x
dx
∫ 14、
sin 2x dx
1 − cos2 x
16、
∫
arctan (1+ x)
x dx
x
18、 ∫
)。
（A） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 24
（C）
x2(1
−
1 ln
x) + c
42
二、填空题
（B） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 42
（D）
x2(1
−
1 ln
x) + c
24
∫ 1、设 f (x) 的一个原函数是 xe−x ,则 xf ′(x)dx =
2、 ∫
f
′(ln x
大学高等数学ppt课件第四章1积分的应用
计算阻抗和导纳
计算阻抗
阻抗是电路中阻碍电流流动的因素，由电阻 、电感、电容等组成。通过积分，我们可以 计算出阻抗的大小，从而分析电路的性能。
计算导纳
导纳是电路中与阻抗相对应的另一个重要参 数，表示电路对电流的响应能力。通过积分 ，我们可以计算出导纳的大小，进一步分析
电路的响应特性。
计算功率和能量
计算曲线的弧长
对于一般的平面曲线，其弧长可以通 过格林公式计算，即∫Pdx+Qdy，其 中P、Q为曲线上的参数函数。
03
积分在物理学中的应用
计算质量
总结词
积分在物理学中常用于计算质量，通过计算体积对质量的密度分布进行积分， 可以得到物体的总质量。
详细描述
在物理学中，质量是物体所含物质的量，通常用 m 表示。物体的质量可以通过 对质量的密度分布进行积分来计算。假设物体的体积为 V，质量的密度分布为 ρ(x, y, z)，则物体的总质量 M 可以表示为 M = ∫ρ(x, y, z)dV。
计算长度
不定积分可以用来计算平面曲 线的长度，例如圆弧、椭圆弧 等。
积分在经济学中的应用
计算总收益
在经济学中，总收益是指企业在 一定时期内通过销售产品或提供 服务所获得的总收入，可以通过 积分来计算。
计算总成本
总成本是指企业在生产过程中所 花费的所有成本，包括固定成本 和变动成本，也可以通过积分来 计算。
计算速度和加速度
总结词
通过积分计算速度和加速度是物理学中常见的应用，速度是位移对时间的积分，加速度是速度对时间的积分。
详细描述
在物理学中，速度是描述物体位置变化快慢的物理量，通常用 v 表示。速度可以通过对位移函数 s(t) 进行时间 t 的积分得到，即 v = ∫ds/dt。加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用 a 表示。加速度可以通过对速 度函数 v(t) 进行时间 t 的积分得到，即 a = ∫dv/dt。
大学微积分公式(高等数学公式)
高等数学公式导数公式(tgx)sec2 x( ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx)cscx ctgx( a x ) a x ln a1(log a x)x ln a基本积分表(arcsin x)11x2 (arccos x)11x2 (arctgx )11 x2 (arcctgx )11x2tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx22a x dx22x a dx22 a xa2x2ln cosx Cln sin x Cln secx tgx Cln cscx ctgx C1arctgxCa a1 ln x a C2a x a1ln a x C2a a xxarcsin Cdx sec2 xdx tgx Ccos2 xdx csc2 xdx ctgx Csin 2 xsecx tgxdx secx Ccsc x ctgxdx csc x Ca x dx a x Cln ashxdx chx Cchxdx shx Cdx ln( x x2a2 )Cx2a22sin n xdx2cos n xdx n1I n 2I n00nx2 a 2 dx x x2a2 a 2ln( x x 2a2 )C22x2a2 dx x x 2a2 a 2ln x x2a2C22a2x2dx xa2x2a2arcsinx22Ca三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1 u 2x2duu 21 u2 ，u tg ，dxu 2121一些初等函数：两个种烟极限：双曲正弦 : shx e x e xlim sin x 12xx 0e x e x1 x e 2.718281828459045...双曲余弦 : chxlim (1 )2xxe x e x双曲正切 : thx shxchxe x e xarshx ln( x x 2 ）1 archx ln( x x2 1)1 1 xarthxlnx2 1·诱导公式：函 数角 A - α90° - α90°+α180°- α180°+α270°- α270°+α360°- α360°+αsin - sin α cos α cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos α cos α tg- tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg- ctg αtg α- tg α- ctg αctg αtg α- tg α- ctg αctg α·和差角公式：·和差化积公式：sin( ) sin cos cos sin sinsin 2sincos cos( ) coscossin sin22sinsin2cossin tg ()tg tg 1 tg tg22coscos2 coscosctg ctg 1 ctg ()22ctgctgcos cos2sinsin22弧微分公式： ds 1 y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：K.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量； s ： M M 弧长。
大学数学微积分论文(专业推荐范文10篇)7700字
大学数学微积分论文（专业推荐范文10篇）7700字大学数学微积分包括极限、微分学、积分学及其应用，也包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
本篇文章就向大家介绍几篇大学数学微积分论文，希望大家通过以下论文，跟大家一起探讨这个课题。
大学数学微积分论文专业推荐10篇之第一篇：浅析微积分在大学数学学习和生活中的应用摘要：经济社会的发展和科技的进步，计算机应用领域的扩大，也不断拓展了微积分的应用范围。
微积在大学数学学习和生活中很常见，应用广泛。
本文主要针对微积分在大学数学学习和生活中的应用进行了分析。
关键词：微积分；大学数学；学习生活；应用；数学作为一项重要的工具，在社会长期发展中发挥着重要的作用，尤其是在其他学科知识的学习、日常生活的应用等方面，数学工具不可或缺。
在大学中，微积分属于大学数学的一个分支，其研究对象是函数的微分、积分及其他内容。
微积分是很多在校大学生的必修课程，同时，在生活中也有广泛的应用空间。
研究微积分，具有重要的现实意义。
1. 大学教学中微积分的应用大学教育的过程中，很多专业知识的学习中都需要运用到微积分，可以说，大学教学中微积分的应用十分广泛，尤其是数学教学和学习，微积分是高等数学研究的一个分支，且在具体的学习中有重要的指导意义。
具体应用分析如下。
1.1 数学建模。
数学建模主要用于把一个抽象的生活问题用具体的数学模型做简化和假设，在此基础上，运算得出一个相对合理的对应方案。
数学建模在现实生活中具有较强的实际意义。
在传统的数学应用中，人们运用微积分建构了多个数学模型，并且为科学研究做出了很大的贡献。
历史上将数学模型运用到科学研究的典型例子，牛顿借助自己研究的微积分，提出万有引力定律，这些典型的现实性案例，都证明了微积分在数学建模中的重要作用。
1.2 等式证明中的微积分使用。
在变量关系的研究过程中，会涉及到有关等式作证明的问题，可以利用微积分无线分割的思想，在处理数学问题的过程中，以简御繁，其次，微积分中的值订立、函数的增减性、极值的判定等，都在在等式的证明中有重要的作用，在具体的运用中，能简化等式，降低了普通方法证明等式时的技巧性和高难度性，因此，微积分的使用让等式证明更加简化和简单。
大学微积分l知识点总结一
大学微积分l 知识点总结第一部分大学阶段准备知识 1、不等式：ab 2ba ≥+2121n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++()时取等号为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ2、函数周期性和对称性的常用结论1、若fx+a=±fx+b,则fx 具有周期性；若fa+x=±fb-x,则fx 具有对称性; 口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性1若fx+a=fb+x,则T=|b-a| 2若fx+a=-fb+x,则T=2|b-a| 3若fx+a=±1/fx,则T=2a 4若fx+a=1-fx/1+fx,则T=2a 5若fx+a=1+fx/1-fx,则T=4al n sin =∂正弦 l m cos =∂余弦 m ntan =∂正切n m cot =∂余切 m l sec =∂正割 n lcsc =∂余割∂=∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=∂sec 1cos商的关系：∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂=∂=∂∂sec csc cot sin cos平方关系：()()sina cosa 1cosa-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 1212a cos cosa -1212a sin 22+==⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：()ββtan tan 1-tan •∂+=∂和差化积公式：()()⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21sin 2sin sin ϕθϕθϕθ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21cos 2sin -sin ϕθϕθϕθ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21cos 2cos cos ϕθϕθϕθ ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21sin 2-cos -cos ϕθϕθϕθ原式得证，由题，22b a x x cos x sin 1x x +=∴===⎪⎭ ⎝+⎪⎭ ⎝M M 4、数学归纳法数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立;例如：前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成：①递推的基础：证明当n=1时表达式成立②递推的依据：证明如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立1第一数学归纳法5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数;有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数6、二项式定理：即二项展开式,即a+b n 的展开式()nn n k k -n k n 1-n 1n n 0n n b ...b a ...b a a C b a C C C ++•++•+=+称为二次项系数其中kn C表示项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1k k k -n kn 1k b a ++•T Cn n y∞→8、其他一些知识点10不是正数,不是负数;是自然数;0是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和0 （2）正偶数称为“双数” （3）正常数：常数中的正数（4）质数：又称“素数”;一个大于1的自然数,如果除了1和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”;最小的质素数是2;1既不是素数,也不是合数;（5）exp ：高等数学中,以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中,sup 表示上界；inf 表示下界 （7）≡：表示恒等于（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为：n=nn-1因为1的阶乘为其中,e n 11n→⎪⎭⎫⎝⎛+,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,e ≈2.7181n 1-1n2→⎪⎭⎫⎝⎛ ()()61n 21n n n ...21222++=+++()233321n n n ...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++()1-a a-a s a ...a a s 1n n 2+=+++=()()()()()1-n 2-n 1-n n n b ...b a a b -a b -a +++=x sinx 0x →→时， x tanx → 2x 21cosx -1→列举一些趋向于0的函数：()0lnn 10n a 1a 0c -n b0b 0a 0q 1q b nan →→→→④，＞③，＞，＞②，＜①柯西极限存在准则：3斯托尔茨定理设数列n y 单调增加到无穷大,则11lim lim--∞→∞→--=n n n n n n n n y y x x y x ()[]()a x g f x g f x f x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→00lim lim )().4(是连续函数：如：nn n S S n S --++++=-2232 (2523211)32n 解题思路： 函数的连续性和间断点问题 1如何讨论并确定函数的连续性①若该函数是初等函数,则该函数在其定义域区间均连续②若是一元函数,则可对其求导,其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续的x f x )()0=00)''()'(''''''00x )('''x x )()''()'(''''''0.0x )(εδδεεδεδε≥----∈∃∀x f x f x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x f ，但是＜，尽管、存在，总＞，无论对多么小的＞上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。
大学数学-微积分-连续
详细描述
不定积分是微积分中的一个基本概念，它表示原函数在 某区间上的积分值。不定积分的结果是一个函数集合， 这些函数之间相差一个常数。不定积分具有线性性质， 即两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差 。此外，不定积分还具有积分常数性质，即在对函数进 行积分时，可以在积分结果中添加或减去任意常数。最 后，不定积分具有微分性质，即函数的微分与函数的积 分互为逆运算。
定积分的应用
总结词
定积分在解决实际问题中有着广泛的应 用，如求平面图形的面积、求曲线的长 度、计算变力沿直线所做的功等。
VS
详细描述
定积分在实际问题中有着广泛的应用。例 如，求平面图形的面积时，可以将图形分 成若干个小矩形，然后计算每个小矩形的 面积和，最后取极限得到整个图形的面积 。此外，定积分还可以用于求曲线的长度 、计算变力沿直线所做的功等问题。这些 应用都表明了定积分的实用性和重要性。
连续性在数学与其他学科中的应用
在物理学中，连续性的概念广泛应用于解决力学、热学、电磁学等问题，如物体运动轨迹的连续性、 温度变化的连续性等。
在经济学中，连续性被用于描述经济变量的变化规律和趋势，如价格、需求和供给等函数的连续性分析。
在计算机科学中，连续性的概念对于理解数据结构和算法设计具有重要意义，如连续存储和离散存储的 区别。
函数在点$x_0$处的左极限是指当$x to x_0$且$x < x_0$时，函数值的趋势；右极限 是指当$x to x_0$且$x > x_0$时，函数值的趋势。
连续函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则 该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在，则 该点的函数值是有限的。
局部有界性
高等数学同济版大学微积分公式
2
2
弧微分公式：ds = 1+ y′2 dx,其中y′ = tgα
平均曲率：K = ∆α .∆α : 从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；∆s：MM ′弧长。 ∆s
M点的曲率：K = lim ∆α = dα =
y′′ .
∆s→0 ∆s ds
(1+ y′2 )3
直线：K = 0;
半径为a的圆：K = 1 . a
=
2 0
sin n
xdx
2
=
0
cosn
xdx
=
n −1 n
In−2
∫ x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln(x + x2 + a2 ) + C
2
2
∫ x2 − a2 dx = x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
2
2
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arcsin x + C
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 柯西中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )
F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率
3
空间解析几何和向量代数：
ctg2α = ctg 2α −1 2ctgα
tg 2α
=
2tgα 1− tg 2α
sin 3α = 3sinα − 4sin3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3cosα tg3α = 3tgα − tg 3α
同济大学高等数学§3.4分部积分法
解： arcsin xdx xarcsin x xd (arcsin x) xarcsinx 1 d(1 x2 ) xarcsin x 1 x2 C
2 1 x2 以上两例的特点在于设法使第二个被积函数中，不含
一、有理函数
R(
x)
P( Q(
x) x)
a0 xn a1xn1 a2 xn2 an1xan b0 xm b1xm1 b2 xm2 bm1xbm
R(x) 叫有理函数，它是两个实系数多项式之商所表 示的函数。
例如： x2 x 3 ， x3 1 ， x4 1 都是有理函数。
x( x 1)3 x2 2x 1
（2）比较法
x3 A( x2)B( x3)( AB)x2A3B,
2AA3BB31BA65
∴
x2
x3 5x6
6 x3
5 x2
∴
x
2
x3 dx 5x6
(
6 x3
5 x2
)d
x
( x3)6
6ln x3 5ln x2 C ln ( x2)5 C.
例
2．求
x(
1 x1)2
dx
解：
x(
1 x1)2
A x
B x1
x2
x3 dx 5x6
解：
x3 x2 5x6
( p2 4q0)
x3 A B ( x3)(x2) x3 x2
，
x3 x2 5x6
A( x2) B( x3), ( x3)(x2)
x3 A( x2) B( x3),
下面用两种方法确定系数 A 和 B 。
大学数学微积分
大学数学微积分微积分作为大学数学中的重要分支，旨在研究函数的变化规律以及各种数学概念的推导与应用。
本文将重点介绍微积分的基本概念和常见应用，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
1. 极限和导数1.1 极限极限是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点附近的趋近行为。
通常用符号lim来表示，如lim(x→a) f(x)。
极限有很多性质和求解方法，通过研究极限，我们可以了解函数在各个点上的性质。
1.2 导数导数是描述函数变化率的工具，表示函数在某一点处的变化速度。
一般用符号f'(x)表示，也可用dy/dx或df/dx表示。
导数的计算常用到极限的概念，其计算过程可以通过求导法则简化。
2. 积分和微分方程2.1 积分积分是导数的逆运算，表示某一函数在一段区间上的总体积或面积。
利用积分可以求解一些几何问题，如曲线长度、曲线下面积等。
常见的积分方法包括定积分、不定积分和曲线积分等。
2.2 微分方程微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中含有未知函数及其导数。
微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，可用于描述动力学系统、电路等问题。
通过求解微分方程，可以求得函数的解析表达式或者定性描述函数的特性。
3. 常见微积分应用3.1 极值与最值利用微积分的方法可以求解函数的极值和最值，帮助我们在实际问题中找到最优解。
通过求导，我们可以找到函数的关键点，进而判断函数的最值情况。
3.2 曲线绘制与曲率微积分还可以用于绘制曲线和计算曲线的曲率。
通过求导和积分的方法可以推导得到曲线的方程，并确定曲线在不同点的切线和曲率。
3.3 面积和体积的计算利用积分可以计算曲线下面积和曲线旋转体的体积。
这在计算几何学、物理学和工程学中具有广泛的应用，如计算园区的面积、水池的容量等。
4. 微积分的进一步研究微积分作为数学的基础学科，还有许多深入的研究方向和应用领域。
比如微分方程的高阶求解和偏微分方程的研究，在物理学和工程学的问题中有着重要作用。
大学微积分公式(高等数学公式)
高等数学公式导数公式基本积分表ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数 ： 两个种烟极限：·诱导公式：函数角A -α90°-α90°+α180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+αsin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinαsinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg-ctgαtgα-tgα-ctgαctgαtgα-tgα-ctgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
同济大学(高等数学)-第四章-不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及根本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个函数的导数〔或微分〕的问题，例如，变速直线运动中位移函数为()s s t =， 那么质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：假设()()'=F x f x ，那么对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，那么有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理：定理2 假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么()()-=F x x C φ〔C 为任意常数〕． 假设()()'=F x f x ，那么()+F x C 〔C 为任意常数〕表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1.1.2不定积分定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作()d ⎰f x x ．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，假设()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，那么()f x 的不定积分可表示为()d ()=+⎰f x x F x C ．注 〔1〕不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．〔2〕求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C ．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin cos d x x x ⎰．解 〔1〕因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2x x x x C =+⎰．〔2〕因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． 〔3〕因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以1sin cos d cos 24=-+⎰x x x x C ． 例3 求1d x x⎰． 解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1x在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x=+⎰．又当0x <时，[]1ln()x x '-=，所以ln()-x 是1x在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1d ln()=-+⎰x x C x ．综上，1d ln x x C x=+⎰．例4 在自由落体运动中，物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，那么加速度d ()d va t g t==〔其中g 为重力加速度〕． 因此()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰，又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，那么ds()dt=v t ．所以 21()()d d 2===+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离21()2=s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义设函数()f x 是连续的，假设()()F x f x '=，那么称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．积分曲线族具有如下特点〔如图4.1〕：〔1〕积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；〔2〕积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．图4-1例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d yx x=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以21C =+，1C =．于是曲线方程为21y x =+．1.2 根本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．例如，因11x μμ+'⎛⎫ ⎪+⎝⎭=x μ，所以11x x dx C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为根本积分公式． ①d k x kx C =+⎰〔k 是常数〕; ②1d 1x x x C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕;③1d ln x x C x=+⎰; ④sin d cos x x x C =-+⎰; ⑤cos d sin x x x C =+⎰; ⑥221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰; ⑦221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰; ⑧sec tan d sec x x x x C =+⎰; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+⎰; ⑩21d arctan C 1x x x =++⎰，21d cot 1x arc x C x -=++⎰;⑪arcsin x x C =+，arccos x x C =+⎰;⑫e d e x x x C =+⎰;⑬d ln xxa a x C a=+⎰;以上13个根本积分公式，是求不定积分的根底，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．例6求不定积分x x ⎰．解xx ⎰52d x x =⎰512512x C +=++7227x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用根本积分公式求解，那么可以结合不定积分的性质和根本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．1.3 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质．性质1 积分运算与微分运算互为逆运算〔1〕()d ()'⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x 或d ()d ()d ⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x x ． 〔2〕()d ()'=+⎰F x x F x C 或d ()()=+⎰F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，那么[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰f x g x x f x x g x x ．易得性质2对于有限个函数的都是成立的．性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，那么()d =⎰kf x x ()d ⎰k f x x ．由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰kf x lg x x k f x x l g x x ．例7 求23d 1⎛⎫+⎝⎰x x． 解23d 1⎛⎫+⎝x x213d 21x x x =-+⎰3arctan x =2arcsin x -C +．例8 求221d (1)+++⎰x x x x x ．解 原式=22(1)d (1)+++⎰x x x x x 211d 1x x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ⎰．解 原式(2e)d xx =⎰1(2e)ln 2exC =+2e 1ln 2x x C =++． 例10 求1d 1sin x x+⎰．解 1d 1sin x x+⎰()()1sin d 1sin 1sin xx x x -=+-⎰21-sin d cos x x x=⎰ 2(sec sec tan )d =-⎰x x x x tan sec x x C =-+．例11 求2tan d x x ⎰．解 2tan d x x ⎰=2(sec 1)d tan -=-+⎰x x x x C ．注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和根本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和根本积分公式，这种方法称为根本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算〔求导〕来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否那么是错误的．下面再看一个抽象函数的例子：例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x ？解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2=-+f x x x C ．习题4-11．求以下不定积分．〔1〕41d x x⎰； 〔2〕x ⎰； 〔3〕； 〔4〕()2d ax b x -⎰；〔5〕22d 1x x x +⎰； 〔6〕4223d 1x x x x +++⎰；〔7〕x ； 〔8〕22d 1x x⎛⎫+⎝⎰； 〔9〕32e d x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； 〔10〕()22d 1x xx+⎰；〔11〕x ；〔12〕2tan d x x ⎰； 〔13〕2sin d 2xx ⎰；〔14〕cos 2d cos sin x xx x-⎰；〔15〕21cos d 1cos 2xx x++⎰； 〔16〕()sec sec tan d x x x x +⎰；〔17〕2352d 3x xxx ⋅-⋅⎰；〔18〕x ．2．某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b 〔a ，b 为常数〕．设此产品的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．3．验证12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+⎰，求()f x ？第2节 换元积分法和不定积分法2.1 换元积分法上一节介绍了利用根本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最根本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其根本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为根本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．2.1.1第一类换元积分法定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ϕ可导，那么有换元公式()[()]()d ()d =⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰u x f x x x f u u ϕϕϕ． 〔4.2.1〕证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,那么[]()()d ()=⎡⎤=+⎣⎦⎰u x f u u F x C ϕϕ．由不定积分的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ϕϕϕ，利用复合函数的求导法那么显然成立．注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '⎰f x x x ϕϕ是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ϕ可以方便地应用到被积表达式中．例1 求33e d x x ⎰．解 3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰e d =⎰u u e =+u C ， 最后，将变量3u x =代入，即得333ed e xx x C =+⎰．根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:〔1〕将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； 〔2〕引入中间变量作换元；〔3〕利用根本积分公式计算不定积分； 〔4〕变量复原．显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．例2 求()9945d x x +⎰．解 被积函数9945（）+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：99999911(45)d (45)(45)d (45)d(45)44'+=⋅+⋅+=++⎰⎰⎰x x x x x x x 991d 4=⎰u u 1001001(45)4100400+=⋅+=+u x C C ．例3 求22d xx x a +⎰． 解221x a+为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22222222221111d ()d d()22'=⋅+=++++⎰⎰⎰x x x a x x a xax a x a 221111d ln ln()222==+=++⎰u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．例4 求x ⎰．解 322211)(1)23=--=--+⎰x x x C ．注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ⋅m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：1()d ()d()+=++f ax b x f ax b ax b a ， 111()d ()d()-+=⋅++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n．例5 求1d (12ln )x x x +⎰．解 因为1d d ln x x x=，亦即11d d(1+2ln )2x x x=，所以1111d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x==+++⎰⎰⎰ 1ln 1+2ln 2x C =+． 例6 求arctan 22d 1xx x +⎰．解 因为21d d arctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2d arctan ln 21x x xx x C x ==++⎰⎰．例7 求x ．解x =x C ==-⎰．在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据根本微分公式推导出的常用的凑微分公式．①x=②211d d x x x=-．③1d dln x x x=． ④e d de x x x =．⑤ cos d d sin x x x =． ⑥ sin d d cos x x x =-． ⑦221d sec d d tan cos ==x x x x x． ⑧ 221d csc d d cot sin =-=-x x x x x．d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．⑩21d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例8 求221d x a x +⎰． 解 将函数变形2222111.1a x a x a =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由d d x x a a=，所以得到221d x a x +⎰2111darctan 1x xC aa a ax a ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰． 例9求x ． 解1x x x aa ⎛⎫==⎪⎝⎭ arcsinxC a=+． 例10 求tan d x x ⎰． 解 tan d x x ⎰=sin d d cos ln cos cos cos x x xx C x x-==-+⎰⎰． 同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+⎰．例11 求3sin d x x ⎰．解 3222sin d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰31cos cos 3x x C =-++．例12 求23sin cos d x x x ⎰．解 232222sin cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==⎰⎰⎰2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-⎰⎰3511sin sin 35x x C =-+． 例13 求2sin d x x ⎰． 解 21cos 211sin d d sin 2224x x x x x x C -==-+⎰⎰． 例14 求sec d x x ⎰． 解 12211sec d d cos d cos d sin d sin cos 1sin x x x x x x x x x x--====-⎰⎰⎰⎰⎰ 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1x C x x C x +=+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+⎰．注 对形如sin cos d m n x x x ⎰的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数〔如n 是奇数，那么取cos x 〕与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，那么利用倍角〔半角〕公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．例15 求sin 2cos3d x x x ⎰． 解 sin 2cos3d x x x ⎰=11sin 5d sin d 22x x x x -⎰⎰=11cos5cos 102x x C -++ =11cos cos5210x x C -+． 一般的，对于形如以下形式sin cos d mx nx x ⎰， sin sin d mx nx x ⎰， cos cos d mx nx x ⎰，的积分〔m n ≠〕，先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．例16 求221d x x a -⎰． 解 因为 2211111()()2⎛⎫==- ⎪-+-+-⎝⎭x a x a a x a x a x a， 所以 221111111d d d d 22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x x a x a x a a x a x a x a111d()d()2x a x a a x a x a ⎛⎫=--+ ⎪-+⎝⎭⎰⎰ ()11ln ln ln 22x a x a x a C C a a x a-=--++=++． 这是一个有理函数〔形如()()P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式〕的积分，将有理函数分解成更简单的局部分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．例17 求23d 56x x x x +-+⎰．解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利用待定系数法将被积函数进行分拆．设232356x A B x x x x +=+---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得56A B =-⎧⎨=⎩．故原式=56d 23x x x -⎛⎫+⎪--⎝⎭⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+． 例18 求33d 1x x +⎰． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令323111A Bx Cx x x x +=+++-+， 两边同乘以31x +，得23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以32312111x x x x x -+=+++-+． 故3223121213d d ln 1d 12111-+--⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x =2221d 1d(1)32ln 12211324x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰⎰．21=ln 1ln(1).2x x x C +--+++2.1.2 第二类换元积分方法定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，那么有换元公式，[]1()()d ()()d -=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰t x f x x f t t t ψψψ，其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-⎡⎤=⎣⎦x F x φψ，利用复合函数及反函数求导法那么得[][]d d 1()()()()()d d ()''=⋅=⋅=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 那么()F x 是()f x 的原函数．所以11()()d ()[()][()]()d --=⎡⎤'=+=+=⎣⎦⎰⎰t x f x x F x C x C f t x t ψφψψψ．利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=复原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．一、三角函数代换法例19 求22d a x x -⎰(0)>a ．解 设ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，22cos a x a t -=，d cos d x a t t =，于是22d a x x -⎰=2222cos cos d cos d sin cos 22a a a t a t t a t t t t t C ⋅==++⎰⎰．因为 ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，所以arcsin ,xt a = 为求出cos t ，利用sin xt a=作辅助三角形〔图4-2〕，求得22cos a x t a-=， 所以 22222221d d arcsin 22a x a x x a x x x a x C a -=-=+-+⎰⎰．图4-2例20 求22d x x a+⎰(0)>a ．解 令2ππtan ,,,d sec d 22x a t t x a t t ⎛⎫=∈-= ⎪⎭⎝，22d xx a +⎰=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a ⋅==++⎰⎰． 利用tan xt a=作辅助三角形〔图4-3〕，求得 22ππsec ,,22x a t t a +⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝ 所以 ()2222122d ln ln xx x a c x x a C a ax a ⎛⎫+ ⎪=++=+++ ⎪+⎝⎭⎰．图4-3例21 求22x a-(0)>a ．解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2x a t t x a t t t ⎛⎫=∈=⋅ ⎪⎭⎝，22x a -=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a⋅⋅⋅==++⎰⎰．利用cos at x=作辅助三角形〔图4-4〕，求得22tan x a t -=所以 (2222122lnln x x a C x x a C aax a -=+=+-+-，1(ln )C C a =-． 当x a <-时，令x u =-那么u a >，由上面的结果，得((2222112222ln ln u u a C x x a C x a u a =-=-+=---+--=(221,(2ln )x x a C C C a --+=-． 综上，2222ln x x a C x a =-+-．图4-4注 22a x -22a x +22x a -换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．二、简单无理函数代换法 例22 求12x+．解 令22,,d d 2u u x x x u u ===，12x +=d 11d 11u u u u u ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰(ln 12ln 12u u C x x C =-+++． 例23 求3(1+)x x．解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换： 令6t x =6x t =，5d 6d x t t =，从而522322361d 6d 61d (1)11(1+)t t t t t t t t t x x ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 666(arctan )6()t t C x x C =-+=+．例24 求211d xx x x +． 解 为了去掉根式，作如下代换：1x t x +=，那么211x t =-，222d d (1)t x t t =--，从而222222112d (1)d 2d (1)x t x t t t t t x x t +-=-⋅=--⎰⎰ 32322133x t C C x +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 一般的，如果积分具有如下形式〔1〕()d n R x ax b x +⎰，那么作变换n t ax b +〔2〕(,)d n m R x ax b ax b x ++⎰，那么作变换pt ax b +p 是m ，n 的最小公倍数；〔3〕(R x x ⎰，那么作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．例25 求6d (1)+⎰xx x ．解 令211,d d x x t tt ==-， 6d (1)+⎰x x x =52661d d 1111t t t t t t t -=-+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰661d(1)61+=-+⎰t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． 例26求x ． 解 设211,d d ,x x t tt ==-则 于是1222241d (1)d ⎫=-=--⎪⎝⎭⎰x t a t t t t t , 当0x >时，有31222222222231()(1)d(1)23-=---=-+⎰a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．本例也可用三角代换法,请读者自行求解．四、指数代换 例27 求2d e (e 1)+⎰x x x．解 设1e ,d d ,x t x t t==则 于是222d 1d e (e 1)(1)=++⎰⎰x x x t t t22111d arctan 1t t C t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪+⎝⎭⎰--e arctane x x C =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的根本积分公式，将常用的积分公式再添加几个〔0a >〕：①tan d ln cos x x x C =-+⎰; ②cot d ln sin x x x C =+⎰; ③cscd x ⎰=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++⎰; ⑤2211d arctan xx C a a a x=++⎰; ⑥221d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++; ⑦arcsin xx C a =+>（a 0）;⑧(ln x C =+;⑨ln x C =． 例28 求．解=2arcsin3-=+x C ． 例29 求．解=11ln(222=+x C ． 例30 求解ln 1=-x C ．例31 求322d (22)x x x x -+⎰．解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭x t t ，那么2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．所以332224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t +=⋅-+⎰⎰23cos (1tan )d t t t =+⎰3(sin cos )d cos t t t t+=⎰ 3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++⎰ 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．图4-5按照变换ππ1tan ,22x t t ⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭作〔辅助三角形图4-5〕，那么有2cos 22t x x =-+，2sin 22t x x =-+，于是322221d ln(22)2arctan(1)2(22)22x x x x x x C x x x x =-++--+-+-+⎰．2.2 分部积分法前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法那么〞来推导求积分的另一种根本方法—分部积分法．定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，那么d d =-⎰⎰u v uv v u ．〔4.2.2〕证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得d d =-⎰⎰uv u v v u ，移项后得d d =-⎰⎰u v uv v u ．我们把公式〔4.2.2〕称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ⎰转化成另一个易于求解的不定积分d v u ⎰．例32 求cos d x x x ⎰．解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，那么cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰．采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即212v x =，那么222111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰， 比拟原积分cos d x x x ⎰与新得到的积分21sin d 2x x x ⎰，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: 〔1〕v 要容易求得；〔2〕d v u ⎰要比d u v ⎰容易求出． 例33 求e d x x x ⎰．解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,那么e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．例34 求2e d x x x ⎰．解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，那么利用分部积分公式得22222e d dee e d e 2e d xxx x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰，这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，e d xx x ⎰显然比2e d xx x ⎰容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到222e d e2e d e 2de xxx x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．注 当被积函数是幂函数与正〔余〕弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正〔余〕弦或指数函数至于d 的后面．例35 求ln d x x x ⎰． 解 令ln ,u x =21d d 2x x x =，212v x =，那么 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 22ln 124x x x C =-+．在分部积分公式运用比拟熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ⎰u v的形式，直接套用分部积分公式即可． 例36 求arctan d x x x ⎰．解 222211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰21(arctan arctan )2=-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．下面再来举几个比拟典型的分部积分的例子．例37 求e sin d x x x ⎰．解 〔法一〕e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin cos de x x x x =-⎰=e sin e cos e sin d x x x x x x x --⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x xx x x x C ． 〔法二〕x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+⎰⎰ =e cos e sin sin de x x x x x x -+-⎰ =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x x x x x x C ．当被积函数是指数函数与正〔余〕弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会复原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法〞，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．例38 求3sec d x x ⎰．解 32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==⋅-⋅⎰⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x =⋅+-⎰⎰，利用 1sec d ln sec tan x x x x C =++⎰ 并解方程得3sec d x x ⎰=1(sec tan ln sec tan )2⋅++x x x x +C ．在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法．例39求x ⎰．解令2,d 2d t t x t t ===，e 2d 2de 2e 2e d 2e 2e t t t t t t x t t t t t t C C ===-=-+=-+⎰⎰⎰⎰．例40 求cos(ln )d x x ⎰． 解 令ln ,e ,d e d t t t x x x t ===，cos(ln )d x x ⎰=()()1cos e d e sin cos sin ln cos ln 22t t xt t t t C x x C ⋅=++=++⎰． 下面再看一个抽象函数的例子．例41 ()f x 的一个原函数是sin xx，求()d '⎰xf x x ？ 解 因为()f x 的一个原函数是sin x x ，所以sin ()d =+⎰xf x x C x， 且 2sin cos sin ()'-⎛⎫==⎪⎝⎭x x x xf x x x ．从而 原式()()d d[()]()d '===-⎰⎰⎰xf x x x f x xf x f x x cos 2sin x x xC x-=+．习题4-2一、求以下不定积分． 1．2014(23)d -⎰x x ； 2．23d (12)-⎰xx ；3．()d +⎰k a bx x 〔0b ≠〕； 4．sin3d x x ⎰； 5．()cos d x x αβ-⎰； 6．tan5d x x ⎰； 7．3e d x x -⎰； 8．210d x x ⎰； 9．121e d x x x⎰；10．2d 19xx +⎰； 11．2d πsin 24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；12．x ⎰；13．2(23)d 38--+⎰x xx x ；14．；15．e sin e d x x x ⎰； 16．2e d x x x ⎰； 17．x ； 18．θ；19．；20．22(arctan )d 1+⎰x x x ；21．2d 3x x x+⎰；22．21d 413x x x x -++⎰；23．2cos d x x ⎰； 24．4sin d x x ⎰； 25．1tan d sin 2xx x+⎰； 26．22cos sin d x x x ⎰； 27．3cos d x x ⎰； 28．35sin cos d x x x ⎰； 29．4sec d x x ⎰；30．4tan d x x ⎰； 31．22d sin cos xx x⎰；32．4；33．；34．322d (1)-⎰x x ；35．3322d (1)+⎰x xx ；36．2x ；37．3222d ()+⎰xx a ；38．x ； 39． 40． 41．；42．；43．x ； 44．x ；45．42d xx x -⎰； 46．2d (1)+⎰xx x ．二、求以下不定积分．1．sin 2d x x x ⎰； 2．-(e e )d 2-⎰x x x x ； 3．2cos d x x x ω⎰； 4．2d x x a x ⎰；5．ln d x x ⎰； 6．ln d n x x x ⎰〔1n ≠〕； 7．arctan d x x ⎰； 8．arccos d x x ⎰； 9．e cos d ax nx x ⎰；10．2ln(1)d +⎰x x x ；11．32ln d xx x⎰；12．2(arcsin )d ⎰x x ；13．2cos d x x x ⎰； 14．2tan d x x x ⎰；15．22cos d x x x ⎰； 16．2ln cos d cos xx x⎰；17．3ln d xx x ⎰； 18．x ⎰．三、()f x 的一个原函数是2-e x ，求()d '⎰xf x x .第3节 有理函数的积分3.1 有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(,其中m 和n 都是非负整数; a 0,a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 及b 0,b 1,b 2,⋅⋅⋅,b m 都是实数,并且a 0≠0,b 0≠0.当n <m 时,称这有理函数是真分式;而当n ≥m 时,称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,那么先因式分解,然后化成局部分式再积分.例1 求⎰+-+dxx x x 6532.解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x ,A +B =1,-3A -2B =3,A =6,B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示:321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x .例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四那么运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数,然后作变换2tan xu =:222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tanx u =,那么212sin u u x +=,2211cos u u x +-=,x =2arctan u ,du u dx 212+=. 于是⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+Cx x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .习题4-3求以下不定积分．1.x dx x +⎰33；2.x dx x x ++-⎰223310； 3.x dx x x +-+⎰2125； 4.()dx x x +⎰21 ；5.()()x dx x x ++-⎰22111；6.()()x dx x ++⎰22211；7.sin dx x +⎰23； 8.cos dxx +⎰3；9.sin dx x +⎰2 ； 10.sin cos dx x x++⎰1；11.sin cos dxx x -+⎰25； 12.⎰.第4节 MATLAB 软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MA TLAB 命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx,x) %求函数f(x)关于x 的不定积分参数说明：fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当fx 只含一个变量时，x 可省略. 例计算下面的不定积分.sin .cos x xI dx x+=+⎰1syms xI=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c以sin cos x xI dx x +=+⎰1为例，编写如下语句可以得到其不定积分：syms x cfx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2)在上述语句的根底上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2);plot(xx,subs(fx,xx),’k’,’LineWidth’,2) hold on for c=0:6Y=inline(subs(I,C,c));Plot(xx,y(xx),’LineStyle’,’- -’); Endlegend(‘函数曲线’，’积分曲线族’，4).总习题4 (A)一、填空题1．假设()f x 的一个原函数为cos x ，那么()d f x x ⎰=． 2．设()d sin f x x x C =+⎰，那么2(1)d xf x x -⎰＝． 3．2e d x x x =⎰． 4．1d 1cos 2x x=+⎰．5．22(arctan )d 1x x x +⎰＝．二、选择题1．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x，且过点2(e ,3)，那么该曲线方程为． (A) ln y x =(B) ln 1y x =+(C) 211y x =-+ (D) ln 3y x =+2．设()f x 的一个原函数是2e x -，那么()d xf x x '=⎰．(A) 222e x x C --+ (B) 222e x x -- (C) 22e (21)x x C ---+(D) ()()d xf x f x x +⎰3．设()F x 是()f x 的一个原函数，那么．(A) ()()d ()f x x F x '=⎰(B) ()()d ()f x x f x '=⎰(C)d ()()F x F x =⎰(D) ()()d ()F x x f x '=⎰4．设()f x 的原函数为1x，那么()f x '等于． (A) ln x(B)1x(C) 21x -(D)32x 5．2d x x x =⎰．(A) 22xxx C -+(B) 222ln 2(ln 2)x xx C -+(C) 22ln (ln 2)2x x x x C -+(D) 222x x C + 三、计算以下各题1．x ；2．1d e e x xx --⎰； 3．2ln(1+)d x x ⎰； 4．2d 23++⎰xx x ；5．sin ecosxd xx ⎰；6．742d (1)x xx +⎰；7．12e d x x -⎰； 8．；9．1d e 1xx -⎰； 10．3d (1)xx x -⎰；11．x x ；12．x ； 13．4d 1xx -⎰； 14．； 15．32ln d x x x ⎰； 16．17．x ⎰； 18．19．20．4sin d 2xx ⎰；21．24(tan tan )d x x x +⎰；22．2sec d 1tan ⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x x x ；23．sin(lnx)d x ⎰； 24．5；25．x ；26．54tan sec d t t t ⎰；27．3sin x π⎰； 28．64tan cos d sin x x x x⎰；29．44d sin cos xx x⎰；30．1sin d 1sin +-⎰xx x；31．x x ；32．x ⎰；33．e (1)d +⎰x x x x ； 34．x ；35．2ln(1)d x x x +⎰；36．x ． (B)1.〔1999、数学一〕设()f x 是连续函数()F x 是()f x 的原函数,那么( ). (A) 当()f x 是奇函数时,必是偶函数.(B) 当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数.(C) 当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数.(D) 当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.2.〔2006、数学二〕 求arctan xxe dx e ⎰. 3.〔2003、数学二〕 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+.4.(2021、数学三)计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.。
大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
8/46
二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
14/46
例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的 其闭 中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一 种
D1
26/46
记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
a
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一元函数积分学定积分的计算一定积分计算的基本公式§1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1：①连续函数一定有原函数；，得定义2例1、求下列函数的不定积分2、基本积分表（共24个基本积分公式）3、不定积分的性质例2、 求下列不定积分⑥§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1例1、求不定积分②③④2例2、求不定积分①3、例3、求不定积分①②③④例4、求不定积分二、第二类换元法1、三角代换例1原式例2解：原式例3解：原式例4解： 原式例5解：原式例6解：原式2、无理代换例7解：原式例8解：原式例9解：原式=例10解：4、 倒代换例11解：§3、分部积分法（前后相乘）（前后交换）例1例2例3或解：例4或解：例5例6例7§4、两种典型积分一、有理函数的积分部分分式，然后积分。
例1、或解例2例3例4二、三角函数有理式的积分三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。
例5解：例6解：例7ppt 1第二节 多元函数的基本概念二、多元函数的概念定义1 设D 则x，y称为自变量，z称为因变量. 点集D称为该函数的定义域值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. , n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2A为函数. 记为或也记作或二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3连续. 则称间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）.例2（讲义例2）二元函数的极限例3（讲义例3）求极限例4例5（讲义例4）求极限例6求极限例7求例8（讲义例5）.例9. 二元函数的连续性例10（讲义例6）续性.例11例12课堂练习1.2., A , 能否断定3..PPT2第四节全微分我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得上面两式左端分别称为二元函数对x 和对y 的偏增量，而右端分别称为二元函数对x 和对y 的偏微分.在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题. 下面以二元函数为例进行讨论.邻域内的任意一点，则称为函数在点P全增量(4.1)一般来说，计算全增量比较复杂. 与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量定义.内容分布图示★偏增量与全增量★全微分的定义★可微的必要条件★可微的充分条件★例1★例2★例3★例4★多元函数连续、可导、可微的关系★全微分在近似计算中的应用★例5★绝对误差与相对误差★例6★内容小结★课堂练习★习题6-4★返回内容提要：一、微分的定义定义1可以表示为(4.2)其中A,B x, y有关, 全微分, 即(4.3)若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1(必要条件) ,,(4.4)我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有：定理2 (充分条件) , 则函数在该点处可微分.三、微分的计算.(4.5)上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.(4.6)四、全微分在近似计算中的应用, 且, 则根据全微分定义，有即(4.7)例题选讲：全微分的计算例1（讲义例1）.例22, 1）处的全微分.例3（讲义例3）. 例4 .例5（讲义例4）.例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 、以及40cm, 且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.课堂练习1.(0, 0)处函数的全微分是否存在?2.偏导数一、偏导数的定义及其计算法回顾一元函数的导数的概念。
对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限存在, 则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作例如类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为记作或f y(x0,y0).偏导函数：如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y),记作类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为z y,,只要把y暂时看作常量而对x x暂时看作常量而对y求导数．偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．例1求z.解y x看作常量，因此例2(1, 3)处的偏导数．解先求偏导函数例3 求证:证例4 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),证 因为所以例4说明偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商． 例5二元函数在（0，0）可导，因为所以(0, 0)并不连续．由例5可知，对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义：f x (x 0, y 0)是过曲面z =f (x , y )上点M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0))的曲线在点M 0处的切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0)过曲面z =f (x , y )上点M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0))的曲线在点M 0处的切线T y 对y 轴的斜率． 课堂练习：习题8－2：1（单）．二、高阶偏导数回顾一元函数的高阶导数的概念． 设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．例6．求z =x 3ｙ-33的.二阶偏导数解定理如果函数z=f(x,y)D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7证所以因此例8证同理因此提示： 例7和例8中的两个方程都叫拉普拉斯方程（Laplace ），是数学物理方程中的重要方程。
课外作业：复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、 多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的情形（5.1） 公式(5.1)全导数.2、复合函数的中间变量为多元函数的情形(5.3)(5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3,点可导，函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数, 且有(5.7)(5.8)注..在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:这里下标12等等.二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有由此可见，尽管现在的u、v式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程(5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4设函某一邻域内具有连续的偏导数, 且并有(5.12)定理5, 且并有(5.14)例题选讲：多元复合函数微分法例1（讲义例1）例2（讲义例2）例3.例4例5（讲义例3）例6,例7（讲义例4）其中函数f例8 利用全微分形式不变性解本节的例2.全微分形式的不变性例9（讲义例5）.例10.例11（讲义例6）隐函数微分法例12（讲义例7）(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连.例13例14（讲义例8）例15 )例16（讲义例9）求例17例18课堂练习1.2.F是可微函数, 证明3.,二重积分一、内容概要1.二重积分的定义定义D上有定义.分割用任意两组曲线将区域D分成n个小区域，分别记为i个小区域的面积.求和并求和取极限n存在，且此极限值不依赖区域DD上的二重积分，记为面积元素.2.二重积分的几何解释由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为：若在区域D则二重积分的值等于以区域D为底，以曲面.若在区域D的值的绝对值等于以D重积分的值为负值.若在区域D而另一些子域上+”直柱体体积前取“-”.3.二重积分的存在性存在定理D上连续，D上的二重积分必存在.4.二重积分的性质设下列被积函数都是可积的.性质1此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.性质2性质3 如果闭区域D则性质4若记区域D的面积为S，则性质5 在D性质6 若在D则其中S为区域D的面积.性质7D上连续，S为区域D的面积，则在D称此性质为二重积分的中值定理.5.二重积分的计算二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积分次序是至关重要的问题.有些问题中给定了积分次序，但依此次序积分可能计算复杂，以至于不能用初等函数形式表示，但是这并不能断言二重积分不能计算，此时应考虑交换积分次序或改变坐标系.因此二重积分有交换积分次序的问题与转换坐标系的问题.常见的二重积分计算可归纳为以下规律：（1）选择积分次序对于给定的二重积分应先选定积分次序，积分次序的选择要考虑两个因素：被积函数与积分区域.选定积分次序之后，关键是确定二次积分的积分限，通常的方法是：先画出积分区域D的图形.若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y的积分限的方法为：作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴的正向看，所作出的直线与区域D，作为积分下限.离开区域D的边界，作为积分上限.而后对x积分时，其积分下限取自区域D在Ox轴上投影的最小值；积分上限取自区域D在Ox轴上投影的最大值.即先对y 积分（入口线）下限（出口线）上限后对x积分将区域D在Ox轴上投影（最小值）下限（最大值）上限其特点是：内层积分限为外层积分变量的函数（或常数），而外层积分限一定为常数！（2）交换积分次序如果给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量较大，可考虑采用交换积分次序，其一般步骤为：○1先依给定的二次积分限，写出积分区域D的不等式表达式，并依此作出区域D的图形.○2再依区域D的图形，按前面（1）所述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.（3）选取坐标系如果二重积分不宜在直角坐标系中计算，可考虑利用极坐标系计算，特别是被积函数积分较方便.在极坐标系下二重积分计算的基本思想也是将其转化为二次积分.其一般做法是：先将积分区域D的边界曲线用极坐标表示.设积分区域的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点.○1若极点O在区域D外部，区域D则○2若极点O在区域D的边界曲线上，区域D可以表示为○3若极点O在区域D的内部，区域D则（4）对称性质注意利用被积函数与积分区域的对称性，以简化运算.x的奇函数，而积分区域D关于y轴对称，D上的连续函数时.必有x的偶函数，积分区域D关于y轴对称，且在x轴右方部分记D上连续函数时，必有如果积分区域D关于y轴对称，x的奇函数，也非xx的连续的奇函数或偶函数，则可以部分地使用对称性简化计算.x的连续的奇函数或偶函数，而积分区域D不关于y轴对称，但是可以将Dy轴对称，则可以部分地使用对称性以简化计算.（5）被积函数中含有绝对值符号此时应将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域中保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号.如果被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后应取绝对值形式的表达式.如果积分区域D重反常积分，化为二次积分后可依反常积分处理.二、基本问题与基本运算方法基本问题计算二重积分基本运算方法 1.交换积分次序2.极坐标系下二次积分与直角坐标系下二次积分的转化3.可变限二重积分是变限的函数4.利用概念与性质计算二重积分（1）若二重积分存在，则它表示一个确定的数值.（2）二重积分对于被积函数的可加性、对于积分区域的可加性. （3）二重积分的对称性质：D 上的连续函数，区域D 关于y 轴对称，且在y 轴右侧的（1） 二重积分的坐标轮换对称性质D 上的连续函数，区域D 的边界曲线的方程中x,y 的地位对称，则5.分段函数的二重积分（1）计算分段函数的二重积分，应先将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域上有唯一的表达式.（2）被积函数中含有绝对值符号时，应先将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域上保持同一符号，以消去被积函数中的绝对值符号.（3）被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后的表达式应取绝对值形式的表 达式.6.二重积分的计算（1）直角坐标系下化为二次积分. （2）极坐标系下计算二次积分. （一）交换二次积分次序1.2. 交换积分次序3. ）.A. B.C. D.4. （）.A. B.C. D.5. = .6.（）.A.C. D.8.（）A. B.C. D.9.设区域，则在极坐标下二重积分（）.A. B.C. D.12.设，，）.B. C. D.13.D是由）.A. B. C. D.14.D上的连续函数，且15.则以下结论正确的是（）.16.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。