数列的几种递推公式
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数列的几种递推公式
一、 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
二、 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：12
31
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=
3437
526
331348531n n n n n --=
⋅⋅⋅⋅=---。
变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则
{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩
12n n =≥
解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得
当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，
n a a a a
a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-1
3423121,,4,3,1,
1， 将以上n 个式子相乘，得2
!
n a n =)2(≥n
三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为
)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .
故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）
四、类型4 n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或
1n
n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，
得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n
n
n q a b =），
得：q b q p b n n 11+=
+再待定系数法解决。
例5:已知数列{}n a 中，
651=
a ,1
1)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1
2+n 得：1)2(32211
+•=•++n n n n a a 令n
n
n a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：
n
n b )32(23-= 所以
n
n n
n n b a )
31(2)21(32-==
五、递推公式为
n
S 与
n
a 的关系式。(或
()
n n S f a =)
解法：利用
⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或 与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a
进行求解。
例6. 数列{}n a 前n 项和
2214--
-=n n n a S .
（1）求1
+n a 与
n
a 的关系；（2）求通项公式n
a .
解：（1）由
2214--
-=n n n a S 得：
111214-++--=n n n a S
于是
)
21
21(
)(12
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S ，
所以11121-+++
-=n n n n a a a n n
n a a 21211+=⇒+.
（2）应用类型（
n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））
的方法，上式两边同乘以12+n 得：
2
22
11
+=++n n n n a a
由
121
4121111=⇒-
-==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差
数列，所以
n n a n n
2)1(222=-+=12-=⇒n n n
a