线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题

第五章 矩阵的特征值与特征向量

§1矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量

定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.

由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.

设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：

nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλ

A ii n =λλλ 21)(

例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 648

23-=∴-=∴A A

λ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ

例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.

解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.

定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.

证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为

t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ

的特征向量。则有

),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ

所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：

第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.

第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.

第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.

例3 求矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.

解 A 的特征多项式为

2

)1)(2(20

1

0340

11λλλ

λλ

λ--=-----=

-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .

由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=1001p ,

所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.

当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .

由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=1212p ,

所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理

性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.

定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.

证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .

因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.

性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来

0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.

例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1

-λ是1

-A 的特征值,ξ是1

-A 对应于特征值1

-λ的特征向量,

证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量

λξξ=∴A ξξλ11--=∴A

ξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-

1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*

A 的特征值,ξ是*

A 对应于特征值1

-λA 的特征向量.

例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --1

4.

解：A 的特征值为1,2,2,,所以1

-A 的特征值为1,12,12, 所以E A

--1

4的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=

所以311341

=⨯⨯=--E A .

例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.

证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：

)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .

,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)

将(2)带入(1)式整理得：

0)()(2211=-+-p p λλλλ

因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别