2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

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2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案

2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案

2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案一、第一题已知函数f(x) = x^3 - 2x + 1,求f(x)的导数f'(x)。

解答过程:首先,根据导数的定义,我们知道f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。

代入f(x) = x^3 - 2x + 1,得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 - 2(x+h) + 1 - x^3 + 2x - 1] / h。

展开并进行化简计算,得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2h + 3xh^2 + h^3 -2h] / h。

再一次化简,得到f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)。

在h→0的极限下,只有常数项-2保留,得到导数 f'(x) = 3x^2 - 2。

所以,f(x)的导数为 f'(x) = 3x^2 - 2。

二、第二题已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5,求f(x)的导数f'(x)及f''(x)。

解答过程:首先,计算f(x)的导数f'(x)。

根据导数的定义,f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h。

代入f(x) = 2x^2 + 3x - 5,得到f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) -5 - (2x^2 + 3x - 5)] / h。

展开并进行化简计算,得到f'(x) = lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 5 - 2x^2 - 3x + 5] / h。

再一次化简,得到f'(x) = lim(h→0) (4xh + 2h^2 + 3h) / h。

化简后消去h,得到 f'(x) = lim(h→0) (4x + 2h + 3)。

2023年高考北京理科数学详解

2023年高考北京理科数学详解

2023年高考北京理科数学详解一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出地四个选项中,选出符合题目要求地一项.1.已知全集U =R ,集合{}|23A x x =-≤≤,{}|14B x x x =<->或,那么集合()U A B ð等于( )A .{}|24x x -<≤B .{}|34x x x 或≤≥C .{}|21x x -<-≤D .{}|13x x -≤≤【标准解析】: D【试卷分析】: C U B=[-1, 4],()U A B ð={}|13x x -≤≤【高考考点】:集合【易错提醒】: 补集求错【备考提示】: 高考基本得分点2.若0.52a =,πlog 3b =,22πlog sin5c =,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b>>D .b c a>>【标准解析】: A【试卷分析】:利用估值法知a 大于1,b 在0与1之间,c 小于0.【高考考点】: 函数地映射关系,函数地图像。

【易错提醒】: 估值出现错误。

【备考提示】: 大小比较也是高考较常见地题型,希望引起注意。

3."函数()()f x x ∈R 存在反函数"是"函数()f x 在R 上为增函数"地( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【标准解析】: B 【试卷分析】:函数()()f x x ∈R 存在反函数,至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数,充分条件不成立;而必有条件显然成立。

【高考考点】: 充要条件,反函数,映射关系,函数单调性。

【易错提醒】: 单调性与一一对应之间地关系不清楚【备考提示】: 平时注意数形结合训练。

4.若点P 到直线1x =-地距离比它到点(20),地距离小1,则点P 地轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线【标准解析】: D【试卷分析】:把P 到直线1x =-向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线地定义。

北京卷2023高考数学试卷真题及参考答案

北京卷2023高考数学试卷真题及参考答案

北京卷2023高考数学试卷真题及参考答案2023北京高考数学试题2023北京高考数学试题参考答案2023北京高考时间是几月几日2023年北京市高考统一考试时间安排在6月7日-10日。

2023北京高考具体科目时间安排1、6月7日:语文9:00-11:30,数学15:00-17:00;2、6月8日:外语笔试15:00-16:40,其他外语(含听力考试)15:00-17:00 ;3、6月9日(学考等级考):物理8:00-9:30,政治11:00-12:30,化学15:30-17:00;4、6月10日(学考等级考):历史8:00-9:30,生物11:00-12:30,地理15:30-17:00。

北京高考科目包括,统考科目语文、数学、外语3门,每科目满分150分。

普通高中学业水平等级性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门,由考生自主选择3门参加考试,选考科目成绩按要求进行折算,每科目满分100分。

2023北京高考注意事项有哪些1、考生入场、接受身份验证和安检注意事项(1)凭《准考证》和身份证,按规定时间和地点参加考试。

主动接受身份验证,排队间隔不低于1米。

接受身份验证时,要事先准备好身份证,验证时将身份证放置在身份证验证器上,当验证电脑显示出考生相片并经考务工作人员确认后,迅速有序地进入考点或大楼;如若电脑未能读取或显示考生身份证相片时,服从工作人员安排,通过人工验证核实身份后再入场参加考试。

(2)考生在同一个考场参加语文、数学、英语考试,其它三科学业水平选择性考试考场不尽相同,考生须仔细阅读准考证,并按准考证上的考场和座号参加各科考试。

(3)禁止携带手机、智能穿戴设备(如智能眼镜、智能手环)、无线电发射和接收设备、存储录放设备、计算器、钟表(含手表)、涂改液、修正带、管制器具和其他非考试用品进入考点。

考生在进入考点前须将此类物品交由带队教师或家长保管;考点入口设置物品存放处的,可以按照考点指定的方式存放。

2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)

2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)

2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)2023北京高考数学试题2023北京高考数学试题参考答案2023北京高考时间具体是哪天2023年北京高考全国统考于6月7日开始举行,北京高考具体时间及科目安排如下:语文:6月7日09:00-11:30数学:6月7日15:00-17:00英语(笔试):6月8日15:00-16:30其他外语(含听力考试):6月8日15:00-17:00物理:6月9日08:00-09:30思想政治:6月9日11:00-12:30化学:6月9日15:30-17:00历史:6月10日08:00-09:30生物:6月10日11:00-12:30地理:6月10日15:30-17:002023年北京高考总分及各科满分北京2023年高考采取的是3+3模式,总分是750分。

而第一个“3”是指语文、数学(文/理)、外语是3门必考科目,每门满分是150分,而第二个“3”是指从物理、历史、政治、地理、生物、化学六门任意选择3门,每门科目满分是100分。

语文、数学、外语以原始分成绩计入总分,物理、历史、政治、地理、生物、化学以等级换算分计入总分。

2023北京高考难度全国排名第几根据往年经验,2023北京高考不难,预计高考难度全国排名第31。

全北京就4万+的考生,但是一本、985、211高校数量雄踞全国前列,清华北大录取率更是夸张。

4万+北京考生中,清北就录取了500多个学生,而近80万广东考生中,清北只录取不到300人,这差距的确挺大。

未来2-3年,北京的高考优势、友好程度,也是显而易见,全国第一。

但是北京和上海面临同样的问题,即人口大量涌入。

2000年以来,出生人口大量增加,现在的高考考生还是4万多人,但10年后,或许就会超过10万人。

2023年北京市高考数学试卷含答案解析

2023年北京市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年北京市高考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。

3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)一、单选题:本题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x−1<0}.则M∩N=( )A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2<x≤1}C. {x|x≥−2}D. {x|x<1}2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(−1,√ 3),则z的共轭复数z−=( )A. 1+√ 3iB. 1−√ 3iC. −1+√ 3iD. −1−√ 3i3.已知向量a⃗,b⃗⃗满足a⃗⃗+b⃗⃗=(2,3),a⃗⃗−b⃗⃗=(−2,1),则|a⃗⃗|2−|b⃗⃗|2=( )A. −2B. −1C. 0D. 14.下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−lnxB. f(x)=12x C. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|5.(2x−1x)5的展开式中,x的系数是( )A. −40B. 40C. −80D. 806.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若M到直线x=−3的距离为5,则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 47.在△ABC中,(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB),则∠C=( )A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π68.若xy≠0,则“x+y=0”是“xy +yx=−2”的( )第1页,共19页A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.刍曹是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某屋顶可视为五面体ABCDEF,四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√ 14.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗),则所需灯带的长度为( )5A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m(a n−6)3+6,下列说法正确的是( )10.数列{a n}满足a n+1=14A. 若a1=3,则{a n}是递减数列,∃M∈R,使得n>m时,a n>MB. 若a1=5,则{a n}是递增数列,∃M≤6,使得n>m时,a n<MC. 若a1=7,则{a n}是递减数列,∃M>6,使得n>m时,a n>MD. 若a1=9,则{a n}是递增数列,∃M∈R,使得n>m时,a n<M第II卷(非选择题)二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。

2023年北京高考数学真题(解析版)

2023年北京高考数学真题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=()A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ,然后根据交集的定义计算.【详解】由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣,根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤< .故选:A2.在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =()A.1+B.1-C.1-+D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数z ,然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义1z =-+,由共轭复数的定义可知1z =--.故选:D3.已知向量a b,满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=()A.2- B.1- C.0 D.1【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律,数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选:B4.下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是()A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC ,举反例排除D 即可.【详解】对于A ,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减,所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误;对于B ,因为2x y =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减,所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误;对于C ,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减,所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确;对于D ,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====,显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选:C.5.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为().A.80-B.40- C.40D.80【答案】D 【解析】【分析】写出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项即可【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选:D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用,较简单.6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上.若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =()A.7B.6C.5D.4【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上,所以M 到准线2x =-的距离为MF ,又M 到直线3x =-的距离为5,所以15MF +=,故4MF =.故选:D.7.在ABC 中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=()A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-,则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===,又0πC <<,所以π3C =.故选:B.8.若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】解法一:由2x yy x+=-化简得到0x y +=即可判断;解法二:证明充分性可由0x y +=得到x y =-,代入x y y x+化简即可,证明必要性可由2x y y x +=-去分母,再用完全平方公式即可;解法三:证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入即可,证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入,解方程即可.【详解】解法一:因为0xy ≠,且2x yy x+=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法二:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以x y =-,所以112x y y y y x y y-+=+=--=--,所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x+=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法三:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+=====-,所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x+=-,所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-,所以()20x y xy+=,所以()20x y +=,所以0x y +=,所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选:C9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145,则该五面体的所有棱长之和为()A.102mB.112mC.117mD.125m【答案】C 【解析】【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠=,从而依次求EO ,EG ,EB ,EF ,再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM ,由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠,所以5tan tan 14EMO EGO ∠=∠=.因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥,因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂=,所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥,.同理:OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形,所以由10BC =得5OM =,所以14EO =,所以5OG =,所以在直角三角形EOG 中,()222253149EG EO OG =+=+=在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,()22223958EB EG BG =+=+=,又因为55255515EF AB =--=--=,所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=.故选:C10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ,则()A.当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立B.当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立C.当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立D.当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立【答案】B 【解析】【分析】法1:利用数列归纳法可判断ACD 正误,利用递推可判断数列的性质,故可判断B 的正误.法2:构造()()31664x f x x =-+-,利用导数求得()f x 的正负情况,再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间,从而判断{}n a 的单调性;对于A ,构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤,判断得11n n a a +<-,进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立;对于B ,证明n a 所在区间同时证得后续结论;对于C ,记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-,取[]01m m =+推得n a M >不恒成立;对于D ,构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥,判断得11n n a a +>+,进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立.【详解】法1:因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=--,对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明:63n a -≤-即3n a ≤,证明:当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立;设当n k =时,63k a -≤-成立,则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立,由数学归纳法可得3n a ≤成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦,()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-<故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-,结合160n a +-<,所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭,故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立,故A 不成立.对于B ,若15,a =可用数学归纳法证明:106n a --≤<即56n a ≤<,证明:当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立;设当n k =时,56k a ≤<成立,则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦,()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列,若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时,可用数学归纳法证明:061n a <-≤即67n a <≤,证明:当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立;设当n k =时,67k a <≤成立,则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列,又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得:()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若1164n n a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立,则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时,可用数学归纳法证明:63n a -≥即9n a ≥,证明:当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立;设当n k =时,9k a ≥成立,则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列,又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得:()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝,若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误.故选:B.法2:因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-,令()3219264842f x x x x =-+-,则()239264f x x x =-+',令()0f x ¢>,得23063x <<-或2363x >+;令()0f x '<,得23236633x -<<+;所以()f x 在23,63⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和236,3⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在23236,633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,令()0f x =,则32192648042x x x -+-=,即()()()146804x x x ---=,解得4x =或6x =或8x =,注意到4653<-<,7683<+<,所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <,在()4,6和()8,+∞上()0f x >,对于A ,因为()311664n n a a +=-+,则()311646n n a a +=--,当1n =时,13a =,()32116643a a =--<-,则23a <,假设当n k =时,3k a <,当1n k =+时,()()331311646364k k a a +<---<-=,则13k a +<,综上:3n a ≤,即(),4n a ∈-∞,因为在(),4-∞上()0f x <,所以1n n a a +<,则{}n a 为递减数列,因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-,令()()32192647342h x x x x x =-+-≤,则()239264h x x x '=-+,因为()h x '开口向上,对称轴为96324x -=-=⨯,所以()h x '在(],3-∞上单调递减,故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>,所以()h x 在(],3-∞上单调递增,故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<,故110n n a a +-+<,即11n n a a +<-,假设存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,取[]4m M =-+,其中[]1M M M -<≤,且[]Z M ∈,因为11n n a a +<-,所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ,上式相加得,[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=,则[]4m M a a M +=<,与n a M >恒成立矛盾,故A 错误;对于B ,因为15a =,当1n =时,156a =<,()()33211166566644a a =-+=⨯-+<,假设当n k =时,6k a <,当1n k =+时,因为6k a <,所以60k a -<,则()360k a -<,所以()3116664k k a a +=-+<,又当1n =时,()()332111615610445a a =-+=⨯+-->,即25a >,假设当n k =时,5k a ≥,当1n k =+时,因为5k a ≥,所以61k a -≥-,则()361k a -≥-,所以()3116654k k a a +=-+≥,综上:56n a ≤<,因为在()4,6上()0f x >,所以1n n a a +>,所以{}n a 为递增数列,此时,取6M =,满足题意,故B 正确;对于C ,因为()311664n n a a +=-+,则()311646n n a a +=--,注意到当17a =时,()3216617644a =-+=+,3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝,143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时,()1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,当2n =与3n =时,2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,假设当n k =时,()1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,当1n k =+时,所以())()13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=,综上:()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭,易知310n->,则()13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭,故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭,所以(],67n a ∈,因为在()6,8上()0f x <,所以1n n a a +<,则{}n a 为递减数列,假设存在常数6M >,使得n a M >恒成立,记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-,取[]01m m =+,其中[]*00001,N m m m m -<≤∈,则()0142log 6133m mM ->=+,故()()14log 61312m M ->-,所以)1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭,即()1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝,所以m a M <,故n a M >不恒成立,故C 错误;对于D ,因为19a =,当1n =时,()32116427634a a ==->-,则29a >,假设当n k =时,3k a ≥,当1n k =+时,()()331116936644k k a a +≥=-->-,则19k a +>,综上:9n a ≥,因为在()8,+∞上()0f x >,所以1n n a a +>,所以{}n a 为递增数列,因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-,令()()32192649942g x x x x x =-+-≥,则()239264g x x x '=-+,因为()g x '开口向上,对称轴为96324x -=-=⨯,所以()g x '在[)9,+∞上单调递增,故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>',所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->,故110n n a a +-->,即11n n a a +>+,假设存在常数0M >,使得n a M <恒成立,取[]1m M =+,其中[]1M M M -<≤,且[]Z M ∈,因为11n n a a +>+,所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ,上式相加得,[][]1191M a a M M M +>+>+->,则[]1m M a a M +=>,与n a M <恒成立矛盾,故D 错误.故选:B.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题,再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系,从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件,把12x =代入,利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为:112.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),则C 的方程为____________.【答案】22122x y -=【解析】【分析】根据给定条件,求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长,再写出C 的方程作答.【详解】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =,由双曲线C ,得ca=a =b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β=_________.【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ,取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ,则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<,令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ,因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ,即12k k >,则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为:9ππ;43.14.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________;数列{}n a 所有项的和为____________.【答案】①.48②.384【解析】【分析】方法一:根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,d q ,进而可求得结果;方法二:根据等比中项求73,a a ,在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一:设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >,则4951921612a qa ===,且0q >,可得2q =,则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d =,空1:可得43733,48a a a q ===,空2:()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++L方法二:空1:因为{},37n a n ≤≤为等比数列,则527291219248a a a ==⨯=,且0n a >,所以748a =;又因为2537a a a =,则25373a a a ==;空2:设后7项公比为0q >,则2534a q a ==,解得2q =,可得()133933456712893319226,3812112a a a a q a a a a a a a a a q a +--⨯==++++++===--++,所以12396381384a a a a +++=+-=L .故答案为:48;384.15.设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤⎪>⎪⎩,给出下列四个结论:①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减;②当1a ≥时,()f x 存在最大值;③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>,则||1MN >;④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-.若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】先分析()f x 的图像,再逐一分析各结论;对于①,取12a =,结合图像即可判断;对于②,分段讨论()f x 的取值范围,从而得以判断;对于③,结合图像可知MN 的范围;对于④,取45a =,结合图像可知此时PQ 存在最小值,从而得以判断.【详解】依题意,0a >,当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;当a x a -≤≤时,()f x =()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像(即半圆);当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;对于①,取12a =,则()f x 的图像如下,显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误;对于②,当1a ≥时,当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤;当a x a -≤≤时,()f x =a ;当x a >时,()112f x =<≤-,综上:()f x 取得最大值a ,故②正确;对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小,当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<,此时,1211MN y y >->+>,故③正确;对于④,取45a =,则()f x 的图像如下,因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-,结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()216442555f x x x ⎫=--≤≤⎪⎭,同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ,此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-,联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -,显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值,即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦,故④错误.故答案为:②③.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是分析得()f x 的图像,特别是当a x a -≤≤时,()22f x a x =-图像为半圆,解决命题④时,可取特殊值进行排除即可.三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,13PA AB BC PC ====,(1)求证:BC ⊥平面PAB ;(2)求二面角A PC B --的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π3【解析】【分析】(1)先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥,再利用勾股定理证得BC PB ⊥,从而利用线面垂直的判定定理即可得证;(2)结合(1)中结论,建立空间直角坐标系,分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量,再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ,所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥,所以PAB 为直角三角形,又因为222PB PA AB =+=1,3BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥,又因为BCPA ⊥,PA PB P = ,所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由(1)BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥,以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ,所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-,设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =-,设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩,令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =,所以1cos ,222m n m n m n⋅===⨯,又因为二面角A PC B --为锐二面角,所以二面角A PC B --的大小为π3.17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭.(1)若3(0)2f =-,求ϕ的值.(2)已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值.条件①:π23f ⎛⎫=⎪⎝⎭;条件②:π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;条件③:()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)π3ϕ=-.(2)条件①不能使函数()f x 存在;条件②或条件③可解得1ω=,π6ϕ=-.【解析】【分析】(1)把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ,再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值;(2)若选条件①不合题意;若选条件②,先把()f x 的解析式化简,根据() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ,从而求出ω的值;把ω的值代入()f x 的解析式,由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值;若选条件③:由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-,则与条件②所给的条件一样,解法与条件②相同.【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-,因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-.【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><,所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①:因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭无解,故条件①不能使函数()f x 存在;若选条件②:因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+,又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈,所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-;若选条件③:因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同.18.为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++---++++---+-+用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)【答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变【解析】【分析】(1)计算表格中的+的次数,然后根据古典概型进行计算;(2)分别计算出表格中上涨,不变,下跌的概率后进行计算;(3)通过统计表格中前一次上涨,后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的,根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为:160.440=【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25,于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次,不变的有9次,下跌的有2次,因此估计第41次不变的概率最大.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为53,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D 分别是E 的左、右顶点,||4AC =.(1)求E 的方程;(2)设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N .求证://MN CD .【答案】(1)22194x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)结合题意得到3c a =,24b =,再结合222ac b -=,解之即可;(2)依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程,从而求得点,M N 的坐标,进而求得MN k ,再根据题意求得CD k ,得到MN CD k k =,由此得解.【小问1详解】依题意,得53c e a ==,则53c a =,又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b =,所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a =,所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --,因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n+=,易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--,033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--,联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- +-+-⎝⎭,而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+,令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭,又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =-,所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+,又022303CD k +==-,即MN CD k k =,显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD .20.设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+.(1)求,a b 的值;(2)设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间;(3)求()f x 的极值点个数.【答案】(1)1,1a b =-=(2)答案见解析(3)3个【解析】【分析】(1)先对()f x 求导,利用导数的几何意义得到(1)0f =,(1)1f '=-,从而得到关于,a b 的方程组,解之即可;(2)由(1)得()g x 的解析式,从而求得()g x ',利用数轴穿根法求得()0g x '<与()0g x '>的解,由此求得()g x 的单调区间;(3)结合(2)中结论,利用零点存在定理,依次分类讨论区间(),0∞-,()10,x ,()12,x x 与()2,x +∞上()f x '的零点的情况,从而利用导数与函数的极值点的关系求得()f x 的极值点个数.【小问1详解】因为3R ()e ,ax b f x x x x +=-∈,所以()()2313eax bf x a x x++'=-,因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+,所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-,则()311e 013e 1a ba ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11ab =-⎧⎨=⎩,所以1,1a b =-=.【小问2详解】由(1)得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-,则()()1266ex x g x x x -+'+-=-,令2660x x -+=,解得3x =±13x =,23x =,则120x x <<,易知1e 0x -+>恒成立,所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >;令()0g x '>,解得0x <或12xx x <<;所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增,即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3+.【小问3详解】由(1)得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-,由(2)知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增,当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<,此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减;当30x x <<时,()0f x ¢>,则()f x 单调递增;所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点;当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减,则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''<,所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<,此时,当40x x <<时,()0f x ¢>,则()f x 单调递增;当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减;所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点;当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增,则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''<,所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<,此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减;当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增;所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点;当233x x >=+>时,()232330x x xx -=-<,所以()()231013ex f x x x -+'=->-,则()f x 单调递增,所以()f x 在()2,x +∞上无极值点;综上:()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.【点睛】关键点睛:本题第3小题的解题关键是判断()1f x '与()2f x '的正负情况,充分利用()f x '的单调性,寻找特殊点判断即可得解.21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==.对于{}0,1,2,,k m ∈ ,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ,其中,max M表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值;(2)若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ,求n r ;(3)证明:存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ,满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+.【答案】(1)00r =,11r =,21r =,32r =(2),n r n n =∈N (3)证明见详解【解析】【分析】(1)先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ,根据题意分析求解;(2)根据题意题意分析可得11i i r r +-≥,利用反证可得11i i r r +-=,在结合等差数列运算求解;(3)讨论,m m A B 的大小,根据题意结合反证法分析证明.【小问1详解】由题意可知:012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========,当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =;当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =;当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =;当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =;综上所述:00r =,11r =,21r =,32r =.【小问2详解】由题意可知:n r m ≤,且n r ∈N ,因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立,所以010,1r r ==,又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=,可得11i i r r +-≥,反证:假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤-,当i j ≥时,则12i i r r +-≥;当1i j ≤-时,则11i i r r +-=,则()()()112100mm m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-,又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+>,假设不成立,故11n n r r +-=,即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】(ⅰ)若m m A B ≥,构建,1n nn r S A B n m =-≤≤,由题意可得:0n S ≥,且n S 为整数,反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥,则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=--->,这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-.①若存在正整数N ,使得0N NN r S A B =-=,即N N r A B =,可取0,,N r p q N s r ====,使得p sq r B B A A +=+;②若不存在正整数N ,使得0N S =,因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤,所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S =,即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+,可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+;(ⅱ)若m m A B <,构建,1n nr n S B A n m =-≤≤,由题意可得:0n S ≤,且n S 为整数,反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤-,则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->,可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->,这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ,使得0N Nr N S B A =-=,即N N r A B =,可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+;②若不存在正整数N ,使得0N S =,因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤,所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S =,即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+,可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p sq r B B A A +=+;综上所述:存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得p sq r B B A A +=+.【点睛】方法点睛:对于一些直接说明比较困难的问题,可以尝试利用反证法分析证明.。

2023年北京市高考数学真题及答案

2023年北京市高考数学真题及答案

2023年北京市高考数学真题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=3x-2,则f(g(3))的值为多少?A. 1B. 4C. 5D. 11答案:C2. 在平面直角坐标系中,点A(-3, 4)和B(1, -2)分别为线段AB的两个端点,求线段AB的中点坐标。

A. (-1, 1)B. (-2, 2)C. (2, -1)D. (0, 0)答案:A3. 若等式x²+ 5x + k = 0恰有两个相等实数根,则k的取值范围是?A. k > 5B. k ≥ 5C. k < 5D. k ≤ 5答案:D4. 设集合A = {x | -2 ≤ x < 3},集合B = {x | x > 0},则A ∪ B的取值范围是?A. (-2, 3)B. (-2, 0) ∪ (0, 3)C. (-2, 3]D. [-2, 3)答案:C5. 已知正整数a、b满足a² + b² = 280,且a < b,则a的最大可能值是多少?A. 8B. 12C. 16D. 20答案:C二、填空题1. 半径为5cm的圆形的面积是多少?答案:78.5 cm²2. 设实数集合A = {x | 2x + 3 > 0},则A的取值范围是________。

答案:(-∞, -1.5)3. 已知函数f(x) = log₂x,若f(a) = 2,则实数a的值是________。

答案:4三、解答题1. 已知直线L的斜率为2/3,且L通过点(1, 2),求直线L的方程。

解答:设直线L的方程为y = kx + b,其中斜率k = 2/3。

由已知直线L通过点(1, 2),代入得2 = (2/3) * 1 + b,解方程得b = 4/3。

故直线L的方程为y = (2/3)x + 4/3。

2. 某班级共有40人,男生数是女生数的2倍,求男女生各有多少人?解答:设男生人数为x,女生人数为2x。

2023年高考数学试题及答案(北京卷)

2023年高考数学试题及答案(北京卷)

2023年高考数学试题及答案(北京卷)2023年高考数学试题及答案高考数学常考题型答题技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题,基本思路是:把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有:①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。

2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是:提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有:4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是:设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。

其解题步骤是:①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧:左边化零,右边变形。

①因式分解型:(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型:(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是:把√m化成完全平方式。

即:9、观察法10、代数式求值方法有:(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母“和与积”的形式,从而用“和积代入法”求值。

11、解含参方程方程中除过未知数以外,含有的其它字母叫参数,这种方程叫含参方程。

解含参方程一般要用‘分类讨论法’,其原则是:(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。

2023年高考北京卷数学真题及答案_高考数学试题

2023年高考北京卷数学真题及答案_高考数学试题

2023年高考北京卷数学真题及答案_高考数学试题高考结束之后,信任许多考生最关注的话题就是高考试卷和答案了,考生们相互之间都会对答案、估分,以此预判自己高考志愿的选择。

下面是我整理的关于2023年高考北京卷数学真题及答案,欢迎阅读!2023年高考北京卷数学真题及答案2023高考真题数学(北京卷)1-5:DBACC6-10:CDBBD11、12、13、14、0;1(答案不唯一)15、16、17、18、19、20、21、北京卷数学难度我敢69/70(基于北京人口占全国人口的比例)地确定当一个人说起“北京卷简洁”时,他脑海里出现出的是2023-2023年间北京卷的数学前19道题和理综的前十个选择题。

说不定还不包括数学的选填各最终一个。

这也正是众所周知的“北京数学只有最终三道难题”。

对此我的确没什么好说的,由于我和我的同学们也都觉得其他的题简洁。

北京卷的区分度在理综,就像江苏卷的区分度在数学。

(尤其别用江苏卷的数学来比北京的数学,二者的整体难度差距太大,差多少分都没有比较意义)只能说,北京卷数学144+甚至145+的人,做什么高考卷都能靠近满分,由于北京卷20题是数学竞赛二试难度(详细体现在答主没拿过一次20题满分);但是假如做北京卷你只有130多,做你们本地卷子我猜就好不到哪去了。

北京数学的区分度虽然就最终这十几分,但是只吃最终一口饭是吃不饱人的。

理科难度第一是多变。

北京卷的题型基本上是没有套路的,这导致北京卷客观上会变难。

市教委不会提前通知,学校也不会着重于教授套路,只教原理性的内容。

这种单纯针对科学原理活学活用的题目不加通知就投放到全国去,必定也会炸死许多人——由于一开头投放北京时,就炸死过许多人。

其次是重核心素养。

这个是北京卷命题的基本思路,也是大家主观上会觉得难的方面。

甚至沙文主义一点来说,这就是北京卷不适用于全国的根本缘由。

北京高考数学试卷的特点北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求,结合北京市高中数学教学现状,学问要素掩盖全面,数学素养考查突出。

2023年北京高考数学第10题详细解析

2023年北京高考数学第10题详细解析

2023年北京高考数学第10题详细解析10.已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ,则()A.当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立B.当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立C.当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立D.当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立【参考答案】B 【详细解析】【分析】方法1:利用数列归纳法可判断ACD 正误,利用递推可判断数列的性质,故可判断B 的正误.方法2:构造()()31664x f x x =-+-,利用导数求得()f x 的正负情况,再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间,从而判断{}n a 的单调性;对于A ,构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤,判断得11n n a a +<-,进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立;对于B ,证明n a 所在区间同时证得后续结论;对于C ,记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-,取[]01m m =+推得n a M >不恒成立;对于D ,构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥,判断得11n n a a +>+,进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立.【详解】方法1:因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=--,对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明:63n a -≤-即3n a ≤,证明:当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立;设当n k =时,63k a -≤-成立,则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立,由数学归纳法可得3n a ≤成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦,()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-<故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-,结合160n a +-<,所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭,故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立,故A 不成立.对于B ,若15,a =可用数学归纳法证明:106n a --≤<即56n a ≤<,证明:当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立;设当n k =时,56k a ≤<成立,则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈- ⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦,()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列,若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时,可用数学归纳法证明:061n a <-≤即67n a <≤,证明:当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立;设当n k =时,67k a <≤成立,则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列,又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得:()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立,则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时,可用数学归纳法证明:63n a -≥即9n a ≥,证明:当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立;设当n k =时,9k a ≥成立,则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列,又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得:()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝,若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误.故选:B.方法2:因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-,令()3219264842f x x x x =-+-,则()239264f x x x =-+',令()0f x ¢>,得23063x <<-或2363x >+;令()0f x '<,得6633x -<<+;所以()f x 在23,63⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和236,3⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在23236,633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,令()0f x =,则32192648042x x x -+-=,即()()()146804x x x ---=,解得4x =或6x =或8x =,注意到234653<-<,237683<+<,所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <,在()4,6和()8,+∞上()0f x >,对于A ,因为()311664n n a a +=-+,则()311646n n a a +=--,当1n =时,13a =,()32116643a a =--<-,则23a <,假设当n k =时,3k a <,当1n k =+时,()()13646364k k a a +<---<-=,则13k a +<,综上:3n a ≤,即(),4n a ∈-∞,因为在(),4-∞上()0f x <,所以1n n a a +<,则{}n a 为递减数列,因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-,令()()32192647342h x x x x x =-+-≤,则()239264h x x x '=-+,因为()h x '开口向上,对称轴为96324x -=-=⨯,所以()h x '在(],3-∞上单调递减,故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>,所以()h x 在(],3-∞上单调递增,故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<,故110n n a a +-+<,即11n n a a +<-,假设存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,取[]4m M =-+,其中[]1M M M -<≤,且[]Z M ∈,因为11n n a a +<-,所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ,上式相加得,[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=,则[]4m M a a M +=<,与n a M >恒成立矛盾,故A 错误;对于B ,因为15a =,当1n =时,156a =<,()()33211166566644a a =-+=⨯-+<,假设当n k =时,6k a <,当1n k =+时,因为6k a <,所以60k a -<,则()360k a -<,所以()3116664k k a a +=-+<,又当1n =时,()()21615610445a a =-+=⨯+-->,即25a >,假设当n k =时,5k a ≥,当1n k =+时,因为5k a ≥,所以61k a -≥-,则()361k a -≥-,所以()3116654k k a a +=-+≥,综上:56n a ≤<,因为在()4,6上()0f x >,所以1n n a a +>,所以{}n a 为递增数列,此时,取6M =,满足题意,故B 正确;对于C ,因为()311664n n a a +=-+,则()311646n n a a +=--,注意到当17a =时,()3216617644a =-+=+,3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝,143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时,()1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,当2n =与3n =时,2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,假设当n k =时,()1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,当1n k =+时,所以())()13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=,综上:()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭,易知310n->,则()13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭,故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭,所以(],67n a ∈,因为在()6,8上()0f x <,所以1n n a a +<,则{}n a 为递减数列,假设存在常数6M >,使得n a M >恒成立,记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-,取[]01m m =+,其中[]*00001,N m m m m -<≤∈,则()0142log 6133m mM ->=+,故()()14log 61312m M ->-,所以)1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭,即()1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝,所以m a M <,故n a M >不恒成立,故C 错误;对于D ,因为19a =,当1n =时,()32116427634a a ==->-,则29a >,假设当n k =时,3k a ≥,当1n k =+时,()()331116936644k k a a +≥=-->-,则19k a +>,综上:9n a ≥,因为在()8,+∞上()0f x >,所以1n n a a +>,所以{}n a 为递增数列,因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-,令()()32192649942g x x x x x =-+-≥,则()239264g x x x '=-+,因为()g x '开口向上,对称轴为96324x -=-=⨯,所以()g x '在[)9,+∞上单调递增,故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>',所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->,故110n n a a +-->,即11n n a a +>+,假设存在常数0M >,使得n a M <恒成立,取[]1m M =+,其中[]1M M M -<≤,且[]Z M ∈,因为11n n a a +>+,所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ,上式相加得,[][]1191M a a M M M +>+>+->,则[]1m M a a M +=>,与n a M <恒成立矛盾,故D 错误.故选:B.。

2023年高考数学北京卷第9题解析

2023年高考数学北京卷第9题解析

2023年高考数学北京卷第9题解析
首先,我们需要明确题目中的函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)。

接下来,我们根据题目给出的条件,可以知道函数f(x)具有以下性质:f(−x)=−f(x),即函数f(x)是奇函数。

f(x)在(0,+∞)上单调递减。

根据奇函数的性质,我们知道奇函数在原点对称的区间上单调性是相同的。

因此,由于f(x)在(0,+∞)上单调递减,我们可以推断出在(−∞,0)上,f(x)也是单调递减的。

然后,我们考虑题目中的函数值比较问题。

由于f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上都是单调递减的,因此,对于任意的x1,x2∈(−∞,0)且x1<x2,都有
f(x1)>f(x2)。

最后,根据题目给出的条件,我们可以得出结论:f(−3)<f(−2)<f(2)<f(4)。

综上所述,答案为:D. f(−3)<f(−2)<f(2)<f(4)。

北京高考 数学卷 2023

北京高考 数学卷 2023

2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A {21}x x -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =( )A. 1+B. 1-C. 1-+D.1--3. 已知向量ab ,满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=( ) A. 2-B.1- C. 0 D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为( ).A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上.若M 到直线3x =-的距离为5,则||M F =( ) A. 7B. 6C. 5D. 47. 在A B C 中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6.8. 若0x y ≠,则“0x y +=”是“2y x xy+=-”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若25m ,10m A B B C A D ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面A B C D 的夹角的正切值均为5,则该五面体的所有棱长之和为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则( )A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得na M>恒成立B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立C. 当17a =时,{}n a 递减数列,且存在常数6M >,使得na M>恒成立D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.11. 已知函数2()4lo g xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),则C 的方程为____________.13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则ta n ta n αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________.14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________;数列{}n a 所有项的和为____________.15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤⎪->⎪⎩,给出下列四个结论:①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减;②当1a ≥时,()f x 存在最大值;③设()()()()()()111222,,,Mxfx x a Nxfx x a ≤>,则||1M N >;④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-.若||P Q 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图,在三棱锥-P A B C 中,P A ⊥平面A B C,1P A A B B C P C ====,.(1)求证:B C ⊥平面P AB ; (2)求二面角A P C B --的大小.17. 设函数π()s in c o s c o s s in 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭. (1)若(0)2f =-,求ϕ的值.(2)已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值.条件①:π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭;条件②:π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭; 条件③:()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D 分别是E的左、右顶点,||4A C =. (1)求E 的方程;(2)设P 为第一象限内E 上的动点,直线P D 与直线B C 交于点M ,直线P A 与直线2y=-交于点N .求证://M N C D .20. 设函数3()e a x b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+.(1)求,a b 的值;(2)设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间; (3)求()f x 的极值点个数.21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==.对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}m a x ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,m ax M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值; (2)若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ;(3)证明:存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+.2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷满分150分.考试时间120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】C【10题答案】【答案】B二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.【11题答案】【答案】1【12题答案】【答案】22122xy-=【13题答案】 【答案】 ① 9π4②.π3【14题答案】【答案】 ①. 48 ②. 384 【15题答案】 【答案】②③三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【16题答案】【答案】(1)证明见解析 (2)π3【17题答案】 【答案】(1)π3ϕ=-.(2)条件①不能使函数()f x 存在;条件②或条件③可解得1ω=,π6ϕ=-.【18题答案】 【答案】(1)0.4(2)0.168 (3)不变 【19题答案】 【答案】(1)22194xy+=(2)证明见解析 【20题答案】【答案】(1)1,1a b =-= (2)答案见解析 (3)3个 【21题答案】【答案】(1)00r =,11r =,22r =,33r = (2),nrn n =∈N(3)证明见详解.。

2023年北京高考第10题详解

2023年北京高考第10题详解

2023年北京高考第10题详解在2023年的北京高考数学试卷中,第10题是一道颇具挑战性的题目。

它不仅考察了学生的数学基础,更考察了学生的逻辑思维和问题解决能力。

本文将对这道题目进行详解,以期帮助广大学生更好地理解并解决这类问题。

首先,我们回顾一下题目给出的条件和要求。

题目给出的条件是数列{a}中的三个已知数:a+b=c+d=e、a-b=f、b×c=g,以及d/c=h。

根据这些条件,我们需要求出未知数x的值。

这是由一系列的加减乘除运算得到的,因此,我们需要通过逻辑推理来求解x的值。

一、观察数列中的已知数和运算关系首先,我们需要观察数列中的已知数和运算关系,找出其中的规律。

已知数a、b、c可以通过加减乘除运算得到新的未知数x。

因此,我们需要观察这些运算的规律,找出它们之间的联系。

二、列出方程式或不等式根据题目给出的条件和运算规律,我们可以列出方程式或不等式。

在这个题目中,由于有四个未知数,所以可能会列出一个或多个方程式,但是,由于我们要求的是一个未知数的值,所以只有一个方程式就足够了。

因此,我们需要找到正确的方程式来求解未知数x的值。

三、求解方程式,得到未知数x的值通过分析方程式的特点,我们可以采用代数运算或计算的方法来求解出未知数x的值。

在本题中,我们可以通过代入法将已知条件代入方程式中,得到未知数x的值。

现在,我们来详细解析一下解题过程:首先,将已知条件代入方程式a+b=c+d=e、a-b=f、b×c=g、d/c=h中,得到以下三个方程式:方程式一:a+b+a-b=e+f+g+h化简后得:e+h=2a方程式二:a+b=e+h移项得:e-h=a-b化简后得:e=(a+b)+(e-h)h=(a+b)-(e-f)根据题目的已知条件d/c=h可得d=(hc)/c将上述三个方程式代入d=(hc)/c中,得到:x=(e-f)/h=((a+b)+(e-h))/((a+b)-(e-f))=((a+b)e)/((a+b)h)接下来我们将这个表达式带入相应的已知数值进行验证:已知数值为a=-3,b=-1/3,c=-2/3,d=-4/3,e=-5/3,f=-4/3,g=-4/9,h=-2/3时,带入上述表达式中得到x=-1/6与已知的e值相符。

2023年北京卷数学试题及答案

2023年北京卷数学试题及答案

2023年北京卷数学试题及答案一、选择题:本题共8小题,每小题4分,共32分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像经过点(1, 0),则a + b + c的值为:A. 0B. 1C. -1D. 2答案:A2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 = 1,S3 = 6,则a3的值为:A. 2B. 3C. 4D. 5答案:A3. 若复数z = (1 + i) / (1 - i),则|z|的值为:A. 1B. √2C. 2D. √3答案:B4. 若直线l:y = kx + b与椭圆C:x^2 / 4 + y^2 / 3 = 1有公共点,则k的取值范围为:A. (-∞, -√3] ∪ [√3, +∞)B. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)C. (-∞, -√3/3] ∪ [√3/3, +∞)D. (-∞, -1/2] ∪ [1/2, +∞)答案:C5. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上是增函数,则f(x)的极值点个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C6. 若向量a = (1, 2),b = (-2, 4),则向量a与向量b的数量积为:A. -4B. 0C. 4D. 8答案:B7. 若双曲线C:x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1(a > 0, b > 0)的离心率为e = √5,则双曲线C的渐近线方程为:A. y = ±(2/3)xB. y = ±(1/2)xC. y = ±(3/2)xD. y = ±(2/√5)x答案:D8. 若三角形ABC的内角A,B,C满足A + C = 2B,则三角形ABC的形状为:A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案:B二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。

2023高考数学北京卷

2023高考数学北京卷

ӗݧ⋆ǕؘϝҨɈॷůǡ2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)̾Ɠ本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

ljĂˌœ(选择题共40分)Ă뺮˞Պʚդ10Ňʚ뻟ƲŇʚ4œ뻟դ40œ뺯ćƲŇʚԉŜĀ˗ċ˞ֻġ뻟˞Ŝ฼ʸʚϝđ̂ĀĂֻ.1.已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x−1<0},则M∩N=A.{x|−2≤x<1}B.{x|−2<x≤1}C.{x|x≥−2}D.{x|x<1}2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(−1,√3).则z的共轭复数z=A.1+√3i B.1−√3i C.−1+√3i D.−1−√3i3.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a−b=(−2,1),则|a|2+|b|2=A.−2B.−1C.0D.14.下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是A.f(x)=−ln xB.f(x)=12xC.f(x)=−1xD.f(x)=3|x−1|5.在(2x−1x)5的展开式中,x的系数是A.−40B.40C.−80D.806.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若M到直线x=−3的距离为5,则|MF|=A.7B.6C.5D.47.在△ABC中,(a+c)(sin A−sin C)=b(sin A−sin B),则∠C=A.π6B.π3C.2π3D.5π68.若xy=0,则“x+y=0”是“xy+yx=−2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.刍甍是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某屋顶可视为五面体ABCDEF ,四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形,△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ,BC =AD =10m ,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√145.某学习小组为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗),则所需灯带的长度为AB CD EF A.102m B.112m C.117m D.125m10.数列{a n }满足a n +1=14(a n −6)3+6,下列说法正确的是A.若a 1=3,则{a n }是递减数列,∃M ∈R ,使得n >m 时,a n >MB.若a 1=5,则{a n }是递增数列,∃M ≤6,使得n >m 时,a n <MC.若a 1=7,则{a n }是递减数列,∃M >6,使得n >m 时,a n >MD.若a 1=9,则{a n }是递增数列,∃M ∈R ,使得n >m 时,a n <Mljȕˌœ(非选择题共110分)ȕ뺮ฒ˭ʚդ5Ňʚ뻟ƲŇʚ5œ뻟դ25œ뺯11.已知函数f(x)=4x+log2x,则f(12)=.12.已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为.13.已知命题p:若α,β为第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是α=,β=.14.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{a n},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=,数列{a n}的所有项的和为.15.设a>0,函数f(x)=x+2,x<−a,√a2−x2,−a≤x≤a,−√x−1,x>a.,给出下列四个结论:x f(x)在区间(a−1,+∞)上单调递减;y当a≥1时,f(x)存在最大值;z设M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a),则|MN|>1;{设P(x3,f(x3))(x3<−a),Q(x4,f(x4))(x4≥−a),若|PQ|存在最小值,则a的取值范围为(0,12].其中所有正确的序号有.Ɓ뺮̛٫ʚդ6Ňʚ뻟դ85œ뺯̛٫ˆϷŜNJϹĸdž뻟ӲΚϳ቟ͱըdžĿԙ뺯16.(本小题14分)如图,三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3.(1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A−PC−B的大小.AB CP17.(本小题13分)已知函数f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2).(1)若f(0)=−√32,求φ的值;(2)若f(x)在[−π3,2π3]上单调递增,且f(2π3)=1,再从条件x、条件y、条件z这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.条件x:f(π3)=1;条件y:f(−π3)=−1;条件z:f(x)在[−4π3,−π3]上单调递减.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题13分)为了研究某种农产品价格变化的规律,收集到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示,在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率.(1)试估计该农产品“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的,在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响,判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)19.(本小题15分)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率为√53,点A,C分别是E的上、下顶点,点B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.(1)求E的方程;(2)点P为第一象限内E上的一个动点,直线PD与BC交于点M,直线PA与直线y=−2交于点N,求证:MN//CD.20.(本小题15分)设函数f(x)=x−x3e ax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1.(1)求a,b的值;(2)设g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点的个数.21.(本小题15分)数列{a n},{b n}是两个m项的有穷数列,且∀a i,b i∈{1,2,···,m},i∈{1,2,···,m}.记A n,B n分别为数列{a n},{b n}的前n项和,且A0=B0=0.另记r k=max{i|B i≤A k,k∈{0,1,···,m}}.(1)若a1=2,a2=1,a3=2;b1=1,b2=3,b3=3,求r0,r1,r2,r3的值;(2)若a1≥b1,且2r i≤r i−1+r i+1,求r n;(3)证明:存在0≤p<q≤m,0≤r<s≤m,使得A p+B s=A q+B r.뻛ҨŀӪκȝ٫ޯ٫ć٫ʚجĘ뻟ćɈਲĘǟ٫Ƅв뻜。

2023年北京高考数学试题及答案(图片版)

2023年北京高考数学试题及答案(图片版)

2023年北京高考数学试题及答案(图片版)2023年北京高考数学试题及答案(图片版)2023年北京市高考总分是750分。

北京市高考科目:统一高考科目为语文、数学、外语3门。

学考等级考科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门。

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北京市高考科目:统一高考科目为语文、数学、外语3门。

学考等级考科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门,由考生自主选择3门参加考试。

北京市高考总分及各科分数值一览表北京高考语文、数学、外语满分均为150分。

(注:外语考试分英语、俄语、日语、德语、法语、西班牙语六个语种,由考生任选一种。

)北京高考英语听说考试满分50分,其他外语(非英语)听力考试满分30分,取两次听说(听力)考试的最高成绩与其他部分试题成绩一同组成外语科目成绩计入高考总分。

普通高中学业水平等级性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门,由考生自主选择3门参加考试,选考科目成绩按要求进行折算,每科目满分100分。

北京学考等级考科目成绩呈现,主要以等级性考试成绩以合格性考试成绩合格为前提,按照考生原始成绩划定A、B、C、D、E五等,分别占各科目考试人数的15%、40%、30%、14%和1%,在五等基础上,进一步细化为21级,按最接近的累计比例划定,每级分差为3分,起点赋分40分,满分100分。

2023北京高考用什么试卷北京卷,2023年北京高考试卷采用自主命题,北京市普通高等学校招生考试包括统一高考和普通高中学业水平等级性考试。

统一高考科目为语文、数学、外语3门。

学考等级考科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门,由考生自主选择3门参加考试。

北京高考时间为6月7-10日。

高考试卷总分是750分,其中语文、数学、外语分别为150分,另外3门选考科目每门满分100分(采用等级分)。

2023年北京高考数学真题

2023年北京高考数学真题
} 并规定 A0 = B0 = 0 .对于k = 0, 1, 2, … , m} ,定义 rk = max i∣Bi Ak, i = {0, 1, 2, … , m} ,其中,max M
表示数集 M 中最大的数.
(1) 若 a1 = 2, a2 = 1, a3 = 3, b1 = 1, b2 = 3, b3 = 3 ,求 r0 , r1 , r2 , r3 的值; (2) 若 a1 > b1 ,且2rj rj +1 + rj 1 , j = 1, 2, … , m 1, ,求 rn ;
2023 年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷) 数学
本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.
A. f(x) = - ln x C. f(x) = -
B. f(x) = D. f(x) = 3|x -1|
5
5. 2x - ))| 的展开式中x 的系数为 ( ).
A. -80
B. -40
C. 40
D. 80
6. 已知抛物线 C : y 2 = 8x 的焦点为F ,点M 在 C 上.若M 到直线 x = -3的距离为 5 ,则|MF |= ( )
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”. 已知9 枚环权的质量 (单位:铢) 从小到大构成项数为 9 的数列 an ,该数列的前 3 项成等差数列 , 后7 项成等比数列,且 a1 1, a5 12, a9 192 ,则 a7 ___________;数列 an 所有项的和为

2023年普通高等学校招生全国统一考试北京数学试卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试北京数学试卷

2023普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ={x ∈N }2,集合B ={y |y =x 2+2},则A ∩B =( )A.[1,4]B.[2,4]C.{1,2,3,4}D.{2,3,4}2.复数z 满足z i=2-i ,则下列结论正确的是 A.z 2+2z -5=0B.z =1+2iC.z 在复平面内对应的点位于第四象限D.|z3.若(1-2x )2023=a 0+xa 1x +a 2x 2+...+a 0x 2023,则号20231222023...222a a a +++的值为( ) A.-1B.0C.12D.1 4.“α>6π”是“α-sin α>36π-”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :(x -1)2+y 2=4,若直线l :x +y +m =0上有且只有一个点P 满足;过点P 作圆C 的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ,且使得四边形PMCN 为正方形,则正实数m 的值为( )A.1C.3D.76.已知奇函数f (x )在R 上是减函数,g (x )=xf (x ),若a =g (-log 25.1),b =g (3),c =g (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c7.已知双曲线E :22221x y a b-= (a >0,b >0)的焦点关于渐近线的对称点在双曲线E 上,则双曲线E 的离心率为( )B.2D.28.英国数学家生顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法-NewtorRaphso -method 译为生顿-拉夫森法.做法如下:设r 是f (x )=0的根,选取x 0作为r 的初始近似值,对点(x 0,f (x 0))做曲线y =f (x )的切线l :y -f (x 0)=f ’(x 0)(x -x 0),则l 与x 轴交点的横坐标为01000()('()0)'()f x x x f x f x =-≠,称x 1是r 的一次近似值;重复以上过程,得r 的近似值序列,其中1()('()0)'()n n n n n f x x x f x f x +=-≠,称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法,并规定初始近似值不得超过零点大小,则函数f (x )=ln x +x -3的零点一次近似值为(精确到小数点后3位.参考数据:ln2=0.693)( )A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204 9.如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点,G 为线段B 1C 上一个动点,则下列错误的是( )A.存在点G ,使直线B 1C ⊥平面EFGB.存在点G ,使平面EFG /平面BDC 1C.三棱锥A 1-EFG 的体积为定值D.平面EFG 截正方形所得截面的最大面积为9810.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的,已知在平面直角坐标系xOy 中,M (-2,0),N (2,0),动点P 满足|PM |▪|PN |=5,则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是[] B.|OP |的取值范围是[1,3] C.△PMN 面积的最大值为5D.|PM |+|PN |的取值范围是,5]二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.在等比数列{a n }中,a 2=2,且131154a a +=,则a 1+a 3的值为_________. 12.设向量a 与向量b 的夹角为θ,定义a 与b 的向量积:a ×b 是一个向量,它的模|a ×b |=|a ||b |sin θ,若m =(1,0),n =(-1,则|m ×n |=_________. 13.已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)的零点依次构成一个公差为2π的等差数列,把函数f (x)的图象向右平移6π个单位长度,得到函数g (x )的图象,则函数g (x )是_________函数.(填奇、偶、非奇非偶)14.已知F 为抛物线C :y 2=3的焦点,过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,若|AF |=λ|BF |=λ,则λ=_________.15.对于定义域为D 的函数y =f (x ),若存在区间[a ,b ]⊆D 使得f (x )同时满足:①f (x )在[a ,b ]上是单调函数;②当f (x )的定义域为[a ,b ]时,f (x )的值域也为[a ,b ],则称区间[a ,b ]为该函数的一个“和谐区间”,M 则下列正确的序号是_________. ①函数f (x )=x 3+12x 有3个“和谐区间” ②函数f (x )=x 2+14,x ∈[0,+∞]存在“和谐区间”③若定义在(3,12)上的函数()2492tx t f x x =---有“和谐区间”,则t 的取值范围为(4,6)④若函数()f x m =在定义域内有“和谐区间”,则m 的取值范围为(94-,2-)三、解答题(共6小题共85分。

2023年北京高考数学真题

2023年北京高考数学真题
(1) 若f(0) = - ,求0 的值.
(2) 已知f (x) 在区间 - , 上单调递增,f
))| = 1 ,再从条件① 、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知,使函数f(x) 存在,求o,0 的值.
条件①: f ))| = ;
条件②:f - ))| = -1;
条件③:f (x) 在区间 - , - 上单调递减.
A. 1 + i
B. 1 - i
C. - 1 + i
D. -1 - i




3. 已知向量 一,ab
满足 一a+ b
= (2, 3), a一- b
= (-2, 1) ,则 | 一a|2 - | b
2
|= (
A. -2
B. -1
C. 0
4. 下列函数中,在区间(0, +w) 上单调递增的是 ( )
) D. 1
A. 7
B. 6
C. 5
7. 在 ABC 中, (a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ,则 三C = (
D. 4 )
A.
B.
C.
D.
8. 若 xy 丰 0 ,则“ x + y = 0 ”是“ + = -2 ”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
____________.
x + 2, x < -
a,
15.

a
>
0
,函数
f(x)
=〈 |l-|
, -a 三 x 三 a, ,给出下列四个结论: - 1, x >
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2023年北京市高考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( )A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =( )A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ,满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=( ) A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为( ). A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上.若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =( )A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为( )A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则( ) A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________. 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________.14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________;数列{}n a 所有项的和为____________.15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论:①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减; ②当1a ≥时,()f x 存在最大值; ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >;④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-.若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====,(1)求证:BC ⊥平面P AB ; (2)求二面角A PC B --的大小.17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.(1)若(0)f =求ϕ的值. (2)已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值.条件①:π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①:π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭; 条件①:()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =. (1)求E 的方程;(2)设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N .求证://MN CD .20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y . (1)求,a b 的值;(2)设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间; (3)求()f x 的极值点个数.21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==.对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值; (2)若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ;(3)证明:存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+.2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解:由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选:A 2. D解:z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选:D 3. B解:向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选:B 4. C解:对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误; 对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误; 对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确;对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选:C. 5. D解:512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选:D 6. D解:因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选:D. 7. B解:因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选:B. 8. C解:因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选:C 9. C解:如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理:OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选:C 10.B解:因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明:63n a -≤-即3n a ≤ 证明:当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立; 设当n k =时,63k a -≤-成立 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立 故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明:106n a --≤<即56n a ≤<证明:当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立;设当n k =时,56k a ≤<成立 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明:061n a <-≤即67n a <≤ 证明:当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立; 设当n k =时,67k a <≤成立 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列 又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得:()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立 则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明:63n a -≥即9n a ≥ 证明:当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立; 设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得:()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选:B.二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.11. 1解:函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为:112. 22122x y -=解:令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=13. ①9π4 ① π3解:因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为:9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解:设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1:可得43733,48a a a q ===空2:()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解:依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线; 当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像(即半圆);当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线; 对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误;对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤;当a x a -≤≤时,()f x =a ;当x a >时,()112f x =<≤- 综上:()f x 取得最大值a ,故②正确;对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确;对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值 即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为:②③.三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (1)证明见解析 (2)π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由(1)BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角 所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. (1)π3ϕ=-. (2)条件①不能使函数()f x 存在;条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①:因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在; 若选条件②:因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-;若选条件③:因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同. 18. (1)0.4 (2)0.168 (3)不变 【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的 根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为:160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. (1)22194x y +=(2)证明见解析 【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. (1)1,1a b =-= (2)答案见解析 (3)3个 【小问1详解】 因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由(1)得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >;令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<;所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】 由(1)得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由(2)知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减;当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增;所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点; 当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增;当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减;所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点; 当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减;当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增;所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点;当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点;综上:()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. (1)00r =,11r =,21r =,32r = (2),n r n n =∈N (3)证明见详解 【小问1详解】由题意可知:012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =; 当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =; 当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =; 当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =; 综上所述:00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知:n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立 所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证:假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥;当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】(①)若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得:0n S ≥,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+; ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+; (①)若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得:0n S ≤,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+;②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+;综上所述:存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+.。

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