高考数学总复习 第八章 立体几何初步 第5节 垂直关系教案 文(含解析)北师大版-北师大版高三全册数

第5节 垂直关系

义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

知 识 梳 理

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直. (2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示

判定定理

如果一条直线和一个平面内的

两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)

⎭

⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b

a ∩

b ＝O a α

b α⇒l ⊥

α

性质定理

如果两条直线同垂直于一个平

面，那么这两条直线平行

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)X 围：⎣

⎢⎡⎥⎤0，π2.

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的X 围：[0，π].

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定定理如果一个平面经过另一个平面的

一条垂线，那么这两个平面互相

垂直

⎭⎪

⎬

⎪⎫

l⊥α

l β

⇒α⊥β

性质定理如果两个平面互相垂直，那么在

一个平面内垂直于它们交线的直

线垂直于另一个平面

⎭⎪

⎬

⎪⎫

α⊥β

α∩β＝a

l⊥a

lβ

⇒l⊥

α

[微点提醒]

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或lα或l∥α，故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )

A.bα

B.b∥α

C.bα或b∥α

D.b与α相交

答案 C

3.(必修2P42A5改编)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是( )

A.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①②③④

解析如图，因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.

答案 A

4.(2019·某某江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )

A.α⊥β且mα

B.m⊥n且n∥β

C.m∥n且n⊥β

D.m⊥n且α∥β

解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.

答案 C

5.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )

A.A1E⊥DC1

B.A1E⊥BD

C.A1E⊥BC1

D.A1E⊥AC

解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.

又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.

答案 C

6.(2018·某某二模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )

a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β

α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β

解析对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正确；

对于B，若a⊥α，a⊥b，则bα或b∥α，∴存在直线mα，使得m∥b，

又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；

对于C，若a⊥α，a⊥b，则bα或b∥α，又α∥β，所以bβ或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确.

答案 C

考点一线面垂直的判定与性质

【例1】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.

(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，

所以OP⊥AC，且OP＝2 3.

连接OB.因为AB＝BC＝

2

2

AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝

1

2

AC＝2.