高三期末文科数学试题及答案

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2021年高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

2021年高三上学期期末考试数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。

考试时间90分钟，满分100分。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试题卷上。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用涂改液、胶带、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分。

1.已知，其中为虚数单位，则A.-1B.1C.2D.32.设全集集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则， A.｛1，2，3，4，6｝ B.｛1，2，3，4，5｝ C.｛1，2，5｝ D.｛1，2｝3.设)sin()(2φπφφ+===x x f R ”是“，则“为偶函数“的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是 A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值和最大值分别为A.-6，11B.2，11C.-11，6D.-11，26.已知，则的值为A. B. C. D.7.设a,b是不同的直线，是不同的平面，则下列命题：①若②若③若④若其中正确命题的个数是A.0B. 1C.2D.38.已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且则曲线在处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-19.如果执行下面的程序框图，输出的S=110，则判断框处为A.?B.？C.？D.?10.函数的图象大致是11.已知直线与直线互相垂直，则的最大值等于A.0B.2C.4D.12.过抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，满分16分。

2021年高三上学期期末考试数学(文)试题(普通班) 含答案

2021年高三上学期期末考试数学（文）试题（普通班）含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}=--==∈，则（）A B y y x x A2,1,0,2,3,|,A． B． C． D．2. 设命题 ,则为（）A． B．C． D．3. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A． B．或 C．或 D．4. 双曲线的顶点到渐近线的距离为（）A． B． C. D．5. 已知，则（）A． B． C. D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）A．①② B.②③ C. ①④ D.③④7.设函数，则下列结论正确的是（）A.的图像关于直线对称B.的图像关于点对称C.的最小正周期为，且在上为增函数D.把的图像向右平移个单位，得到一个奇函数的图像8．函数的图象大致是（）9. 执行右面的程序框图,如果输入的n =1,则输出的值满足（）结束A. B. C. D.110. 已知满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.11．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆2+y2=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A． B． C． D．e+﹣112．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A． 3 B. 4 C． 5 D． 6第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量，，若，则 .14.已知实数满足条件，则的最小值为 .15. 抛物线与椭圆有相同的焦点，抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于．16. 已知数列的前项和，则数列的前项和等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，且．记∠ ，∠．（1）求证：；（2）若，求的长。

2021-2022学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(文科)(附详解)

2021-2022学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=2i，则z的模为()1+iA. 1−iB. 1+iC. √2D. 22.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={y|y=x}，则A∩B中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 03.设有下面四个命题：>3；p1：∃x0∈(0,+∞)，x0+1x0p2：x∈R，“x>1是“x>2”的充分不必要条件；p3：命题“若x−312是有理数，则x是无理数”的逆否命题；p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题．其中为真命题的是()A. p1，p2B. p2，p3C. p2，p4D. p1，p34.向量|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗，b⃗ 的夹角为120°，则a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=()A. 5B. 6C. 7D. 8)的图象是()5.函数f(x)=ln(x−1xA. B.C. D.6.正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，都有4S n=a n2+2a n，则数列{(−1)n a n}的前2022项的和等于()A. −2021B. 2021C. −2022D. 20227.如图，某三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A. 25πB. 50πC. 1253π D. 252π8.战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：(1)从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；(2)每匹马参加且只参加一次比赛；(3)三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者．已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 169.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √510.{b n}为正项等比数列，b1=1.等差数列{a n}的首项a1=2，且有a2=b3，a4=b4.记c n=a nb n，数列{c n}的前n项和为S n.∀n∈N∗，k≤S n恒成立，则整数k的最大值为()A. 4B. 3C. 2D. 111.已知f(x)=2sin x2cos x2+2√3cos2x2−√3，若|f(x)−m|≤3对任意x∈[−5π6,π6]恒成立，则实数m的取值范围为()A. [−1,1]B. [−12,12] C. [0,12] D. [0,1]12.如果直线l与两条曲线都相切，则称l为这两条曲线的公切线．如果曲线C1：y=lnx和曲线C2：y=x−ax(x>0)有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是()A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,e)D. (e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足x2+y2=4，则y+4的最小值为______．x+214.给出下列四种说法：①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)(n≥2,x1,x2,⋯,x n不全相等)的x+1上，则这组样散点图中，若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,⋯,n)都在直线y=−12；本数据的线性相关系数为−12③回归直线y=bx+a必经过点(x−,y−)；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误结论的编号是______．mx2有两个极值点，则实数m的取值范围为．15.已知函数f(x)=xlnx+1216.如图所示，三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BCA，BD=5AC=10√2，∠DCA=∠DAC，AB+AD=54则三棱锥A−BCD体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．A配方的频数分布表质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数8a36248(1)求a，b的值；(2)试确定A配方和B配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)18.如图①，在平面五边形SBCDA中，AD//BC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，将△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如图②，且E为PD的中点．(Ⅰ)求证：CE//平面PAB；(Ⅱ)若PA=PB=6，AB=4，求三棱锥A−BCE的体积．19.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(a,b)在直线x(sinA−sinB)+ysinB=csinC上(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形且满足mtanC =1tanA+1tanB，求实数m的最小值．20.已知O为坐标原点，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，离心率为√32.动直线l：y=1m(x−1)与Γ相交于B，C两点，点B关于x轴的对称点为B′，点B′到Γ的两焦点的距离之和为4．(1)求Γ的标准方程；(2)若直线B′C与x轴交于点M，△OAC，△AMC的面积分别为S1，S2，问S1S2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=xlnx+e x(lnx−x)+1．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．(2)若对∀x∈(0,+∞)，f(x)≤ae x恒成立，求实数a的取值范围．22.心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ=a(1−sinθ)(a>0)表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为{x=1+√33ty=√3+t(t为参数)．(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．23.设函数f(x)=|2x−1|−|x+4|．(Ⅰ)解不等式：f(x)>0；(Ⅱ)若f(x)+3|x+4|≥|a−1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，则|z|=√2．故选：C．根据复数的运算法则进行化简，然后结合复数的模长公式可求．本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，画出图象，如图所示，A∩B中元素的个数为圆x2+y2=1与直线y=x的交点个数，由图象可得，交点个数为2个．故选：B．根据已知条件，画出图象，结合图象，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：p1：∃x0=4∈(0,+∞)，x0+1x0=4+14>3，故p1正确；p2：x∈R，x>1不能⇒x>2，即充分性不成立，即“x>1不是“x>2”的充分不必要条，故p2错误；p3：命题“若x−312是有理数，则x是无理数”为真命题，故其逆否命题也为真命题，故p3正确；p4：若“p∨q”是真命题，则p、q至少有一个是真命题，即p不一定为真命题，故p4错误；故以上命题中正确的是p1、p3；故选：D．对于p1，举例说明即可判断其正误；对于p2，利用充分条件的定义可判断其正误；对于p3，先判断命题“若x−312是有理数，则x是无理数”的真假，再利用互为“逆否命题”的两命题真假性一致，可判断p3的正误；对于p4，“p∨q”是真命题⇒p、q至少有一个是真命题，可判断p4的正误．本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，充分、必要条件的概念及应用，熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，及四种命题的定义是解答的关键，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：∵|a⃗|=2，|b⃗ |=1，a⃗，b⃗ 的夹角为120°，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =4−2×1×(−12)=5，故选：A．利用向量数量积的坐标运算求解即可．本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性，问题得以解决．【解答】解：因为x−1x 1x>0，解得x>1或−1<x<0，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A、D不正确．当x∈(−1,0)时，g(x)=x−1x 1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)是增函数．故选B．6.【答案】D【解析】解：∵正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N∗，都有4S n=a n2+2a n，①∴4S1=a12+2a1⇒a1=2，(a1=0不成立，舍去)，4S n−1=a n−12+2a n−1，②①−②得：4a n=a n2+2a n−(a n−12+2a n−1)⇒(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵a n>0，∴a n−a n−1−2=0⇒a n−a n−1=2，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n，∴数列{(−1)n a n}的前2022项的和等于：−2+4−6+8−10+....−4042+4044=2×1011=2022，故选：D．根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，进而求解结论即可．本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，属于中档题目．7.【答案】B【解析】解：由题意可知，题中三视图对应的三棱锥各个顶点均在一个长宽高分别为3，4，5的长方体上，则原问题转化为长方体的外接球，设球的半径为R，由题意可得(2R)2=32+42+52=50，即4R2=50，故球的表面积S=4πR2=50π．故选：B．将原问题转化为长方体外接球的问题，然后确定其表面积即可．本题主要考查结合体的外接球问题，三视图与原几何体的关系，球的表面积公式等知识，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：三场比赛基本事件总数n=3×2×1=6，田忌赢得比赛包含的基本事件有1种，即田忌下等马对阵刘王上等马，田忌上等马对阵刘王中等马，田忌中等马对阵刘王下等马，∴田忌赢得比赛的概率为P=1．6故选：D．三场比赛基本事件总数n=3×2×1=6，利用列举法求出田忌赢得比赛包含的基本事件有1种，由此能求出田忌赢得比赛的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．方法二：由题意画出图形，先求出|PQ|，再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率．【解答】解：方法一：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，又∵|PQ|=|OF|=c，∴|PA|=c，2∴PA为以OF为直径的圆的半径，∴A为圆心，|OA|=c，2∴P (c 2,c2)，又P 点在圆x 2+y 2=a 2上，∴c 24+c 24=a2，即c 22=a 2，∴e 2=c 2a2=2∴e =√2，故选A ．方法二：如图，以OF 为直径的圆的方程为x 2+y 2−cx =0，又圆O 的方程为x 2+y 2=a 2， ∴PQ 所在直线方程为x =a 2c．把x =a 2c代入x 2+y 2=a 2，得|PQ |=2ab c，再由|PQ|=|OF|，得2ab c=c ，即4a 2(c 2−a 2)=c 4， ∴e 2=2，解得e =√2．故选A ．10.【答案】C【解析】解：设正项等比数列{b n }的公比为q ，q >0，等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，b 1=1，a 2=b 3，a 4=b 4，可得2+d =q 2，2+3d =q 3，化为q 3−3q 2+4=0，即为(q +1)(q −2)2=0，解得q =2(−1舍去)，则d =2，所以a n =2+2(n −1)=2n ，b n =2n−1， c n =a n b n=n ⋅(12)n−2，数列{c n }的前n 项和S n =1⋅(12)−1+2⋅(12)0+...+(n −1)⋅(12)n−3+n ⋅(12)n−2，12S n =1⋅(12)0+2⋅(12)1+...+(n −1)⋅(12)n−2+n ⋅(12)n−1，上面两式相减可得12S n =2+1+12+...+(12)n−3+(12)n−2−n ⋅(12)n−1 =2+1−(12)n−11−12−n ⋅(12)n−1，化为S n =8−(n +2)⋅(12)n−2，由S n ≥S 1=2，又S n <8，可得2≤S n <8． ∀n ∈N ∗，k ≤S n 恒成立，可得k ≤2，即k 的最大值为2．故选：C ．运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到a n ，b n ，再由数列的错位相减法求和，可得S n ，求得S n 的最小值，结合不等式恒成立思想可得所求k 的最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、数列不等式恒成立问题解法，考查转化思想、方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：因为f(x)=2sin x2cos x2+2√3cos 2x2−√3=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，因为x ∈[−5π6,π6]，所以x +π3∈[−π2,π2]，sin(x +π3)∈[−1,1]，所以−2−m ≤f(x)−m ≤2−m ，若|f(x)−m|≤3对任意x ∈[−5π6,π6]恒成立，则{|−2−m|≤3|2−m|≤3，解得，−1≤m ≤1．故选：A ．先结合二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质先求出f(x)的范围，进而可求．本题主要考查了二倍角及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设曲线C1：y=lnx上一点A(x1,lnx1)，由y=lnx，得y′=1x ，∴y′|x=x1=1x1，可得曲线C1：y=lnx在A处的切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1)；设曲线C2：y=x−ax (x>0)上一点B(x2,1−ax2)，由y=1−ax ，得y′=ax2，则y′|x=x2=a x22，可得曲线C2：y=x−ax (x>0)在B处的切线方程为y−1+ax2=ax22(x−x2)．则{1x1=ax22lnx1−1=1−2ax2，可得√x1(lnx1−2)=−2√a．令f(x)=√x(lnx−2)，f′(x)=2√x −2)+√x⋅1x=2√x．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min=f(1)=−2，∴要使曲线C1和曲线C2有且仅有两条公切线，则关于x的方程√x(lnx−2)=−2√a有两不同解，又当x→0时，f(x)→0，∴−2<−2√a<0，得0<√a<1，即0<a<1则常数a的取值范围是(0,1)．故选：B．设曲线C1：y=lnx上一点A(x1,lnx1)，曲线C2：y=x−ax (x>0)上一点B(x2,1−ax2)，利用导数求得两曲线在切点处的切线方程，再由两切线的斜率相等，切线在y轴上的截距相等，可得√x1(lnx1−2)=−2√a，令f(x)=√x(lnx−2)，利用导数求其最小值，得到−2√a的范围，进一步求得a的范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用导数求最值，是中档题．13.【答案】34【解析】解：x 2+y 2=4表示以原点为圆心，以2为半径的圆，y+4x+2的几何意义为圆上的动点与定点P(−2,−4)连线的斜率，如图：设过P 斜率为k 的直线方程为y +4=k(x +2)，即kx −y +2k −4=0．由√k 2+1=2，解得k =34． ∴y+4x+2的最小值为34．故答案为：34．x 2+y 2=4表示以原点为圆心，以2为半径的圆，y+4x+2的几何意义为圆上的动点与定点P(−2,−4)连线的斜率，再由圆心到直线的距离等于半径列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．14.【答案】①②④【解析】解：对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线y =−12x +1上，则这组样本数据的线性相关系数为−1，所以②错误；对于③，回归直线y =bx +a 必经过样本中心点(x −,y −)，所以③正确；对于④，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以④错误．综上，错误的命题序号是①②②④．故答案为：①②④．利用均值和方差的定义，线性相关性，独立性检验原理和回归直线方程，判断命题的真假性即可．本题考查了均值和方差的定义的应用，线性相关性和独立性检验，回归直线方程的应用问题，是基础题．15.【答案】(−1,0)【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数最大值问题，属于中档题．求导数，判断函数单调性，再确定函数最大值，最后用数形结合法求解．【解答】解：f(x)=xlnx+12mx2有两个极值点，则f′(x)=1+lnx+mx=0有两个根，则g(x)=lnx+1x=−m有两个根，g′(x)=1x⋅x−(lnx+1)⋅1x2=−lnxx2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)max=g(1)=1>0，x→0(x>0)，g(x)→−∞，x→+∞，g(x)→0，所以f(x)=xlnx+12mx2有两个极值点⇔−m∈(0,1)，即m∈(−1,0)．故答案为：(−1,0)．16.【答案】643【解析】解：取AC中点M，连接MB、MD，因为∠BAC=∠BCA，∠DCA=∠DAC，所以AB=AB，AD=CD，所以AC⊥AM，AC⊥MD，所以AC⊥平面BDM，因为AB+AD=54BD=5AC=10√2，所以AC=2√2，BD=8√2，设AB=x，AD=y，∠BMD=θ，则x+y=10√2，MB=√x2−2，MD=√y2−2，所以BD2=MB2+MD2−2MB⋅MD⋅cosθ，所以64⋅2=x2−2+y2−2−2√(x2−2)(y2−2)cosθ，√(x2−2)(y2−2)cosθ=x2+y22−66，设三棱锥A−BCD体积为V，则V=13⋅12⋅√(x2−2)(y2−2)⋅sinθ⋅2√2，√(x2−2)(y2−2)⋅sinθ=√2，x2y2−2(x2+y2)+4=9V22+(x2+y22−66)2，9V2 2=x2y2−2(x2+y2)+4−(x2+y22−66)2=x2y2−2[(x+y)2−2xy]+4−((x+y)2−2xy2−66)2=x2y2−2(200−2xy)+4−(34−xy)2=34(2xy−34)−400+4xy+4=72xy−1552≤72⋅(x+y2)2−1552=2048，当x=y时，等号成立，即V≤643，当x=y时，等号成立，所以三棱锥A−BCD体积的最大值为643．故答案为：643．根据三棱锥体积公式及不等式求最大值即可．本题考查了三棱锥体积计算问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意，A、B配方样本容量相同，设为n，又B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为6n=0.006×10，解得n=100，∴a=100−(8+36+24+8)=24，由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)×10=1，解得b=0.026.∴a，b的值分别为24，0.026．(2)由(1)及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为：x A−=80×8+90×24+100×36+110×24+120×8100=200×8+200×24+100×36100=100，质量指标值的样本方差为S A2=1100[(−20)2×8+(−10)2×24+0×36+102×24+ 202×8]=112，由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为x B−=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标值的样本方差为：S B 2=∑(5i=1x i −x −)2p i =(−20)2×0.06+(−10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，综上，x A −=x B −，S A 2>S B2，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好．【解析】(1)A 、B 配方样本容量相同，设为n ，B 配方废品有6件．由B 配方的频频率分布直方图，能求出n =100，从而求出a 和b ．(2)由A 配方的频数分布表能求出A 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差；由B 配方的频频率分布直方图能求出B 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，得到选择B 配方比较好．本题考查频数和频率的求法，考查平均数、方差的求法及应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】(Ⅰ)证明：设F 为PA 的中点，连接EF ，FB ，因为E 为PD 的中点，所以EF//AD 且EF =12AD ，又因AD//BC 且AD =2BC ，所以EF//BC 且EF =BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE//BF ，又因BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE//平面PAB ；(Ⅱ)解：如图，设O 为AB 中点，连接PO 、OD ，过E 作EH//PO 交OD 于点H ，因为PA =PB =6，AB =4，所以PO ⊥AB ，PO =√PA 2−AO 2=4√2，又因平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ∩底面ABCD =AB ，所以PO ⊥底面ABCD ，而EH//PO ，所以EH ⊥底面ABCD ，所以EH 是三棱锥E −ABC 的底面ABC 上的高，且EH =12PO =2√2，又AD//BC，AD⊥AB，BC=AB，所以AB⊥BC，S△ABC=12AB⋅BC=12×4×4=8，所以V A−BCE=V E−ABC=13⋅S△ABC⋅EH=13×8×2√2=16√23．【解析】(Ⅰ)设F为PA的中点，连接EF，FB，证明四边形BCEF为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；(Ⅱ)设O为AB中点，连接PO、OD，过E作EH//PO交OD于点H，然后根据V A−BCE=V E−ABC=13⋅S△ABC⋅EH进行求解即可．本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积计算，同时考查了转化思想，以及推理能力和运算求解的能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题得a(sinA−sinB)+bsinB=csinC，由正弦定理得a(a−b)+b2=c2，即a2+b2−c2=ab．∴余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =12，∵C∈(0,π)，∴C=π3.…(6分)(2)∵mtanC =1tanA+1tanB，∴mcosCsinC =cosAsinA+cosBsinB=cosAsinB+sinAcosBsinAsinB=sin(A+B)sinAsinB=sinCsinAsinB，即mcosC=sin2CsinAsinB ，有m=2sin2CsinAsin(2π3−A)=32sinA(√32cosA+12sinA)=3212sin(2A−π6)+14，∵C=π3，A，B为锐角，可得：π6<A<π2，π6<2A−π6<5π6，∴12<sin(2A−π6)≤1，∴12sin(2A−π6)+14≤34，∴m min=3212+14=2.…(12分)【解析】(1)由正弦定理，将已知等式的正弦转化成边，可得a(a−b)+b2=c2，即a2+ b2−c2=ab.再用余弦定理可以算出C的余弦值，从而得到角C的值；(2)化简mtanC =1tanA+1tanB，可得m=3212sin(2A−π6)+14，从而由正弦函数的性质即可求得实数m的最小值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的最值的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．20.【答案】解：(1)因为B 点在椭圆上，由椭圆的对称性，点B 关于x 轴的对称点为B′也在椭圆上，再由点B′到Γ的两焦点的距离之和为4可得2a =4，即a =2，又椭圆的离心率e =c a=√32，所以c =√3，可得b 2=a 2−c 2=4−3=1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)S1S2为定值，且定值为1，证明如下：设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则B′(x 1,−y 1)，联立{y =1m (x −1)x 24+y 2=1，整理可得：(4+m 2)y 2+2my −3=0，则y 1+y 2=−2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2，直线B′C 的方程为：y+y 1y2+y 1=x−x 1x2−x 1，令y =0，可得x =x 2−x1y 2+y 1y 1+x 1=my 1(y 2−y 1)y 2+y 1+my 1+1=my 1y 2−my 12+my 12+my 1y 2y 2+y 1+1=2my 1y 2y 2+y 1+1=2m⋅−3m 2+4−2m m 2+4+1=4；所以当m 变化时直线B′C 与x 轴交于定点M(4,0)，所以S 1S 2=12×|OA|×|y C |12×|AM|×|y C |=|OA||AM|=24−2=1，即S 1S 2为定值，且定值为1．【解析】(1)由椭圆的对称性可得B′在椭圆上，再由椭圆的定义可得B′到两个焦点的距离之和为2a 可得a 的值，再由离心率可得c 的值，进而求出b 的值，求出椭圆的方程； (2)设B ，C 的坐标，进而可得B′的坐标，联立直线BC 与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，求出直线B′C 的方程，令y =0可得横坐标x 的表达式，将两根之和及两根之积代入可得直线B′C 恒过定点(4,0)，求出两个三角形△OAC ，△AMC 的面积之比，可得为定值．本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=xlnx +e x (lnx −x)+1，则f′(x)=lnx +1+e x (lnx −x +1x −1)，所以f′(1)=1−e ，又f(1)=1−e ，故切点为(1,1−e)，切线的斜率为1−e ，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −(1−e)=(1−e)(x −1)，即(e −1)x +y =0；(2)对∀x ∈(0,+∞)，f(x)≤ae x 恒成立，即a ≥xlnx+1e x+lnx −x 对∀x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=xlnx+1e x+lnx −x ，函数g(x)的定义域为(0,+∞)，则g′(x)=(lnx+1)−(xlnx+1)e x+1x −1=(1−x)(e x +lnx)xe x，令ℎ(x)=xlnx ，则ℎ′(x)=lnx +1，令ℎ′(x)=0，解得x =1e ，当0<x <1e 时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减，当x >1e 时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增，所以当x =1e 时，ℎ(x)取得最小值，故ℎ(x)≥ℎ(1e )=1e ln 1e =−1e ，又当x >0时，e x >1，所以e x +xlnx >1−1e >0，则当g′(x)>0时，可得0<x <1，当g′(x)<0时，可得x >1，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则当x =1时，g(x)取得最大值g(1)=1e −1，所以a ≥1e −1，故实数a 的取值范围为[1e −1,+∞)．【解析】(1)求出切点的坐标，求出f′(1)，从而得到f′(1)，得到切线的斜率，由点斜式求出切线的方程即可；(2)将不等式恒成立问题转化为a ≥xlnx+1e x+lnx −x 对∀x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=xlnx+1e x+lnx −x ，利用导数研究函数g(x)的单调性，确定函数g(x)的最大值，即可得到答案．本题考查了导数几何意义的应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 2的参数方程为{x =1+√33t y =√3+t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x −y =0．转换为极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．(2)曲线C 1与C 2相交于A ，O ，B 三点，所以设A(ρA ,π3)，B(ρB ,4π3)，所以{ρ=a(1−sinθ)θ=π3，解得ρA =a(1−√32)． {ρ=a(1−sinθ)θ=4π3，解得ρB =a(1+√32)，则：|AB|=|ρA −ρB |=2a ．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的方程组的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】选修4−5：不等式选讲解：(1)f(x)={−x +5,x ≤−4−3x −3,−4<x <12x −5,x ≥12.当x ≤−4时，由f(x)>0得−x +5>0，解得x ≤−4，当−4<x <12时，由f(x)>0得−3x −3>，解得−4<x <−1，当x ≥12时，由f(x)>0得x −5>0，解得x >5，综上，得f(x)>0的解集为{x|x <−1，或x >5}．( 2)因为f(x)+3|x +4|=|2x −1|+2|x +4|=|1−2x|+|2x +8|≥|(1−2x)+(2x +8)|=9．所以由题意可知|a −1|≤9，解得−8≤a ≤10，故所求a的取值范围是{a|−8≤a≤10}．【解析】(1)通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉原函数式中的绝对值符号，再解相应的不等式即可；(2)利用绝对值不等式f(x)+3|x+4|=|2x−1|+2|x+4|=|1−2x|+|2x+8|≥|(1−2x)+(2x+8)|=9可得|a−1|≤9，解之即可．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．。

高三数学文科期末统测试卷及答案

第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数12log (1)y x =-的定义域为。

2、抛物线24y x =的准线方程是。

3、方程4220x x +-=的解是。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为。

6、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为。

7、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是。

8、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

9、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为。

（用数字作答）10、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点。

11、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是。

12、在数列{}n a 中，13a =，点*(1,)n n N >∈在直线0x y --=上，则2lim(1)nn a n →∞+= 。

13、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为。

14、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m n b p q ==，令*a b mq np =-。

海淀区高三年级第一学期期末练习文科数学测试及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习文科数学卷数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． =︒600tan（）A ．3-B ．3C ．33 D ．33-2．椭圆13422=+y x 的准线方程是（）A ．x =4B ．41±=x C ．x =±4 D ．41=x 3．已知=-=αα2cos ,53cos 则（）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524-设集合 4．若直线0164202)1(=++=-+++y mx m y m x 与直线平行，则实数m 的值等于（）A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－1或－25．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题，其中正确的命题是（） A ．βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n mB ．ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,,C ．αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,,D ．αα//,//m n n m ⇒⊂6．设a 、b 是两个非零向量，则“222||||)(b a b a +=+”是“b a ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y 且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是（）A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π8．设A 、B 、C 、D 是半径为r 的球面上的四点，且满足AB ⊥AC 、AD ⊥AC 、AB ⊥AD ，则ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++ 的最大值是（）A ．r 2B ．2 r 2C ．3 r 2D ．4 r 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是，离心率e= . 10．已知向量,//),1,(),2,13(b a k b k a 且=+=则实数k = .11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 .12．设实数x 、y 满足y x z y x y x x 2,030223-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤则的最小值为 .13．三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，AB ⊥BC ，AB=1，BC=3，则点P 到平面ABC的距离为 .14．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C 上，则平面区域C 1的面积为，|PQ|的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且.s i n s i n s i n 2c o s c o s BCA B C -= （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）圆C 上一动点M （),0(),,000y ON y x =若向量ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥A 1C（Ⅰ）求异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：AM ⊥平面A 1BC ；（Ⅲ）求二面角M —AB —C 的正切值.18．（本小题共14分）已知向量)sin ,(sin ),cos ,(sin ),sin ,0(),cos ,cos 3x x d x x c x b x x a ==== （Ⅰ）当4π=x 时，求向量a 、b 的夹角；（Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求c ²d 的最大值；（Ⅲ）设函数)(),()()(x f d c b a x f 将函数+⋅-=的图象按向量m 平移得到函数g （x ）的图象，且||,12sin 2)(m x x g 求+=的最小值.19．（本小题共14分）已知函数,,,31)(23R c b cx bx x x f ∈++=且函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减. （Ⅰ）若b =－2，求c 的值；（Ⅱ）求证：c ≥3；（Ⅲ）设函数)(]3,1[),()('x g x x f x g 时，当-∈=的最小值是－1，求b 、c 的值. 20．（本小题共14分）如图，设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 两点坐标为（P y y y x y x ,0,0),,(),,212211<>是此抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点.（Ⅰ）求证：221p y y -=；（Ⅱ）直线PA 、PF 、PB 的方向向量为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ），求证：实数a 、b 、c成等差数列；（Ⅲ）若||,,,,0βαθθβα-==∠=∠=∠=⋅求证：PFO BPF APF PB PA .参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCBACCBB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分第二空2分，共30分）9．x y 21±=（缺一扣1分）， 25 10．－1 11．2212．－5 13．3 14．122,48-+π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（Ⅰ）由已知得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………1分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )……………………………………2分又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………3分∵0＜B ＜π∴3π=B ………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+== =ac c a -+22①………………………8分 ac c a c a 216)(222++==+ ②由①，②可得3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），这两点的距离为32 满足题意……………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设Q 点的坐标为（x ，y ），M 点坐标是),(00y x ，),,0(0y ON =,ON OM OQ += 00002,)2,(),(y y x x y x y x ===∴………………………………………………9分4)4(,4222020=+=+y x y x 即116422=+y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是116422=+y x ………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆. ……………13分 17．（共13分）解法一：（Ⅰ）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中， AC//A 1C 1 ∴∠BA 1C 1是异面直线A 1B 与AC 所成的角……………………2分连接BC 1∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1 ∴CC 1⊥A 1C 1又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90° 即A 1C 1⊥B 1C 1∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ∴A 1C 1⊥BC 1在直角三角形BCC 1中，BC=1，CC 1=AA 1=672121=+=∴CC BC BC在直角三角形A 1BC 1中，7,3111==BC C A10212111=+=∴BC C A B A1030cos 11111==∴B A C A C BA ………………………………………………4分（Ⅱ）由（I ）可知，BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又AM ⊂平面ACC 1A 1，则BC ⊥AM ∵AM ⊥A 1C ，∴AM ⊥平面A 1BC（Ⅲ）在三角形ABC 中，作AB 边上的高CH ，垂足为H ，连接MH ，显然CH 是MH 在平面ABC 上的射影 ∴MH ⊥AB∴∠MHC 是二面角M —AB —C 的平面角 …………………………11分 ∵AM ⊥A 1C∴∠MAC=∠AA 1C ，则 tanMAC=tanAA 1C 即3,6,11===AC AA ACMCAA AC 又中，，故在直角三角形又MCH CH MC 2326==∴ 22326tan ===CH MCMHC ………………………………………………13分解法二：（I ）如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C （0，0，0）)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A),6,1,3(1--=∴B A)0,0,3(=CA ……………………2分设异面直线A 1B 与AC 所成的角为1θ，则1030303||||||cos 111==⋅⋅=CA B A CA B A θ ……………………………………4分（Ⅱ）同解法一…………………………………………………………9分（Ⅲ）设M （0，0，z 1） ∵AM ⊥A 1C 01=⋅∴C A AM 即－3+0)26,0,0(,26,0611M z z 所以故==+………………10分设向量m=（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则AB m AM m ⊥⊥,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030263,00y x z x AB m AM m 即，令x=1，则平面AMB 的一个法向量为 ),2,3,1(=m显然向量n=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量，设所求二面角的大小为2θ 则3362||||||cos 2==⋅⋅=n m n m θ2tan 2=∴θ…………………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）4π=x)22,0(),22,26(==b a ……………………………………………………………1分则2122221||||,cos ,21)22,0()22,26(=⋅=⋅>=<=⋅=⋅b a ba b a b a ∴向量a ，b 的夹角为3π………………………………………………………………3分（Ⅱ）x x x x x x x d c cos sin sin )sin ,(sin )cos ,(sin 2+=⋅=⋅=)42sin(2221)2cos 2(sin 212122sin 22cos 1π-+=-+=+-x x x x x ……5分43424]2,0[ππππ≤-≤-∴∈x x …………………………………………6分当212·83,242+==-取最大值时，即d c x x πππ…………………………8分（Ⅲ）)cos sin ,sin 2()sin cos ,cos 3()()()(x x x x x x d c b a x f +⋅-=+⋅-= =x x x x x x 2cos 2sin 3sin cos cos sin 3222+=-+ =)62sin(2π+x ……………………………………………………10分设m=（s ，t ），则12sin 2)622sin(2]6)(2sin[2)()(+=++-=++-=+-=x t s x t s x t s x f x g ππ)(12,1Z k k s t ∈+==∴ππ易知当k=0时，1144||2min +=πm …………………………………………14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得f ‘（1）=0…………………………………………………………1分又c bx x x f ++=2)(2'f ‘（1）=1+2b+c=0，………………………………………………………………2分将b=－2代入，可得c=3………………………………………………………………3分（Ⅱ）可知c x c x x f x f c b ++-=+-=)1()()(,212'可得代入‘ 令c x x x f ===21',10)(，则……………………………………………………4分又当－1＜x ＜1时，时，当31,0)('<<≥x x f 0)('≤x f 如图所示；易知c ≥3…………………………8分（Ⅲ）若1≤－b ≤3，则.12)()(22min -=+-=-=c b b b g x g又1+2b+c=0，得b=－2或b=0（舍），c=3，若－b ≥3，则)3()(min g x g = =9+6b+c=－1，又1+2b+c=0 得49-=b （舍）综上所述，b=－2，c=3…………………………………………14分 20．（共14分）证明：（I ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：2px =，则),,2(),,2(p pB p p A - 221p y y -=∴……………………………………………………1分（2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 方程为：),2(px k y -=则由 )0(02,2)2(222≠=--⎪⎩⎪⎨⎧=-=k kp py ky px y p x k y 可得 221p y y -=∴……………………………………………………3分（Ⅱ）由已知PB PF PA k c k b k a ===,,，设)0,2(),,2(p F t p P -p y x p y x p x t y c p tb p x t y a 2,2;2,,22222112211==+-=-=+-=∴且故222222112222112211)(2)(2222222p y t y p p y t y p p p y t y p p y t y p x t y p x t y c a +-++-=+-++-=+-++-=+ = ))(())(())((222222122122221p y p y p y t y p y t y p +++-++-⋅ b ptp y y p p y y t p p y y p y y tp ty p y y y tp ty p y y y p 22)2()2(2)(22222122222142221222212212221222221221=-=++++-⋅=+++--++--+⋅=∴a 、b 、c 成等差数列……………………………………………………8分（Ⅲ）解法一：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA PB PA 故由（Ⅱ）可知c b b a b c a -=-=+即,2 ①若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k 则c ac b a b a ab ac b a ab b a -==--=+--=+-=1)(1tan α同理可得αβ=tanb ca a c a c -=+-=-+--=⋅+-=-∴2)(1tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα即θβαtan |||)tan(|==-b 易知∠PFO ，∠BPF ，∠APF 都是锐角||βαθ-=∴③若,0<AB k 类似的也可证明||βαθ-=总上所述，||βαθ-=……………………………………………………14分解法二：1,0-=⋅⊥∴=⊥c a PB PA PB PA 故①如图，若AB ⊥x 轴，则︒=︒==0,45θβαβαθ-=∴②若,0>AB k ∵A 、B 在抛物线上，||||,|||BD BF AC AF ==∴ 设AB 中点为M ，则2||||AB PM ==2||||2||||BD AC BF AF +=+所以PM 是梯形ABDC 的中位线，故P 是CD 中点2)(),(),2,()0,2(,2),2,2(2122121212212121y y x x p PF AB y y x x AB y y p PF p F y y t y y p P ---=⋅∴--=+-=+=+-∴又 β=∠=∠∴∆≅∆∴⊥∴=---=DPB BPF PBF PDB PFAB x x p x x p .02)(2)(1212βαθβαβθ-=∴+=︒=+∴,902③若,0<AB k 类似②可证αβθ-=∴||βαθ-=……………………………………………………14分。

高三文科数学试卷(含答案)经典题

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =IA ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是A ．(2)a a ，B ．1(2)2-， C ．(2a a ， D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为 A ．64+163 B ． 16+334 C ．163 D ． 164．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为 21，则=++543a a a （）A ．33B ．72C ．84D ．189 5. 将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移12π=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 2π=x6．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92 D ．3677．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．P TMAOA B C D8．在约束条件⎧⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩x>0y 12x-2y+10下，目标函数y x z +=2的值 A ．有最大值2，无最小值 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最小值21，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值 9．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．将n 个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是第二卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线，则ｍ的值为．12．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是．13. 已知|a |=|b |=|b a -|=1,则|a +b 2|的值为．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为．15．（几何证明选讲选做题）如图PT 为圆O 的切线，T 为切点，3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则PA = ．开始a =1 a =3a +1 a >100?结束是否a =a +1输出a三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x⑴ 求)(x f 的最大值及此时x 的值； ⑵ 求)(x f 在定义域上的单调递增区间。

高三上学期期末文科数学试卷及答案(共5套)

则 cosB =
．
16. 已知函数 f ( x)
sin x(0 x 1), 若 a, b, c 互不相等，且
log2014 x(x 1),
f ( a) f (b) f (c) ，则 a b c 的取值范围是
A D
B C
第15 题图
三、解答题：（本大题共 6小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）
sin x 1}; ③ M={( x, y )| y
log2 x };
x
④ M {( x, y) y ex 2} . 其中是“垂直对点集”的序号是
（
A．①②Biblioteka B．②③C．①④D．②④
第 II 卷 ( 非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 ? 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
回，但每件商品亏损 10 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利
40 元 .
（1）若商品一天购进该商品 10 件，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n （单位：件， n N ）
的函数解析式；
（2）商店记录了 50 天该商品的日需求量 n （单位：件， n N ），整理得下表：
高三第一学期文科数学期末考试卷
第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 M { 2,0,2,4} ， N { x | x2 9} ，则 M N （）

2020-2021学年四川省成都市石室中学高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2020-2021学年四川省成都市石室中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．42．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．64．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣16．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．205912．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012二、填空题（共4小题）.13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}＝{x|x≤}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴＝1，解得a＝2．故选：C．2．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝2解：抛物线y2＝﹣8x的开口向左，2p＝8，∴抛物线y2＝﹣8x的准线方程为x＝＝2故选：D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．6解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7＝28，a2+a4＝7，∴7a1+21d＝28，2a1+4d＝7．解得：a1＝，d＝．则a6＝+5×＝5．故选：C．4．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．解：由e iθ＝cosθ+i sinθ，得e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣1解：，，则样本点的中心坐标为（3，9），代入，得a＝9﹣3×3＝0，∴线性回归方程为，取x＝4，可得，则此回归模型第4周的残差为13﹣12＝1．故选：B．6．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．解：∵向量，的夹角为，，，所以：||＝；∴•（+2）＝+2＝5+2××||•cos＝0⇒||＝；故选：A．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为解：∵直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，∴函数f（x）的最小正周期为，A错，∴，∵图象关于点成中心对称，∴2×+φ＝，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ＝．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z，B错；∴f（x）＝tan（2x+），∴函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到，C错；∵﹣+kπ＜2x+＜+kπ，∴函数f（x）的递增区间为，D对．故选：D．9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，f（x）＝x+a，g（x）＝lnx，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣lnx+a，则F′（x）＝1﹣＝，在区间（0，1）上，F′（x）＜0，F（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）为增函数，则F（x）在（0，+∞）的最小值为F（1）＝1﹣ln1+a＝a+1，当a＞﹣1时，F（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）的上方，此时d（f，g）＝a+1＞0，当a≤﹣1时，F（x）＝0有解，f（x）与g（x）的图象有交点，此时d（f，g）＝0，若“a＞2”，则d（f，g）＝a+1＞3＞2，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”充分条件，反之，若d（f，g）＞2，即a+1＞2，解可得a＞1，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”的不必要条件，故“a＞2”是“d（f，g）＞2”的充分不必要条件，故选：A．10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆C：x2+y2﹣10x+16＝0可化为（x﹣5）2+y2＝9，∵圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为y＝x，即ax﹣by＝0，∴2＜＜4，即2＜＜4，解得：．即双曲线离心率的取值范围是（，）．故选：A．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．2059解：n＝1时，a1+S1＝1，1＝，n≥2时，a n+S n＝1，a n﹣1+S n﹣1＝1，∴a n＝a n﹣1，则数列{a n}是首项为公比为的等比数列．∴，S n＝．∴．则＝2+22+…+29﹣9＝1024﹣11＝1013．故选：A．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012解：x∈[﹣1，0）时，[x]＝﹣1，所以f（x）＝x+1，因为f（x）+f（2+x）＝0，所以f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，又f（x）+f（2﹣x）＝0，则有f（x+2）＝﹣f[2﹣（x+2）]＝﹣f（﹣x），又f（x+2）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，令，则，令h'（x）＝0，解得x＝2，当x＜2时，h'（x）＜0，h（x）在（﹣∞，2）上单调递减，当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上单调递增，所以，当x＝2时，，函数的零点个数等价于y＝f（x）与y＝h（x）图象的交点个数，作出函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象如图所示，在区间[﹣1，3）内有2个交点，在[3，7）上有2个交点，即每个周期都有2个交点，将区间[﹣1，2021]分为两部分[﹣1，3）和[3，2021]，在[3，2021]上共有504个周期余前半个周期，而在[3，2021]上，每个周期的前半个周期都没有交点，后半个周期有2个交点，所以在区间[﹣1，2021]上的交点个数为2+504×2＝1010，故函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为1010个．故选：B．二、填空题13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．解：在“一带一路”（英文：The Belt and Road，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为：84，84，84，86，87，∴所剩数据平均数为＝（84+84+84+86+87）＝85，∴所剩数据的方差为：S2＝[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]＝．故答案为：．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．解：∵直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，∴（a﹣1）×1+2×b＝0，解得a+2b＝1，∵a，b∈R+，∴2ab≤＝，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号，∴ab的最大值等于．故答案为：．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为π．解：如图，等边三角形内切球的半径r＝3＞，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面相切，∴球半径R＝，∴V max＝＝．故答案为：π．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是①③④．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．解：对于①，若f（x）是t＝的回旋函数，则f（x+）+f（x）＝0，即f（x+）＝﹣f（x）恒成立，∴f（x）•f（x+）≤0，∴由零点存在性定理可得，函数f（x）在区间[x，x+]上至少有一个零点，故①正确；对于②，若指数函数y＝a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x＝0，a t+t＝0，∴t＜0，故②错误；对于③，若（x+a）2+ax2＝0对任意实数都成立，令x＝0，则必须有a＝0，令x＝1，则有a2+3a+1＝0，a＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故③正确；对于④，∵函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，∴tanω1（x+t）+t•tanω1x＝0，sinω2（x+t）+t•sinω2x＝0，∴ω1，ω2的取值的集合是相等的，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．解：（1）选①，，由正弦定理可得sin C sin＝sin A sin C，因为C为三角形内角，sin C＞0，所以sin＝sin A，即cos＝2sin cos，因为A为三角形内角，∈（0，），所以sin＝，可得＝，可得A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），选②，2cos A（b cos C+c cos B）＝a，由正弦定理可得2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝sin A，所以2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos A＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选③，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，因此cos A＝＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣＝0，即C＝．（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bc sin A＝bc＝b2，所以解得b＝2．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？【解答】（Ⅰ）记事件A为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”，在[40，80）、[80，120）两组数据中用分层抽样抽6天，[40，80）中抽的天数为天，记为A，B，[80，120）中抽的天数为天，记为a，b，c，d，则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共15种，选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），共9种∴选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为．（Ⅱ）若租赁2辆车，平均利润为若租赁3辆车，平均利润为∵4080＞3520，所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大．19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．【解答】证明：（Ⅰ）CD∥AB．理由如下：连结CD，分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN，由图（1）可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，则DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN ∵平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF∴DM⊥平面ABEF．同理得，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．又∵DM＝CN∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD∥MN．∵M，N分别是AF，BE的中点，∴MN∥AB∴CD∥AB．（Ⅱ）证明：∵DM∥CN，DM⊆平面DFA，CN⊄平面DFA∴CN∥面DFA∵CN⊂平面CEB，面DFA∩平面CEB＝l∴CN∥l∵DM∥CN∴DM∥l由（Ⅰ）问有DM⊥平面ABEF．∴l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．解：（Ⅰ）函数f（x）＝x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）＝2xlnx+x﹣2，所以f'（1）＝﹣1，又f（1）＝﹣2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）＝4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2＝4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2＝0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）＝2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）＝2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）＝1﹣4ln2＜0，g（2）＝2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）＝0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）＝f（x）﹣（﹣x﹣1）＝x2lnx﹣x+1，则h'（x）＝x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）＝0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1＝﹣2.01．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，∴a2＝1+1＝2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2＝．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x＝，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2＝2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴＝＝，∴3m2＝2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2＝＝＝0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|＝，|AB|＝＝＝＝，①当k≠0时，|AB|＝，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k＝时，取“＝”号．②当k＝0时，|AB|＝．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．解：（1）直线l1的参数方程为参数），转换为直线l1的普通方程为y＝k （﹣x），直线l2的参数方程为参数）．转化为直线l2的普通方程为y﹣2＝，联立直线l1，l2方程，消去参数k，得曲线C的普通方程为y（y﹣2）＝﹣x2，整理得x2+（y﹣1）2＝1（x≠0）．（2）直线l：，即为ρ（cosθ+sinθ）＝2，即ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x+y﹣4＝0，由x2+（y﹣1）2＝1（x≠0），可得C的参数方程为（α为参数，且0≤α＜2π，且α≠），可设P（cosα，1+sinα），d1＝＝＝（3﹣cosα﹣sinα），又d2＝1+sinα，则d1+d2＝+sinα﹣cosα＝sin（α﹣）+，当α＝时，sin（α﹣）取得最大值1，则d1+d2取得最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＞0即为|2x﹣1|＞|x﹣3|，∴|2x﹣1|2＞|x﹣3|2，即4x2﹣4x+1＞x2+9﹣6x，∴3x2+2x﹣8＞0，解得或x＜﹣2，∴不等式的解集为；（Ⅱ）m2﹣4|m|+|x﹣3|＞|2x﹣1|﹣|x﹣3|即m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，由||2x﹣1|﹣|2x﹣6||≤|（2x﹣1）﹣（2x﹣6）|＝5（x＝3时等号成立），可知m2﹣4|m|＞5，解得|m|＞5，∴m＞5或m＜﹣5，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．。

2021年高三上学期期末考试文科数学含答案

2021年高三上学期期末考试文科数学含答案高三数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},),2(log |{},01|{22M x x y y N x x M ∈+==<-=则A. B. C. D. 2.已知复数，则的共轭复数等于 A. B. C. D.3.有10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12. 设其平均数为，中位数为，众数为，则有 A. B. C. D.4.连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为，记向量的夹角为，则的概率是 A. B. C. D.5.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 A. B. C. D.6.点是曲线上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是 A. B. C. D.7.下列命题中真命题的个数是 ①②都不是偶函数 ③命题，则命题④，函数的图像都有三个交点⑤命题甲“成等比数列”是命题乙“成等差数列”的充要条件A. 1B. 2C. 3D. 48.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V 1,V 2,V 3,V 4,若上面两个几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A.V 1<V 2<V 4<V 3 B.V 1<V 3<V 2<V 4 C.V 2<V 1<V 3<V 4 D.V 2<V 3<V 1<V 49.若是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值是2，则 A. B. C. D.10.已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数.若，且是正整数，则的值可以是A. B. C. D.11.已知都是定义在R 上的函数，，且25)1()1()1()1(),1,0)(()(=--+≠>=g f g f a a x g a x f x，对于数列，任取正整数，则其前项和大于的概率为 A. B. C. D.12.已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为 A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若变量满足的最大值为，则；14.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是；15.在中成立，在四边形中成立，在五边形中成立，猜想在边形中不等式成立；16.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为，且点都在半径为1的同一个球面上，则顶点与面的中心之间的距离；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本题满分12分）在锐角中，AB CD AB B A B A ⊥==-=+,3,51)sin(,53)sin(于点. （1）求证：;（2）求的长.18.（本题满分12分）如图,在四棱锥中,平面,,, ,是的中点.(1)求证:⊥平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求四棱锥的体积.19.（本题满分12分）某校高三(1)班的一次数学考试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：(1)求分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．20.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形，直线与抛物线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点. 是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数)()1()(为自然对数的底数e ex x f x-+=.（1）求函数的单调区间；（2）设函数.，存在实数成立，求实数的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑22．选修4－1：几何证明选讲如图，圆O 的直径，弦DE ⊥AB 于点H ，．（1）求DE 的长；（2）延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若，求的长.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数0)2(,|,2|)(≥+∈--=x f R m x m x f 且的解集为（1）求的值；（2）若.93231211,,,≥++=++∈+c b a m cb a Rc b a ，求证且齐齐哈尔市实验中学xx 学年度上学期期末考试高三数学试题（文科答案） xx-1-10一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）8.【解析】选C. V 1==, 7<V 1<8,V 2=2π<7; V 3=8; V 4=(4++16)= >9, 所以V 2<V 1<V 3<V 4.12.【解析】记，则，于是是R 上的减函数，且不等式即，即，所以选D 。

(完整版)高三文科数学试题

高三文科数学试题（考试时间为120 分钟，共150 分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1. 已知会集M x ( x 2)(x 1)0 ， N x x 10 ，则 M N =（）A ．(1，2)B．(11)， C ．(2，1) D ．(2， 1)2.．复数5i（）2i1A ．2 iB ．1 2i C．2 i D ．1 2i3. 在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值： 3.841 和 6.635 ；当K2＞ 3.841 时，有 95%的掌握说明两个事件有关，当K2＞ 6.635时，有 99% 的掌握说明两个事件有关，当K 2 3.841时，认为两个事件没关 .在一项打鼾与患心脏病的检查中，共检查了2000 人，经计算的 K 2=20.87，依照这一数据解析，认为打鼾与患心脏病之间（）A ．有 95%的掌握认为两者有关B ．约有 95% 的打鼾者患心脏病C ．有 99%的掌握认为两者有关D ．约有 99% 的打鼾者患心脏病4.已知椭圆x2y2F 1、 F2， M 是椭圆上一点， N 是 MF 1的中点，161 的左右焦点分别为12若 ON1，则 MF1的长等于（）A 、 2B、 4C、 6 D 、 5x＋ y≥05. 在平面直角坐标系中，不等式组x－ y＋ 4≥0表示的平面地域面积是()x≤19A ． 3B ． 6C ．2D． 96. l 是某参加 2007 年高考的学生身高条形，从左到右的各条形表示的学生人数依次A 1 ，、 A 2 、 ⋯ 、 A 10 。

(如 A 2表示身高 ( 位： cm) 在 [150 ，155) 内的学生人数 ) ． 2 是 l 中身高在必然范内学生人数的一个算法流程．要身高在160 ～ 180cm( 含 160cm ，不含 180cm) 的学生人数，那么在流程中的判断框内填写的条件是A.i<9B.i<8C.i<7D.i<6（）7．一个几何体的三如所示，其中正是一个正三角形，个几何体的（）A ．外接球的半径3B ．表面731331 11C ．体3D ．外接球的表面 4163正视图侧视图8．一个球的表面等于，它的一个截面的半径，球心到截面的距离（）A ．3B ．C ． 1D ． 31俯视图225π 5π9．已知角 α的上一点的坐sin6 ，cos 6，角 α的最小正()5π2π5π11πA. 6B. 3C. 3D. 610 ．双曲 x2y 21(a 0, b 0) 的左焦点 F ( c,0)( c 0)作 x 2y 2 a 2 的切a 2b 24 ，切点 E ，延 FE 交双曲右支于点P ，若 OFOP2OE ，双曲的离心率（）A ．2B ．10C ． 10D ． 105211.a1 ，关于 x 的不等式 a( x a)( x1) 0 的解集是（）a(A) { x | xa ，或 x 1}(B) { x | x a}(C) { x | xa ，或 x 1 }(D) { x | x 1}aaa 12. 已知 a n3( n N * ) ，数列 { a n } 的前 n 和 S n ，即 S na 1 a 2a n ，2n5使 S n0 的 n 的最大（）第Ⅱ卷本卷包括必考和考两部分。

高三文科数学期末参考答案.docx

& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷海南侨中三亚学校2015-2016学年第一学期期末考试高三年级数学（文）参考答案（命题人：邢日昱审题人：姜广良）考场：___________座位号：___________本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答题CDACDABCBACA第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13、 6 14. 1 ． 15． 1 16. 24 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由a ∥b 得3sin θ－cos θ＝0，∴tan θ＝13.（Ⅱ）tan 2θ＝231－19＝34.18．（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）213133()sin 23+sin 2(1cos 2)+22222f x x x x x ==-+班级姓名考号座位号……………………………………………装………………………………………订………………………………………线…………………………………………………… ………………装………………订………………线………………内………………不………………要………………答………………题……………………………………& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷1sin 2cos 2sin(2)223x x x π=-=- 因此()f x 的最小正周期为π，最小值为1- （Ⅱ）由条件可知：()3sin(2)3g x x π=-那么()g x 的值域为[]-3,320.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得22b ac =又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22b ac =因为90B =o，由勾股定理得222a cb += 故222a c ac +=，得c a ==所以ABC V 的面积为1……………………………………………12分21、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,322a d a d ⨯+=+= 化简得11322,2a d a d +=+=，解得111,2a d ==，故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=（Ⅱ）由（Ⅰ）得14151511,82b b a +====设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =，故{}n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n n b q T q -⨯-===---22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1(0,),()f x a x'+∞=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<。

第一学期期末考试高三数学文科试题

第一学期期末考试高三数学文科试题温馨提示：1、全卷满分150分，考试时间120分钟.编辑人：丁济亮2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置；交卷时只交答题卡.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1．复数22i i+-表示复平面内点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A .209d > B .52d ≤C .20592d <≤D .20592d <≤3.命题“,x x R e x ∃∈<”的否定是 A . ,x x R e x ∃∈> B . ,x x R e x ∀∈≥ C . ,x x R e x ∃∈≥D . ,x x R e x ∀∈>4.已知集合{}{}22,0,lg(2),x M y y x N x y x x M N ==>==- 为 A .(1,2) B . (1,)+∞ C . [2,)+∞ D . [1,)+∞5．设a 、b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是 A ．若,a a αβ⊥⊥则α∥β B ．若,a b ββ⊥⊥，则a ∥b C ．若,b a ββ⊥⊆则a b ⊥D ．若a ∥,b ββ⊆，则a ∥b6．若,x y 满足约束条件2122x y x y y x -⎧⎪⎨⎪-⎩≤+≥≤，目标函数2Z kx y =+仅在点(1,1)处取得小值，则k 的取值范围为 A ．（－1，2）B ．（－4，2）C ．(－4，0]D ．（－2，4）7.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)()f x f x +=-,若()f x 在[1,0]-上是增函数，那么()f x 在[1,3]上是 A .增函数 B .减函数 C .先增后减的函数 D .先减后增的函数8.函数()ln x f x x e =+的零点所在的区间是 A .1(0,)eB . 1(,1)eC . (1,)eD . (,)e +∞9.函数sin ,[π,π]y x x x =+∈-，的大致图象是A 、B 、C 、D 、10. 若向量a 与b 不共线，0≠⋅b a ，且b a c -=，则向量a 与c 的夹角为A . 0B .π6C .π3D . π2二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 已知函数2(3)()(1)(3)x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩≥则2(log 3)f = ▲ .12．若等比数列}{n a 的前n 项和61)31(+=a S nn ，则=a ▲ .13. 曲线21x y x =-在点(1,1)处的切线方程为 ▲ .14.πsin(2)4y x =-的单调减区间为 ▲ .15.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC AE AF λμ=+，其中,,R λμλμ∈+=则_____▲______.16.在△ABC 中，45B = ，C =60°，c =1，则最短边的边长是 ▲ .17.若函数21()ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_______▲________.三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（本小题满分12分）已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明213211a a a a ++--…111n na a ++<-.19.（本小题满分12分）已知命题P ：函数()(25)x f x a =-是R 上的减函数，命题Q ：在(1,2)x ∈时，不等式220x ax -+<恒成立，若命题“P Q ”是真命题，求实数a 的取值范围.20（本小题满分13分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图，俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，N 是BC 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）求该几何体的体积；（2）求证：AN ∥平面CME ；（3）求证：平面BDE ⊥平面BCD21．（本小题满分14分）已知函数()ln k f x e x x=+（其中e 是自然对数的底数，k 为正数）（I ）若()f x 在0x 处取得极值，且0x 是()f x 的一个零点，求k 的值；（II ）若(1,)k e ∈，求()f x 在区间1[,1]e 上的最大值.第20题图22. （本小题满分14分）如图，已知直线OP 1，OP 2为双曲线E :22221(0,0)x y a b ab-=>>的渐近线，△P 1OP 2的面积为274，在双曲线E 上存在点P 为线段P 1P 2的一个三等分点，且双曲线E2.（1）若P 1、P 2点的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1、x 2之间满足怎样的关系？并证明你的结论；（2）求双曲线E 的方程；(3)设双曲线E 上的动点M ,两焦点12,F F ,若1F ∠ 为钝角,求M 点横坐标0x 的取值范围.高三期末考试数学（文）参考答案及评分标准命题人：钟祥一中范德宪邹斌审题人：龙泉中学刘灵力市教研室方延伟一、选择题（每小题5分，共50分。

2023年四川高三期末数学试卷(文科)及答案

2023年四川高三期末数学试卷（文科）一、选择题：（共12题，每题5分，只有一个正确选项）1.若{|10},{|30}A x x B x x =+>=-<，则A B =（）A.(1,)-+∞ B.(,3)-∞ C.(1,3)- D.（1，3）2.设a，b 是向量，命题“若,||||a b a b ==则”的逆命题是（）A.若,||||a b a b ≠≠则B.若,||||a b a b =≠则C.若||||,a b a b≠≠则 D.若||||,a b =则a=b3.具有线性相关关系的变量x、y 的一组数据如下表所示.若y 与x 的回归直线方程为233-=∧x y ，则m 的值是（）A.4B.29C.5.5D.64.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是（）5.已知，，且，则()A.（2，-4）B.(2,4)或（2，-4）C.（2，-4）或（-2，4）D.（4，-8）6.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上x 0123y-11m8是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 取值范围是（）A.(,2)-∞ B.(2,)+∞ C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,2)-7.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法.若输入209m =，121n =，则输出的m 的值为（）A.0 B.11 C.22D.888.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若错误！未找到引用源。

”的否命题为：“若错误！未找到引用源。

”；B.“m 错误！未找到引用源。

”是“直线错误！未找到引用源。

”的充要条件；C.命题“∃错误！未找到引用源。

”的否定是：“错误！未找到引用源。

”；D.命题“已知Ａ、Ｂ为三角形的内角，若B A =，则B A sin sin =”的否命题为真命题；9.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积.A.60π B.75πC.90πD.93π10.已知函数()()()2433,0log 11,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，则a 的取值范围是（）A.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.30,4⎛⎤⎥⎝⎦C.13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,3⎛⎤⎥⎝⎦11.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆22(4)1x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A.251-B.252-C.171-D.172-12.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ,数列{}n a 是等差数列,若273,13a a ==，则1232015()()()()f a f a f a f a ++++= （）A.2- B.3- C.2D.3二、填空题：（共4题，每小题5分）13.复数i215-的共轭复数是____________。

福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)

福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷(有答案)福州市2017-2018学年第一学期高三期末考试文科数学试卷（有答案）本试题卷共23题，分为第I卷和第II卷，共计150分，考试时间120分钟。

第I卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x(x-6)(x+1)0}，则A∩B=（C）。

2.若复数z=a1为纯虚数，则实数a=（B）。

3.已知a=(12)，b=(-1,1)，c=2a-b，则|c|=（B）。

4.3cos15°-4sin215°cos15°=（D）。

5.已知双曲线C的两个焦点F1F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为3，若点M在C 上，且MF1MF2M到原点的距离为3，则C的方程为（C）。

6.已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（B）。

7.右面的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》。

图中的Mod(N,m)=n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10,3)=1.执行该程序框图，则输出的i等于（C）。

8.将函数y=2sinx+cosx的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为（D）。

二、填空题（共3小题，每小题10分，共30分）9.已知函数y=ln(1-x)，则y''=（B）。

10.已知函数f(x)=x+sinx，则f'(π)的值为（C）。

11.已知函数f(x)=x+sinx，则f(x)在[0,π]上的最小值为（A）。

三、解答题（共8小题，每小题10分，共80分）12.解方程log2(x+1)+log2(x-1)=1.13.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的单调递减区间。

14.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的极值和极值点。

15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程。

2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题含答案(III)

2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

高三上学期期末考试数学试卷(文科)含解析 (6)

2018-2019学年度第一学期期末调研测试高三数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式求得的范围，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得.故.故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集等知识，属于基础题.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简为的形式，由此求得.【详解】依题意，，故，故选B.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的知识和运算，属于基础题.3.已知向量，，若，则实数的值为（）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=,=，则||的充要条件是.4.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据离心率得到，由此计算得，进而求得双曲线渐近线方程.【详解】由于双曲线离心率为，故，解得，故双曲线的渐近线方程为.所以选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.若，，，则的最大值为（）A. 25B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将等价变换后，利用基本不等式求得最大值.【详解】依题意，当且仅当时等号成立，故选D. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6.函数的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.8.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】将转化为，由此判断出正确选项.【详解】由于，故需向左平移后得到的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题.9.在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得b5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知,由等比数列的性质可得，又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2．则＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，设出点的坐标，代入，化简后求得取值范围.【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式来求解，其中是圆的半径，是圆心到直线的距离.12.设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】当时，，由此排除D选项.当时，，由此排除B选项.当时，，由此排除A选项.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为_____．【答案】【解析】【分析】先求得曲线在点处切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程.【详解】，所以，且切线的斜率为，由点斜式得，即. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线的点斜式方程，属于基础题.要求曲线在某点处的切线方程，要先求得曲线在切点的斜率，斜率是利用导数来求得.直线的点斜式方程为，其中为斜率，即.填空题，切线方程可写为一般式或者斜截式.14.实数，满足，且，则的最小值为_____．【答案】-11【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，即斜率为3，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，z最小由得C（﹣4，-1）∴目标函数z＝3x﹣y的最小值为z＝-12+1＝-11．故答案为：-11【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为2的等边三角形，则球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据已知条件是球的直径，所以的中点为球心，根据直径对的圆周角为直角，在等腰直角三角形中求得直径的长，进而求得球的表面积.【详解】由于是球的直径，故的中点为球心.由于直径所对的圆周角是直角，且是有一条公共边的等边三角形，故三角形是等腰直角三角形，故，所以球的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积计算问题，关键是找到球心和求出球的半径，属于基础题.16.如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边.则四边形的面积最大值为_____．【答案】【解析】【分析】设，利用表示出四边形面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值. 【详解】设，由余弦定理得，所以四边形的面积，故当，时，面积取得最大值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的首项，且，10，构成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）因为，10，构成等差数列，所以，又因为数列为等比数列，，设其公比为，那么，解得，所以；（2）因为，所以，【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和，考查裂项求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分.为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，整理得到如图频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）从当天购物数额在，的顾客中按分层抽样的方式抽取6人.那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用小长方形面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）利用列举法列出所有的基本事件，求得“积分之和不少于分”的事件数，根据古典概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】（1）各组的频率分别为0.04，0.06，，，，0.2，，0.08，0.02∴化简得，解得，（2）按分层抽样的方法，在内应抽取4人，记为每人的积分是110分；在内应抽取2人，记为，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有共15种方法.所以，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的有共9种方法.设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分为事件，则.所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查利用列举法求解古典概型问题，属于中档题.19.如图，四棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，.（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见证明；（2）1【解析】【分析】（1）通过证明，证得平面，由此证得.(2)首先证得平面，其次证得平面，由此得到，从而得到四边形是直角梯形，并求得面积，利用锥体体积公式计算得四棱锥的体积.【详解】（1）因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）因为，，且，平面，平面，所以平面.①因为平面，平面，所以.又因为，，平面，平面，所以平面②由①②得，因为，所以四边形是直角梯形，因为，，所以又因为平面，所以【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查四棱锥体积的计算，属于中档题.20.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求得，根据焦点求得，结合求得，由此得到椭圆的标准方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式及韦达定理，利用列出方程，并由此化简直线方程，得到直线所过定点.当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，证得直线过定点.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，∴∴∴所以，椭圆的标准方程为.（2）①直线斜率存在，设直线：，，，联立方程消去得，，，，又，由得，即，，∴，∴，∴.解得：，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点.②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线：，：，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点综上所述，直线恒过定点【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系以及判别式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.直线和圆锥曲线相交有关的题目，直线的斜率是否存在，这是首先要考虑的，要分为斜率存在和不存在两种情况来讨论.21.已知函数，（且为常数）.（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为来求解.利用的导数，研究函数的单调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，当时，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.（2）令那么，对于任意都有，只须即可，，且记由已知，所以对于任意，都有恒成立，又因为，所以在上单调递增，所以，，由，解得，所以，当时，对任意都有成立.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数，将问题转化为的最小值为非负数来求解.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）直线与曲线在第一象限内的交点为，过点的直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的斜率.【答案】(1) 的极坐标方程,曲线的普通方程 (2)-4【解析】【分析】（1）对于，根据圆心和半径，得出其极坐标方程，对于，利用消去参数，化简为直角坐标方程.（2）求出直线的参数方程，代入得到关于的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义列方程，由此求得直线的斜率.【详解】（1）曲线的圆心极坐标为，半径为1，所以，其极坐标方程为.由题意得：，，曲线的普通方程.（2）当时，，，所以，于是直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入的普通方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，设对应的参数为，，则.由韦达定理得：，，.所以，直线的斜率为-4.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查参数方程化为直角坐标方程，考查直线的参数方程的几何意义，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），使得，求的取值范围.【答案】(1) (2) 或.【解析】【分析】（1）利用零点分段法，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；（2）不等式有解，即,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】（1）当时，，令，①当时，，，矛盾.②当时，，，所以，.③当时，，，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意得：，有解，因为，，所以，，于是，或，所以，或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题型.。

2_高三文科数学参考答案

３３３３【解析】因为Ｓ＝ｆ( ｔ) ＝２ ×２ × ２槡４－２＝ｔ≠０－２ｔ＜０或０＜ｔ２０２０—２０２１学年第一学期期末考试卷高三文科数学参考答案１．【答案】Ｃ【解析】因为Ａ＝｛－２，－１，０，１，２｝，Ｂ＝｛－３，－２，－１，３｝，所以Ａ∩Ｂ＝｛－２，－１｝，故选Ｃ．２．【答案】Ｃ【解析】ｚ＝５ｉ＋１＝〔５ｉ＋１〕〔１＋ｉ〕＝－４＋６ｉ＝－２＋３ｉ，所以复数ｚ＝５ｉ＋１的实部为－２．３．【答案】Ｄ１－ｉ〔１－ｉ〕〔１＋ｉ〕２１－ｉ【解析】由题意可知该折线统计图是工业增加值同比增长率，２０２０年３月份到１０月份，工业增加值同比都在增加，故Ａ错误；２０２０年３月份到１０月份，工业增加值同比增加速度最大的是４月，增速为９．１％，故Ｂ错误；２０２０年１０月工业增加值同比增长８．５％，故Ｃ错误，Ｄ正确．４．【答案】Ａ【解析】假设ａ与ｂ共线，那么３ｘ＝－１２，解得ｘ＝－４， ∴ ａ＝〔－２，－４〕， ∴ ａ· ｂ＝－２ × ３＋〔－４〕 × ６＝－３０．５．【答案】Ｄ【解析】Ｑ到抛物线Ｅ的准线距离为ｄ，那么ｄ＝４．过点Ｍ，Ｎ分别作准线的垂线，垂足分别为Ｍ１，Ｎ１，那么｜ＭＮ｜＝｜ＭＭ１｜＋｜ＮＮ１｜＝２ｄ＝８．６．【答案】Ｂ【解析】因为( １) ＋ (２＝１，所以点 (１，在单位圆上，所以ｃｏｓθ ＝１，又 θ 为锐角，所θθ１－ｃｏｓθ以２为锐角，结合二倍角公式可得ｓｉｎ２＝＝槡３，故选Ｂ．７．【答案】Ａ【解析】依次执行如下：Ｓ＝１２－２ × １＝１０，ｉ＝２；Ｓ＝１０－２ × ２＝６，ｉ＝３；Ｓ＝６－２ × ３＝０，ｉ＝４；Ｓ＝０－２ × ４＝－８，ｉ＝５，满足条件Ｓ＜０，退出循环体，输出ｉ＝５．８．【答案】Ｃ【解析】因为ｂ＝０．２５－０．５＝４０．５＞ａ＝４０．４＞４０＝１，ｃ＝ｌｏｇ０．２５０．４＜ｌｏｇ０．２５０．２５＝１，所以ｃ＜ａ＜ｂ．９．【答案】Ｄ１ｔ２＜２＜２槡２，所以１０．【答案】Ａｆ( ｔ)为偶函数，故选Ｄ．｜ＭＦ１｜２ａ５【解析】由１１．【答案】Ｃ｜ＭＦ２｜＝４得｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝３｜ＭＦ２｜＝２ａ， ∵ ｜ＭＦ２｜＝３ ≥ｃ－ａ， ∴ １＜ｅ≤ ３．【解析】由题意可得〔ａ１＋ａ４＋ａ９＋ａ１２〕 · 〔ｂ２＋ｂ６＋ｂ７＋ｂ１１〕＝２〔ａ１＋ａ１２〕 · ２〔ｂ１＋ｂ１２〕槡ｔ槡８－ｔ２２，又，即２ｓｉｎ∠ＡＢＣｑ５７７２１２３４１１２〔ａ１＋ａ１２〕１２〔ｂ１＋ｂ１２〕１１１２５２９ · ２ · ２＝９ · Ｓ１２· Ｔ１２＝９ · １５６· １５６＝３．１２．【答案】Ｂ【解析】设底面 △ＡＢＣ外接圆圆心为Ｏ１，半径为ｒ，那么２ｒ＝ＡＣ＝２，即ｒ＝１．设三棱锥Ｐ－ＡＢＣ高为ｈ，球的半径为Ｒ．由ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，得球心Ｏ在ＰＯ１上，且 ( ｈ－Ｒ) ２＋ｒ２＝Ｒ２，那么Ｒ＝１ ( ｈ＋１ )≥ １ · ２ｈ· １＝１，当且仅当ｈ＝１时等号成立，此时外接球表面积最２小，那么Ｓｍｉｎ＝４π．１３．【答案】６ｈ２槡ｈ【解析】作直线ｌ０：ｙ＝－５ｘ，平移直线ｌ０，当其过点〔１，１〕时，ｚ＝５ｘ＋ｙ取得最大值，最大值为５ × １＋１＝６．１４．【答案】２【解析】数列{ｂｎ}是等比数列，那么ａ２ａ８ａ１１＝ａ７ · ａ７ｑ· ａ７ｑ４＝ａ３＝８，所以ａ＝２，而ａｎ＞０，ａ５＝１，所以公比ｑ＝２．１５．【答案】６５【解析】当ｆ〔ｘ〕的定义域为Ｒ时，图象的对称轴满足： πｘ＋ π ＝ｋπ ＋ π〔ｋ∈Ｚ〕，６２即对称轴方程是ｘ＝ｋ＋１〔ｋ∈Ｚ〕，因为函数ｆ〔ｘ〕在闭区间[２１，ｍ]上是对称曲线，４６４４＋２－４ｘ＋２＝４ｘ．ｔ＝４等价于，即ｘ５２ｃ３ )ｘ３＋ｘ＋２ )ｘ３＋ｘ＋２ )４ {ｍ＞２１５９６５所以２ ( ｋ＋１ ) ＝２１＋ｍ，所以ｋ＞１２，因为ｋ∈Ｚ，所以ｋ取最小值５时，ｍ最小值为１２．３１６．【答案】－１【解析】ｆ〔ｘ〕＝４〔ｘ３＋ｘ＋２〕３＋ｘ３＋ｘ＋２＋２－４ｘ＝ (ｘ３＋ｘ＋２３４＋４，那么问题等价于求方程ｘ３＋ｘ＋２３４＋４的所有实数根的和设ｘ３＋ｘ＋２４３＋ｘ＋２＝４ｔ，ｔ３＋ｔ＋２＝４ｘ．令ｇ〔ｘ〕＝ｘ３＋ｘ＋２，那么ｇ′〔ｘ〕＝３ｘ２＋１＞０，所以ｇ〔ｘ〕＝ｘ３＋ｘ＋２为增函数．因为ｇ〔ｘ〕＝４ｔ，ｇ〔ｔ〕＝４ｘ，假设ｘ＜ｔ，那么４ｔ＜４ｘ，即ｔ＜ｘ，矛盾；假设ｘ＞ｔ，那么４ｔ＞４ｘ，即ｔ＞ｘ，矛盾．所以必有ｘ＝ｔ，即ｘ＝ｘ３＋ｘ＋２４，所以ｘ３＋ｘ＋２３４＋ｘ３＋ｘ＋２＋２＝４ｘｘ＝ｘ３＋ｘ＋２３－３ｘ＋２＝０，亦即〔ｘ－１〕２〔ｘ＋２〕＝０，解得所有的实数根为１，－２，故所有零点的和为－１．１７．【解析】〔１〕依题意：ｘ＝１ ( １＋２＋３＋４＋５ ) ＝３，ｙ＝１( ５＋９＋１２＋１６＋２３ ) ＝１３， … 〔２分〕５５５所以ｂ＾＝ ∑ｉ＝１〔ｘｉ－ｘ〕〔ｙｉ－ｙ〕 ∑ｉ＝１〔ｘｉ－ｘ〕＝ ( １－３ ) ( ５－１３ ) ＋ ( ２－３ ) ( ９２－１３ ) ＋ ( ３－３ ) ( １２－１３ ) ＋ ( ４－３ ) ( １６－１３ ) ＋ ( ５－３ ) ( ２３－１３ )( １－３ ) ＝１６＋４＋３＋２０＝４３＝４．３，＋ ( ２－３ ) ２＋ ( ３－３ ) ２＋ ( ４－３ ) ２＋ ( ５－３ ) ２１０１０所以ａ＾＝１３－４．３ × ３＝０．１， ………………………………………………………………… 〔６分〕故所求回归直线方程为ｙ＾＝４．３ｘ＋０．１． …………………………………………………… 〔７分〕〔２〕将ｘ＝６，代入ｙ＾＝４．３ｘ＋０．１中，得ｙ＾＝４．３ × ６＋０．１＝２５．９≈２６，故预测第六周订购智能家居产品的数量为２６，不会超过２８． …………………………… １８．【解析】〔１〕由ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｃｏｓＣ，〔１２分〕ａｂ结合正弦定理得２ｓｉｎＣ＝２ｃｏｓＣ，……………………………………………………………〔２分〕因为ｃ＝２代入整理即得ｔａｎＣ＝２………………………………………………… 〔４分〕所以ｓｉｎＣ＝…………………………………………………………………………… 〔６分〕〔２〕由Ｓ＝１ａｂｓｉｎＣ＝１ａｂ × ２槡２＝槡２，得ａｂ＝３． ………………………………………… 〔８分〕２２３由ｓｉｎＣ＝由题设得：ｃｏｓＣ＝１，ａ２＋ｂ２－ｃ２ａ２＋ｂ２－８１２２由余弦定理知ｃｏｓＣ＝２ａｂ＝６＝３，即ａ＋ｂ＝１０， …………………… 〔１０分〕即〔ａ＋ｂ〕２－２ａｂ＝１０，所以ａ＋ｂ＝４．……………………………………………………〔１２分〕，那么ｘ ( (３３４４２２２１９．【解析】〔１〕在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，易知ＶＢ－ＡＭＤ１＝ＶＤ１－ＡＢＭ＝１１ × ２ × ２ × ２＝４． ………………………………………………… 〔４分〕〔２〕证明：取ＢＣ的中点分别为Ｆ，连接ＮＦ，ＤＦ．因为Ｎ，Ｆ分别为ＢＣ１，ＢＣ的中点，ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是正方体，易得ＮＦ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＮＦ⊥ＡＭ． ……………………………………………………… 因为ＦＣ＝ＭＤ，ＡＤ＝ＤＣ， ∠ＦＣＤ＝ ∠ＭＤＡ，所以 △ＦＣＤ≌△ＭＤＡ，所以 ∠ＣＦＤ＝ ∠ＤＭＡ，所以 ∠ＦＤＣ＋ ∠ＤＭＡ＝９０°，所以ＦＤ⊥ＡＭ．〔６分〕因为ＮＦ∩ＦＤ＝Ｆ，所以ＡＭ⊥平面ＮＦＤ，所以ＡＭ⊥ＮＤ．连接ＢＤ，Ｃ１Ｄ，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，易知ＢＤ＝Ｃ１Ｄ，所以ＤＮ⊥ＢＣ１． ………………………………… 〔９分〕又ＢＣ１∥ＡＤ１，所以ＡＤ１⊥ＤＮ．…………………………………………………………… 〔１０分〕又ＡＤ１∩ＡＭ＝Ａ，所以ＮＤ⊥平面ＡＭＤ１，………………………………………………… 〔１２分〕２０．【解析】〔１〕当ｍ＝０时，ｆ〔ｘ〕＝〔１＋ｃｏｓｘ〕ｅｘ，对函数ｆ〔ｘ〕求导可得ｆ ′〔ｘ〕＝〔－ｓｉｎｘ〕ｅｘ＋〔１＋ｃｏｓｘ〕ｅｘ＝〔１－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ〕ｅｘ， ……… 〔１分〕所以ｆ ′〔０〕＝〔１－０＋１〕ｅ０＝２， …………………………………………………………… 〔２分〕又ｆ〔０〕＝〔１＋１〕ｅ０＝２， …………………………………………………………………… 〔３分〕所以曲线ｆ〔ｘ〕在ｘ＝０处的切线方程为ｙ－２＝２〔ｘ－０〕，即２ｘ－ｙ＋２＝０． …………… 〔５分〕〔２〕由〔１〕知ｆ ′〔ｘ〕＝〔１－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ〕ｅｘ＝ [１－ｉｎ( ｘ－ π )]ｅｘ，……………………… 〔６分〕因为０≤ｘ≤ π ，所以－槡２ ≤ｓｉｎ〔ｘ－ π 〕 ≤槡２，２２４２所以－１≤槡２ｓｉｎ〔ｘ－ π 〕 ≤１，所以０≤１－槡２ｓｉｎ( ｘ－ π)≤２，４４所以ｆ ′〔ｘ〕＝ [１－ｉｎ( ｘ－ π )]ｅｘ≥０， …………………………………………………… 〔８分〕故函数ｆ〔ｘ〕在区间 [０， π]上单调递增．…………………………………………………… 〔９分〕因为函数ｆ〔ｘ〕在区间[０， π]上只有一个零点，×＝ ⎩ ｙ１＋２＝１＋２ｘ１＋２＝ｋ[２－１２ ] ＝ｋ[２－１２３８ｋ２ｋ２ｙ＝２〔ｔ为参数〕消去参数ｔ可得直线ｌ的普通方程为槡３ｘ－ｙ＋槡３＝０．ｘ＝－１＋１ｔｙ＝槡３ｔ〔ｔ为参数〕代入椭圆Ｃ：３＋２＝１中，结合零点存在定理可得ｆ〔０〕＝２－ｍ≤０ｆ( π)＝ｅ π －ｍ≥０ ………………………………………………〔１１分〕２２ π π解得２≤ｍ≤ｅ２，即ｍ的取值范围是 [ ２，ｅ２] ．…………………………………………… 〔１２分〕２⎧ ⎪１２＋( ２ ) ＝１２１．【解析】〔１〕由题意可得 ⎪ａ２ｂ２⎨ ｃ１ ⎪ ａ２，解得ａ＝２，ｂ＝．⎪ａ２－ｂ２＝ｃ２ｘ２ｙ２所以椭圆Ｃ的方程为４＋３＝１． ………………………………………………………… 〔４分〕〔２〕证明：由〔１〕可知Ｆ〔１，０〕，那么直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ〔ｘ－１〕．ｙ＝ｋ〔ｘ－１〕联立 {ｘ２＋ｙ２＝１，得〔４ｋ２＋３〕ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－１２＝０．４３８ｋ２４ｋ２－１２设Ｄ〔ｘ１，ｙ１〕，Ｅ〔ｘ２，ｙ２〕，那么ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２＋３，ｘ１ｘ２＝４ｋ２＋３， ………………………………〔７分〕所以ｋ１＋ｋ２＝ｘ１＋２ｙｘ２＋２ｋ〔ｘ－１〕ｘ１＋２ｋ〔ｘ－１〕ｘ２＋２＝ｋ(１－３３ｘ２＋２３〔ｘ＋ｘ＋４〕〔ｘ１＋２〕〔ｘ２＋２〕３〔ｘ＋ｘ＋４〕ｘ１ｘ２＋２〔ｘ１＋ｘ２〕＋４]⎡ ＝ｋ⎢ ２－ (４ｋ２＋３＋４ )⎤ ＝ｋ２－３〔８ｋ２＋１６ｋ２＋１２〕⎢ ４ｋ２－１２＋２ × ８ｋ２＋４ ⎥ [４ｋ２－１２＋１６ｋ２＋１６ｋ２＋１２ ]⎣ ４ｋ２＋３４ｋ２＋３ ⎦ ＝ｋ(２－２ｋ２＋１ )＝－１ ....................................................................................................................１１ｋ２ｋ，〔分〕所以ｋｋ１＋ｋｋ２＝ｋ( －１)＝－１〔定值〕． ……………………………………………………{ｘ＝＋１ｔ〔１２分〕………………………………………………………………………………………………… 由 ρ２＝２６２得３ρ２ｓｉｎ２ θ ＋２ρ２ｃｏｓ２ θ ＝６，即３ｙ２＋２ｘ２＝６，〔２分〕３ｓｉｎ θ ＋２ｃｏｓ θｘ２ｙ２整理可得曲线Ｃ的直角坐标方程为 {３＋２＝１．…………………………２ ⎥ { ＋１－２２．【解析】〔１〕由〔２〕将直线ｌ的参数方程３ )………………〔５分〕ｘ２ｙ２ｔ１＋ｔ２ｔ１ｔ２４－２３３３３２２整理得１１ｔ２－２ｔ－４＝０，显然 Δ ＞０，设点Ａ、Ｂ对应的参数分别为ｔ１、ｔ２………………… 〔７分〕所以ｔ１＋ｔ２＝８，ｔ１ｔ２＝－１６， ………………………………………………………………… 〔８分〕１１１１１１故ＰＡＰＢ＝＝１．……………………………………〔１０分〕２３．【答案】见解析【解析】〔１〕ｆ〔ｘ〕 ≤５即为３ｘ＋１＋３ｘ－２ ≤５，等价于ｘ＜－１－３ｘ－３－３ｘ＋２≤５或－１≤ｘ≤ ２３ｘ＋３－３ｘ＋２≤５ｘ＞２３ｘ＋３＋３ｘ－２≤５………………………〔３分〕解得－１≤ｘ≤ ２，即不等式的解集为 {ｘ－１≤ｘ≤ ２}． …………………………………… 〔５分〕〔２〕因为ｆ〔ｘ〕＝３ｘ＋１＋３ｘ－２ ≥ ３ｘ＋３－３ｘ＋２＝５， ……………………………… 所以由ｆ〔ｘ〕＞２ａ２－９ａ恒成立，可得２ａ２－９ａ＜５， ………………………………………… 即２ａ２－９ａ－５＜０，〔７分〕〔９分〕解得－１＜ａ＜５，故实数ａ的取值范围是 ( －１，５ )． …………………………………… 〔１０分〕 {＝ { 或 {。