浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育
浙教版九年级上册数学《相似三角形》知识点与经典题型知识框图温馨提醒：全等三角形是相似比为1的相似三角形．知识拓展一下：若两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
重要知识点和方法1、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形或顶角为108°的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金比的矩形2、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。
相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：a 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；b 全等三角形是相似比为1的相似三角形。
二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．c 传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 3、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．4、几种基本图形的具体应用：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；（3）满足1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．（4）当AD AEAC=或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE∽△ACB ． 5、相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．6、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. (3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)
相似三角形的判定（一）知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有1BG+1CG=1GF（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，1AB+1CD=1EF；1S△ABC+1S△BCD=1S△BCF图4图5图6图1图2图3【课堂巩固提升】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF4.如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ， 并延长交AB 于点E ，则AE ：EB6. 如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则AF ：AE7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段AD 上且DE =2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为第2题第3题第1题8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND11.如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，AE=3DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：AC12.如图，在RT△ABC中有一正方形DEFG，点D在斜边AC上，EF在边AB上，连接AB 并延长，分别交DE，BC于点M，N，AB=4，BC=3，EF=1则BN=13.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，AB=10，EF=4，则CD=第16题第17题图 第18题图14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC于点N .求证：AD AB = AE AC23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF(2) 1AF +1BF =1GF24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。
新浙教版九年级数学相似三角形
新浙教版九年级数学相似三角形相似三角形是九年级数学中的一个重要知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
首先，我们来了解一下相似三角形的定义。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。
相似三角形具有许多重要的性质。
例如，相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
这意味着，如果我们知道两个相似三角形中一组对应边的比例以及其中一个三角形的边长，就可以求出另一个三角形中相应边的长度。
同时，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
在判断两个三角形是否相似时，我们有多种方法。
其中，最为常见的是“两角对应相等的两个三角形相似”。
因为三角形的内角和为 180 度，当两个角对应相等时，第三个角也必然相等。
另外，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及“三边对应成比例的两个三角形相似”也是常用的判定方法。
相似三角形在实际生活中的应用非常广泛。
比如，在测量建筑物的高度时，如果我们无法直接测量建筑物的高度，可以通过测量建筑物的影子长度以及一根已知长度的标杆的影子长度，利用相似三角形的原理来计算建筑物的高度。
假设我们要测量一座高楼的高度，在同一时刻，我们测量出标杆的高度为 2 米，其影子长度为 1 米，同时测量出高楼的影子长度为 20 米。
由于太阳光线的角度相同，所以标杆和其影子以及高楼和其影子构成的两个三角形相似。
设高楼的高度为 x 米，根据相似三角形对应边成比例的性质，可以列出方程：2/1 ＝ x/20，解得 x ＝ 40 米，即高楼的高度为 40 米。
在地图绘制中，相似三角形也发挥着重要作用。
地图是对实际地理区域的缩小表示，地图上的图形与实际地理区域的图形是相似的。
通过测量实际距离和地图上的距离，利用相似三角形的知识，可以计算出地图的比例尺，从而更准确地反映实际地理情况。
在数学解题中，相似三角形常常与其他几何图形相结合。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a:b ＝m ：n （或n m b a =)2、比的前项,比的后项：两条线段的比a:b 中.a 叫做比的前项，b 叫做比的后项. 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度.3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a =4、比例外项:在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项. 5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c:d)中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d cb a =（或a:b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等,即比例为a bb a =(或a:b ＝b ：c 时,我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.(注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）(2)比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2.反比性质： c da b dc b a =⇒= （把比的前项、后项交换)3。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
【完整版】浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA2、如图，点O是边长为4 的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1， B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE＝（）A.2B.4C.2D.6﹣23、如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A.两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心C.AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点4、将一副直角三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（）．A. B. C. D.5、如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA=4，OA′=8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为（）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：16、浙江省庆元县与著名的武夷山风景区之间的直线距离约为105公里，在一张比例尺为1：2000000的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（）.A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度7、如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E，F在AD上，BE与CF 相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（）A.4：25B.49：100C.7：10D.2：58、如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A.x=yB.3x=2yC.x=1，y=2D.x=3，y=29、如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC的面积之比是( )A.1:3B.1:4C.1:9D.1:1610、如图，△ABC中，DE∥AB，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.11、若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.12、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.13、如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（）A.2：3B. ：C.4：9D.9：414、如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.15、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米 , CA=1米, 则树的高度为（）A.4.5米B.6米C.3米D.4米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）17、已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为________18、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于________。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。
« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。
α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。
d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）2.反比性质：(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果，那么．注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
2020浙教版九年级数学上 相似三角形知识点整理
【文库独家】相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性cda b = dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
(word完整版)初三数学《相似三角形》知识点归纳,文档
初三数学?相似三角形?知识大纲( 孟老师归纳 )一：比率的性质及平行线分线段成比率定理〔一〕相关看法： 1. 两条线段的比：两条线段的比就是两条a mb n线段长度的比在同一长度单位下两条线段a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n；其中a叫做比的前项，b叫做比的后项2：比率尺 = 图上距离／实质距离3：成比率线段：在四条线段 a，b，c，d 中，若是其中两条线段的比等于别的两条线段的比，那么这四条线段叫做成比率线段，简称比率线段，记作：b da c〔或 a：b=c：d〕①线段 a，d 叫做比率外项，线段b，c 叫做比率内项，②线段 a 叫首项， d 叫 a，b，c 的第四比率项。
③比率中项 : 假设a b即b2 a c那么 b是 a c 的比率中项.b c,,〔二〕比率式的性质1. 比率的根本性质 : ac ad bc b d2.合比：假设a c，a b c d或a cb d b d b a d c等比：假设ac e⋯⋯m k〔假设 bd f⋯⋯n 0〕3.b d f nac e⋯⋯m a m k⋯⋯b d f n b n4、黄金切割：页脚内容和 BC 的比率中项，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中 AC= 5 1，2( 三) 平行线分线段成比率定理1. 平行线分线段成比率定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比率 .如图：当 AD ∥BE ∥CF 时，都可获取= . = ，= ，语言描述以下：= ， = ， = .〔4〕上述结论也适合以下情况的图形：图〔 2〕图〔 3〕 图〔 4〕图〔 5〕2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 .DEl 1 DEAl 1AADEl 2A l 2DEl 3l 3B CBCBCB CA 型X 型由 DE∥BC可得：ADAE或 BD EC或AD AE . DB ECAD EAAB AC3.推论的逆定理：若是一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：假设=.=，=，那么AD∥BE∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比率式证平行线 . 4.定理 : 平行于三角形的一边 , 而且和其他两边订交的直线 , 所截的三．角形的三边与原三角形三边对应成比率 .．．．．．．．．．．．二：相似三角形：〔一〕：定义：1：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。
浙教版数学九年级上册 第4章 相似三角形 知识点汇总 及例题讲解
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩比例的性质平行线分线段成比例成比例线段平行线分线段成比例定理相似三角形定义相似三角形的基本判定相似三角形判定相似三角形性质位似一、比例的性质1．a cad bc b d=⇔=，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理)； 3．a c a bb dcd =⇔=(或d c b a =)(更比定理)；4．a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理)； 5．ac a b cd b d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c d b d a b c d++=⇔=--(合分比定理)； 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、 黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，相似三角形知识精讲知识网络图0.382BC AB AB =≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．AAB C D E FFEDC B A A BE F F ECBA2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
九年级上册数学第四章：相似三角形知识总结与练习
图形的相似复习与练习知识点1：比例线段的有关概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即____________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例 项． 知识点2：比例性质 ①比例式转化为乘积式⇔=dc b a ____________ ②乘积式转化为比例式：若ad=bc ⇔____________；____________；____________；③等比性质⇒≠++===)0( n d b k n m d c b a ____________ ，成立的前提条件是 ____________ 若没有告诉0≠++ n d b 应分____________和____________的情况讨论知识点3：平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段____________，字母表示：如图：l 1∥l 2∥l 3．则 ____________；____________；____________②推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________字母表示：知识点4：相似多边形①相似多边形的性质：相似多边形的对应角________对应边的比_________几何语言：②相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形相似几何语言：知识点5：黄金分割（一）黄金分割的定义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_________，那么称线段被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的_________，_________、_________叫黄金比，比值约等于_________. 一条线段有_______个黄金分割点，较长线段长等于_________AB ，较短线段长等于_________AB ，知识点6：相似三角形相似三角形的判定①________对应相等的两个三角形相似.简记为“________”；②______________的两三角形相似. 简记为“________”；③______________的两三角形相似. 简记为“________”．相似三角形的性质①相似三角形的________相等, ________成比例；②相似三角形对应高的比、对应________的比和对应___________的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于____________；面积的比等于____________．知道相似比求面积比，相等于把相似比_______，知道面积比求相似比，相等于把面积比_______，常见相似基本模型：________～________ ________～________ ________～________比例：______=______=______ 比例：______=______=______ 比例：______=______=_____________～________比例：______=______=______连接AE ，当点C 满足__________时，由__________可证△ABC ～ △ACE ～ △CDE射影定理 由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________；由______～_____得_比例式________，乘积式为____________．知识点7：图形的位似（1）定义：如果两个多边形相似，而且_____的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_____，这时的相似比又称为_____。
秋九年级的数学浙教版本上册的期末总结复习四相似三角形
期末复习四相像三角形要求知识与方法线段的比，成比率的线段的观点认识黄金切割经过典型实例察看和认识现实生活中物体的相像理解比率的基天性质，会进行简单的比率式变形会进行相关黄金切割的简单计算运用相像三角形的性质与判断，能进行简单应用利用图形的相像解应用题，学会数学建模、并解答比率线段例1 (1)已知 x∶y＝5∶2，则以下各式中不正确的选项是( )x＋y A.＝y 72x－yB.＝y32xC. ＝x＋y57xD. ＝y－x53(2) 已知 a＝1，b＝5－1 3－ 5，c＝，那么( )2 2A．a 是 b 、c 的比率中项B．c 是 a、b 的比率中项C．b 是 a、c 的比率中项D．以上都不对(3) 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为( )A． cm B． cm C． cm D． cm反省： (1)运用比率的性质，要用多种方法解答. (2)利用了比率中项的定义，熟记观点并正确计算是解题的重点．(3)理解黄金切割的观点，找出黄金切割中成比率的对应线段．平行线分线段成比率定理例2 (1)如图， l1∥l2∥l3，AM ＝2，MB ＝3，CN＝，则 CD＝________；(2) 如图，AB ∥CD∥EF，AC ＝2，EC＝3，BD＝3，则 BF＝________．第1 页反省：在运用平行线分线段成比率定理时，要注意弄清三条平行线截两条直线，所得哪条线段与哪条线段是对应线段，同时要依据需要写出正确的比率式．相像三角形的判断例2 (1)已知，如图，在△ABC 中，P 为 AB 上一点，在以下四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB ；③AC 2＝AP·AB ；④AB·CP＝AP·CB.此中，能知足△ ABC 和△ACP相像的条件是________；(填序号)(2)( 咸宁中考 )如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝36°，BD 为角均分线，DE⊥AB ，垂足为 E.①写出图中一对全等三角形和一对相像比不为 1 的相像三角形；②选择①中一对加以证明．反省： 1.判断两个三角形相像共有四种方法，依据题目的状况灵巧运用．选择适合的判定方法判断两个三角形相像时，要注意找准它们的对应关系．2．相像三角形的基本图形(1) 平行线型：如图，若CD∥AB ，则有△ OCD ∽△OAB.(2) 斜线型：2 如图，若∠1＝∠A，则有△OCD∽△OAB ；特别是右图中，当△OCD ∽△OAB ，有 OC＝O A·OD.(3) 旋转型：如图，若∠1＝∠2，且OD∶OA＝OC∶OB，或∠ 1＝∠2，∠D＝∠A ，则有△ OCD∽△OBA.由旋转产生的第二次相像，左图中△AOD ∽△BOC ，右图中△ AOD ∽△BOC 是学习中一个难点．相像三角形的性质例3 (1)(甘南州中考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是 AB 的中点， CE 和 BD 交于点 O，设△ OCD 的面积为m，△OEB 的面积为5，则以下结论中正确的选项是( ) A．m＝5 B．m＝4 5 C．m＝3 5 D．m＝10(2)( 株洲中考 )如图，已知AB 、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是B、D、F，且 AB ＝1，CD＝3，那么EF 的长是 ( )第2 页1 2 3 4A.3 D.5 反省：对应角相等，对应边成比率是相像三角形的实质属性．相像三角形的对应高之比，对应中线之比，对应角均分线之比，周长之比都等于相像比．相像三角形面积之比等于相像比的平方．解题经常需灵巧运用这些性质．相像三角形的应用例5 (武汉中考 )已知锐角△ABC 中，边BC 长为 12，高 AD 长为 8.(1) 如图，矩形EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其他两个极点E、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交 AD 于点 K.①求EFAK的值；②设 EH＝x，矩形EFGH 的面积为S，求 S 与 x 的函数关系式，并求S 的最大值；(2) 若 AB ＝AC，正方形PQMN 的两个极点在△ABC 一边上，另两个极点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长．反省：会设计利用相像三角形解决问题的方案；会结构(画)与实物相像的三角形；会运用相像三角形的判断、性质进行计算．解答本题的重点是要明确：在判断两个三角形相像时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充足发挥基本图形的作用，找寻相似三角形的一般方法是经过作平行线结构相像三角形．圆中的相像图形例6 (柳州中考 )如图，在△ABC 中，∠ BAC 的角均分线AD 交 BC 于 E，交△ABC 的外接圆⊙ O 于 D.(1) 求证：△ ABE ∽△ADC ；(2) 请连接 BD ，OB，OC，OD，且 OD 交BC 于点 F，若点 F 恰巧是OD 的中点．求证：四边形OBDC 是菱形．反省：证明圆中图形的相像问题，常用到圆心角、弧、弦、弦心距之间的互相关系的定理、圆周角定理及逆定理进行角度变换．利用相像三角形解决研究性问题例7 如图，在△ ABC 中，已知AB＝AC ＝5，BC＝6，且△ABC ≌△DEF，将△ DEF与△ABC 重合在一同，△ABC 不动，△ DEF 运动，并知足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方第3 页向运动，且DE 一直经过点 A ，EF 与AC 交于M 点．(1) 求证：△ABE ∽△ ECM ；(2) 研究：在△DEF 运动过程中，重叠部分可否组成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不可以，请说明原因；(3) 当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．反省：本题利用相像三角形的判断与性质、二次函数的最值来研究问题．注意数形联合思想、分类议论思想与函数思想的应用是解本题的重点．ADDB 1．(南京中考)如图，在△ABC 中， DE∥BC，＝1，则以下结论中正确的选项是( ) 2AE AC A.1 DE＝＝2 B.BC12△ ADE 的周长＝C.△ ABC 的周长13△ADE 的面积D.＝△ABC 的面积13第1题图1．如图，△ABC 中，∠A＝78°， AB ＝4，AC＝ 6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的暗影三角形与原三角形不相像的是(C)第2题图△BDE ∶S△CDE ＝1∶4，3．如图在△ABC 中，D、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE∥AC ，若S则S△BDE∶S△ACD ＝( )A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24第3题图4.如图，正方形ABCD 的对角线A C、BD 订交于点O，E 是 BC 的中点， DE 交AC 于F，若DE＝12，则E F 等于 ( )第4题图A．8 B．6 C． 4 D．35．(金华中考)如图，直线l1，l2，⋯，l6 是一组等距的平行线，过直线l1 上的点 A 作两条射线，分别与直线l3，l6 订交于B，E，C，F，若BC＝2，则E F 的长是________．第5题图△CMN ＝1，则S2．(北京中考 )如图，在△ ABC 中， M 、N 分别为AC ，BC 的中点．若 S第 4 页四边形ABNM ＝________．第 6 题图7．(泰州中考 )如图，△ ABC 中，D 为 BC 上一点，∠BAD ＝∠C，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为________．第 7 题图8.(达州中考 )如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使极点 C 恰巧落在AB 边的中点C′上，点 D 落在 D′处，C′D′交 AE 于点 M.若AB ＝6，BC＝9，则 AM 的长为________．第 8 题图9．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠ BAD ＝∠CAE ，∠ABC ＝∠ADE.(1) 写出图中两对相像三角形(不得增添协助线)；(2) 请分别说明两对三角形相像的原因．第 9 题图10．(宿迁中考 )如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，点 E 在边 BC 上挪动 (点 E 不与点B，C 重合)，知足∠ DEF＝∠B，且点 D、F 分别在边AB 、AC 上．(1) 求证：△ BDE ∽△CEF；(2) 当点 E 挪动到BC 的中点时，求证：FE 均分∠ DFC.第 10 题图11．已知 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC＝4，点 D 在 BC 边上，且∠ CAD ＝∠B.(1) 求 AD 的长；(2) 取 AD 、AB 的中点E、F，连接CE、CF、EF，求证：△CEF∽△ADB.第11 题图12．(呼和浩特中考)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠ EAC 的均分线，交BC 的延伸线于点 D，延伸DA 交△ABC 的外接圆于点F，连接FB，FC.(1) 求证：∠ FBC＝∠FCB；(2) 已知 FA·FD＝12，若 AB 是△ABC 外接圆的直径，FA＝2，求 CD 的长．第5 页第 12 题图2＋bx＋c(b，c 为常数)的图象经过点A(3，1)，13．(湖州中考 )如图，已知二次函数y＝－x点 C(0，4)，极点为点M ，过点 A 作 AB ∥x 轴，交y 轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接 BC.(1) 求该二次函数的分析式及点M 的坐标；(2) 若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后获得的二次函数图象的极点落在△ABC 的内部 (不包含△ ABC 的界限 )，求 m 的取值范围；(3) 点 P 是直线AC 上的动点，若点P，点 C，点M 所组成的三角形与△BCD 相像，请直接写出全部点P 的坐标 (直接写出结果，不用写解答过程)．第 13 题图期末复习四相像三角形例1 (1) D (2)C (3)A例2例3 (1)①②③；(2)①△ADE ≌△BDE ，△ABC ∽△BDC ；②证明：∵ AB ＝AC ，∠A＝36°，∴∠ ABC ＝∠C＝72°，∵ BD 为角均分线，∴∠ABD ＝∠A ＝∠DBA ，1∠ABC ＝36°＝∠A ，2在△ADE 和△BDE 中，∠AED ＝∠BED ，∴△ADE ≌△BDE(AAS) ．证明：∵ AB ＝AC，ED＝ED，1∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C＝72°，∵ BD 为角均分线，∴∠DBC ＝∠ABC ＝36°＝2∠A.∵∠C＝∠C，∴△ ABC ∽△BDC.例4 (1) B (2)C例5(1)①∵EF∥BC，∴A KAD＝EFBC，∴EFAK＝BCAD＝128＝32，即EFAK的值是32；②∵EHEF 3 3 3 3＝x，∴KD ＝EH＝x，AK ＝8－x，∵，∴EF＝＝(8－x)，∴S＝EH·EF＝x(8－x)＝－AK 2 2 2 2 2＋24，∴当 x＝4 时，S 的最大值是24；(2)设正方形的边长为a，①当正方形PQMN (x－4)8－a 的两个极点在BC 边上时，8 24 ，解得a＝＝a 125 .②当正方形PQMN 的两个极点在AB 或AC边上时，∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC，∴BD＝CD＝12÷2＝6，∴AB ＝AC ＝AD 2＋BD 2＝62＋82＝10，∴AB 或 AC 边上的高等于AD·BC÷AB ＝8×12÷10＝485，∴485－a＝a485 240，解得a＝1049 .综上，可得正方形PQMN 的边长是245或24049.例6 (1)∵∠BAC 的角均分线AD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，∵∠ABC ＝∠ADC ，∴△ ABE ∽△ADC ；第6 页︵ (2) ∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ︵ ＝CD，∵OD 为半径，∴ DO ⊥BC ，∵F 为 OD 的中点，∴OB ＝BD ，OC ＝CD ，∵OB ＝OC ，∴OB ＝BD ＝CD ＝OC ，∴四边形 OBDC 是菱形 .例 7 (1)∵AB ＝AC ，∴∠ B ＝∠C ，∵△ ABC ≌△DEF ，∴∠ AEF ＝∠B ，又∵∠ AEF ＋∠CEM ＝ ∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠CEM ＝∠BAE ，∴ △ABE ∽△ E CM ； (2)能．∵∠ AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠ AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；当 AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1，当 AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠ MEA ＋∠CEM ，即∠ CAB ＝∠CEA ，又∵∠ C ＝∠C ，∴2△CAE ∽△ CBA ，∴CE ＝AC ，∴CE ＝AC ＝25，∴BE ＝6－25＝11.∴BE ＝1 或11； (3) 设AC CBCB 66 6 626－ xCMCECM x 6 12，即：，∴CM ＝－ ＋BE ＝x ，又∵△ ABE ∽△ECM ，∴x ＝－ (x －3)＝ ＝ BE AB x 5 5 5 5 9 ＋ ，∴AM ＝5－CM ＝ 5 1 2＋16 (x －3) ，∴当 x ＝3 时，AM 最短为 5 5 16 1 ，又∵当 BE ＝x ＝3＝ BC5 2时，点 E 为 BC 的中点， 且 AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∴AE ＝ AB 2－BE 2＝4，此时，EF ⊥AC ， ∴EM ＝ CE，S △AEM ＝2－CM 2＝122－CM 2＝125【校内练习】 1 2 × 16 5 × 12 96 ＝ . 5 251－CC 5.5 6.3 7.58.9 4 9.(1)△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△ACE ； (2)∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠ ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ∽△ ADE. ∴又∵∠ BAD ＝∠CAE ，∴△ ABD ∽△ACE. A B AD ＝ A C AE.10. (1)∵AB ＝AC ，∴∠ B ＝∠C ，∵∠ BDE ＝180°－∠ B －∠DEB ，∠ CEF ＝180°－∠DEF － ∠DEB ， ∵ ∠ DEF ＝ ∠B ， ∴ ∠ BDE ＝ ∠CEF ， ∴ △ BDE ∽ △ CEF ； (2)∵△ BDE ∽△CEF ，∴B E CF ＝ D E CE ，∵点 E 是 BC 的中点， ∴BE ＝CE ，∴ ＝ EF CFD E EF ，∵∠ DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△ DEF ∽△ECF ，∴∠ DFE ＝∠CFE ，∴FE 均分∠ DFC.11. (1)∵∠ACB ＝∠DCA ＝90°，∠ CAD ＝∠B ，∴△ ACB ∽△ DCA ，∴A C DC ＝ CB CA，∵ AC ＝2，CB ＝4，∴DC ＝1，在 Rt △ACD 中，DC2＋AC 2＝AD 2，∴AD ＝ 5，∴AD 的长是 5； (2)证明：∵ E ，F 分别是 AD ，AB 中点，∴ EF ＝ 1 2 E F DB 12DB ， ＝，在 Rt △ACD 中，E 是 AD 中1 CE 点，∴CE ＝ AD ，即2 AD1 ＝ ，∵F 为 AB 中点，∠ACB ＝90°，∴CF ＝2 1 CF AB ，即 2 AB 1 EF＝ ，∴2 DB CE AD ＝ ＝CF AB，∴△ CEF ∽△ADB.12. (1)证明： ∵四边形 AFBC 内接于圆， ∴∠FBC ＋∠ FAC ＝180°，∵∠CAD ＋∠ FAC ＝180°，∴∠FBC ＝∠CAD ，∵AD 是△ABC 的外角∠ EAC 的均分线， ∴∠EAD ＝∠CAD ， ∵∠EAD ＝∠FAB ，∴∠FAB ＝∠CAD ，又∵∠ FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ； (2)由(1) 得：∠FBC ＝∠ FCB ，又∵∠ FCB ＝∠ FAB ，∴∠FAB ＝∠FBC ，∵∠ AFB ＝∠BFD ，∴△ AFB∽△BFD ，∴ BF FD ＝F A BF ，∴BF 2＝FA ·FD ＝12，∴BF ＝2 3，∵FA ＝2，∴FD ＝6，AD ＝4，∵ AF BF AB 为圆的直径， ∴∠BFA ＝∠BCA ＝90°，∴tan ∠FBA ＝ 2 ＝ ＝ 2 3 3 ，∴∠ FBA ＝30°，3又∵∠ FDB ＝∠FBA ＝30°，∴ CD ＝AD ·cos30°＝4×3＝2 3. 2第 7 页2＋bx＋c得，13．(1)把点 A(3 ，1)，点 C(0，4)代入二次函数y＝－x2＋3b＋c＝1，－3解c＝4，得b＝2，c＝4. ∴二次函数分析式为y＝－x2＋2x＋4，配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点 M 的坐标为2＋2x＋4，配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点 M 的坐标为(1，5)；(2)设直线 AC 分析式为y＝kx＋b，把点 A(3 ，1)，C(0，4)代入得，k＝－1，得b＝4，3k＋b＝1，b＝4，解∴直线AC 的分析式为y＝－x＋4，如下图，对称轴直线x＝1 与△ABC 两边分别交于点 E、点 F，把 x＝1 代入直线AC 分析式y＝－x＋4，解得y＝3，则点 E 坐标为 (1，3)，点F 坐标为 (1，1)，∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；第 13 题图(3) 连接 MC ，作 MG⊥y 轴并延伸交AC 于点 N，则点G 坐标为(0，5)，∵MG＝1，GC ＝5－4＝1，∴MC＝MG 2＋CG2＝12＋12＝2，把 y＝5 代入 y＝－x＋4 解得 x＝－1，则点 N 坐标为(－1，5)，∵NG ＝GC，GM ＝GC，∴∠NCG ＝∠GCM ＝45°，∴∠NCM ＝90°，由此可知，若点 P 在 AC 上，则∠ MCP＝90°，则点 D 与点 C 必为相像三角形对应点．①若有△PCM ∽△BDC ，则有M CCP＝C DBD，∵BD＝1，CD＝3，∴CP＝M C ·BDCD＝2× 1＝32，∵3CD＝DA＝3，∴∠DCA ＝45°，若点 P 在 y 轴右边，作 PH⊥y 轴，∵∠PCH＝45°，CP＝ 2，3∴PH＝ 2 1÷2＝，把 x＝3 313代入 y＝－x＋4，解得y＝11 1 113 .∴P1( 3 )；同理可得，若点P在3，y 轴左边，则把 x＝－13代入 y＝－x＋4，解得 y＝13 1 13，∴P2(－，)；②如有△ PCM ∽△CDB，3 3 3则有M CCPBDCD＝，∴CP＝2×3＝3 2，∴PH＝3 2÷2＝3，若点P 在 y 轴右边，把x＝3 代1入 y＝－x＋4，解得y＝1；若点 P 在 y 轴左边，把x＝－3 代入 y＝－x＋4，解得y＝7，∴1 P3(3，1)，P4(－3，7)．∴全部切合题意的点P 坐标有 4 个，分别为P1( ，3 P3(3，1)，P4(－3，7)．113 )，P2(－13，133 )，第8 页。
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相似三角形的判定（一）
知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：
知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；
知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.
（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.
（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC
（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则
AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD
（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：
AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有
1
BG+
1
CG=
1
GF
（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，
1
AB+
1
CD=
1
EF；
1
S△ABC+
1
S△BCD=
1
S△BCF
图1图2图3
【课堂巩固提升】 1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意
一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =
2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC
3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF
4. 如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP
5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ， 并延长交AB 于点E ，则AE ：EB
第2题第3题
第1题图4
图5 图6
6.如图，B为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则AF：AE
7.如图，在△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF的长为
8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC
9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=
10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND
第16题
第17题图 第18题图
11. 如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在线段AD 上，AE =3DE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：AC
12. 如图，在RT △ABC 中有一正方形DEFG ，点D 在斜边AC 上，EF 在边AB 上，连接AB 并延长，分别交DE ，BC 于点M ，N ，AB =4，BC =3，EF =1则BN =
13. 如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，AB =10，EF =4，则CD =
14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD
15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM
16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，
交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =
17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，
AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =
18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE
于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =
19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =
20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，
使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为
21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.
22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线
AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC
于点N .求证：AD AB = AE AC
23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF
(2) 1AF +1BF =1GF
24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。