传染病模型和sars的传播数学建模姜启源
关于SARS传播和影响的数学模型
关于SARS传播和影响问题的模型摘要本文首先采用Logistic模型、人工神经网络两个方法对SARS疫情公布的数据进行分析挖掘后，建立了不同的传染病模型来对疫情的变化趋势给出预测，从而为预防控制提供了可靠、足够的信息。
然后又考虑到证券市场被视为国民经济的晴雨表，因此在收集医药类、交通运输类等行业的股票价格的基础上，分别使用“事件分析法”、Markov 链建立数学模型对SARS给股市的影响进行分析预测。
在对早期模型进行合理性与实用性评价的基础上，对它的参数确定方法进行改进，消除了对港粤地区经验性数据的依赖，建立的二阶Logistic回归模型能就本地已知数据预测疫情发展趋势，给出预测值并拟合出疫情走势图。
并且该模型的决定系数R2高达99.02%，这表明预测值与实际值无显著性差异，拟合效果很好。
由疫情走势图可推算出发病高峰为4月29日及持续时间，且能体现出预防措施对疫情走势有明显的影响，也即随着预防指数K(t)的增大，累计发病人数N(t)趋于稳定。
因此该模型可为疾病的预防和控制提供有效的信息。
又考虑到本问题是一个动态预测问题，故建立了误差逆传播神经网络模型(BP,Back-Propagation)。
经过理论分析和多次实验确定其为三层结构的BP网络模型，节点数分别为（5，6，5），激励函数为双曲正切函数。
该模型能够根据前五天的累计患者数预测出未来五天的累计患者数。
首先，将已知65个数据分为13组，分别作为网络的输入、输出端输入网络，进行学习。
然后，用训练过的网络预测未知数据，正确率达99.9%以上。
最后，考虑到网络初值对模型灵敏度的影响，提出了初始化的合理建议，并将其与早期模型进行了比较。
在分析SARS对证券市场的影响时，由于这是一个突发事件，缺乏历史数据，所以SARS对股市产生的影响很难用传统的计量模型进行分析，因而采用“事件分析法”对其进行研究：利用一个相对短时期的股票价格的变化情况来分析和衡量该事件的影响程度。
数学模型 姜启源
r是x的减函数
假设 r(x)rsx (r,s0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r(xm) 0
s r xm
r(x) r(1 x ) xm
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dxr(x)xrx(1 x)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型
•二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学建模的一般步骤
《数学模型》 姜启源 主编
周次
节次
1 五 5－6
2 五 5－6
3 五 5－6 4 五 5－6 5 五 5－6 6 五 5－6
7 五 5－6 8 五 5－6
数学模型
教学进度
教学内容
1.1-1.5数学模型的介绍 1.6数学模型的基本方法步骤、特点
和分类
2.1公平的席位分配(讨论课) 2.2录像机计数器的用途 2.3双层玻璃的功效
SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文1
SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文SARS 传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到SARS 传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计2514 人，与实际情况比较吻合. 应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：早发现，早隔离能有效减少累计患病人数；严格隔离能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常. 最后给当地1/ 2报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的影响. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足...。
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
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8
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第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
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数学模型
数学模型
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《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
姜启源编数学模型第四版
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力. • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比. • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t).
x(t) f (x, y) x u(t), 0
tm~传染病高潮到来时刻
tm
1
ln
1 i0
1
t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
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模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di
dt
i(1 i)
i
i[i (1 1 )]
i(0) i0
/
~ 日接触率 1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
第7页/共76页
模型3
di/dt
di i[i (1 1 )]
dt
接触数 (感染期内每个
病人的有效接触人数)
i
i
>1
i0
>1
1
1-1/
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
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模型2
i
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
Logistic 模型
1
i(t)
毕业设计sars的传播数学建模论文
SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。
得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR 模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。
我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。
由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。
于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。
）进一步完善了我们的模型。
本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。
从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。
一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。
而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。
二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。
模型的假设：1 将人群分为三类易感染者人数（疑似病例）：用S表示；病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人数为N，此时I，R均为0。
sars的传播2003数学建模题目
sars的传播2003数学建模题目在2003年，严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndrome，简称SARS）的爆发引起了全球范围内的恐慌。
为了更好地了解SARS的传播特点和控制措施，我们可以应用数学建模的方法来分析SARS的传播规律，并提出相关的应对策略。
1. SARS的传播模型为了探究SARS的传播规律，我们可以采用传染病的基本传播模型——SIR模型。
SIR模型将人群分为三类：易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
根据该模型，我们可以列出如下的微分方程：dS/dt = - βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，S，I和R分别表示易感者、感染者和康复者的数量；β表示传染率；γ表示康复率。
2. 参数估计与模型拟合要对SARS的传播模型进行参数估计和模型拟合，我们需要收集大量的疫情数据。
通过对实际数据进行统计学分析，我们可以获得β和γ的估计值，并将其代入SIR模型方程中进行模型拟合。
通过与实际数据的对比，我们可以评估模型的拟合效果以及参数的准确性。
3. 传播速率和传播方式SARS的传播速率直接影响到其传播范围和传播强度。
在SARS爆发期间，我们可以通过统计病例的增长速率来估计SARS的传播速率。
此外，研究发现，SARS主要通过空气飞沫传播，在密闭环境中飞沫的传播距离较远，因此需要采取相应的防控措施，如戴口罩、保持良好的通风等。
4. 人群的易感性和免疫力SARS的传播过程中，人群的易感性和免疫力起着重要的作用。
通过研究易感者和感染者的流行病学数据，我们可以了解人群的易感性和免疫力对于传播过程的影响。
同时，针对易感者的接种疫苗和提高人群的免疫力也是有效控制SARS传播的策略之一。
5. 社会干预措施的效果评估为了控制SARS的传播，社会干预措施起到了至关重要的作用。
例如，早期的病例隔离、密切接触者的追踪和隔离、社交距离的维持等都可以有效降低SARS的传播风险。
SARS传播模型
SARS 传播模型摘 要：本文中我们对北京地区4月20日-6月8日的SARS 疫情数据进行了分析处理，把北京地区 SARS 疫情分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）。
由于医务人员人群是SARS 病的高发人群，所以我们在本文的模型中把病人人群分为医务人员病人人群和非医务人员病人人群。
通过分析文中附件1的数据，我们建立了两个时期SARS 传播的微分方程模型，并得到了模型的解，感染期模型的解为：aa q p p t u q t pu t u C t i )24)(())()(()(2212--+++=-，恢复期模型的解为：)(1)(220t u k k z d C t i -+-=。
从模型解的曲线与实际数据的比较，我们发现该模型的解与实际数据是非常吻合的。
关键词：SARS ，三次样条插值，高次多项式拟合0. 引 言SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是一种新的、传染性很强的疾病，它在我国部分地区的暴发与蔓延，严重威胁了人民的健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。
我们从整个抗击SARS 的斗争中得到了许多重要的经验和教训，同时也认识到定量地研究传染病的传播规律、预测传染病发展趋势的必要性和重要性。
1. 问题分析由于SARS 主要是通过近距离的飞沫传播，与病人有过密切接触的人群就很可能被感染，成为SARS 病人，所以我们在模型里假设健康者只要与病人接触，则感染为病人，且由于医务人员每天都直接与病人接触，所以医务人员人群是SARS 病的高发人群，其主要是被住院的病人传染。
而普通病人即非医务人员的病人，主要是由一些病人在发病后未及时被隔离治疗而与健康人接触，并使其感染病毒，因此我们在模型里把病人分为医务人员病人和普通病人。
同时临床统计数据表明SARS 病的潜伏期为2-12天，一般在4-5天，治愈后的病人没有出现再次患病现象，所以我们也假定治愈后的病人具有免疫力。
数学建模传染病模型
传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。
而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。
并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。
运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。
同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。
关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率1问题的重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件1提供的数据供参考。
3)说明建立传染病数学模型的重要性。
2 定义与符号说明N …………………………………表示为SARS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数；L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数；dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数；N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数；t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。
数学模型第四版课后答案姜启源版
《数学模型》作业答案第二章(1)（2012年12月21日）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， 方法一（按比例分配）分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 第10个席位：计算Q 值为3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p中选较大者，可使对所有的,i iin p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：令0=dTdC， 解得 rc c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00QC TC， 得到驻点：与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况. 解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：⋅-TT r k c 022)( 又 ∴ T =0kTT r k r 2)(⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的.总费用函数()x c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b kc b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t T T t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为又 t q t q β+=0)(.于是总利润为=22)(022)(20222011T T t t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: 在销售期T 内的总销量为 于是得到如下极值问题： 利用拉格朗日乘数法，解得： 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）;每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++= 令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小.又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100kk T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克, B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝70以及x=0,y=0 直线l ：20x+30y=c 在可行域内 平行移动.易知：当l 过1l 与2l 1l x S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s （2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs （2）().00.1-s ,1,1dtdit s s σσσ从而则若 4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A()()()tab tab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而 (1) ()().231000202011y a b y a bx ay akt y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x e y x t ab -+==得. .43ln ,3121bt e t ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为()(),,0t x t f 中心室药量为(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()0t f =(2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得 (3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010t k e D k t f -=3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ 求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbla eb a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--v bl a vbl e e ba vaw Q 1'21'04 4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A()()()tab tab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而 (1) ()().231000202011y a b y a bx ay akt y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x e y x t ab -+==得. .43ln ,3121bt e t ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点； ②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNh N x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22Nx > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0Nx =2N．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln'=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同． 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.由前面的结果可得 h =r Er E e r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h . 10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x .解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrxr N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定；③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N xrx h -=， 易得 2*0N x =此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较. （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ 特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则 即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为： 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23 =+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则 对（7）作变换：,12αβμλ-= 则其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3）上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4）当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()T nk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有 ()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次. 解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为令()T e 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()TAe S 3,2,1,2,21==，()()()TAS S 5,4,2,3,412==，()()()TAS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()T S 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0=数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2.策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为 当mn2较小，1 n 时，有E D -=1 ， mn E 4≈ ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为n q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npq q m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ） ∴此时传送带效率公式为 ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- 当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：由上知：mnE 4≈，226'm n E ≈ ∴ mn E E 32/'=，当n m 时，132 m n， ∴ E E '．所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10=当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章 1. 原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数学模型如地图、电路图符号模型如某一操作思维模型抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型2. 数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中着名的牛顿第二定律使用公式22dt xd mF =来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口()t N随时间t 自由增长过程的微分方程()()t rN dtt dN =.3. 数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：4.数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧再生资源利用模型水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型人口模型b. 按建模的数学方法分类数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧规划论模型概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型初等数学模型c. 按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧控制模型决策模型优化模型预报模型分析模型描述模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验e.n 阶正互反正A 是一致阵的充要条件为A 的最大特征值为nf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使()()000==θθg f .模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使()()000=-θθg f .又因为[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f .故()()000==θθg f .9． （1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示 ，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，。
数学模型第五版姜启源
数学模型第五版姜启源简介数学模型是一门研究数学与实际问题应用的学科。
姜启源教授的《数学模型》系列教材是广大数学爱好者和学习者的宝贵资料。
本文将介绍数学模型第五版姜启源的内容和特点。
内容概述数学模型第五版姜启源这本书主要涵盖了以下方面的内容：1.数学模型的基本概念：介绍数学模型的定义、分类以及数学模型构建的基本步骤。
2.线性规划：介绍线性规划的基本概念、线性规划模型的建立和求解方法，以及线性规划在实际问题中的应用。
3.整数规划：介绍整数规划的基本概念、整数规划模型的建立和求解方法，以及整数规划在实际问题中的应用。
4.图论与网络优化：介绍图论的基本概念、常见图论模型的建立和求解方法，以及图论在实际问题中的应用。
5.随机模型：介绍随机模型的基本概念、常见随机模型的建立和求解方法，以及随机模型在实际问题中的应用。
6.动态规划：介绍动态规划的基本概念、动态规划模型的建立和求解方法，以及动态规划在实际问题中的应用。
特点分析数学模型第五版姜启源具有以下几个特点：综合性本书对数学模型的研究内容进行了系统的整理和，包括线性规划、整数规划、图论与网络优化、随机模型以及动态规划等多个方面。
这使得读者能够从不同角度了解数学模型的应用领域和解决方法。
理论与实践结合本书不仅介绍了数学模型的理论基础，还结合实际问题进行案例分析和求解过程。
通过实际案例的引入，读者能够更好地理解数学模型和解决实际问题的方法。
解题思路明确本书对每一类数学模型都给出了清晰的解题思路和求解方法，从数学模型的建立到求解过程，都有详细的讲解和示例演示。
这有助于读者掌握解题的方法和技巧，提高数学建模能力。
应用广泛性数学模型是一门跨学科的学科，本书所涉及的数学模型方法和应用领域非常广泛，适用于工科、理科以及经济管理等多个领域。
，无论是学生还是研究者，都能从本书中获得实用的知识。
数学模型第五版姜启源是一本内容丰富、方法全面的数学模型教材。
它系统地介绍了数学模型的基本概念、建立方法和求解技巧，以及在实际问题中的应用。
传染病的传播模型与传染源溯源
传染病的传播模型与传染源溯源传染病一直是人类社会面临的重要公共卫生问题之一。
了解传染病的传播模型以及溯源传染源，对于预防和控制传染病具有重要意义。
本文将从传染病的传播模型和传染源溯源两个方面展开论述。
一、传染病的传播模型传染病的传播模型是研究传染病传播规律的抽象数学模型。
以下列举了几种常见的传播模型：1. SI 模型SI 模型是最简单的传染病传播模型，其中 S 代表易感者（Susceptible），I 代表感染者（Infectious）。
在该模型中，易感者通过与感染者接触而感染，感染后将一直处于感染状态。
2. SIR 模型SIR 模型相对于 SI 模型加入了一个 R 类别，R 代表康复者（Recovered）。
在该模型中，感染者经过一段时间的治疗和康复后，将转变为康复者，在一段时间后具备免疫力。
SIR 模型通常用于描述疫情的全球传播。
3. SEIR 模型SEIR 模型相对于 SIR 模型加入了一个 E 类别，E 代表潜伏者（Exposed）。
在该模型中，感染者在潜伏期内不具备传染性，但仍然处于感染状态。
该模型常用于描述带有潜伏期的传染病，如流感等。
通过建立适当的传播模型，研究人员可以预测传染病的传播趋势、评估疫情风险以及制定相应的防控措施，从而为公众健康提供科学依据。
二、传染源溯源传染源溯源是指通过对疫情源头的调查和追踪，找出传染病的起源和传播途径。
传染源溯源在传染病防控过程中具有重要意义。
1. 人源传染源溯源在传染病的传播中，人类是最主要的传染源。
通过对病例的排查和调查，可以确定感染者的身份以及可能的传染途径。
例如，在新冠肺炎疫情中，通过追踪已知病例的活动轨迹和接触史，可以找到感染源头。
2. 动物源传染源溯源许多传染病源于动物，通过对可能的动物宿主进行调查和采样，可以确定病原体的来源。
例如，通过追踪野生动物市场，确定野生动物是冠状病毒的潜在宿主。
3. 环境源传染源溯源一些传染病通过环境因素传播，通过对可能的传染源所处的环境进行调查，可以确定病原体的传播途径。
SARS传播的数学模型
SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。
根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。
以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。
当λ1 = 和λ2=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。
他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。
本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。
关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线一、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。
在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。
而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。
二、模型的假设1．2．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。
3．4．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。
3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。
数学建模sars的传播题目
数学建模sars的传播题目
题目：基于数学建模的SARS病毒传播模型分析
问题描述：
SARS（严重急性呼吸综合征）是一种严重的传染性疾病，其
传播过程受到各种因素的影响。
我们希望建立一个数学模型来分析SARS的传播，并预测其传播趋势。
具体问题如下：
1. 如何建立一个能够描述SARS传播过程的数学模型？
2. 在考虑不同因素的影响下，如何确定传染性疾病的传播速率和传播范围？
3. 如何定量分析不同因素对SARS传播速度和传播范围的影响？例如，人口密度、人口流动性、潜伏期、接触率等等。
4. 如何利用已知的疫情数据，来验证和调整数学模型的参数？
5. 如何利用建立的数学模型来预测疫情的发展趋势和未来传播可能出现的风险地区？
6. 如何制定合理的干预措施，以控制SARS的传播，并最大程度地减少疫情对社会和经济造成的影响？
这些问题涉及到传染病传播规律的研究，需要结合统计分析和数学建模的方法，通过模拟和预测来指导实际应对措施的制定。
通过对SARS传播过程的深入研究，我们可以提高对疫情的认识，加强对传染病的防控措施，保护公共卫生安全。
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
数学建模论文-传染病模型)
传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。
利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。
由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。
问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评
11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评2003年A\C题《SARS的传播》题目、论文、点评考虑自愈的SARS的传播模型李贝本文根据对SARS传播的分析，把人群分为5类：易感类、潜伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型：微分方程模型和基于Small-world Network的模拟模型。
对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自愈现象在SARS传播中是普遍存在的。
模拟模型利用Small-World Network模拟现实中人们之间的接触；借鉴Sznajd模型观念传播的基本思想“考察区域内每个成员如何影响与其有联系的其他成员”，用影响类比传染，从患病者去传染与其有接触的健康人的角度，模拟SARS的传播过程；然后吸收元胞自动机模型同步更新的思想，最终建立了一个患病者传染邻居，且一个成员同时受所有邻居影响的基于Small-World Network的模拟模型。
对此模型，我们讨论了一些主要参数及接种疫苗的影响，最后拟合北京数据，讨论了提前或推迟5天采取措施的影响。
考虑自愈的SARS的传播模型.pdf (341.9 KB)SARS传播的数学原理及预测与控制邹宇庭郑晓练...众所周知，SARS对中国社会带来了重大的影响。
我们以北京地区4月到6月有关SARS的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了SARS传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。
该模型将传染率定义为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用matlab中的fminseareh函数模拟得到最优的模型参数。
该模型可以较好的预测SARS的发展趋势，且可以就此趋势提出如何控制SARS传播的措施。
继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引起SARS发展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。
姜启源 数学模型第五版-第5章
方法二 对人口数据作数值微分估计增长率.
设x(t) 在t0, t1, …, tn(等间距△t)的函数值为x0, x1, …, xn
x(t)在各点的导数近似值
x(tk )
xk 1 xk 1 , 2t
k
1,2,, n 1,
x(t0 )
3x0
4x1 2t
x2 ，x(tn )
xn 2
4 xn 1 2t
… 1960 1970 1980 1990 2000 误差平方和
实际人口 （百万）
3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 … 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4
指数增长模型 指数增长模型 （估计方法一） （估计方法二）
6.0
3.9
7.4
4.8
9.1
5.9
11.1
7.2
13.6
内禀(固有)增长率r ~理论上x = 0时的增长率.
r(0)= r
人口容量xm~资源和环境对人口的最大容量.
r(xm)= 0
第十四页，共130页。
1. 模型建立 r(x) a bx a = r r(x) r(1 x / xm )
r(0)=r, r(xm)=0 b = r/xm
dx rx(1 x ),
（方法一）
296.8
-3.9%
预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布.
logistic模 型
（方法二） 297.0 -3.8% 326.8
拭目 以待
第二十一页，共130页。
logistic 模型的广泛应用
logistic模型 ~ 欧洲生物数学家Verhulst19世纪提出，中译 名为逻辑斯谛. • 生态、医疗领域中的应用——鱼塘中鱼群数量、
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传染病模型和sars的传播数学建模姜启源
传染病模型是一种数学模型，用于描述传染病的传播和蔓延过程。
传染病传播的数学建模可以帮助我们更好地理解疾病的传播机制，评估和预测疫情的发展趋势，指导疾病的控制和预防措施的制定。
SARS（严重急性呼吸综合征）是2002年至2003年期间爆发的一种严重急性呼吸道疾病，由一种名为SARS冠状病毒引起。
姜启源等研究人员在SARS爆发期间进行了一些数学建模研究，以对疾病的传播进行评估和预测。
姜启源等人基于传染病数学建模的经典理论和方法，开展了SARS传播的数学建模研究。
他们考虑了人际传播和环境传播两种传播方式，并建立了相应的动力学模型。
通过模型分析和数值模拟，他们可以估计SARS的传播速度、传播距离和传染性等参数，并通过对不同控制措施的模拟推断出最有效的控制策略。
研究结果显示，人际传播是SARS的主要传播途径，而环境传播的影响较小。
他们还发现，SARS传播速度受到接触感染率和感染者的平均潜伏期的影响。
他们的研究为SARS的疫情控制提供了重要的科学依据，并对其他传染病的传播数学建模研究提供了参考。
总的来说，姜启源等人的研究为我们对传染病的传播和控制机制有了更深入的理解，为疫情的预测和防控提供了重要的科学依据。
这些研究对于应对类似疫情的
发生和传播至关重要。