数列的几种递推公式
三大类递推数列通项公式的求法
三大类递推数列通项公式的求法1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： （1）1()n n x x f n +=+这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和).当()f n 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当()f n 为等差数列时，则1()n n x x f n +=+为二阶等差数列，其通项公式应当为2n x an bn c =++形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是2n S an bn =+，其常数项一定为０． （2）1()n n x g n x +=这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当()g n 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；这类数列通常可转化为1()n n x p q x p ++=+，或消去常数转化为二阶递推式211()n n n n x x q x x +++-=-.［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式． ［解析］解法一．转化为1()n n x p q x p ++=+型递推数列．∵121(2)n n x x n -=+≥，∴112(1)(2)n n x x n -+=+≥，又112x +=，故数列｛1n x +｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12n n x +=，即21n n x =-．解法二．转化为211()n n n n x x q x x +++-=-型递推数列． ∵n x =2x n-1+1(n ≥2) ① ∴1n x +=2x n +1 ②②－①，得112()n n n n x x x x +--=-(n ≥2)，故｛1n n x x +-｝是首项为x 2-x 1=2，公比为２的等比数列，即11222n n n n x x -+-== ，再用累加法得21n n x =-．解法三．用迭代法．21231221212(21)12212222121n n n n n n n n x x x x x ------=+=++=++=++++=- ．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．［例２］已知函数1()22(1)2f x x x =-+≤≤的反函数为121(),1,()yg x x x g x ===， 321(),,(),,n n x g x x g x -== 求数列n x ｛｝的通项公式. [解析]由已知得1()1(01)2g x x x =-+≤≤，则1111,1(2)2n n x x x n -==-+≥． 令11()2n n x p x p -+=-+=,则11322n n x x p -=--.比较系数，得23p =-.即有1212()(2)323n n x x n --=--≥．∴数列｛23n x -｝是以12133x -=为首项，12-为公比的等比数列，∴1211()332n n x --=-，故1112()323n n x -=-+．［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4）1(,nn n cx x c d x d+=+为非零常数）；若取倒数,得1111n n d x c x c+=+ ，令1n n y x =，从而转化为（1）型而求之.（5）1(,1,1)n n+n x =qx +d q,d q d ≠≠为非零常数； 这类数列可变换成111n n n n x x q d d d d ++=+ ，令nnnx y d =，则转化为(1)型一阶线性递推公式. ［例３］设数列11132(*)n n n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］∵132n n n x x +=+，两边同除以12n +，得11312222n n n n x x ++=+ ．令322nnnx y = ，则有13122n n y y +=+ ．于是，得131(1)2n n y y ++=+，∴数列1n y +｛｝是以首项为37144+=，公比为32的等比数列，故1731()42n n y -+= ，即173()142n n y -=- ，从而2117323n n n x -+=- ．［例４］设10132(*)n n n x x x n N --=-∈为常数，且，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］设1132(3)n n n n x p x p --+=-+ ，用1132n n n x x --=-代入，可解出15p =-． ∴35nn x -｛｝是以公比为-2，首项为00332122555x x x -=--=-１的等比数列． ∴1032(2)(2)55n n n x x --=--， 即1023(2)(2)55n n n x x -=--+03(1)2(1)2(*)5n n n n n x n N --=+-∈ ．（6）1(00,0,1)pn+n n x =cx x ,c p p >>>≠这类数列可取对数得1lg lg lg n n x x c +=+，从而转化为等差数列型递推数列. 2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列［例５］设数列12215521(*)333n n n n x x x x x x n N ++===-∈.｛｝满足：，，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］由2152(*)33n n n x x x n N ++=-∈，可得 2111222()(*)333n n n n n n x x x x x x n N ++++=-=-∈.－设11212521333n n n n y x x y y x x +=-=-=-=，则｛｝是公比为的等比数列，且，故2(*)3n y n N =∈n （）．即12(2)3n n x x n --=≥n-1（）．用累加法得 12111221222()()()()()333n n n n n n n x x x x x x x x ------=-+-++-=+++ ， 或11221112()()()222()()1333n n n n n n n x x x x x x x x -----=-+-++-+=++++21()233[1()]2313nn -==--). ［例６］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===+∈｛｝中，已知，，求数列n x ｛｝的通项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令11n n n y x a x +=-，使数列n y ｛｝是以2a 为公比的等比数列(1,a a ２待定)． 即211211()n n n n x a x a x a x +++-=-，∴212112()n n n x a a x a a x ++=+-．对照已给递推式，有121211a a a a +==-，，即21210a a x x --=、是方程的两个实根．从而1212a a a a ====∴211111(222n n n n x x x x ++++-=-) ①或211111(222n n n n x x x x ++++-=-) ②由式①得111(22n n n x x +-=；由式②得111(22nn n x x +-=．消去111((22n nn n x x +=-１，得］． ［例７］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x ． ［解析］由21n n n x x x ++=- ①，得321n n n x x x +++=- ②．式②+式①，得3n n x x +=-，从而有63n n n x x x ++=-=．∴数列n x ｛｝是以６为其周期．故100x =4x =-1．3 特殊的n 阶递推数列［例８］已知数列n x ｛｝满足11231123(1)(2)n n x x x x x n x n -==++++-≥ ，，求n x ｛｝的通项公式． ［解析］∵123123(1)(2)n n x x x x n x n -=++++-≥ ①∴1123223(2)(3)n n x x x x n x n --=++++-≥ ② ②－①，得1(3)n n x nx n -=≥．∴1(3)nn x n n x -=≥，故有 1312213n n n n x x x n n x x x ---==-=. ，， 将这几个式子累乘，得22(1)(2)3(1)(2)3nn x n n n x n n n x x =--==--. ，或 又1211(1),11,!(2)2n n x x x x n n =⎧⎪====⎨≥⎪⎩ ，故 ．［例9］数列｛n x ｝满足21121,2n n x x x x n x =+++= ，求数列｛n x ｝的同项公式． ［解析］由212n n x x x n x +++= ①，得21211(1)(2)n n x x x n x n --+++=-≥ ②． 式①－式②，得221(1)n n n x n x n x -=--，或2221(1)(1)n n n n n x n x x n x --=-=-，故有11(2)1n n x n n x n --=≥+ . ∴12312341234,,,,112n n n n n n n n x x x x n n n n x n x n x n x n -----------====+-- ,322121,43x x x x ==. 将上面几个式子累乘，得121(1)n x x n n=+ ，即1211(2)(1)(1)n x x n n n n n ==≥++ ． ∵112x =也满足上式，∴1211(*)(1)(1)n x x n N n n n n==∈++ ．。
几种递推数列通项公式的求法
一阶线性递推数列主要有如下几种形式： （1）1()n n x x f n +=+ （2）1()n n x g n x +=（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式． ［例２］已知函数1()22(1)2f x x x =-+≤≤的反函数为121(),1,()yg x x x g x ===，321(),,(),,n n x g x x g x -== 求数列n x ｛｝的通项公式. （4）1(,nn n cx x c d x d+=+为非零常数）； （5）1(,1,1)nn+n x =qx +d q,d q d ≠≠为非零常数；［例３］设数列11132(*)nn n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式．［例５］设数列12215521(*)333n n n n x x x x x x n N ++===-∈.｛｝满足：，，求数列n x ｛｝的通项公式．［解析］由2152(*)33n n n x x x n N ++=-∈，可得 2111222()(*)333n n n n n n x x x x x x n N ++++=-=-∈.－设11212521333n n n n y x x y y x x +=-=-=-=，则｛｝是公比为的等比数列，且，故2(*)3n y n N =∈n （）．即12(2)3n n x x n --=≥n-1（）．用累加法得 12111221222()()()()()333n n n n n n n x x x x x x x x ------=-+-++-=+++ ，或 11221112()()()222()()1333n n n n n n n x x x x x x x x -----=-+-++-+=++++21()233[1()]2313nn -==--). ［例６］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===+∈｛｝中，已知，，求数列n x ｛｝的通项公式．［例9］数列｛n x ｝满足21121,2n n x x x x n x =+++= ，求数列｛n x ｝的同项公式．一、构造等差数列求数列通项公式例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
常见数列递推公式
数列求和常用公式:1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷22）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2=n^2*(n+1)^2÷44）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)÷35）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)÷46）1+3+6+10+15+......=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷67）1+2+4+7+11+......=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷68）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)=1-1/(n+1)=n÷(n+1)9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)=(n-1) ÷(n+1)10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷312）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷3014）1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 1215）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1ps：数列的性质：等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a +a + … = a + a + a + … ．⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、)⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比= （≠－1），则a = ．5．等差数列前n项和公式S 的基本性质⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd，= ；当项数为(2n －1) (n )时，S －S = a ，= ．⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为．⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则= ．⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．⑹等差数列{a }中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y = x + (a －)上．⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．3．等比数列的基本性质⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n项和公式S 的基本性质⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列。
十类递推数列的通项公式的求法
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&
文!黄爱民
一、ａｎ＋１＝ ａｎ＋ ｆ（ｎ）型 这类递推数列可通过累加法求得其通项公式．当 ｆ（ｎ）
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式；当
ｆ（ｎ）为等差数列形式时，ａｎ＋１＝ ａｎ＋ ｆ（ｎ）为二阶等差数列， 它的通项公式的形式为 ａｎ＝ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ．同时要注意它与等 差数列求和公式的一般形式的区别，后者是 Ｓｎ＝ａｎ２＋ｂｎ， 它的常数项一定为 ０．
对数，得 ｌｇａｎ＝ｌｇ２ａｎ４－ １ ，则有 ｌｇａｎ＝４ｌｇａｎ－１＋ｌｇ２．
∴ｌｇａｎ＋
１ ３
ｌｇ２＝４（ｌｇａｎ－
１＋
１ ３
ｌｇ２）．从而知｛ｌｇａｎ＋
１ ３
ｌｇ２｝是
首项为 １ ｌｇ２，公比为 ４ 的等比数列． ３
∴ｌｇａｎ＝
（４ｎ－１－ １）ｌｇ２ ３
＝（４ｎ－１－ １）ｌｇ#３ ２
，即
高中生·高考指导 １３
×（３ ２
）ｎ－ １＝（３ ２
）ｎ，即
ａｎ＝
２ｎ ３ｎ－ ２ｎ
．
九、ａ ｎ＋１＝
Ａａｎ＋Ｂ Ｃａｎ＋Ｄ
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 为非零常数）型
这类递推数列的通项公式是利用函数的不动点来
求的．尽管这个知识点高考不作要求，但考题往往就从
这些地方出，只需增加一些铺垫．
例 ９ 若 ｆ（ｘ０）＝ｘ０，则称 ｘ０ 为 ｆ（ｘ）的不动点．已知函 数 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋３ ．
＋１ ２
．令
ｂｎ＝
ａｎ ２ｎ
，则有
ｂｎ＋１＝
３ ２
ｂｎ＋
数列的递推公式
数列的递推公式数列的递推公式是数学中非常重要的概念之一，它用于描述数列中每一项与前一项的关系。
了解和掌握数列的递推公式对于数学学习和应用领域都具有重要的意义。
首先，让我们回顾一下什么是数列。
数列是一组按照一定规律排列的数，每个数称为数列的项。
数列可以有无穷多的项，其中每一项的位置从1开始递增。
例如，1, 2, 3, 4, ...就是一个自然数列。
在数列中，每一项与前一项之间的关系可以通过递推公式来表示。
递推公式可以是一个明确的表达式，也可以是一个递归定义。
下面我们分别来探讨这两种情况。
首先是明确的递推公式。
这种公式能够直接给出每一项与前一项的关系，从而可以计算出数列中的任意项。
例如，在自然数列1, 2, 3, 4, ...中，递推公式可以写为an = an-1 + 1，其中an表示第n个项。
我们可以得到a2 = a1 + 1，a3 = a2 + 1，依次类推。
因此，根据递推公式，我们可以得到任意项的值。
其次是递归定义的递推公式。
这种公式给出了第一项和后续项与前一项的关系，可以通过迭代计算出数列中的每一项。
例如，斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, ...就是一个递归定义的数列。
我们可以通过F(n) = F(n-1) + F(n-2)的递归定义来计算斐波那契数列中的每一项。
根据递推公式，我们可以得到F(3) = F(2) + F(1)，F(4) = F(3) + F(2)，以此类推。
了解数列的递推公式有助于我们研究数列的性质和应用。
通过递推公式，我们可以预测数列的未来项，计算数列的和，评估数列的增长速度等。
在数学中，递推公式也经常用于解决复杂问题，如组合数学、离散数学等领域的计数问题。
此外，数列的递推公式也可以通过数学归纳法来证明。
数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它基于数学中的归纳思想。
通过证明递推公式在初始情况下成立，并且在每一步推理中保持成立，就可以推断该递推公式对于所有项都成立。
数列的递推公式an+1=aan+b向通项公式转化
数列的递推公式an+1=aan+b向通项公式转化
数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定的规律排列的数的有序集合。
数列的递推公式是指用来描述数列的规律的公式，它可以用来求出数列中任意一项的值。
例如，an+1=aan+b是一个数列的递推公式，它表示数列中第n+1项的值等于第n项的平方乘以a再加上b。
要将数列的递推公式转化为通项公式，首先要把递推公式中的变量抽象出来，然后把它们替换成通项公式中的变量。
例如，an+1=aan+b中的变量a和b可以替换成通项公式中的变量A和B，这样就可以得到通项公式an=Aan-1+B。
通项公式的优点是可以用来求出数列中任意一项的值，而不需要一步一步地求出每一项的值。
另外，通项公式还可以用来求出数列的前n项和，从而可以更快地求出数列的和。
总之，数列的递推公式是一种描述数列规律的公式，可以用来求出数列中任意一项的值。
要将数列的递推公式转化为通项公式，需要把递推公式中的变量抽象出来，然后把它们替换成通项公式中的变量。
通项公式的优点是可以用来求出数列中任意一项的值，也可以用来求出数列的前n项和。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
数列的几种递推公式
数列的几种递推公式数列是指按照一定规律排列的一组数。
在数学中，数列可以通过递推公式来定义，并通过这些公式推导出数列中的每一项。
一、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它前一项之差都相等的数列。
递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
等差数列常用的公式有：1. 前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n-1)d)2.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d二、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它前一项之比都相等的数列。
递推公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
等比数列常用的公式有：1.前n项和公式（当，r，<1时）：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)2.当，r，>=1时，等比数列的通项公式无法表示为简单的形式，但可以利用对数函数求出。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
递推公式为：an = an-1 + an-2，其中a1=1，a2=1或a1=0，a2=1、斐波那契数列的特点是前两项都是1，从第三项开始，每一项均等于它前面两个数之和。
斐波那契数列的递推公式不是一个通式，但可以通过递归方式计算任意项。
四、等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的每一项既满足等差数列的递推公式，又满足等比数列的递推公式。
递推公式为：an = (a1 + (n-1)d) * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，d为等差公差，r为等比公比。
等差-等比混合数列的前n项和公式比较复杂，一般通过将混合数列分解为等差数列和等比数列，再分别求和的方式计算。
五、三角数列三角数列是一种特殊的数列，其中每一项都是等差数列的前n项和。
递推公式为：an = n(n+1) / 2，其中an为第n项。
六、幂指数数列幂指数数列是一种特殊的数列，其中每一项都是常数a的指数幂的形式。
数列的递推与递归公式
数列的递推与递归公式数列是数学中常见的一种数值序列，它由一个或多个数字按照特定的规律排列组成。
数列可以通过递推公式和递归公式来定义。
递推公式是指通过前一项或多项数值来计算后一项的公式。
递推公式常用于计算数列的前几项，然后利用这些已知的项来计算后面的项。
例如，斐波那契数列就可以通过递推公式来计算，其递推关系为f(n) =f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n个斐波那契数。
递归公式是指一个数列中的某一项可以通过该数列中的其他项来定义的公式。
递归公式常常用于计算数列中的任意一项。
例如，阶乘数列就可以通过递归公式来计算，其递归关系为f(n) = n * f(n-1)，其中f(n)表示n的阶乘。
递推公式和递归公式是数列中两种常见的定义方法，它们可以根据实际情况灵活运用。
在实际应用中，我们常常需要根据问题的要求选择适合的定义方法来计算数列。
数列的递推和递归公式有着广泛的应用。
在数学中，数列的递归公式常用于证明数学定理和解决数学问题。
而在计算机科学中，数列的递推公式常用于编写程序，计算数列的任意一项。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是指从1开始，后一项是前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推关系f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1) = 1，f(2) = 1。
利用递推公式，我们可以计算斐波那契数列的前几项：f(1) = 1f(2) = 1f(3) = f(2) + f(1) = 2f(4) = f(3) + f(2) = 3f(5) = f(4) + f(3) = 5...通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列的任意一项。
递推公式和递归公式是数列中常用的定义方法，它们在解决问题时有着不可替代的作用。
通过递推公式和递归公式，我们可以轻松地计算数列的任意一项。
无论是在数学领域还是在计算机科学领域，数列的递推和递归公式都是不可或缺的工具。
以上是关于数列递推和递归公式的一些介绍和应用。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
数列通项公式的十种求法
数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。
方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。
方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。
例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。
方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。
首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。
方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。
方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。
线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。
方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。
例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。
方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。
方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是指按一定规律排列的一组数。
在数列中，递推公式与通项公式是两个重要概念。
递推公式用于计算数列中的每一项，通项公式则可以直接计算出数列中任意一项的数值。
本文将介绍数列的递推公式与通项公式的概念、特点以及计算方法。
一、递推公式递推公式是指通过当前项与前一项之间的关系来计算数列的下一项。
递推公式通常以“An = ...”的形式表示，其中An表示第n项，等号右侧则是An与前一项之间的关系式。
递推公式的特点是通过已知的前几项，可以推算出数列的后续项。
对于等差数列而言，递推公式的一般形式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式表明等差数列中的每一项都是前一项加上公差得到的。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, ...，其递推公式为An = 1 + (n-1)2。
对于等比数列而言，递推公式的一般形式为An = A1 * r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
这个公式表明等比数列中的每一项都是前一项乘以公比得到的。
例如，对于等比数列1, 2, 4, 8, ...，其递推公式为An = 1 * 2^(n-1)。
二、通项公式通项公式是直接计算数列中任意一项的数值的公式。
通项公式通常以“An = ...”的形式表示，其中An表示第n项，等号右侧则是与项数n相关的表达式。
通项公式的特点是通过项数n的值，可以直接计算出数列中对应项的数值。
对于等差数列而言，通项公式的一般形式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式表明等差数列中的第n项可以通过首项与公差的运算得到。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, ...，其通项公式为An = 1 + (n-1)2。
对于等比数列而言，通项公式的一般形式为An = A1 * r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
这个公式表明等比数列中的第n项可以通过首项与公比的运算得到。
六种常见数列递推公式
已知a1=1/2, 3an+1-2an=an+公式求通项公式 方法(2)
目标引领
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"数列递推公式 求通项公式 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为 0,p为常数)的数列递推公式求通项公式。 • （3）可变型为‘‘pan+1-qan=an+1∙an’’ （p、q不相等，且均不为0的常数）的数列 递推公式求通项公式。
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【必做题】
1 an an=_______. n
2 n
1.设｛an｝是首项为1的正项数列，且满足 2 2 (n 1)an na ,2,3) ，则 1 n an1an 0(n 1
2. 数列{an}中a1=1，当 n 2 时，其前n项和
1 Sn满足S an ( S n ), 求{an }的通项公式 . 21 (n 1) an 2 ( n 2) (2n 1)(2n 3)
( pq 0, p q, p、q为常数)
目标再现
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"(p不为0,p为常数)的数列递 推公式求通项公式 方法1：迭代 方法2：累乘 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为0,p为常数)的数 列递推公式求通项公式。 1 方法：两边同除pan+1an，则{ } 成等差.
1
(n 1)
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• 完成《全品》上的题目.（晚自习）
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• 【提高题】 • 设Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足
2bn b1=1， 1(n 2). 2 bn S n S n
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数列的几种递推公式一、 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
二、 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，n a a a aa a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1， 将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）四、类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1nn n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中nnn q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
例5:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+•=•++n n n n a a 令nnn a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：nn b )32(23-= 所以nn nn n b a )31(2)21(32-==五、递推公式为nS 与na 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或 与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a进行求解。
例6. 数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与na 的关系；（2）求通项公式na .解：（1）由2214---=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S于是)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S ，所以11121-+++-=n n n n a a a n nn a a 21211+=⇒+.（2）应用类型（nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n2)1(222=-+=12-=⇒n n na六、倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成1111n n d a c a c +=+ 的形式的方法叫倒数变换.例7. 已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】:将121n n n a a a +=+取倒数得: 1112n n a a +=+,1112n na a +-=, ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列. 112(1)n n a =+-,∴121n a n =-.跟踪训练 已知数列{}n a 中, ,122nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=； ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n ；1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈ （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n na b =，求数列的{b n }前n 项和.(Ⅰ)解法一： 当1n =时，112a S p q==-+,当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.{}n a 是等差数列,222p q p p ∴-+=--,0q ∴=············4分解法二：当1n =时,112a S p q==-+,当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--.当3n ≥时,1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p--=------=.22232a p q p p q=-++=-+.又222232a p p p =⋅--=-,所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分(Ⅱ)解：1512a a a +=,318a ∴=.又362a p p =--,6218p p ∴--=,4p ∴=86n a n ∴=-············8分又22log n n a b =得432n n b -=.12b ∴=,4(1)1414322162n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列.所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2(161)11615n nn T -==--如：求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n a n ,…的前n 项和（注：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+=12)13(12)13(a n n a nn S n ）(3)裂项法： 如)2(1+=n n a n 求S n常用的裂项有111)1(1+-=+n n n n ； )211(21)2(1+-=+n n n n ；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n2.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S＝3n 2－2n. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni ib 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）.因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.(4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比 如：求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n－1)x n －1 注意讨论x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠-+++--==+1)1()1()12()12(1212x x x x n x n x n S n n n(5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。