概率论与数理统计的答案详解_北邮版_(第一章的)

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概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答

第一章 思 考 题1.事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗?为什么?2.医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重,在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时,医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我,我已经看过九个病人了,他们都死于此病,所以你不会死” ,医生的说法对吗?为什么?3.圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答:因为π是一个无限不循环小数,所以,理论上每个数字出现的次数应近似相等,或它们出现的频率应都接近于0.1,但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4.你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗?5.两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系?对立事件与互不相容事件又有何区别和联系?6.条件概率是否是概率?为什么?习 题1.写出下列试验下的样本空间: (1)将一枚硬币抛掷两次答:样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正,正反,反正,反反 (2)将两枚骰子抛掷一次答:样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==(3)调查城市居民(以户为单位)烟、酒的年支出答:结果可以用(x ,y )表示,x ,y 分别是烟、酒年支出的元数.这时,样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2.甲,乙,丙三人各射一次靶,记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件: (1) “甲未中靶”: ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”: ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”: ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”: ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”: ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”: ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”: ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”: ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”: ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”: ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”: ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件,化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4.某城市的电话号码由5个数字组成,每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个,求电话号码由五个不同数字组成的概率.解:51050.302410P P ==.5.n 张奖券中含有m 张有奖的,k 个人购买,每人一张,求其中至少有一人中奖的概率。

概率论课后习题答案北京邮电大学版

概率论课后习题答案北京邮电大学版
PC | A1 0.2, PC | A2 0.9.
概率作业答案2:第一章6—10节
(1)
PA1
|
B
PA1 PB | A1 PA1 PB | A1 PA2 PB
|
A2
0.6
0.6 0.8
0.8 0.4
0.1
0.932.
(2)
PA2
|
C
PA2 PC | A2 PA1 PC | A1 PA2 PC
B1 )
P( A1B1 ) P(B1 )P( A1 )P(B1 Nhomakorabea5/
A1 )
2 3
5
2 4
4 5
12
12
1
P( A2
/
B1 )
12 5
1 5
12
显然,白球的可能性大。
概率作业第一章第8—10节
一、填空题
1.一 个 工 人 看 管n台 同 一 类 型 的 机 器 , 一段 时 间 内 每 台 机 器 需 要工 人 维 修 的 概 率p(0 p 1),则 (1)n台 机 器 都 不 需 要 维 修 概率 是______; (2)恰 有 一 台 机 器 需 要 维 的概 率 是____________; (3)至 少 有 一 台 机 器 需 要 修的 概 率 是______________ .
概率作业答案2:第一章6—10节
4.设A、B为随机事件,并且P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(B / A) 0.8,则P( AB) ______,P( A B) ______. 答案:P( AB) P(B / A)P( A) 0.4, P( A B) 0.7
5.P(AB) P(AB),且P(A) p,则P(B) _________

概率论与数理统计第1章习题答案

概率论与数理统计第1章习题答案

20 21
2
2 第十页,共十四页。
26(.1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠 性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按右图的方式(fāngshì)
联接(称为并串联系统);
2
3
1
4
(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们的可 靠性均为p,将它们按右图的方式联接(称为(chēnɡ wéi)桥式系统);试分别求这两个系统的可靠性.
7
6
5 P171
第四页,共十四页。
14. 已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(A∪B).
解 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
故 P( AB) 1 1 1 P(B) P( AB) 1 12 1
第五页,共十四页。
16. 据以往资料(zīliào)表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
P{孩子得病(dé bìnɡ)}=0.6, P{母亲得病|孩子得病}=0.5,
P{父亲得病|母亲(mǔ qīn)及孩子得 求病母}=亲0.及4,孩子得病但父亲未得病的概率.
解 设事件A={孩子得病},B={母亲得病},C={父亲得病}
(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率.
解 基本事件是从1500个产品中取200个,
基本事件总数n= 1250000
(1)从400个次品中取90个, 1100个正品中取110个的事件总数
n(1)
49000
1100 110
故恰有90个次品的概率
p(1)
n(1)
/
n
49000

《概率论与数理统计答案》第一章

《概率论与数理统计答案》第一章
. 200 www 14.由长期统计资料得知,某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A )的概率为
4/15,刮风(记作事件 B )的概率为 7/15,刮风又下雨(记作事件 C )的概率为
网 1/10。求 P( A | B) , P(B | A) , P( A ∪ B) 。
案 提示与答案: P(A | B) = 3 , P(B | A) = 3 , P(A ∪ B) = 19 。
6.已知事件 A 、 B 满足 P( AB) = P( A ∩ B ) 且 P( A) = 1/ 3 ,求 P(B) 。
解法一:由性质(5)知
m P(B) = P( A ∪ B) − P( A) + P( AB)
(性质 5)
co =1− P( A∪ B) − P( A) + P( AB)
(性质 3)
球,也可能是黑球),并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事
件,这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。
若设 A 表示:“由甲袋取出的球是白球”; B 表示:“由甲袋取出的球是黑 球”; C 表示:“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C) = 5 /12 。
18.设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中 1 是第一家工厂生产的, 2
16.一机床有 1/3 的时间加工零件 A ,其余时间加工零件 B ,加工零件 A 时, 停机的概率是 3/10,加工零件 B 时,停机的概率是 4/10,求这台机床停机的概 率。
提示与答案:依题意,这是一全概率问题。若设 A 事件表示:“加工零件 A ”; B 事件表示:“加工零件 B ; C 事件表示:“机床停机”。 则 P(C) = 11/ 30 。
相同”; B 表示事件:“这 n 个人至少有两个人生日在同一天”。

概率论与数理统计第一章课后习题详解

概率论与数理统计第一章课后习题详解

概率论与数理统计习题第一章习题1-1(P 7)1.解:(1)}18,4,3{,⋯=Ω (2)}1|),{22<+=Ωy x y x ( (3) {=Ωt |t},10N t ∈≥(本题答案由经济1101班童婷婷提供) 2.AB 表示只有一件次品,-A 表示没有次品,-B 表示至少有一件次品。

(本题答案由经济1101班童婷婷提供) 3.解:(1)A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;(2)2A =“第二次未击中目标”; (3)A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;(4)A 1⋃A 2⋃A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; (5)A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”; (6)A 32A =“第三次击中但第二次未击中”; (7)12A A =“前两次均未击中”; (8)12A A =“前两次均未击中”;(9)(A 1A 2)⋃(A 2A 3)⋃(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.(本题答案由陈丽娜同学提供)4.解: (1)ABC(2)ABC(3) ABC (4) A B C(5) ABC (6) AB BC AC (7) A B C (8) (AB) (AC) (BC)(本题答案由丁汉同学提供)5.解: (1)A=BC(2)A =B C(本题答案由房晋同学提供)习题1-2(P 11)6.解:设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C =(本题答案由顾夏玲同学提供)7.解: (1)组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为 12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001(3)组成事件(3)所包含的样本点数为337C ,所以 P 3=337340C C ≈0.7864 (4)事件(4)的对立事件,即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ,所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136(5)组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+,所以P 5=2133373340+C C C C ⋅ ≈0.01134 (本题答案由金向男同学提供)8.解:(1)组成实验的样本点总数为410A ,末位先考虑有五种选择,首位除去0,有8种选择。

概率论与数理统计答案第一章

概率论与数理统计答案第一章

概率论第一章习题解答习题1.11. 写出下列随机试验的样本空间Ω及指定的事件:(1)袋中有3个红球和2个白球,现从袋中任取一个球,观察其颜色;(2)掷一枚硬币,设H 表示“出现正面”,T 表示“出现反面”.现将一枚硬币连掷两次,观察出现正、反面的情况,并用样本点表示事件A =“恰有一次出现正面”;(3)对某一目标进行射击,直到击中目标为止,观察其射击次数,并用样本点表示事件A =“射击次数不超过5次”;(4)生产某产品直到5件正品为止,观察记录生产该产品的总件数;(5)从编号a 、b 、c 、d 的四人中,随机抽取正式和列席代表各一人去参加一个会议,观察选举结果,并用样本点表示事件A =“编号为a 的人当选”.解:(1)Ω = {红色, 白色}; (2)Ω = {(H , H ), (H , T ), (T , H ), (T , T )},A = {(H , T ), (T , H )};(3)Ω = {1, 2, 3, …, n , …},A = {1, 2, 3, 4, 5}; (4)Ω = {5, 6, 7, …, n , …};(5)Ω = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (b , c ), (b , d ), (c , a ), (c , b ), (c , d ), (d , a ), (d , b ), (d , c )},A = {(a , b ), (a , c ), (a , d ), (b , a ), (c , a ), (d , a )}.2. 某射手射击目标4次,记事件A =“4次射击中至少有一次击中”,B =“4次射击中击中次数大于2”.试用文字描述事件A 与B . 解:A 表示4次射击都没有击中,B 表示4次射击中击中次数不超过2.3. 设A , B , C 为三个事件,试用事件的运算关系表示下列事件:(1)A , B , C 都发生;(2)A , B , C 都不发生;(3)A , B , C 中至少有一个发生;(4)A , B , C 中最多有一个发生;(5)A , B , C 中至少有两个发生;(6)A , B , C 中最多有两个发生.解:(1)ABC ; (2)C B A ; (3)A ∪B ∪C ; (4)C B A C B A C B A C B A U U U ;(5)ABC BC A AB U U U ; (6)ABC .4. 在一段时间内,某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次,1次,2次,….记事件A n =“接到的呼唤次数小于n ”(n = 1, 2, …),试用事件的运算关系表示下列事件:(1)呼唤次数大于2;(2)呼唤次数在5到10次范围内;(3)呼唤次数与8的偏差大于2.解:(1)3A ; (2)A 11 − A 5; (3)116A A U .5. 证明:(1)Ω=−A B A AB U U )(; (2)AB B A B A B A =))()((U U U .证:(1)Ω==Ω===−A A B A A AB B A AB U U U U U U U U )()(;(2)U U U U U U A B A B B A B A B A B A ())(())()((==∅AB AB A A B A A B A ===U U U )())(.习题1.21. 设P (A ) = P (B ) = P (C ) = 1/4,P (AB ) = P (BC ) = 0,P (AC ) = 1/8,求A 、B 、C 三个事件至少有一个发生的概率.解:因P (AB ) = P (BC ) = 0,且ABC ⊂ AB ,有P (ABC ) = 0, 则8581414141)()()()()()()()(=−++=+−−−++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P U U . 2. 设P (A ) = 0.4,P (B ) = 0.5,P (A ∪B ) = 0.7,求P (A − B )及P (B − A ).解:因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.4 + 0.5 − 0.7 = 0.2,则P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.4 − 0.2 = 0.2,P (B − A ) = P (B ) − P (AB ) = 0.5 − 0.2 = 0.3.3. 某市有A , B , C 三种报纸发行.已知该市某一年龄段的市民中,有45%的人喜欢读A 报,34%的人喜欢读B 报,20%的人喜欢读C 报,10%的人同时喜欢读A 报和B 报,6%的人同时喜欢读A 报和C 报,4%的人同时喜欢读B 报和C 报,1%的人A , B , C 三种报纸都喜欢读.从该市这一年龄段的市民中任选一人,求下列事件的概率:(1)至少喜欢读一种报纸;(2)三种报纸都不喜欢;(3)只喜欢读A 报;(4)只喜欢读一种报纸.解:分别设A , B , C 表示此人喜欢读A , B , C 报,有P (A ) = 0.45,P (B ) = 0.34,P (C ) = 0.2,P (AB ) = 0.1,P (AC ) = 0.06,P (BC ) = 0.04,P (ABC ) = 0.01,(1)P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 0.8;(2)2.0)(1)((=−==C B A P C B A P P U U U U ;(3)3.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P AC P AB P A P B A P B A P C B A P ;(4)因21.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AB P B P P B P B P ,11.0)()()()()()()(=+−−=−=ABC P BC P AC P C P BC A P C A P C B A P , 故62.0)()()()(=++=++C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P .4. 连续抛掷一枚硬币3次,求既有正面又有反面出现的概率.解:样本点总数n = 2 3 = 8,事件A 中样本点数62313=+=C C k A ,则75.043)(===n k A P A . 5. 在分别写有2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13的8张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率.解:样本点总数2828==C n ,事件A 中样本点数18231315=+=C C C k A ,则6429.0149)(===n k A P A . 6. 一部5卷文集任意地排列在书架上,问卷号自左向右或自右向左恰好为1, 2, 3, 4, 5顺序的概率等于多少?解:样本点总数12055==A n ,事件A 中样本点数k A = 2,则0167.0601)(===n k A P A . 7. 10把钥匙中有3把能打开某一门锁,今任取两把,求能打开某该门锁的概率.解:样本点总数45210==C n ,事件A 中样本点数24231317=+=C C C k A ,则5333.0158)(===n k A P A . 8. 一副扑克牌有52张,进行不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1)四张花色各异;(2)四张中只有两种花色. 解:样本点总数270725452==C n ,(1)事件A 1中样本点数285611131131131131==C C C C k A ,则1055.0208252197)(11===n k A P A ; (2)事件A 2表示两种花色各两张,或者一种1张一种3张,样本点数81120)2(113313213213242=+=C C C C C k A ,则2996.041651248)(22===n k A P A . 9. 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚,从中任取5枚,求总值超过壹角的概率. 解:样本点总数252510==C n ,事件A 分三种情形:①两枚5分,三枚其它,②一枚5分,三枚2分,一枚1分,③一枚5分,两枚2分,两枚1分,样本点数1262523121533123822=++=C C C C C C C C k A ,则5.021)(===n k A P A . 方法二:10枚硬币总额2角1分,任取5枚若超过1角,那么剩下的5枚将不超过1角,可见事件A 中的样本点与A 中的样本点一一对应,即A k k =,则5.0)()(==A P A P .10.在10个数字0, 1, 2, …, 9中任取4个(不重复),能排成一个4位偶数的概率是多少(最好是更正为:排在一起,恰好排成一个4位偶数的概率是多少)?解:样本点总数5040410==A n ,事件A 的限制条件是个位是偶数,首位不是0,样本点数2296281814281911=+=A A A A A A k A ,则4556.09041)(===n k A P A . 11.一个教室中有100名学生,求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算). 解:样本点总数n = 365 100,A 的对立事件A 表示所有学生生日都不在元旦,100364=A k , 则2399.036536411(1)(100=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=−=n k A P A P A .12.在 [0, 1] 区间内任取两个数,求两数乘积小于1/4的概率.解:设所取得两个数为x , y ,Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1},}1,10,10|),{(<<<<=y x y x A 有m (Ω) = 1,4034.042ln 23)41ln 4141(1)ln 41(411()(141141=−=−−=−=−=∫x x dx x A m 则5966.042ln 21)()(1(1)(=+=Ω−=−=m A m P A P . 习题1.31. 一只盒子有3只坏晶体管和7只好晶体管,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,发现第一只是好的,问另一只也是好的概率是多少?解:设A 表示第一只是好的,B 表示第二只是好的,当第一只是好的时,第二次抽取前有3只是坏的,6只是好的,则6667.03296)|(===A B P . 2. 某商场从生产同类产品的甲、乙两厂分别进货100件、150件,其中:甲厂的100件中有次品4件,乙厂的150件中有次品1件.现从这250件产品中任取一件,从产品标识上看它是甲厂生产的,求它是次品的概率.解:设A 表示甲厂产品,B 表示次品,故04.01004)|(==A B P . 3. 根据抽样调查资料,2000年某地城市职工家庭和农村居民家庭收入按人均收入划分的户数如下:户数 6000元以下 6000 ~ 12000元 12000元以上 合计城市职工 25 125 50 200 农村居民 120 132 48 300 合计 145 257 98 500 现从被调查的家庭中任选一户,已知其人均收入在6000元以下,试问这是一个城市职工家庭的概率是多少?解:设A 表示人均收入在6000元以下,B 表示城市职工家庭,故1724.014525)|(==A B P . 4. 某单位有92%的职工订阅报纸,93%的职工订阅杂志,在不订阅报纸的职工中仍有85%的职工订阅杂志,从单位中任找一名职工,求下列事件的概率:(1)该职工至少订阅报纸或杂志中一种;(2)该职工不订阅杂志,但是订阅报纸. 解:设A 表示订阅报纸,B 表示订阅杂志,有P (A ) = 0.92,P (B ) = 0.93,85.0|(=A B P , 则068.085.008.0)|()()(=×==A B P A P B A P ,862.0068.093.0)()()(=−=−=B A P B P AB P ,(1)P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.92 + 0.93 − 0.068 = 0.988;(2)P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = 0.92 − 0.862 = 0.058.5. 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,各个车间的产量分别占全厂产量的25%、35%、40%,各车间产品的次品率分别为5%、4%、2%.(1)求全厂产品的次品率;(2)如果从全厂产品中抽取一件产品,恰好是次品,问这件次品是甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少?解:(1)任取一件产品,设A 1, A 2, A 3分别表示甲、乙、丙车间产品,B 表示次品,则P (B ) = P (A 1) P (B | A 1) + P (A 2) P (B | A 2) + P (A 3) P (B | A 3)= 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0345;(2)3623.069250345.005.025.0)()|()()()()|(1111==×===B P A B P A P B P B A P B A P , 4058.069280345.004.035.0)()|()()()()|(2222==×===B P A B P A P B P B A P B A P , 2319.069160345.002.04.0)()|()()()()|(3333==×===B P A B P A P B P B A P B A P . 6. 有三个形状相同的罐,在第一罐中有两个白球和一个黑球;在第二个罐中有三个白球和一个黑球;在第三个罐中有两个白球和两个黑球.某人随机地取一罐,再从该罐中任取一球,试问这球是白球的概率有多少?解:设321,,A A A 分别表示第一、二、三罐,B 表示白球, 则6389.03623423143313231)|()()|()()|()()(332211==×+×+×=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P . 7. 三部自动的机器生产同样的汽车零件,其中机器A 生产的占40%,机器B 生产的占25%,机器C 生产的占35%,平均说来,机器A 生产的零件有10%不合格,对于机器B 和C ,相应的百分数分别为5%和1%,如果从总产品中随机地抽取一个零件,发现为不合格,试问:(1)它是由机器A 生产出来的概率是多少?(2)它是由哪一部机器生产的可能性最大?解:设A 1, A 2, A 3分别表示机器A , B , C 生产的零件,D 表示不合格的零件,(1))|()()|()()|()()|()()()()|(3322111111A D P A P A D P A P A D P A P A D P A P D P D A P D A P ++== 7143.075056.004.001.035.005.025.01.04.01.04.0===×+×+××=; (2)2232.011225056.00125.0056.005.025.0)()()|(22===×==D P D A P D A P ,0625.01127056.00035.0056.001.035.0)()()|(33===×==D P D A P D A P , 则由机器A 生产的概率最大.8. 设P (A ) > 0,试证:)()(1)|(A P B P A B P −≥. 证:)()(1)()(11)(1)()()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P A P A P B A P B P A P A P AB P A B P −=−−=−+≥−+==U . 习题1.41. 一个工人看管三台机床,在一小时内机床不需要工人看管的概率分别为0.9、0.8、0.7,求在一小时内3台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解:设A 1, A 2, A 3分别表示一小时内第一、二、三台机床不需要工人照管,可以认为A 1, A 2, A 3相互独立, 则概率为)()()()()(321321321321321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A A A A P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++== 0.9 × 0.8 × 0.7 + 0.9 × 0.8 × 0.3 + 0.9 × 0.2 × 0.7 + 0.1 × 0.8 × 0.7 = 0.902.2. 电路由电池A 与两个并联的电池B 及C 串联而成,设电池A , B ,电路发生断电的概率. 解:设A , B , C 分别表示电池A , B , C 损坏,电路断电为事件A ∪BC ,则概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328.方法二:设A , B , C 分别表示电池A , B , C 正常工作,系统正常工作为事件A (B ∪C ) = AB ∪AC , 则概率为1 − P (AB ∪AC ) = 1 − P (AB ) − P (AC ) + P (ABC )= 1 − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) + P (A ) P (B ) P (C )= 1 − 0.7 × 0.8 − 0.7 × 0.8 + 0.7 × 0.8 × 0.8 = 0.328.3. 加工某一零件共需经过四道工序.设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%, 3%, 5%, 3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解:设A 1, A 2, A 3, A 4分别表示第一、二、三、四道工序加工出合格品,有A 1, A 2, A 3, A 4相互独立,则概率为1 − P (A 1A 2A 3A 4) = 1 − P (A 1) P (A 2) P (A 3) P (A 4) = 1 − 0.98 × 0.97 × 0.95 × 0.97 = 0.1240.4. 抛掷一枚质地不均匀的硬币8次,设正面出现的概率为0.6,求下列事件的概率:(1)正好出现3次正面;(2)至多出现2次正面;(3)至少出现2次正面.解:将每次掷硬币看作一次试验,出现正面A ,反面A ;独立;P (A ) = 0.6.伯努利概型,n = 8,p = 0.6.(1)1239.04.06.0)3(53388=××=C P ; (2)0498.04.06.04.06.04.06.0)2()1()0(622871188008888=××+××+××=++C C C P P P ;(3)9915.04.06.04.06.01)1()0(17118800888=××−××−=−−C C P P .5. 设每次射击时命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解:将每次射击看作一次试验,击中A ,没击中A ;独立;P (A ) = 0.2.伯努利概型,n 次试验,p = 0.2,则9.08.018.02.01)0(100≥−=××−=−n n n n C P ,即0.8 n ≤ 0.1,故32.108.0lg 1.0lg =≥n ,取n = 11.6. 一大批产品的优质品率为60%,从中任取10件,求下列事件的概率:(1)取到的10件产品中恰有5件优质品;(2)取到的10件产品中至少有5件优质品;(3)取到的10件产品中优质品的件数不少于4件且不多于8件.解:将取每件产品看作一次试验,优质品A ,非优质品A ;独立;P (A ) = 0.6.伯努利概型,n = 10,p = 0.6.(1)2007.04.06.0)5(5551010=××=C P ;(2)P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8) + P 10 (9) + P 10 (10)288103771046610555104.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××=C C C C8338.04.06.04.06.0010101019910=××+××+C C ;(3)P 10 (4) + P 10 (5) + P 10 (6) + P 10 (7) + P 10 (8)28810377104661055510644104.06.04.06.04.06.04.06.04.06.0××+××+××+××+××=C C C C C= 0.8989;7. 证明:若)|()|(B A P B A P =,则事件A 与B 独立. 证:因)(1)()()(1)()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P P B A P B A P B P AB P B A P −−=−−====, 则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )],即P (AB ) − P (AB ) P (B ) = P (B ) P (A ) − P (B ) P (AB ), 故P (AB ) = P (A ) P (B ),A 与B 相互独立.复习题一1. 设P (A ) = 0.5,P (B ) = 0.6,问:(1)什么条件下P (AB )可以取最大值,其值是多少?(2)什么条件下P (AB )可以取得最小值,其值是多少?解:(1)当A ⊂ B 时P (AB ) 最大,P (AB ) = P (A ) = 0.5;(2)当A ∪B = Ω 时P (AB ) 最小,P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) = 0.5 + 0.6 − 1 = 0.1.2. 一电梯开始上升时载有5名乘客,且这5人等可能地在8层楼的任何一层出电梯,求:(1)每层至多一人离开的概率;(2)至少有两人在同一层离开的概率;(3)只有一层有两人离开的概率.解:样本点总数是8取5次的可重排列,即n = 8 5 = 32768,(1)事件A 1中样本点数6720581==A k A ,则2051.0512105)(11===nk A P A ; (2)事件A 2是A 1的对立事件,则7949.0512407)(1)(12==−=A P A P ; (3)事件A 3表示有两人在同一层离开,而另外三人分别在3个不同楼层或者都在同一层离开,样本点数17360)(33173725183=+=C A A C A k A ,则5298.020481085)(33===n k A P A . 3. 从5副不同的手套中任取4只手套,求其中至少有两只手套配成一副的概率.解:样本点总数210410==C n ,A 的对立事件表示4只手套都不配套,801212121245==C C C C C k A , 则6190.021131(1)(==−=−=n k A P A P A . 4. 从1, 2, …, n 中任取两数,求所取两数之和为偶数的概率. 解:样本点总数为)1(212−=n n C n ,事件A 表示取得两个偶数或两个奇数,当n 为偶数时,共有2n 个偶数和2n 个奇数, 样本点数)2(41)12(22222−=−=+=n n n n C C k n n A ,则)1(22)(2−−==n n C k A P n A ; 当n 为偶数时,共有21−n 个偶数和21+n 个奇数, 样本点数2221221)1(41212121232121−=−⋅+⋅+−⋅−⋅=+=+−n n n n n C C k n n A ,则n n C k A P nA 21)(2−==. 5. 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以一只吃掉另一只的概率.解:样本点总数4005290==C n ,事件A 中样本点数7652911021019=+=C C C C k A ,则1910.08917)(===n k A P A . 6. 某货运码头仅能容一船卸货,而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时.设甲、乙两船在24小时内随时可能到达,求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率.解:Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24},A = {(x , y ) | 0 ≤ x < 24, 0 ≤ y < 24, x − y > 2或y − x > 1},有m (Ω) = 24 2 = 576,5.50622212321)(22=×+×=A m , 则8793.05765.506)()()(==Ω=m A m A P . 7. 从区间 [0, 1] 中任取三个数,求三数和不大于1的概率.解:Ω = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1},A = {(x , y , z ) | 0 ≤ x , y , z ≤ 1, x + y + z ≤ 1},有m (Ω) = 1,A 是一个三棱锥,6112131)(=××=A m ,则1667.061)()()(==Ω=m A m A P . 8. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率是多少?(假设男人和女人各占人数的一半.)解:设A 1, A 2分别表示男人和女人,B 表示色盲,则9524.021200025.05.005.05.005.05.0)|()()|()()|()()()()|(22111111==×+××=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P . 9. 发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号0和1(例如:分别用低电频和高电频表示).由于随机干扰的影响,当发出信号0时,接收台不一定收到0,而是以概率0.8和0.2收到信号0和1;同样地,当发报台发出信号1时,接收台以概率0.9和0.1收到信号1和0.试求:(1)接收台收到信号0的概率;(2)当接收台收到信号0时,发报台确是发出信号0的概率.解:设A 0, A 1分别表示发出信号0, 1,B 0, B 1表示收到信号0, 1,(1)P (B 0) = P (A 0) P (B 0 | A 0) + P (A 1) P (B 0 | A 1) = 0.7 × 0.8 + 0.3 × 0.1 = 0.59;(2)9492.0595659.08.07.0)()|()()()()|(000000000==×===B P A B P A P B P B A P B A P . 10.设A , B 独立,AB ⊂ D ,D B A ⊂,证明P (AD ) ≥ P (A ) P (D ).证:因AB ⊂ D ,有AB ⊂ AD ,则P (AD ) − P(AB ) = P (AD − AB ),B D ΩA因B A ⊂=U ,有D ⊂ A ∪B ,D − B ⊂ A ∪B − B ⊂ A ,则AD − AB = A (D − B ) = D − B ,故P (AD ) − P (AB ) = P (AD − AB ) = P (D − B ) ≥ P (A ) P (D − B ) ≥ P (A ) [P (D ) − P (B )],由于A , B 独立,有P (AB ) = P (A ) P (B ),故P (AD ) ≥ P (A ) P (D ).11.甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击,他们击中目标的概率分别为0.4, 0.5, 0.7.假设飞机只有一人击中时,坠毁的概率为0.2,若2人击中,飞机坠毁的概率为0.6,而飞机被3人击中时一定坠毁.现在如果发现飞机已被击中坠毁,计算它是由三人同时击中的概率.解:结果:设B 表示目标被击毁,原因:设A 0, A 1, A 2, A 3分别表示无人、1人、2人、3人击中目标, 则)|()()|()()|()()|()()|()()()()|(332211003333A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +++==, 且有P (B | A 0) = 0,P (B | A 1) = 0.2,P (B | A 2) = 0.6,P (B | A 3) = 1,又设C 1, C 2, C 3分别表示甲、乙、丙击中目标, 则09.03.05.06.0)()()()()(3213210=××===C P C P C P C C C P A P ,)()(3213213211C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P P P P C P P P P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.36,)()(3213213212C C C C C C C C C P A P U U =)()()()()()()()()(321321321C P C P P C P P C P P C P C P ++== 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.4 × 0.5 × 0.7 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.41,P (A 3) = P (C 1C 2C 3) = P (C 1) P (C 2) P (C 3) = 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14, 故3057.0458.014.0114.06.041.02.036.0009.0114.0)|(3==×+×+×+××=B A P . 12.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有4人治好则认为这种药有效,反之则认为无效.试求:(1)虽然新药有效,且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率;(2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 解:将每人服药看作一次试验,痊愈A ,没有痊愈A ;独立;(1)新药有效,痊愈率为0.35,即P (A ) = 0.35,伯努利概型,n = 10,p = 0.35,故概率为P 10 (0) + P 10 (1) + P 10 (2) + P 10 (3) 5138.065.035.065.035.065.035.065.035.0733108221091110100010=××+××+××+××=C C C C .(2)新药完全无效,痊愈率为0.25,即P (A ) = 0.25,伯努利概型,n = 10,p = 0.25,故所求概率为1 − P 10 (0) − P 10 (1) − P 10 (2) − P 10 (3)2241.075.025.075.025.075.025.075.025.01733108221091110100010=××−××−××−××−=C C C C .。

(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

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概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题(在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” )1、若1()P A =,则A 与任一事件B 一定独立。

(√)2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

(√)3、样本空间是随机现象的数学模型。

(√)4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。

(×)5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。

(×)6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。

(√)7、若S 为试验E 的样本空间,12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件,则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。

(×)8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响,即()()P B A P B =,称事件A 、B 独立。

(√) 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立,则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。

(√)10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立,则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的n 个事件仍相互独立。

(√)二、单选题1.设事件A 和B 相互独立,则()P A B =U ( C )A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立,且0()1,0()1P A P B <<<<,则正确的是( A )A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则( B )A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的,在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电,以E 表示事件“电炉断电”,而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E 等于( )A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析 事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ;事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,即(3)0{}E T t =≥,选C 。

概率论与数理统计习题解答

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第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间:(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;(3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数;(4)测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下(1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x 2+y 2<1}(3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0}2. 设A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件: (1)A 发生,B 和C 不发生; (2)A 与B 都发生,而C 不发生; (3)A 、B 、C 都发生; (4)A 、B 、C 都不发生; (5)A 、B 、C 不都发生; (6)A 、B 、C 至少有一个发生; (7)A 、B 、C 不多于一个发生; (8)A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B C A B C A B CA B CA B C A B CA B B C A CA BB CC A3.在某小学的学生中任选一名,若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生,事件C 表示该学生是运动员,则 (1)事件AB 表示什么?(2)在什么条件下ABC =C 成立?(3)在什么条件下关系式C B ⊂是正确的? (4)在什么条件下A B =成立? 解 所求的事件表示如下(1)事件AB 表示该生是三年级男生,但不是运动员.(2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC =C 成立.(3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B ⊂是正确的.(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,试求()P AB 解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3,所以 P (AB )=0.4, 故()P AB= 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=14,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)1111500044488=++---+=6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}.解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为22a b A A +,有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则2211222()()a b a ba ba bA A A AP A P B A A +++==7. 若10件产品中有件正品,3件次品,(1)不放回地每次从中任取一件,共取三次,求取到三件次品的概率; (2)每次从中任取一件,有放回地取三次,求取到三次次品的概率. 解 (1)设A={取得三件次品} 则 333333101016()()120720或者====C A P A P A C A .(2)设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语,35人会讲日语,32人会讲日语和英语,9人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种,求: (1)此人会讲英语和日语,但不会讲法语的概率; (2)此人只会讲法语的概率.解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2)()()()P ABC P AB P ABC =-()01()P A B P A B =+-=-+1()()()P A P B P AB =--+433532541100100100100=--+=9. 罐中有12颗围棋子,其中8颗白子4颗黑子,若从中任取3颗,求:(1) 取到的都是白子的概率;(2) 取到两颗白子,一颗黑子的概率; (3) 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率; (4) 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则 3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .(4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. (1)500人中,至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)?(2)6个人中,恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少? 解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则 500500364()1()10.746365=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312⨯⨯==C C P B11. 将C ,C ,E ,E ,I ,N ,S 7个字母随意排成一行,试求恰好排成SCIENCE 的概率p. 解 由于两个C ,两个E 共有2222A A 种排法,而基本事件总数为77A ,因此有 2222770.000794A A p A ==12. 从5副不同的手套中任取款4只,求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对,我们先取出4双,再从每一双中任取一只,共有⋅4452C 中取法.设A={4只手套都不配对},则有⋅==445410280()210C P A C13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件,第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i,i=1,2,3,若以x 表示零件中合格品的个数,则P(x =2)为多少?解 设A i = {第i 个零件不合格},i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+ 所以()11i i i P A p i=-=+123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++由于零件制造相互独立,有:123123()()()()P A A A P A P A P A =,123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =11112111311,(2)23423423424P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时射击命中目标的概率为0.6,试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解 设A={目标出现在射程内},B={射击击中目标},B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2,由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)-P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批,如果每批产品中没有次品的概率为0.35,有1,2,3,4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02,今从某批产品中抽取10件,检查出一件次品,求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设A i ={一批产品中有i 件次品},i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303=========P B A C C P B A C C C P B A C C C P B A C C C P B A C由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式40()()(|)0.196===∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B故20()(|)0.588===∑i i P C P A B16. 由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%,10%和90%的概率分别为0.8,0.15,0.05,现在从中随机地取三件,发现三件全是好的,试分析这批物品的损坏率是多少(这里设物品件数很多,取出一件后不影响下一件的概率).解 设B={三件都是好的},A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%},则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05. 因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624⨯===⨯===⨯===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿,每箱24只装,统计资料表明,每箱最多有两只残次品,且含0,1和2件残次品的箱各占80%,15%和5%,现在随意抽取一箱,随意检查其中4只;若未发现残次品,则通过验收,否则要逐一检验并更换残次品,试求: (1)一次通过验收的概率α;(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数},0,1,2=i , A={通过验收}则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有:042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A H C P A H C C P A H C =====(1)由全概率公式20()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H(2)由Bayes 公式 得00()(|)0.81(|)0.83()0.96β⨯====i P H P A H P H A P A18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备,调查表明,在任一时刻,每台设备被 使用的概率为0.1,问在同一时刻(1)恰有两台设备被使用的概率是多少? (2)至少有三台设备被使用的概率是多少?解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意,有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C(2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品,其中正品8件,次品两件,现从中任取两件,求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示:2. 进行某种试验,设试验成功的概率为34,失败的概率为14,以X 表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为:113(),1,2,3,44k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭X 取偶数的概率:2113{}(2)4411116331165116k k P X P X k -∞∞∞⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⨯=⎪-⎝⎭∑∑∑k=1k=1k=1为偶数 3. 从5个数1,2,3,4,5中任取三个为数123,,x x x .求:X =max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4); Y =min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3). 解 基本事件总数为:3510C =,X 345(1)X 的分布律为:P(X ≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为P(X>3) =04. C 应取何值,函数f(k) =!kC k λ,k =1,2,…,λ>0成为分布律?解 由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即0110(1)1!!!0!kkk k k k CC C C e k k k λλλλλ∞∞∞===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑ 解得:1(1)C e λ=-5. 已知X的分布律 X -112P162636求:(1)X 的分布函数;(2)12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭;(3)312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.解 (1) X 的分布函数为()()k k x xF x P X x p ≤=≤=∑0,11/6,11()1/2,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩;(2) 11(1)26P X P X ⎛⎫<==-= ⎪⎝⎭(3)31()02P X P ⎛⎫<≤=∅= ⎪⎝⎭6. 设某运动员投篮投中的概率为P =0.6,求一次投篮时投中次数X解 X 的分布函数0()0.60111x F x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩7. 对同一目标作三次独立射击,设每次射击命中的概率为p ,求:(1)三次射击中恰好命中两次的概率;(2)目标被击中两弹或两弹以上被击毁,目标被击毁的概率是多少? 解 设A={三次射击中恰好命中两次},B=目标被击毁,则(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求:(1)每分钟恰有6次呼唤的概率;(2)每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) =!kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =0.1042.(2) P(X ≤10)104401144110.00284!!kkk k e e k k ∞--====-=-∑∑ = 0.997169. 设随机变量X 服从泊松分布,且P(X =1)=P(X =2),求P(X =4) 解 由已知可得,12,1!2!e e λλλλ--=解得λ=2, (λ=0不合题意)422,(4)4!P X e -==因此= 0.0910. 商店订购1000瓶鲜橙汁,在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003,求商店收到的玻璃瓶,(1)恰有两只;(2)小于两只;(3)多于两只;(4)至少有一只的概率. 解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数},则X 服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布,即X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大,p 比较小,np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此(1) P(X=2)2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑11. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求:(1)系数k ;(2)P(0.25<X<0.75);(3)X 的密度函数;(4)四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25,0.75)内取值的概率.解 (1) 由于当0≤x ≤1时,有F(x )=P(X ≤x )=P(X<0)+P(0≤X ≤x )=k x 2 又F(1) =1, 所以k ×12=1因此k=1.(2) P(0.25<X<0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5 (3) X 的密度函数为2,01()'()0,x x f x F x Other ≤≤⎧==⎨⎩(4) 由(2)知,P(0.25<X<0.75) = 0.5, 故P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} =334340.5(10.5)0.25C --=.12. 设连续型随机变量X 的密度函数为1()0,1x F x x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩求:(1)系数k ;(2)12P X⎛⎫<⎪⎝⎭;(3)X 的分布函数.解 (1)由题意,()1f x dx +∞-∞=⎰, 因此111()arcsin 111kf x dx k x k k ππ+∞+-∞-====-=⎰⎰解得:(2)1/21/21/21111arcsin 1/22663P x x ππππ--⎛⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数1()()1/2arcsin /11111/xx F x f x dx x x x k ππ-∞<-⎧⎪==+-≤≤⎨⎪>⎩=⎰解得:13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时,以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时),它具有分布密度为212(1),01()0,x x x F x ⎧-<<=⎨⎩其他若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时,求供电量不够需要的概率是多少?如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的?解 如果供电量只有80万千瓦,供电量不够用的概率为: P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=120.812(1)0.0272x x dx -=⎰如果供电量只有80万千瓦,供电量不够用的概率为:P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=120.912(1)0.0037x x dx -=⎰ 14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布,分布密度为6001,0()6000,xe x F x x⎧<⎪=⎨⎪≥⎩试求在仪器使用的最初200小时以内,至少有一只电子元件损坏的概率.解 设X 表示该型号电子元件的寿命,则X 服从指数分布,设A={X ≤200},则 P(A)=1200600311600x e dx e--=-⎰设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量},则所求的概率为:100303331(1)1(0)1()(1())1()1P Y P Y C P A P A e e--≥=-==--=-=-15. 设X 为正态随机变量,且X ~N(2,2σ),又P(2<X<4) = 0.3,求P(X<0) 解 由题意知()222422(24)00.3X P X P σσσσ---⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即20.30.50.8σ⎛⎫Φ=+= ⎪⎝⎭故20222(0)10.2X P X P σσσσ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<=Φ=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16. 设随机变量X 服从正态分布N(10,4),求a ,使P(|X -10|<a ) = 0.9.解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<⎪⎝⎭210.9222a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以0.952a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查表可得, 2a =1.65即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度X 服从正态分布N(10.05,0.062),规定X 在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品,求螺栓不合格的概率.解 由题意,设P 为合格的概率,则()10.05(|10.05|0.12)0.1210.050.12220.06X P P X P X P -⎛⎫=-<=-<-<=-<< ⎪⎝⎭(2)(2)2(2)120.977210.9544=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=则不合格的概率=1-P = 0.045618. 设随机变量X 服从正态分布N(60,9),求分点x 1,x 2,使X 分别落在(-∞,x 1)、(x 1,x 2)、(x 2,+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题,111116060603()()0.253333456060()1()0.75,33x x X P X x P x x ---⎛⎫<=<=Φ== ⎪++⎝⎭--Φ-=-Φ=查表可得1600.673x --=解得, x 1 = 57.9922260606034()()0.5833333345x x X P X x P ---+⎛⎫<=<=Φ== ⎪++⎝⎭又查表可得2600.213x -=解得, x 2 =60.63. 19. 已知测量误差X (米)服从正态分布N(7.5, 102),必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98?解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p , 则由题可知107.57.5107.5(10)101010(0.25)( 1.75)(0.25)1(1.75)0.598710.95990.5586X p P X P ----⎛⎫=<=<< ⎪⎝⎭=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+=设 Y 为n 次独立重复测量误差不超过10米出现的次数,则Y~B(n, 0.5586)于是 P(Y ≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n ≥0.98 0.4414n ≤0.02, n ≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得:n ≥4.784取n=5, 即,需要进行5次测量. 20.设随机变量X 的分布列为X -2 023P17173727试求:(1)2X 的分布列;(2)x 2的分布列. 解 (1) 2X 的分布列如下(2) x 2的分布列21. 设X 服从N(0,1)分布,求Y=|X |的密度函数. 解 y=|x|的反函数为,0h(y)=,x x x x -<⎧⎨≥⎩, 从而可得Y=|X|的密度函数为: 当y>0时,222212())|yy yY X X f y f yyf yy e e ---=--+=+=当y ≤0时,()Y f y =0 因此有 22,0()0,0yY e y f y y ->=≤⎩22. 若随机变量X 的密度函数为23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其他求Y =1x的分布函数和密度函数.解 y=1x在(0,1)上严格单调,且反函数为 h(y)=1y,y>1, h ’(y)=21y -222411113()[()]|()|3Y X X f y f h y h y f y y y yy⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此有43,1()0,Y y y f y other ⎧>⎪=⎨⎪⎩Y 的分布函数为:433131,1()10,y Y y y dy y y y F y other---⎧=-=->⎪=⎨⎪⎩⎰23. 设随机变量X 的密度函数为22,0(1)()0,0x x f x x π⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩试求Y =lnX 的密度函数.解 由于ln y x =严格单调,其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且,则2()[()]|()|()2(1)2,()y yY X X yy y y f y f h y h y f e e e e y e e ππ-'===+=-∞<<+∞+24. 设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布,求Y =x e 的分布密度.解 由于x y e =严格单调,其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且yy>0,则221(ln )21()[()]|()|(ln ),0Y X X y f y f h y h y f y yy μσ--'===>当0y ≤时()0Y f y =因此221(ln )2,0()0,y Y y f y y μσ--⎧>=≤⎩25. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布,证明:Y =21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.解 由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数,其反函数为:1()ln(1),01,2h y y y =--<<并且1'()2(1)h y y =-,则当01y << 12(ln(1))2()[()]|()|11(ln(1))22(1)1212(1)Y X X y f y f h y h y f y y ey ---'==---==-当y ≤0或y ≥1时,()Y f y =0.因此Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布. 26. 把一枚硬币连掷三次,以X 表示在三次中正面出现的次数,Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值,试求(X ,Y )的联合概率分布.解 根据题意可知, (X ,Y)可能出现的情况有:3次正面,2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y 的取值及概率分别为P(X=3, Y=3)=18P(X=2,Y=1)=223113228C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P(X=1, Y=1)=3113113228C -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P(X=0, Y=3)=31128⎛⎫= ⎪⎝⎭ 于是,(X ,Y )的联合分布表如下:27. 在10件产品中有2件一级品,7件二级品和1件次品,从10件产品中无放回抽取3件,用X 表示其中一级品件数,Y 表示其中二级品件数,求: (1)X 与Y 的联合概率分布; (2)X 、Y 的边缘概率分布; (3)X 与Y 相互独立吗?解 根据题意,X 只能取0,1,2,Y 可取的值有:0,1,2,3,由古典概型公式得:(1) 271310(,),ij k ijC C Cp P X i Y j C====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =0,1k =,可以计算出联合分布表如下jp(2) X,Y 的边缘分布如上表(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y 不相互独立.28. 袋中有9张纸牌,其中两张“2”,三张“3”,四张“4”,任取一张,不放回,再任取一张,前后所取纸牌上的数分别为X 和Y ,求二维随机变量(X, Y)的联合分布律,以及概率P(X +Y>6)解 (1) X,Y 可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分j p(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求:(1)系数A 、B 及C ; (2)(X, Y)的联合概率密度; (3)X ,Y 的边缘分布函数及边缘概率密度;(4)随机变量X 与Y 是否独立?解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组:arctan 022arctan 023022122x A B C y A B C A B C A B C ππππππ⎧⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得:21,,,22A B C πππ===(2)2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π∂==∂∂++ (3) X 与Y 的边缘分布函数为:211()(,)arctan arctan 222222X x x F x F x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∞=++=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 211()(,)arctan arctan 222322Y y y F y F y ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∞=++=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 与Y 的边缘概率密度为:'22()()(4)X X f x F x x π==+'23()()(9)Y Y f y F y y π==+(4) 由(2),(3)可知:(,)()()X Y f x y f x f y =, 所以X ,Y 相互独立.30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为-(x+y)e ,0,(,)0,x f x y ⎧<<+∞=⎨⎩其他(1)求分布函数F(x, y);(2)求(X ,Y)落在由x =0,y =0,x +y =1所围成的三角形区域G 内的概率.解 (1) 当x>0, y>0时,()0(,)(1)(1)y xu v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰⎰否则,F (x, y ) = 0.(2) 由题意,所求的概率为11()10((,))(,)120.2642Gxx y P x y G f x y dxdydx e dy e --+-∈===-=⎰⎰⎰⎰31. 设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为-(3x+4y)Ae ,0,0,(,)0,x y f x y ⎧>>=⎨⎩其他求:(1)常数A ;(2)X ,Y 的边缘概率密度;(3)(01,02)P X Y <≤<≤.解 (1) 由联合概率密度的性质,可得(34)00(,)1/12x y f x y dxdy Ae dxdy A +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为:(34)30123,0()(,)0,x y x X edy e x f x f x y dy other +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰ (34)40124,0()(,)0,x y y Y edx e y f y f x y dx other +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰(3) (01,02)P x y <≤<≤21(34)03812(1)(1)x y edxdye e -+--==--⎰⎰32. 设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为2,01,02,(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求 P(X +Y ≥1).解 由题意,所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则122012310((,))(,)3456532672G x P x y G f x y dxdyxy dx x dy x x x dx -∈==+=++=⎰⎰⎰⎰⎰33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布,试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.解 由于(X, Y)服从均匀分布,则G的面积A 为:2112001(,)()6x x GA f x y dxdy dx dy x x dx ===-=⎰⎰⎰⎰⎰,(X, Y)的联合概率密度为:6,01(,)0,x f x y other ≤<⎧=⎨⎩.X,Y 的边缘概率密度为:2266(),01()(,)0,x xX dy x x x f x f x y dy other +∞-∞⎧=-≤<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰ ),01()(,)0,yY dy y y f y f x y dx other +∞-∞⎧=≤<⎪==⎨⎪⎩⎰34. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0, 0.2)上服从均匀分布,Y 的概率密度是55,0()0,0y y e y f y y -⎧ >=⎨≤⎩求:(1)X 和Y 和联合概率密度; (2)P(Y ≤X).解 由于X 在(0, 0.2)上服从均匀分布,所以()1/0.25X f x == (1) 由于X ,Y 相互独立,因此X, Y 525,0,00.2(,)()()0,y X Y e y x f x y f x f y other -⎧><<==⎨⎩(2) 由题意,所求的概率是由直线x=0, 所围的区域,如右图所示, 因此0.2500.2511()(,)255111xy Gx P Y X f x y dxdy dx e dye dx e e ----≤===-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰35. 设(X ,Y )的联合概率密度为1,01,02(,)20,x y f x y ⎧ ≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求X 与Y中至少有一个小于12的概率.解 所求的概率为0.50.5120.50.511()()22111,221(,)15128P X Y P XY f x y dxdydxdy +∞+∞⎛⎫<< ⎪⎝⎭⎛⎫=-≥≥ ⎪⎝⎭=-=-=⎰⎰⎰⎰ 36. 设随机变量X 与Y 相互独立,且X -113 Y -3 1P1215310P 1434求二维随机变量(X ,Y )的联合分布律.解 由独立性,计算如下表37. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为X 1 2 3Y116191182abc(1)求常数a ,b ,c 应满足的条件;(2)设随机变量X 与Y 相互独立,求常数a ,b ,c. 解 由联合分布律的性质,有:11116918a b c +++++=, 即 a + b + c =12133-= 又,X, Y 相互独立,可得 111::::6918a b c =从而可以得到: 121,,399a b c ===38. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为22232,0,1,1(,),0,01,10,x x y x x y F x y x y x⎧ >>⎪+⎪⎪= ><≤⎨+⎪⎪ ⎪⎩其他, 求边缘分布函数()x F x 与()y F y ,并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 由题意, 边缘分布函数2222lim,0()(,)110,0y X x x x F x F x x x x →+∞⎧=>⎪=+∞=++⎨⎪≤⎩下面计算F Y (y )2332220,0()(,)lim ,011lim1,11Y x x y x y F y F y y y xx y x →+∞→+∞⎧⎪≤⎪⎪=+∞==<≤⎨+⎪⎪=>⎪+⎩可以看出,F(x,y)= F x (x ) F Y (y ), 因此,X ,Y 相互独立.39.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为132,1,1(,)0,ye x yf x y x -⎧ ≥≥⎪=⎨⎪ ⎩其他,求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ,并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =当x ≥1时,113331222()1yy X f x e dy e x x x+∞--+∞-===⎰再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =当y ≥1时, 11132121()1y y yY f y e dx e e x x+∞---+∞-===⎰可见, (,)()()X Y f x y f x f y =,所以随机变量X, Y 相互独立40.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,(,)0,x y x y f x y + 0≤,≤1,⎧=⎨ ⎩其他,求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ,并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.解 先计算()X f x , 当x <0或者x >1时, ()0X f x = 当1≥x ≥0时,1212011()02X f x x y dy xy y x =+=+=+⎰ 再计算()Y f y , 当y <0或者y >1时, ()0Y f y = 当1≥y ≥0时, 120111()022Y f y x ydx xy x y =+=+=+⎰ 由于11(,)()()22X Y f x y x y f x f y x y ⎛⎫⎛⎫=+≠=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以随机变量X,Y 不独立41.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为22,00(,)0,x y e x y f x y --⎧ >,>=⎨ ⎩其他求随机变量Z =X -2Y 的分布密度. 解 先求Z 的分布函数F(z ) :2()()(2)(,)D X Y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy -≤=≤=-≤=⎰⎰当z<0时,积分区域为:求得2220()2zz yx y F z dy e dx +∞+---=⎰⎰224122z y y z z e e dy e +∞----=-=⎰ 当z ≥0时,积分区域为:2200()2z yx yF z dy e dx +∞+--=⎰⎰ 2401212yy zz eedy e +∞----=-=-⎰由此, 随机变量Z 的分布函数为11,02()1,02zz e z F z e z -⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩ 因此, 得Z 的密度函数为:1,02()1,02zz e z f z e z -⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩42. 设随机变量X 和Y 独立,X ~2()N μ,σ,Y 服从[-b ,b ](b>0)上的均匀分布,求随机变量Z =X +Y 的分布密度. 解 解法一 由题意,22()21()()()2z y a bX Y F z f z y f y dy dy bσ---+∞-∞-=-=⋅⎰⎰令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则()()()2211()22z b az b at z b a z b aF z e dt b bσσσσ+----+---==Φ-Φ⎰ 解法二22()()(),()1()221122111212X Yz bz bF z f x f z x dx-b<z-x<b,z-b<x<z+bx aF z dxbz bx a z b a z b az bb ba zb a z bba z bbσσσσσσσ+∞-∞+-=-∴--=⋅+-⎛+---⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ=Φ-Φ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛-+⎫⎛⎫⎛⎫=-Φ--Φ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰⎰a z bσ⎛--⎫⎛⎫-Φ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭43.设X服从参数为12的指数分布,Y服从参数为13的指数分布,且X与Y独立,求Z=X+Y的密度函数.解由题设,X~12120,0(),0X xxf xe x-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩, Y~13130,0(),0Y xxf ye x-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩并且,X,Y相互独立,则()()()Z X YF z f x f z x dx+∞-∞=-⎰由于()Xf x仅在x>0时有非零值,()Yf z x-仅当z-x>0,即z>x时有非零值,所以当z<0时,()Xf x=0, 因此()Zf z=0.当z>0时,有0>z>x, 因此1132()11()23z z xxZF z e e dx---=⎰1633216zz zz xe dx e e----==-⎰44.设(X,Y)的联合分布律为X0 1 2 3Y0 0 0.05 0.08 0.121 0.01 0.09 0.12 0.152 0.02 0.11 0.13 0.12求:(1)Z=X+Y的分布律;(2)U=max(X,Y)的分布律;(3)V=min(X,Y)的分布律.解(1) X+Y的可能取值为:0,1,2,3,4,5,且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12同理,U=max(X,Y)的分布如下U∈{0,1,2,3}同理,V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X 的分布列为X -1 0 1212P13161611214求E(X),E(-X +1),E(X 2) 解 111111136261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=111111236261243(1)((1)1)(01)(1)(11)(21)E X -+=--+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯=或者1233(1)()(1)()11E X E X E E X -+=-+=-+=-+=22222235111111362612424()(1)(0)()(1)(2)E X -=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2. 一批零件中有9件合格品与三件废品,安装机器时从这批零件中任取一件,如果取出的废品不再放回,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X 的取值为0, 1, 2, 3, A k 表示取出废品数为k 的事件, 则有:1391121230(),0,1,2,3,66()()0.3220k k k kk k C C P A k C C E X k P A -==∙==⋅==∑3. 已知离散型随机变量X 的可能取值为-1、0、1,E(X)=0.1,E(X 2)=0.9,求P(X=-1),P(X =0),P(X =1). 解 根据题意得:2222()1(1)0(0)1(1)0.1()(1)(1)0(0)1(1)0.9E X P X P X P X E X P X P X P X =-=-+=+===-=-+=+==可以解得 P(X =-1)=0.4, P(X=1)=0.5,P(X=0) = 1- P(X =-1) - P(X=1) = 1-0.4-0.5=0.14. 设随机变量X 的密度函数为2(1),()x x f x - 0<<1,⎧=⎨ 0, ⎩其他.求E(X). 解 由题意,11()()2(1)3E X xf x dx x xdx ∞-∞==-=⎰⎰,5. 设随机变量X 的密度函数为,0()x e x f x x -⎧ ≥,=⎨ 0, <0.⎩求E(2X),E(2x e -). 解(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞--∞==⎰⎰()()0002|20|2x x x xe e dx e∞-∞--∞=+=-=⎰ 22230()()11|33Xx x xx E ee f x dxee dx e ∞---∞∞---∞===-=⎰⎰6. 对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区间[a ,b ]上,求球的体积的数学期望.解 由题意,球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π因此,341()()32bax E V Vf x dx dx b aπ∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰ 4220|()()24()24x a b a b b a ππ∞==++-7. 设随机变量X ,Y 的密度函数分别为22,0()x X e x f x x -⎧ >,=⎨ 0, ≤0.⎩44,0()y Y e y f y y -⎧ >,=⎨ 0, <0.⎩求E(X +Y),E(2X -3Y 2). 解()()(E X Y E X E Y+=+240()()24113244X Y x y x f x dx y f y dyxe dx ye dy+∞+∞-∞-∞+∞+∞--=+=+=+=⎰⎰⎰⎰22222400(23)2()3()2()3()223435188X Y xy E X Y E X E Y x f x dx y f y dyxedx y e dy+∞+∞-∞-∞+∞+∞---=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰8. 设随机函数X 和Y 相互独立,其密度函数为2,1()X x x f x 0≤≤,⎧=⎨ 0, .⎩其他5,5() 5y Y e y f y y -⎧ >,=⎨ 0, ≤.⎩(-)求E(XY).解 由于XY 相互独立, 因此有()()()12(5)05(5)(5)5(5)()()()()()225320553225(01)(6)433X Y y y y y E XY E X E Y x f x dx y f y dyx dx ye dyye e dy e +∞+∞-∞-∞+∞--+∞------===⎛⎫⎛+∞⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛+∞⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-----=-⨯-=⎰⎰⎰⎰⎰9. 设随机函数X 的密度为()f x <,= 0, ≥⎩x 1x 1. 求E(X), D(X). 解11()()0E X x f x dx +∞-∞-===⎰⎰π2211222110001012()()2222211()arcsin |1422E X x f x dx x +∞-∞-====-=-+=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππ()221()()()2D XE X E X =-=10.设随机函数X 服从瑞利(Rayleigh)分布,其密度函数为2222,0()x x e x f x x σ-⎧ >,⎪=σ⎨⎪ 0, ≤0.⎩其中σ>0是常数,求E(X),D(X). 解22222222()()x x x E X x f x dx edx xdeσσσ--+∞+∞+∞-∞===-⎰⎰⎰2222222222200/00222x x x u u x xe e dx e dxedu σσσσππσσσ---+∞+∞+∞-=⎛⎫+∞=--= ⎪⎝⎭−−−→===⎰⎰⎰222222222222222222322222002220()()2202220x x x x x x u u ux E X x f x dx edx x dex e xe dx xe dx e du eσσσσσσσσσσ=+∞+∞+∞---∞+∞+∞---+∞--===-⎛+∞⎫=--= ⎪⎝⎭+∞−−−→==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()22222()()()2(2)22D X E X E X ππσσσ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭11. 抛掷12颗骰子,求出现的点数之和的数学期望与方差.解 掷1颗骰子,点数的期望和方差分别为: E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X 2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X 2)-(E(X)) 2 = 35/12掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有: E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=35 12. 将n 只球(1~n 号)随机地放进n 只盒子(1~n 号)中去,一只盒子装一只球,将一只球装入与球同号码的盒子中,称为一个配对,记X 为配对的个数,求E(X), D(X).解 (1)直接求X 的分布律有些困难,我们引进新的随机变量X k1,0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子,则有:1nkk X X ==∑,X k 服0-1分布因此:11(0)11,(1),kk P X p P X p n n==-=-===()11111(),()11()1k k nnk k k k E X p D X nn n E X E X E X n n ==⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭∑∑(2)k j X X 服从0-1分布,则有11(1)(1)(1)(1,1),()k j k j k j n n n n P X X P X X E X X --======1()n k k D X D X =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()112222(,)1112(()()())11112(1)1111112111(1)nk k j k k jnk j k j k k jk j n D X Cov X X E X X E X E X n n n n n n n C n n n n n n =<=<<=+⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=-+-=-+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑故,E(X)=D(X)=1. 我们知道,泊松分布具有期望与方差相等的性质,可以认定,X 服从参数为1的泊松分布. 13. 在长为l 的线段上任意选取两点,求两点间距离的数学期望及方差.解 设所取的两点为X,Y , 则X,Y 为独立同分布的随机变量, 其密度函数为11,01,01(),(),0,0,X Y x x f x f y l l other other ⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩ 21,0,1(,)()(),0,Y Y x y f x y f x f y l other ⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩依题意有()(,)E X Y x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞-=-⎰⎰()()2200011l xl l x x y dydx y x dydx l l=-+-⎰⎰⎰⎰ 222220011222llx l x dx lx dx ll =+-+⎰⎰322322110032262l l x l x lx x l l ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭663l l l =+= ()22()(,)E X Y x yf x y dxdy +∞+∞-∞-∞-=-⎰⎰()22001l lx y dxdy l=-⎰⎰ ()222003222012103l l l dx x xy y dy ll yx y xy dxl =-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 3222033222213111032316ll x l xl dx l ll x l x l x ll =-+⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰ D(X -Y) = E((X -Y)2)-(E(X -Y))2 = 2221116918l l l -= 14.设随机变量X 服从均匀分布,其密度函数为12,()2x f x ⎧0<<,⎪=⎨⎪0, .⎩其他,求E(2X 2),D(2X 2). 解12222201(2)2()2()226E X E X x f x dx x dx +∞-∞====⎰⎰ 124442011()()2,()8012E X x f x dx x dx E X +∞-∞====⎰⎰ ()()22242111(2)4()4()()48014445D X D XE X E X ⎛⎫==-=⨯-=⎪⎝⎭ 15. 设随机变量X 的方差为2.5,试利用切比雪夫不等式估计概率(()7.5)P X E X -≥ 的值.。

概率论与数理统计第一章习题解答

概率论与数理统计第一章习题解答

《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间:(1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。

(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。

(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的产品记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果。

(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标。

解:(1)设该班有n人,则该班总成绩的可能值是0,1,2,……,100n。

故随机试验的样本空间S={i/n|i=0,1,2,……,100n}。

(2)随机试验的样本空间S={10,11,12,……}。

(3)以0表示检查到一个次品,1表示检查到一个正品,则随机试验的样本空间S={00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111}。

(4)随机试验的样本空间S={(x,y)|x2+y2<1}。

2、设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:(1)A发生,B 与C都不发生。

(2)A与B都发生,而C不发生。

(3)A,B,C中至少有一个发生。

(4)A,B,C都发生。

(5)A,B,C都不发生。

(6)A,B,C中不多于一个发生。

(7)A,B,C中不多于两个发生。

(8)A,B,C中至少有两个发生。

解:(1)A B C(2)AB C(3)A∪B∪C (4)ABC(5)A B C(6)A B C∪A B C∪A B C∪A B C(7)S-ABC (8)ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、(1)设A,B,C为三个事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。

(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P (AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,A B,A∪B∪C,A B C,A B C,A B∪C的概率。

概率论与数理统计第一章答案

概率论与数理统计第一章答案

概率论与数理统计第⼀章答案习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ,B 满⾜关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发⽣, 则B 必发⽣. (B) A , B 同时发⽣.(C) 若A 发⽣, 则B 必不发⽣. (D) 若A 不发⽣,则B ⼀定不发⽣.解根据事件的包含关系, 考虑对⽴事件, 本题应选(D).(2) 设A 表⽰“甲种商品畅销, ⼄种商品滞销”, 其对⽴事件A 表⽰( ). (A) 甲种商品滞销, ⼄种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, ⼄种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, ⼄种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者⼄种商品畅销.解设B 表⽰“甲种商品畅销”,C 表⽰“⼄种商品滞销”,根据公式B C B C = , 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) ⼀袋中有5只球, 其中有3只⽩球和2只⿊球, 从袋中任意取⼀球, 观察其颜⾊; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出⼀个, 观察其颜⾊; (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的⿊球个数; (4) ⽣产产品直到有10件正品为⽌, 记录⽣产产品的总件数. 解 (1) {⿊球,⽩球}; (2) {⿊⿊,⿊⽩,⽩⿊,⽩⽩}; (3) {0,1,2};(4) 设在⽣产第10件正品前共⽣产了n 件不合格品,则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表⽰下列各事件: (1) 仅有A 发⽣;(2) A , B , C 中⾄少有⼀个发⽣; (3) A , B , C 中恰有⼀个发⽣; (4) A , B , C 中最多有⼀个发⽣; (5) A , B , C 都不发⽣;(6) A 不发⽣, B , C 中⾄少有⼀个发⽣. 解 (1) ABC ; (2)A B C ; (3) ABC ABC ABC ;(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .4. 事件A i 表⽰某射⼿第i 次(i =1, 2, 3)击中⽬标, 试⽤⽂字叙述下列事件: (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3; (4) A 2-A 3;(5)23A A ; (6)12A A .解 (1) 射⼿第⼀次或第⼆次击中⽬标;(2) 射⼿三次射击中⾄少击中⽬标;(3) 射⼿第三次没有击中⽬标;(4) 射⼿第⼆次击中⽬标,但是第三次没有击中⽬标;(5) 射⼿第⼆次和第三次都没有击中⽬标;(6) 射⼿第⼀次或第⼆次没有击中⽬标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任⼆事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解由⽂⽒图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )=p ,求P (B ).解因()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .解由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最⼤值, 最⼤值是多少? (2) 在什么条件下()P AB 取到最⼩值, 最⼩值是多少?解 ()()()()P AB P A P B P A B =+- =1.3()P A B - .(1) 如果A B B = , 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最⼤值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1,或者A B S = 时, ()P AB 有最⼩值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发⽣的概率.解因为ABCAB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤()=0, 即有()P ABC =0.由概率⼀般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对⽴事件的概率性质知A ,B , C 全不发⽣的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件⼀等品和2件⼆等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( ).(A) 都不是⼀等品. (B) 恰有1件⼀等品. (C) ⾄少有1件⼀等品. (D) ⾄多有1件⼀等品.解⾄多有⼀件⼀等品包括恰有⼀件⼀等品和没有⼀等品, 其中只含有⼀件⼀等品的113225C C C ?, 没有⼀等品的概率为023225C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为(D ).2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) ⾄少有1件次品的概率; (4) ⾄多有1件次品的概率; (5) ⾄少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )⾄少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) ⾄多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) ⾄少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个⽩球和5个⿊球. 现从中任取两个球. 求:(1) 两个球均为⽩球的概率;(2) 两个球中⼀个是⽩的, 另⼀个是⿊的概率; (3)⾄少有⼀个⿊球的概率.解从9个球中取出2个球的取法有29C 种,两个球都是⽩球的取法有24C 种,⼀⿊⼀⽩的取法有1154C C 种,由古典概率的公式知道(1) 两球都是⽩球的概率是2924C C ;(2)两球中⼀⿊⼀⽩的概率是115429C C C ;(3)⾄少有⼀个⿊球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和⼩于6 5;(2) 两数之积⼩于14;(3) 以上两个条件同时满⾜;(4) 两数之差的绝对值⼩于12的概率.解设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-??=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x+=+≈?;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ?+-++-≈0.593.(4) 解设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|012}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-===, 其中 S A , S Ω分别表⽰A 与Ω的⾯积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满⾜P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对⽴事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解由条件概率的定义知选(B ).2. 从1,2,3,4中任取⼀个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取⼀个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813.3. ⼝袋中有b 个⿊球、r 个红球, 从中任取⼀个, 放回后再放⼊同颜⾊的球a 个. 设B i ={第i 次取到⿊球}, 求1234()P B B B B .解⽤乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和⽆放回抽样.4. 甲、⼄、丙三⼈同时对某飞机进⾏射击, 三⼈击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被⼀⼈击中⽽被击落的概率为0.2, 被两⼈击中⽽被击落的概率为0.6, 若三⼈都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解⽬标被击落是由于三⼈射击的结果, 但它显然不能看作三⼈射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表⽰“飞机在⼀次三⼈射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表⽰“恰有i 发击中⽬标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中⽬标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有⼀发击中⽬标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,恰有两发击中⽬标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,恰有三发击中⽬标概率为3()0.40.50.70.14P B =??=.⼜已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===?+?+?=∑5. 在三个箱⼦中, 第⼀箱装有4个⿊球, 1个⽩球; 第⼆箱装有3个⿊球, 3个⽩球; 第三箱装有3个⿊球, 5个⽩球. 现任取⼀箱, 再从该箱中任取⼀球.(1) 求取出的球是⽩球的概率;(2) 若取出的为⽩球, 求该球属于第⼆箱的概率.解 (1)以A 表⽰“取得球是⽩球”,i H 表⽰“取得球来⾄第i 个箱⼦”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品, 其产量分别占全⼚总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取⼀件进⾏检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的⼀件是次品, 问此产品来⾃甲、⼄、丙各车间的概率分别是多少?解设A 表⽰“取到的是⼀件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表⽰“所取到的产品来⾃甲、⼄、丙⼯⼚”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的⼀个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===,12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.0384.=?+?+?=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ?===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ?===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成⽴的是( ).(A) A , B 相互独⽴. (B) A , B 不相互独⽴.(C) A , B 互为对⽴事件. (D) A , B 不互为对⽴事件. 解⽤反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独⽴, 则下⾯的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独⽴. (B) A 与B 独⽴. (C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B ⼀定互斥.解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独⽴. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独⽴, 且0(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B ⼀定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与也相互独⽴, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及⼀般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从⽽本题应选(C).2.设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A BP 是事件A 与B 独⽴的充分必要条件.证由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独⽴, 知事件A 与B 也独⽴, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从⽽()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对⽴事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独⽴.3. 设三事件A , B 和C 两两独⽴, 满⾜条件:,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解根据⼀般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .由题设可知 A , B 和C 两两相互独⽴, ,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====?=从⽽29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4.某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击, 每次射击命中⽬标的概率为p (0解 “第4次射击恰好第2次命中” 表⽰4次射击中第4次命中⽬标, 前3次射击中有⼀次命中⽬标. 由独⽴重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击, 已知甲命中⽬标的概率为 0.7, ⼄命中⽬标的概率为0.8. 求:(1) 甲、⼄两⼈同时命中⽬标的概率;(2) 恰有⼀⼈命中⽬标的概率; (3) ⽬标被命中的概率.解甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击应看作相互独⽴事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=(2)()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总习题⼀1. 选择题:设,,A B C 是三个相互独⽴的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独⽴的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解由于A , B , C 是三个相互独⽴的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另⼀个事件或其逆是相互独⽴的, 根据这⼀性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独⽴的, 因⽽均为⼲扰项, 只有选项(B)正确..2. ⼀批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第⼀次取出后不再放回.求: (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率; (2) 抽得⼀件为正品, ⼀件为次品的概率.解 (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率为9551910099396?=.(1) 抽得⼀件为正品,⼀件为次品的概率为95559519.10099198+= 3. 设有⼀箱同类型的产品是由三家⼯⼚⽣产的. 已知其中有21的产品是第⼀家⼯⼚⽣产的, 其它⼆⼚各⽣产41. ⼜知第⼀、第⼆家⼯⼚⽣产的产品中有2%是次品, 第三家⼯⼚⽣产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取⼀件产品, 求取到的是次品的概率.解从此箱中任取⼀件产品, 必然是这三个⼚中某⼀家⼯⼚的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家⼯⼚⽣产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的⼀个划分. ⼜ P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41,P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某⼚⾃动⽣产设备在⽣产前须进⾏调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功,则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某⽇调整后试⽣产, 发现第⼀个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少?解设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,⽽B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少?解以D 表⽰事件“将信息A 传递出去”,以D 表⽰事件“将信息B 传递出去”,以R 表⽰事件“接收到信息A ”,以R 表⽰事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。

概率论与数理统计第一章课后习题详解

概率论与数理统计第一章课后习题详解

概率论与数理统计习题第一章习题1-1(P 7)1.解:(1)}18,4,3{,⋯=Ω(2)}1|),{22<+=Ωy x y x ((3) {=Ωt |t},10N t ∈≥(本题答案由经济1101班童婷婷提供) 2.AB 表示只有一件次品,-A 表示没有次品,-B 表示至少有一件次品。

(本题答案由经济1101班童婷婷提供) 3.解:(1)A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;(2)2A =“第二次未击中目标”; (3)A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;(4)A 1⋃A 2⋃A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; (5)A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”; (6)A 32A =“第三次击中但第二次未击中”; (7)12A A U =“前两次均未击中”; (8)12A A =“前两次均未击中”;(9)(A 1A 2)⋃(A 2A 3)⋃(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.(本题答案由陈丽娜同学提供)4.解: (1)ABC(2)ABC(3) ABC (4) A U B U C(5) ABC (6) AB BC AC U U (7) A B C U U (8) (AB)U (AC)U (BC)(本题答案由丁汉同学提供)5.解: (1)A=BC(2)A =B C U(本题答案由房晋同学提供)习题1-2(P 11)6.解:设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C =(本题答案由顾夏玲同学提供)7.解: (1)组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈ (2)组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈(3)组成事件(3)所包含的样本点数为337C ,所以P 3=337340C C ≈(4)事件(4)的对立事件,即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ,所以P 4=1-P(A)=337340C C ≈(5)组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+,所以 P 5=2133373340+C C C C ⋅ ≈ (本题答案由金向男同学提供)8.解:(1)组成实验的样本点总数为410A ,末位先考虑有五种选择,首位除去0,有8种选择。

《概率论与数理统计教程》课后习题解答答案1-8章

《概率论与数理统计教程》课后习题解答答案1-8章

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正,, ,记不合格为次,则,,,,,,,,,)()()(){(1913121次正正正正正正正 ,,,,,,,,,)()()()(2924232次正正正正正正正 ,,,,,,,)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正,,,,,, A ){(1次正,,,,)(2次正)}(9次正,,(2)记2个白球分别为1 ,2 ,3个黑球分别为1b ,2b ,3b ,4个红球分别为1r ,2r ,3r ,4r 。

则 {1 ,2 ,1b ,2b ,3b ,1r ,2r ,3r ,4r }(ⅰ) A {1 ,2 } (ⅱ) B {1r ,2r ,3r ,4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示被选学生是三年级学生,事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC 成立? (3)什么时候关系式B C 是正确的? (4) 什么时候B A 成立?解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生,但不是运动员。

(2) C ABC 等价于AB C ,表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品(n i 1)。

用i A 表示下列事件: (1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅仅只有一个零件是不合格品; (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1)ni i A 1; (2) n i i n i i A A 11; (3) n i ni j j j i A A 11)]([ ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为 nji j i jiAA 1,;1.4 证明下列各式:(1)A B B A ; (2)A B B A (3) C B A )()(C B A ; (4) C B A )()(C B A(5) C B A )( )(C A )(C B (6)ni i ni i A A 11证明 (1)—(4)显然,(5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页(1.5)式和(1.6)式的证法。

概率论与数理统计第一章课后答案

概率论与数理统计第一章课后答案

习 题1.11.试判断下列试验是否为随机试验:(1)在恒力的作用下一质点作匀加速运动;(2)在5个同样的球(标号1,2,3,4,5,)中,任意取一个,观察所取球的标号;(3)在分析天平上称量一小包白糖,并记录称量结果.解(1)不是随机试验,因为这样的试验只有唯一的结果.(2)是随机试验,因为取球可在相同条件下进行,每次取球有5个可能的结果:1,2,3,4,5,且取球之前不能确定取出几号球.(3)是随机试验,因为称量可在相同条件下进行,每次称量的结果用x 表示,则有(,)x m m εε∈-+,其中m 为小包白糖的重量,ε为称量结果的误差限.易见每次称量会有无穷多个可能结果,在称量之前不能确定哪个结果会发生.2.写出下列试验的样本空间.(1)将一枚硬币连掷三次;(2)观察在时间 [0 ,t ] 内进入某一商店的顾客人数;(3)将一颗骰子掷若干次,直至掷出的点数之和超过2为止;(4)在单位圆内任取一点,记录它的坐标.解(1)Ω={(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)};(2)Ω={0,1,2,3,……};(3)Ω={(3,4),(5,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.(4)在单位圆内任取一点,这一点的坐标设为(x ,y ),则x ,y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤3.将一颗骰子连掷两次,观察其掷出的点数.令A =“两次掷出的点数相同” ,B =“点数之和为10” ,C =“最小点数为4” .试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点.解A ={(1,1) ,(2,2) ,(3,3) ,(4,4) ,(5,5) ,(6,6)} ;B ={(4,6) ,(5,5) ,(6,4)};C ={(4,4) ,(4,5) ,(4,6) ,(5,4) ,(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B =;ABC =∅AC ={(1,1),(2,2),(3,3),(5,5),(6,6)};C A -={(4,5),(4,6),(5,4),(6,4)};{(5,5)}.BC =4.在一段时间内,某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次,1次,2次,… .记事件k A(k = 1 ,2 ,…)表示“接到的呼唤次数小于k ” ,试用k A 间的运算表示下列事件:(1) 呼唤次数大于2 ;(2) 呼唤次数在5到10次范围内;(3) 呼唤次数与8的偏差大于2 .解 (1) 3A ;(2) 115A A -;(3) 611A A .5.试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件:(1)A 发生而B 不发生;(2)A 不发生但B 、C 至少有一个发生;(3)A 、B 、C 中只有一个发生;(4) A 、B 、C 中至多有一个发生;(5)A 、B 、C 中至少有两个发生;(6)A 、B 、C 不同时发生.解 (1)AB ;(2)()A B C ;(3) ABC ABC A BC ; (4) AB A C BC ; (5)AB BC AC ; (6) ABC6.在某大学金融学院的学生中任选一名学生.若事件A 表示被选学生是女生,事件B 表示该生是大学二年级学生,事件C 表示该生是运动员.(1)叙述ABC 的意义.(2)在什么条件下ABC C =成立?(3)在什么条件下A B ⊂成立?解(1)该生是二年级女生,但非运动员.(2)全学院运动员都是二年级女生.(3)全系男生都在二年级7.化简下列各事件:(1) ()A B A -; (2)()A B B -;(3)()A B A - ;(4)()A B B -(5)()()()A B A B A A ..解.(1) ()A B A A -=; (2) ()A B B A B -= ; (3) ()A B A A B -=- ;(4) ()A B B -=Φ; (5) ()()()()A B A B A B A A B AB ==.习题1.2 1.已知事件A 、B 、AB 的概率分别为0.4,0.3,0.6.求()P A B 解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=2.设1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,1()()16P AC P BC ==,求(1)A 、B 、C 中至少有一个发生的概率;(2)A 、B 、C 都不发生的概率。

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)【精选】

概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)【精选】

概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==(),,,,,,,,;{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======,,,,,,正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C(1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A 与B 发生,C (3) A ,B ,C 都发生; (4) A ,B ,C (5) A ,B ,C 都不发生; (6) A ,B ,C(7) A ,B ,C 至多有2个发生; (8) A ,B ,C 至少有2个发生. 【解】(1) A BC (2) AB C (3) ABC(4) A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B;(2) A B=A∪B;A∩C=AB C;(3) B(4) (AB)( AB)= ∅;(5) 若A⊂B,则A=AB;(6) 若AB=∅,且C⊂A,则BC=∅;(7) 若A⊂B,则B⊃A;(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生,所以A B不发生,从而不成立.A,AB画文氏图如下:(3)不成立.B所以,若Α-B发生,则AB发生, A B不发生,故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A AB ⊂,则事件Α∪B 发生.若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7, (1) 在什么条件下P (AB(2) 在什么条件下P (AB【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0,P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )=14+14+13-112=347.52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8.(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1-P (A 1)=1-(17)59. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率. (1) n 件是同时取出的; (2)n (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种,从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n 种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n -m 次取得次品,每次都有N -M 种取法,共有(N -M )n -m 种取法,故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,…,9). 【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=?19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1. (1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23.P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.97=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n≤故n ≥1lg8=11.07,至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =,即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为151314,求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1.写出下列随机试验的样本空间.(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分);(2)一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3个球;(3)某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击的次数;(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解:(1)}100,,2,1{ =Ω;(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω;(3)},2,1{ =Ω;(4)}|),{(22y x y x +=Ω.2.在}10,,2,1{ =Ω,}432{,,=A ,}5,4,3{=B ,}7,6,5{=C ,具体写出下列各式:(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)BC A ;(5)C B A .解:(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ,}5{=B A ;(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ;(3)法1:}10,9,8,7,6,2,1{=B ,}10,9,8,7,6,1{=B A ,}5,4,3,2{=B A ;法2:}5,4,3,2{===B A B A B A ;(4)}5{=BC ,}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ,}4,3,2{=BC A ,}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ;(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ,{1,8,9,10}=C B A .3.设}20|{≤≤=Ωx x ,}121|{≤<=x x A ,}2341|{≤≤=x x B ,具体写出下列各式:(1)B A ;(2)B A ;(3)AB ;(4)B A .解:(1)B B A = ,}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ;(2)=B A ∅;(3)A AB =,}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ;(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A .4.化简下列各式:(1)))((B A B A ;(2)))((C B B A ;(3)))((B A B A B A .解:(1)A B B A B A B A ==)())(( ;(2)AC B C A B C B B A ==)())((;(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(.5.A ,B ,C 表示3个事件,用文字解释下列事件的概率意义:(1)C B A C A C B A ;(2)BC AC AB ;(3)(C B A ;(4)BC AC AB .解:(1)A ,B ,C 恰有一个发生;(2)A ,B ,C 中至少有一个发生;(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生;(4)A ,B ,C 中不多于一个发生.6.对于任意事件A ,B ,证明:Ω=-A B A AB )(.证:A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A .7.把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件.解:)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =.8.设0)(>A P ,0)(>B P ,将下列5个数)(A P ,)()(B P A P -,)(B A P -,)()(B P A P +,)(B A P 按有小到大的顺序排列,用符号“≤”联结它们,并指出在什么情况下可能有等式成立.解:因为0)(>A P ,0)(>B P ,)()(B P AB P ≤,故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ,所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- .(1)若A B ⊂,则有)()()(B A P B P A P -=-,)()(B A P A P =;(2)若=AB ∅,则有)()(A P B A P =-,)()()(B P A P B A P += .9.已知B A ⊂,3.0)(=A P ,5.0)(=B P ,求)(A P ,)(AB P ,)(B A P 和)(B A P .解:(1)7.0)(1)(=-=A P A P ;(2)∵B A ⊂,∴A AB =,则3.0)()(==A P AB P ;(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ;(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P .10.设有10件产品,其中6件正品,4件次品,从中任取3件,求下列事件的概率.(1)只有1件次品;(2)最多1件次品;(3)至少一件次品.解:从10件产品中任取3件,共有310C 种取法,(1)记=A {从10件产品中任取3件,只有1件次品},只有1件次品,可从4件次品中任取1件次品,共14C 中取法,另外的两件为正品,从6件正品中取得,共26C 种取法.则事件A 共包含2614C C 个样本点,21)(3102614==C C C A P .(2)记=B {从10件产品中任取3件,最多有1件次品},=C {从10件产品中任取3件,没有次品},则C A B =,且A 与C 互不相容.没有次品,即取出的3件产品全是正品,共有36C 种取法,则61)(31036==C C C P ,32)()()()(=+==C P A P C A P B P .(3)易知=C {从10件产品中任取3件,至少有1件次品},则65)(1(=-=C P C P .11.盒子里有10个球,分别标有从1到10的标号,任选3球,记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.解:从10个球中任选3球,共有310C 种选法,(1)记=A {从10个球中任选3球,最小标号为5},事件A 发生,则选出球的最小标号为5,另外两个球的标号只可从6,7,8,9,10这5个数中任选,共有25C 种选法,则121)(31025==C C A P .(2)记=B {从10个球中任选3球,最大标号为5},事件B 发生,则选出球的最大标号为5,另外两个球的标号只可从1,2,3,4这4个数中任选,共有24C 种选法,则201)(31024==C C B P .12.设在口袋中有a 个白球,b 个黑球,从中一个一个不放回地摸球,直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止.求最后是白球留在口袋中的概率.解:设=A {最后是白球留在口袋中},事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来,最后摸到的是白球,此概率显然为ba a A P +=)(.13.一间学生寝室中住有6位同学,假定每个人的生日在各个月份的可能性相同,求下列事件的概率:(1)6个人中至少有1人的生日在10月份;(2)6个人中有4人的生日在10月份;(3)6个人中有4人的生日在同一月份.解:设=i B {生日在i 月份},则=i B {生日不在i 月份},12,,2,1 =i ,易知121)(=i B P ,1211)(=i B P ,12,,2,1 =i .(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份},则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份},66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ;(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份},则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ;(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份},则52112121115)()(⋅==C P C D P .14.在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比,求任意画的弦的长度大于R 的概率.解:设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ,已知,当R x 23<,弦长大于半径R ,从而所求的概率为232232=⋅=R R P .15.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的,如果甲船的停泊时间是1h ,乙船的停泊时间是2h ,求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解:设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出},则=A {一艘船到达泊位时必须等待},分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间,则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ,从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ;8993.0)(1)(≈-=A P A P .16.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,问由甲射中的概率为多少?解:设=A {甲击中目标},=B {乙击中目标},=C {目标被击中},则B A C =,由题设知A 与B 相互独立,且6.0)(=A P ,5.0)(=B P ,所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ,从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P .17.某地区位于河流甲与河流乙的汇合点,当任一河流泛滥时,该地区即被淹没,设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1,河流乙泛滥的概率是0.2,又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3,求在该时期内这个地区被淹没的概率,又当河流乙泛滥时,引起河流甲泛滥的概率是多少?解:=A {甲河流泛滥},=B {乙河流泛滥},=C {该地区被淹没},则B A C =,由题设知1.0)(=A P ,2.0)(=B P ,3.0)|(=A B P ,从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ,15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .18.设n 件产品中有m 件不合格品,从中任取两件,已知两件中有一件不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:设=A {有一件产品是不合格品},=B {另一件产品也是不合格品},=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品},2,1,0=i ,显然,21D D A =,=21D D ∅,2D B AB ==.=Ω{从n 件产品种任取两件},共有2nC 种取法;若1D 发生,即取出的两件产品中有1件不合格品,则该不合格品只能从m 件不合格品中取得,共有1m C 种取法;另一件为合格品,只能从m n -件合格品中取得,共有1m n C -种取法,则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点,)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ,类似地,)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ,所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ,)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ,于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P .19.10件产品中有3件次品,每次从其中任取一件,取出的产品不再放回去,求第三次才取得合格品的概率.解:设=i A {第i 次取得合格品},3,2,1=i ,则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P .20.设事件A 与B 互不相容,且1)(0<<B P ,证明:)(1)(|(B P A P B A P -=.证:∵事件A 与B 互不相容,则0)(=AB P ,)(1)()(1)()()(1)()()()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==.21.设事件A 与B 相互独立,3.0)(=A P ,45.0)(=B P ,求下列各式的值:(1))|(A B P ;(2))(B A P ;(3)(B A P ;(4)|(B A P .解:∵事件A 与相互独立,∴事件A 与B 也相互独立,(1)45.0)()|(==B P A B P ;(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=;(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ;(4)7.0()|(==A P B A P .22.某种动物活到10岁的概率为0.92,活到15岁的概率为0.67,现有一只10岁的该种动物,求其能活到15岁的概率.解:设=A {该种动物能活到10岁},=B {该种动物能活到15岁},显然A B ⊂,由题设可知92.0)(=A P ,67.0)(=B P ,所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P .23.某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产,其中甲厂的产品占60%,乙厂的产品占40%,已知甲厂产品的次品率为4%,乙厂的次品率为5%.一位顾客随机地取出一个电灯泡,求它是合格品的概率.解:设=A {电灯泡是次品},=1B {电灯泡由甲厂生产},=2B {电灯泡由乙厂生产},则=A {电灯泡是合格品}.由题设可知6.0)(1=B P ,4.0)(2=B P ,04.0)|(1=B A P ,05.0)|(2=B A P ,044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ,所以956.0)(1)(=-=A P A P .24.已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解:设=A {选出的人是色盲患者},=B {选出的人是男性},=B {选出的人是女性},由题设可知21()(==B P B P ,05.0)|(=B A P ,0025.0)|(=B A P ,则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P .25.甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击,设甲、乙、丙命中率分别为0.4,0.5和0.7,又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2,0.6和1.现三人向敌机各射击一次,求敌机坠毁的概率.解:设1A ,2A ,3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机,=i B {敌机被击中i 次},3,2,1=i ,=C {敌机坠毁},则3213213211A A A A A A A A A B =,3213213212A A A A A A A A A B =,3213A A A B =,由题设可知4.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P ,则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=,类似地,51.0)(2=B P ,14.0)(3=B P ,由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P .26.三人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为51,31和41.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解:分别设事件A ,B ,C 为甲、乙、丙破译密码,则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ,有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=.27.甲袋中装有n 只白球、m 只红球,乙袋中装有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球,问取到白球的概率是多少?解:设=A {从甲袋中取出白球},=B {从乙袋中取出白球},则由题设可知m n n A P +=)(,m n m A P +=(,11)|(+++=M N N A B P ,1|(++=M N N A B P ,由全概率公式,得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n .28.从区间)1,0(内任取两个数,求这两个数的和小于1.2的概率.解:设x 和y 分别为所取的两个数,显然10≤≤x ,10≤≤y ,即试验的样本空间为边长为1的单位正方形,记}2.1|),{(<+=y x y x A ,由几何概型,有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P .29.一个系统由4个元件联结而成(如图),每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r ),假设各个元件独立地工作,求系统的可靠性.解:设=i A {第i 个元件能正常工作},4,3,2,1=i ,=B {系统能正常工作},则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==,由题知r A P i =)(,i A 相互独立,4,3,2,1=i ,所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=.30.某篮球运动员投篮命中的概率为0.8,求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率.解:设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次},=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数},5,,1,0 =i ,则由题可知5432B B B B A =,10B B A =,i B 互不相容,5,,1,0 =i ,所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C .31.设概率统计课的重修率为5%,若某个班至少一人重修的概率不小于0.95,1324问这个班至少有多少名同学?解:设该班有n 名同学,=A {该班每名同学概率统计课重修},=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修},=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修},则 ni i n B B B B C 121===,0B C =,由题可知05.0)(=A P ,n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=,由题意,应有95.095.01=-n ,解得59=n .32.某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6,求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率.解:设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上},=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏},3,2,1,0=i ,=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏},则10B B C =,由题知6.0)(=A P ,i B 互不相容,3,2,1,0=i ,所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P .33.甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6,每人投篮3次,求:(1)二人进球数相等的概率;(2)甲比乙进球数多的概率.解:设=A {甲篮球运动员投篮命中},=B {乙篮球运动员投篮命中},=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次},3,2,1,0=i ,=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次},3,2,1,0=i ,=C {甲、乙进球数相等},=D {甲比乙进球数多},由题可知A 与B 相互独立,i A 相互独立,i B 相互独立,i A 与i B 相互独立,7.0)(=A P ,6.0)(=B P ,i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(,i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(,3,2,1,0=i ,(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=;(2)3310201)(B A B B A B A D =,从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=.34.若三事件A ,B ,C 相互独立,证明:B A 及B A -都与C 相互独立.证:(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立.(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=,所以B A -与C 相互独立.35.设袋中有1个黑球和1-n 个白球,每次从袋中随机摸出一球,并放入一个白球,连续进行,问第k 次摸到白球的概率是多少?解:设=A {第k 次摸到白球},=A {第k 次摸到黑球},A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球,第k 次摸到的是黑球.前1-k 次摸球,每次摸到白球的概率均为n n 1-,第k 次摸到黑球的概率为n 1,每次摸球相互独立,可知nn n A P k 1)1()(1⋅-=-,则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-.。

概率论与数理统计第一章习题参考答案

概率论与数理统计第一章习题参考答案

1第一章 随机事件及其概率1.解:(1){}67,5,4,3,2=S (2){} ,4,3,2=S (3){} ,,,TTH TH H S =(4){}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2.解:81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3.解:用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解:用A 表示事件“取到的三位数是奇数”,用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482)455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解:用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球,只白球,11只红球,只红球,11只黑球”, 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”, 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” (1)412131425)(C C C C A P ==495120=338(2)4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P(3)99749535)(41247===CC C P6.解:用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解:用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”,用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” (1)3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P(2)31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P(1)313.01.0)()()(===B P AB P B A P ,515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P(2)设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解: 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”,用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ,61)(2422==C C B P ,61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解:、解:A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”,用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得,%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P (1)B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P (2)1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P(3)2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P(4)17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P(5)3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解:用、解:用A 表示事件“任取6张,排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解:用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”,用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P (1),B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P(2)()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P(3)B A AB B =, B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解:用、解:用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”,,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ,9999.0)(2=A B P ,,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解:用A 表示事件“确实患有关节炎的人”,用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ,85.0)(=A B P ,04.0)(=A B P , 则9.0)(=A P ,85.0)(=A B P ,96.0)(=A B P , 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解:用、解:用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”,B 表示事件“程序交与打字机B 打字”, C 表示事件“程序交与打字机C 打字”;D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ,3.0)(=B P ,1.0)(=C P ; 01.0)(=A D P ,05.0)(=B D P ,04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解:用、解:用A 表示事件“收到可信讯息”,B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ,05.0)(=A P ,1)(=A B P ,001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解:用、解:用A 表示事件“第一次得H ”,B 表示事件“第二次得H ”, C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ,)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解:用、解:用A 表示事件“运动员A 进球”,B 表示事件“运动员B 进球”, C 表示事件“运动员C 进球”,由已知得由已知得5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,6.0)(=C P 则5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=C P (1){})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= (C B A C B A C B A ,,互斥)互斥) )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立)C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=(2){})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= (C B A BC A C AB ,,互斥)互斥) )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立)C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= (3){})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立)C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解:用、解:用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”, ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥,i A ( ,3,2,1=i )相互独立)相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解:设、解:设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ,B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1:54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2:)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解:令、解:令A :“产品真含杂质”,A :“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ,6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15(1){}2501.08.02.03123315=´==C X P(2){}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P(3){}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P(4){}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大,P 很小,所以利用)8(p 近似地~X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k(2){}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P(3)64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P(4)271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ,则,则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解:、解: (1){}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P(2)Y~b(10,275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10(3){}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12(1)由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解:{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ,¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时,(X ,Y )联合分布律为)联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ,}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D :xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD :xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、(1)61)2(122=-=òdx x x s , îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f(2)îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、(1)Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501(2)D :+¥<£+¥<£y x x 0或:yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、(1)Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq(2){}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD :1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|,当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时,1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时,当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、(1)X Y =,当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时,)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时,当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为(2))21(+=X Y ,当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时,1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时,当时,当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y(3)2X Y =,当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时,)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时,当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立,且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知,22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时,当时,当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时,当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X , íì<<=其他,010,1)(y y f Y ,ïïîïïí죣-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解(1)()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïí죣=ïîïí죣==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY(2)()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z(3)()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、(1)ïîïíì<<=其他率密度为)上服从均匀分布,概,在(,00,1)(10l x lx f X X(2)两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、(1)U 的可能取值是0,1,2,31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0,1,2,3,4,5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数,为取到的电视机中包含的次品数, 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、(1)由}6{}5{===X P X P ,则,则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ,故6)(==l X E(2)由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛,则)(X E 不存在。

概率论与数理统计第一章总习题答案

概率论与数理统计第一章总习题答案

概率论与数理统计课后习题答案第一章总习题1.填空题(1)假设B A ,是两个随机事件,且B A AB ⋅=,则()A B =U ,()=AB ;解:AB A B AB A B =⋅⇔= 即AB 与A B U 互为对立事件,又AB A B ⊂U 所以()(),.AB A B A B AB A B AB Ω==∅==(2)假设B A ,是任意两个事件,则()()()()()P A B A B A B A B ⎡⎤=⎣⎦ .解:()()()()()()P A⎡=⎣()()0P B==.(3).已知41)()()(===C P B P A P , 0)(=AB P , 161)()(==BC P AC P 。

则事件A 、B 、C 全不发生的概率为解:所求事件的概率即为()P ABC ,又,ABC AB ⊂从而()()00,P ABC P AB ≤≤=则()0P ABC =,所以()()()1P ABC P A B C P A B C ==-()()()()()()()31311.488P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =---+++-=-+=2.选择题(1)设8.0)(=A P ,7.0)(=B P ,()8.0=B A P ,则下列结论正确的是().(A )事件A 与事件B 相互独立;(B )事件A 与事件B 互逆; (C )A B ⊃;(D )()()()P A B P A P B =+ .解:因为()56.0)()(==B A P B P AB P ,而56.0)()(=B P A P ,即)()()(B P A P AB P =,所以事件A 与事件B 相互独立,选(A ).(2)设B A ,为两个互逆的事件,且0)(>A P ,0)(>B P ,则下列结论正确的是().(A )()0>A B P ;(B )())(A P B A P =;(C )()0=B A P ;(D ))()()(B P A P AB P =. 解:因为B A ,为两个互逆的事件,所以当事件B 发生时,事件A 是不会发生的,故()0=B A P .选(C ).(3)设1)(0<<A P ,1)(0<<B P ,()()1=+B A P B A P ,则下列结论正确的是().(A )事件A 与事件B 互不相容;(B )事件A 与事件B 互逆; (C )事件A 与事件B 不互相独立;(D )事件A 与事件B 互相独立.解:因为()()()()()()()()()()1111P A B P A B P AB P AB P A B P A B P B P B P B P B⋅+=⇔+=⇔+=-()()()()()()()()()()111111P AB P A B P AB P A P B P AB P B P B P B P B ---+⇔+=⇔+=⇔-- ()()[]()()()()[]()()[]⇔-=+--+-B P B P AB P B P A P B P B P AB P 111)()()(B P A P AB P =,所以事件A 与事件B 互相独立.选(D ).3.从五双不同的鞋子中任取四只,求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解:此题考虑逆事件求解比较方便,即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”,则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-=2113=.4.(找次品问题)盒中有4只次品晶体管,6只正品晶体管,随机地抽取一只进行测试,直到4只次品晶体管都找到为止,求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解:设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ,则所求概率为:()54321543215432154321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ()()()()()432153214213121A A A A AP A A A AP A A A P A A P A P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+61768293104617286931046172839610461728394106⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5.(讨论奖金分配的公平性问题)在一次羽毛球比赛中,设立奖金1000元.比赛规定:谁先胜三盘,谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当,现已打了三盘,甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解:应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金,于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制,比赛已打三盘,甲胜两盘,甲若再胜一盘即可获胜.甲获胜的预期概率为:()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P .于是,甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元,乙分得250元.6.(彩票问题) 一种福利彩票称为幸福35选7,即从01,02,…,35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中奖规则如下表所示.(1)试求各等奖的中奖概率(1,2,,7);i p i = (2) 试求中奖的概率.解:(1) 因为不重复地选号码是一种不放回抽样,所以样本空间Ω含有735C 个样本点.要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取:第一类号码:7个基本号码; 第二类号码:1个特殊号码; 第三类号码:27个无用号码。

《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1

《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1
解:令,即 ,即
13. 乘以什么常数将使变成概率密度函数? 解:令
即 即 14. 随机变量,其概率密度函数为
() 试求;若已知,求.
解:
, 若,由正态分布的对称性 可知 .
15. 设连续型随机变量的概率密度为 以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数,试求概率.
解: 。
16. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布,试求. 如果 (1); (2). 解:的概率密度为 (1) (2) 17. 设顾客排队等待服务的时间(以分计)服从的指数分布。某顾
(1)
(2) 3. 从家到学校的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的 概率是相互独立的,且概率均是0.4,设为途中遇到红灯的次数,试求 (1)的概率分布; (2) 的分布函数。 解: (1) 列成表格
(2) 4. 试求习题1.3中第11题的分布函数,并画出
的曲线。 解:
5. 设连续型随机变量的分布函数为 试求:(1)的值; (2); (3)概率密度函数.
7. 已知事件相互独立,求证与也独立。 证明:因为、、相互独立,
与独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照
顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需 要工人照顾的概率。
解: 令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾, 那么 令表示最多有一台机床需要工人照顾, 那么
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中 出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试 求
(1)的概率分布; (2)。 解: (1) (2) 5. 一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中有1个答 案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少? 解:因为学生靠猜测答对每道题的概率为,所以这是一个,的独立重 复试验。
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概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==(),,,,,,,,;{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======,,,,,,正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C(1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A 与B 发生,C (3) A ,B ,C 都发生; (4) A ,B ,C (5) A ,B ,C 都不发生; (6) A ,B ,C(7) A ,B ,C 至多有2个发生; (8) A ,B ,C 至少有2个发生. 【解】(1) A BC (2) AB C (3) ABC(4) A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B;(2) A B=A∪B;A∩C=AB C;(3) B(4) (AB)( AB)= ∅;(5) 若A⊂B,则A=AB;(6) 若AB=∅,且C⊂A,则BC=∅;(7) 若A⊂B,则B⊃A;(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生,所以A B不发生,从而不成立.A,AB画文氏图如下:(3)不成立.B所以,若Α-B发生,则AB发生, A B不发生,故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A AB ⊂,则事件Α∪B 发生.若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1P (AB )=1[P (A )P (AB )]=1[0.70.3]=0.65.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7, (1) 在什么条件下P (AB(2) 在什么条件下P (AB【解】(1) 当AB =A 时,P (AB )取到最大值为0.6.(2) 当A ∪B =Ω时,P (AB )取到最小值为0.3.6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0P(AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)=517=(17)5(亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P (A 2)=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P (A 3)=1P (A 1)=1(17)59. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n <N ).试求其中恰有m 件(m ≤M )正品(记为A )的概率. (1) n 件是同时取出的; (2)n (3) n 件是有放回逐件取出的.【解】(1) P (A )=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P nN 种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种,从NM 件次品中取nm 件的排列数为P n mN M --种,故P (A )=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成P (A )=C C C m n mM N Mn N--可以看出,用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为N n种,n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m 次取得正品,都有M 种取法,共有M m 种取法,n m 次取得次品,每次都有N M 种取法,共有(N M )n m 种取法,故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型,共做了n 重贝努里试验,每次取得正品的概率为MN,则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,…,9).【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}(i =2,3),显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽},(i =1,2)(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.(1) 问正好在第6次停止的概率;(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】(1) 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球},i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨},B ={下雪}.(1) ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === (2) ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=?19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】 设A ={其中一个为女孩},B ={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设A ={此人是男人},B ={此人是色盲},则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于65的概率; (2) 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ,则0<x ,y <1.(1) x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23.P (A )=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5,求P (B |A ∪B )【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球},i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A ={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P (B |A )=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,试问原发信息是A 的概率是多少?【解】 设A ={原发信息是A },则={原发信息是B }C ={收到信息是A },则={收到信息是B } 由贝叶斯公式,得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子【解】设A i ={箱中原有i 个白球}(i =0,1,2),由题设条件知P (A i )=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品},B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A ={该客户是“谨慎的”},B ={该客户是“一般的”},C ={该客户是“冒失的”},D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}(i =1,2,3,4).412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故n ≥1lg8=11.07,至少必须进行11次独立射击. 32.证明:若P (A |B )=P (A |B ),则A ,B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =,即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为151314,求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}(i =1,2,3),则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落},B i ={恰有i 人击中飞机},i =0,1,2,3由全概率公式,得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。

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