2022年全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文储油罐的变位识别与罐
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定收集资料
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定
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再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
储油罐的变位识别与罐容表标定模型
2. 对问题二的分析：因为两个变位参数都是未知的，要直接求得油量与油位高度及两
个参数的总的关系式是较困难的。故我们可以求出油量分别随两个参数的变化关系式 y(h, α)和 y(h, β )，并且这两个函数是建立在问题一的基础上，然后研究两个关系式的关 系，求出油量与油位高度及两个参变量的综合关系式 y(h, α, β)，这样问题二便能求解出 来。这当中较难部分是如何把两个函数关系式综合到一起。
2
8、假设储油罐的管壁所占的体积忽略不计； 9、假设注油口，检查口的的严谨性是很强的；
§4 名词解释与符号说明
4.1 名词解释 1、罐容表——罐容表是在油罐制作安装完成后由专业部门通过实测标定的油高与
体积的关系表，油高以厘米为单位，体积以立方分米为单位。由于罐容标定一般是每间 隔 1cm 确定一个容积值，这样罐容表中只有整厘米数油高具有对应的容积值。
§3 模型的假设
1.假设罐体位置横向不发生变位（对于问题一）； 2.假设罐内油的体积不会随温度的变化而变化(即忽略热胀冷缩对油体积的影响)； 3.假设油罐在检测过程中完好无损，不会出现漏油、汽化等现象； 4.纵向偏转角度 a 不大，可近似认为两端球缺中含油量相同；
5 假设题目所给的数据真实可靠； 6、假设固定油浮子的油位探针始终垂直于油罐底部； 7、假设深入油罐内的管子体积忽略不计；
+
储油罐的变位识别与罐容表标定
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使油罐发生纵向倾斜或者横向偏转，从而导致罐容表发生改变。
据此，我们用微积分与数据拟合的方法建立储油罐的变位识别与罐容表标定的模型。
通过对问题的分析，将问题化成若干个小问题，从而建立了五个数学模型。
其中模型一、二主要针对的是一问提出的，模型三、四、五针对的是二问提出的。
模型一通过用微积分知识确定了无变位时罐内油量与油位高度的关系式，并通过编写MATLAB程序对模型进行了求解。
模型二考虑变位时罐内油量与油位高度的关系，通过附件1中给的数据，拟合出了罐内油量的理论值与实验值之差v∆与油位高度h的关系式，通过v∆与h的关系式可以将倾斜角度α拟合进去，从而得到v∆与h、α的函数关系式，再根据v v v=-∆理实确定出v实的表达式。
模型三考虑的是无变位时储油量与油位高度的关系，与模型一不同的是储油罐的形状不同，通过二重积分求得储油量与油位高度的关系式，最后通过编写MATLAB程序对模型进行了求解。
模型四考虑的也是无变位时储油量与油位高度的关系，只是研究方法与模型三不同，即模型三和模型四是研究同一问题的不同方法。
模型四是将罐子看成一个卧式的圆柱体，求其体积，进而分析误差，并求出误差，最后也可得到较为精确的罐内油量与油位高度的关系式，最后通过编写MATLAB程序对模型进行了求解。
模型五考虑了横向和纵向的倾斜角度的变化，通过对附件2显示油高和显示油量容积两列数据的拟合确定油位高度为0时的罐内油量，即常数L，然后根据新建立的关系式和模型四来确定纵向倾斜角α和横向偏转角β，最终得到了存在倾斜角α和横向偏转角β罐内油量与油位高度的关系式。
应用以上五个模型可以很好的解决题中的两个问题，即模型一、二解决一问，模型三、四、五解决二问。
关键词：微积分数据拟合储油罐油位高度罐容表1 基本假设1）储油罐的形状是规则的2）油位高度为0时，罐内油量为常数L2 符号说明1） h ——油位高度2） l ——小椭圆形储油罐的长度3） a ——小椭圆形储油罐横截面椭圆的长半轴长 4） b ——小椭圆形储油罐横截面椭圆的短半轴长3 模型的建立、求解与应用3.1模型一3.1.1模型的建立对于（1）问，首先考虑储油罐无变位的情况，其横截面积如图：其阴影部分的面积2hs xdy =⎰ ，其中x =则 2v sl =理，其中v 理表示无变位罐内的油量。
最新储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型
储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型摘要本文解决了储油罐罐容表变位后标定的问题。
通过把实际的储油罐抽象成直角坐标系下的几何柱体，然后从区分不同的油面高度入手建立了几何柱体体积的积分模型。
再通过合理运用所给数据进行数据拟合，得出了油量体积与油面高度之间的函数关系，进而进行理论与实际体积之间的误差分析和模型可行性分析。
针对问题一，首先对于无变位的小椭圆柱体建立了直角坐标系下的容积积分模型（见第4页）。
通过Minitab15软件对实验数据进行曲线拟合，得出一个油量作为高度的函数关系。
利用这个函数关系计算出相应罐容表高度的实际油量容积，对比理论积分模型的容积值，计算出误差值（见表3和表5）。
观察知误差属于正常范围内，则得出通过理论模型来标定的标准罐容表（见第7页表6）。
然后当只有纵向倾斜的变位时，根据柱体内的倾斜油面将柱体容积分为三个部分，分段计算出相对应部分中的容积积分，建立了变位后的分段容积积分模型，通过Matlab7.0编程得出容积积分函数（见第9页）。
而这个模型是与纵向倾斜角度和油高两个因素有关的。
当倾斜角一定时，代入条件数据进行拟合对比，得出模型是合理有效的，从而得出变位后的罐容表（见第12页表7）。
最后将每变化0.01m的油量变化量与标准罐容表作比，得出比例系数。
针对问题二，将储油罐分割成两个球冠和一个圆柱三部分，并将其截面放入平面直角坐标系下建立容积积分模型，分别求出各个部分的油量容积，再相加求总容积（见第15页）。
而当纵向倾斜和横向偏转都存在时，考虑将空间直角坐标系作一个相应变换，即把轴乘以相应的三角函数得到新的坐标系，此时积分模型得出的是关于两个倾斜角度和高度的函数。
然后根据所给数据作拟合计算出实际油量，且分别选取两个倾斜角度的合理范围，固定高度后代入容积积分函数，将得到的油量与拟合出的实际油量作比较，利用最小二乘的方法从两边逐步逼近，最终得出最优的倾斜角度（见第17页）和倾斜后的罐容表（见第17页表8）。
A甲
储油罐的变位识别与罐容表标定专家点评:本文基于所给数据准确、罐体几何形状因有附属构件而含有误差进而导致推导的罐容与油位高度之间函数关系的理论公式含有较大偏差的理解下，通过对理论公式计算结果与实测数据的偏差的曲线拟合，对小椭圆型储油罐给出了修正的罐容表。
文中分析研究了无变位和有纵向变位的小椭圆型储油罐的罐容与油位高度的函数表达式、有纵向变位和横向变位的实际储油罐罐容与油位高度的函数表达式、以储油罐中油量随高度的变化率为依据识别纵向倾斜角度和横向偏转角度，由此给出了罐容表的标定、检验了所给出的数学模型的正确性和可靠性，思路正确、方法有效、所得结果合理，但是，对问题一利用祖暅原理将有变位近似转换为无变位的方法略欠妥当。
中国海洋大学 曹圣山教授摘要对于两端平头的小椭圆型储油罐与实际球冠封口的储油罐，本文分别建立了相应的数学模型，解决了储油罐变位后的识别和罐容表的标定的相关问题。
在建立两个模型的过程中充分的运用了MATLAB 和EXCEL 两个软件，利用祖暅原理将变位容积计算转换为未变位时的计算，在保证精度情况下，避免了复杂的积分运算。
对于模型1，首先，我们通过积分，得出无变位时的储油量与油位高度关系，此时，所得理论容积与实测容积出现由罐内附属构件占有一定体积造成的偏差，及时的运用曲线拟合的方法获得了其偏差函数，对模型1的公式进行了修正，获得了很好的结果。
在变位条件下，依据油位高度，对变位后的小椭圆形储油罐划分了三种高度条件来讨论了其罐容标定，然后利用几何关系将高度转化为无变位条件下的高度来计算容积。
对于模型2，无变位时，同样，我们先积分，积出无变位情况下实际油罐的储油量与油位高度表达式；变位时，我们依然依据油位高度，对实际的球冠封口的储油罐划分为三种情况来讨论，同样采用一些转化将高度转化为无变位条件下的高度来计算容积；在求解α,β的过程中，利用导数间的关系建立了油位高度的关系，编写了导数返查的MATLAB 程序以及依据数值逼近思想所利用的2)(1nn n n x x f x x --=+迭代公式和最小二乘法的线性拟合，精确地计算出了α，β的值 ，进而促成模型2的正确建立，然后利用模型计算出罐容标定表并利用给定数据分析检验。
全国大学生数学建模竞赛A题获奖—储油罐的变位识别与罐容表标定精品
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是：A题储油罐的变位识别与罐容表标定我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
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赵振江—储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要近几年，由于国内经济的迅速发展，油量用品大幅度增加。
储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度的贮存量进行精确的计量变得尤为重要！加油站通常利用地下储油罐来储存燃油，并采用流量计和油位计来测量进出油量与罐内油位高度等数据来得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
然而，储油罐在使用了较长时间后，由于地基变形等原因使得罐体的位置发生变位，导致罐容表发生改变，影响储油罐读数的精确度，从而对人类的生产发展造成一定的影响，比如影响承包企业的正常运作、影响石油交易的正常进行，还可能造成一定的安全隐患。
本文的目的即为对附件中的数据深入分析，建立实际储油罐无变位以及变位后罐内储油量和油位高度的关系的数学模型，从而判定储油罐是否发生变位，以便相关工作人员及时进行调整。
问题一，我们首先列出小椭圆储油罐内油量容积和油量高度的关系式(无变位以及变位后两种情况)，进行数值积分求解后，利用SPSS画出变位前理论和实际出油量的曲线进行比较，如果两者吻合得较好，则说明“理论符合实际”，同时还用MATLAB画出变位后曲线。
当然我们就可以利用理论的标定模型来研究罐体变位后对罐容表的影响了。
最后，利用MATLAB软件编程分段得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
问题二，我们在求罐内储油量与油位高度及变位参数的一般关系时可将实际问题分成两个阶段分析即先翻转后纵向倾斜。
将两个关系式整合后，得到所求的函数关系并积分求解。
然后用MATLAB进行拟合确定变位参数即。
用MATLAB分段计算罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
对于模型的正确性与方法的可靠性的分析我们运用MATLAB编程得出理论出游值，与实际测量值进行T-检验即可。
关键词：储油罐变位数据分析代数求解 MATLAB拟合 T-检验一、问题重述现在的石油生产和日常加工过程中需要把原油储存到储油罐中，随着网络和信息技术的迅猛发展，储油罐的液位测量以及开发和设计基于罐容表数据的信息化管理系统是是非常重要的！一般加油站地下的储油罐，都有与之配套的“油位计量管理系统”，即采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
数学建模储油罐的变位识别与罐容表的标定
储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文运用定积分、重积分，数理统计等知识研究储油罐变位后对罐容表的影响。
观测油罐探针的变化，分情况讨论变位油罐进/出油的罐内油液体积。
采用图形结合建立数学模型。
用定积分求解椭圆面积，进而求出油位高对应储油罐（无变位）的油容量的对应关系，利用数理统计与Excel 2003对数据分析并绘制图形，建立当前最优的实验储油罐无变位模型（模型一）。
模型二即是实验储油罐纵向倾斜（固定角）的数学模型。
对模型一、二两组数据进行对比，估算出油位高度相同时不变位以及变位后储油罐内油容量，再将两部分的油容量相减可算出油位高度和油容量的函数，得出罐体变位后油位高度间隔为1厘米的罐容表的标度。
模型四采用大量图形分析和数学知识，建立空间直角坐标系，将问题分出四种情况讨论。
建立当前最优的实际储油罐无变位模型（模型三），并与模型四进行对比可得关于油位高度和油容量的函数，那么将相隔10cm油位高的油容量代入模型即求得。
关键词：定积分重积分数理统计图形结合一、问题重述加油站的储油罐是大家非常熟悉的一种储油罐，就目前世界各地来看，它不能脱离我们的现实生活。
所以我们有必要对储油罐进行彻底的了解。
根据我们所学的知识，用数学模型方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
通常加油站的储油罐都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用专业的测量仪器测出罐内的储油体积与罐内油位高度，通过预先标定的罐容表（罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
但是，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会地基变形发生纵向倾斜和横向偏转等变化（称为变位），从而导致罐容表发生改变。
根据以上的情况，为了掌握罐体变位后对罐容体的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的圆柱体）做了罐体无变位和倾斜角为一定角的纵向变位两种情况的实验，且得到了实验数据。
在实验图形的基础上，我们深入了实际油罐的变位分析。
数学建模国赛优秀论文
Vm
h' L1 tan 0
S (h ' ( L1 x ) tan )dx
（2）模型求解与验证： 由于以上体积函数形式不一，且较为复杂，若通过正常的积分求取结果会比 较繁琐。考虑问题一不要求找出具体函数关系，只需要每隔 1cm 标注一次结果， 故利用龙贝格积分 [2 ] 算法求解积分的数值解，从而对罐容量进行标定。龙贝格积 分法具体算法如下： 设用复合梯形计算积分 f x dx 的近似值， 取步长 h
2.14° =4.6°
得到α和β后，对罐容量进行重新标定。检验模型时利用相对标准偏差的思 想，构造评价函数 ，得到结果 0.0055%，误差极其微小，说明了所建模型 的正确性和可靠性。 所建模型充分利用了附表中的数据，并合理地筛选了有效数据，适于推广到 运输，化工，储藏行业。
图4
油罐内油料体积
V ( h)
h L1 tan 0
S (h ( L1 x) tan )dx
② L2 tan h M L1 tan 时：如图 5 所示
图5
油罐内油料体积 V (h)
L1 L2
0
S (h ( L1 x) tan )dx
-7-
Hale Waihona Puke 贝格算法计算得到油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值，列表如下：
表 1 小椭圆型储油罐罐容表
油高(mm) 储油罐油量(L) 油高(mm) 储油罐油量(L) 油高(mm) 储油罐油量(L) 0 0~1.674387 400 965.660776 800 2661.422634 10 3.531122 410 1004.953782 810 2703.552425 20 6.263648 420 1044.583921 820 2745.491028 30 9.976866 430 1084.534871 830 2787.224773 40 14.758956 440 1124.790717 840 2828.739779 50 20.694101 450 1165.335924 850 2870.021937 60 27.858068 460 1206.155298 860 2911.056886 70 36.320883 470 1247.233966 870 2951.829995 80 46.147722 480 1288.557344 880 2992.326337 90 57.399578 490 1330.111117 890 3032.530662 100 70.133778 500 1371.881217 900 3072.42737 110 84.404394 510 1413.8538 910 3112.000481 120 100.262581 520 1456.01523 920 3151.233596 130 117.756843 530 1498.352059 930 3190.109866 140 136.933273 540 1540.851013 940 3228.611946 150 157.818421 550 1583.498973 950 3266.721951 160 180.259099 560 1626.282961 960 3304.421402 170 203.999405 570 1669.190128 970 3341.691168 180 228.906603 580 1712.20774 980 3378.511401 190 254.884875 590 1755.32316 990 3414.861462 200 281.857661 600 1798.523842 1000 3450.719834 210 309.760769 610 1841.797318 1010 3486.06402 220 338.538729 620 1885.131182 1020 3520.870436 230 368.142595 630 1928.513081 1030 3555.114269 240 398.5285 640 1971.930708 1040 3588.76932 250 429.656656 650 2015.371783 1050 3621.80782 260 461.49062 660 2058.824048 1060 3654.20019 270 493.996746 670 2102.275257 1070 3685.91477 280 527.143753 680 2145.713159 1080 3716.917462 290 560.902397 690 2189.125495 1090 3747.171291 300 595.245191 700 2232.499981 1100 3776.635821 310 630.146191 710 2275.824302 1110 3805.266392 320 665.580805 720 2319.086097 1120 3833.013049 330 701.525646 730 2362.272952 1130 3859.819002 340 737.958395 740 2405.372383 1140 3885.618241 350 774.857693 750 2448.371831 1150 3910.33151 360 812.203042 760 2491.258644 1160 3933.85845 370 849.974723 770 2534.020068 1170 3956.05568 380 888.153723 780 2576.643232 1180 3973.212325 390 926.721671 790 2619.115135 1190 3992.388755 1200 4009.883017 为分析模型的准确性， 将模型求得的数据与表中所给数据在同一坐标中作出 V-h 曲线图如下：
A题储油罐的变位识别与罐容表标定
A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据油位探针地平线油位探针地平线图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图图3 储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针变位储油罐的罐容表标定模型摘要：加油站的地下储油罐会出现变位的情况，计量储油罐油量的罐容表需要重新标定。
全国数学建模储油罐
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是小椭圆形储油罐与实际储油罐在发生纵向倾斜与横向偏转倾斜等变化后，储油量与实测油高的关系，从而对变位后的储油罐的罐容表进行重新标定。
本文采用的是微积分知识中分割求和取极限以及等效转化的思想，求得储油量与实测油高的关系。
问题一，首先将变位后的椭圆储油罐分割成三部分并建立坐标系，分别求得每一部分水平截面面积与坐标y的关系，用MATLAB对其进行求积分，得到新的罐容表。
运用给出的倾斜变位储油量和油位高度数据与新罐容表进行比对求误差，得其平均相对误差为5%。
将题目所给数据与模型得到的数据进行比对，并对误差进行多项式拟合，利用拟合结果改进罐容表，最终平均误差为2%。
问题二，分别从数值解与解析解两个角度建立模型。
既形象又精确的表现储油量与实测油高的关系。
首先将储油罐分割为三部分并建立坐标系，参考问题一中微积分的方法得到储油罐三部分的横截面关于坐标y的解析式进行计算。
但由于其为超越函数，实际应用中较为复杂，于是采用微积分中精密分割、求和的思想及坐标旋转变换的关系式，利用MATLAB 进行数值积分，得到实测油高与实际储油量的关系，即得到标定后的罐容表。
运用附件二中出油量与显示油高的数据进行无限逼近的方法使得实验数据与理论数据的平均误差和标准差之和最小的方式求解得到了角度α=3.3750°，β=4.5000°。
模型二将储油罐中封头部分假设为椭球体，利用其在无变位条件下部分体积随高度变化的函数较为简单的优点，通过寻找等效液面将实测油位高度转化为无变位条件下的油位高度，再代入原函数式中得到较为精确的解析解。
并最终得到与模型一相似的结果。
对于问题二中的两个模型进行验证，通过题目所给显示油高与显示油量容积的关系和模型得到的数据进行误差比对；以及通过出油量与显示油高和模型已得到其变位参数的条件下进行比对，都得到了误差。
数据表明模型一较为精确，模型二的误差在允许范围之内，模型具有较好的正确性与可靠性。
关于储油罐的变位识别与罐容表标定问题的分析
关于储油罐的变位识别与罐容表标定问题的分析摘要本文在合理假设的基础上,解决了关于储油罐的变位识别与罐容表标定问题,计算出了罐体变位对罐容表的影响,并利用实际检测数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性,建立如下模型:模型罐的变位问题:将附件1中无变位情况下数据在MATLAB中绘出散点图,根据各点处倾斜度的不同,将点大致分为三类(即将曲线分为三段), 通过拟合求出储油量与油位高度的函数解析式及其图像,将罐体有、无变位情况下油位高度关系带入所求得的储油量与油位高度的函数解析式中,从而得到有变位情况下储油量与油位高度的函数解析式;利用该关系式计算，得出罐体变位后油位高度间隔为0.1dm的罐容表标定值,如表1所示.实际罐的变位标定问题:根据题中所给实际罐的示意图,及积分在求几何体体积上的应用,建立了无变位情况下储油量与油位高度间函数关系, 将罐体有、无变位情况下油位高度关系带入所求得的储油量与油位高度的函数解析式中,从而得到有变位情况下储油量与油位高度的函数解析式;利用该关系式计算，得出罐体变位后油位高度间隔为1dm的罐容表标定值,如表3.通过分析绝对误差、相对误差与其上限值间的关系验证了该模型的准确性.关键字: 变位、拟合、油位高度、储油量1 问题重述加油站采用流量计和油位计测量进/出油量与罐内油位高度等数据,通过预先标定的罐容表进行实时计算,以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生变位,从而导致罐容表发生改变.建模的已知条件:(1)罐容表即罐内油位高度与储油量的对应关系.(2)储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置发生变位,从而导致罐容表发生改变.(3)储油罐主体为圆柱体,两端为球冠体. 需要解决的问题:问题1：建立数学模型研究模型罐罐体变位对罐容表的影响;并给出罐体变位后油位高度间隔为0.1dm 的罐容表标定值.问题2：建立数学模型研究实际罐罐体变位对罐容表的影响;确定变位参数;给出罐体变位后油位高度间隔为1dm 的罐容表标定值;利用实际检测数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性.2.模型罐的变位标定问题2.1模型假设1）模型罐为椭圆柱体; 2）相对误差上限为0.02.2.2符号说明1h 无变位情况下油位高度,(单位:dm); 2h 变位情况下油位高度,(单位:dm);()1h V i 无变位情况下储油量，3,2,1=i ,(单位:L);()1h V i 变位情况下储油量，3,2,1=i ,(单位:L).2.3模型建立无变位进油情况下: 储油量=罐内油量初值+累加进油量通过该关系式,根据附件1中无变位进油数据,可求得不同油位高度情况下对应的储油量,计算结果见附录[1].以油位高度为横坐标,相应的储油量为纵坐标,在Matlab 中设计程序(见附录[2])描绘出散点图并观察期变化趋势.如图1所示:图1通过观察,分析图1中各点处的倾斜程度,将点分为三类,即将函数分为三段，前17个点构成第一段,中间24个点构成第二段,其余点构成第三段.将第一段中的点,在Matlab 中进行二次拟合(程序见附录[3]),得到储油量与油位高度间函数关系式:()[]8816.3,07.1042.22411.23112111∈-+=h h h h V ， (1) 图像如图2:图2将第二段中的点,在Matlab 中进行二次拟合(程序见附录[4]),得到储油量与油位高度间函数关系式:()[]7763.68816.33.4129.377604.3112112，，∈-+=h h h h V (2) 图像如图3:图3将第三段中的点，在Matlab 中进行三次拟合(程序见附录[5])，得到储油量与油位高度间函数关系式:()[]12,7763.6319816877.22911.19628.01121314113∈-+-+-=h h h h h h V ， (3)图像如图4:图4 根据图5，图5可得1h ，2h 满足如下关系式:211801.4tan 25.8h h =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+π 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=π180041tan 25.821h h (4) 将(4)式分别代入(1),(2),(3),得到变位情况下储油量与油位高度间函数关系式分别为：()7.104180041tan 25.82.224180041tan 25.811.2322221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=ππh h h V (5)()3.412180041tan 25.89.377180041tan 25.8604.322222-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=ππh h h V (6)()3198180041tan 25.81687180041tan 25.87.229180041tan 25.811.19180041tan 25.8628.0222324223-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=ππππh h h h h V (7) 罐体变位后油位高度间隔为0.1dm 的罐容表标定值求解方法:首先，求出此时的油位高度，即2h 的值;其次,根据2h 的值，确定2h 的取值区间及其函数解析式;最后,将2h 带入相应的函数解析式,利用Matlab 编程求得此时的储油量,见表1.油位高度(dm)储油量 (L)油位高度(dm)储油量(L)油位高度(dm)储油量(L)油位高度(dm)储油量(L)1.115.3142 4.1 957.9793 7.1 2193.5 10.1 3370.4 1.2 40.3162 4.2 998.3344 7.2 2236.6 10.2 3404.4 1.3 65.7804 4.3 1038.8 7.3 2279.4 10.3 3437.8 1.4 91.7068 4.4 1079.3 7.4 2322 10.4 3470.7 1.5 118.0954 4.5 1119.8 7.5 2364.2 10.5 3503 1.6 144.9462 4.6 1160.5 7.6 2406.2 10.6 3534.7 1.7 172.2592 4.7 1201.2 7.7 2447.9 10.7 3565.7 1.8 200.0344 4.8 1242 7.8 2489.4 10.8 3596 1.9 228.2718 4.9 1282.8 7.9 2530.6 10.9 3625.6 2 256.9714 5 1323.8 8 2571.6 11 3654.3 2.1 286.1332 5.1 1364.8 8.1 2612.4 11.1 3682.3 2.2 315.7572 5.2 1405.8 8.2 2652.9 11.2 3709.4 2.3 345.8434 5.3 1447 8.3 2693.2 11.3 3735.5 2.4 376.3918 5.4 1488.2 8.4 2733.2 11.4 3760.8 2.5 407.4024 5.5 15295 8.5 2773.1 11.5 3785 2.6 438.8752 5.6 1570.9 8.6 2812.6 11.6 3808.1 2.7 470.8102 5.7 1612.3 8.7 2852 11.7 3830.2 2.8503.2074 5.8 1653.8 8.8 2891.1 11.8 3851.12.9 536.0668 5.9 1695.4 8.9 2929.9 11.9 3870.7 3 569.3884 6 1737.1 9 2968.4 12 3889.23.1 603.1722 6.1 1778.8 9.1 3006.7 3.2 637.4182 6.2 1820.6 9.2 3044.7 3.3 672.1264 6.3 1862.4 9.3 3082.3 3.4 707.2968 6.4 1904.4 9.4 3119.7 3.5 742.9294 6.5 1946.4 9.5 3156.7 3.6 779.0242 6.6 1988.5 9.6 3193.3 3.7 815.58126.7 2030.6 9.7 3229.6 3.8 852.6004 6.8 2072.9 9.8 3265.5 3.9 890.0818 6.9 2106.2 9.9 3300.9 4 928.0254 7 2150 10 3335.9表12.4 模型结果的分析与检验为方便解决模型罐的变位标定问题,该模型是在几个模型假设的前提下建立起来的,因此模型的计算结果与实际测量值之间必然存在误差.现分别从倾斜变位进、出油两种情况下随机抽取六组实验数据,根据相对误差公式,即计算值计算值测量值相对误差-=经计算,得表2:油位高度(dm) 实际储油量(L) 计算储油量(L) 相对误差 4.5054 1112.86 1122.00 0.0081 5.2684 1412.73 1434.00 0.0148 6.8063 2062.73 2075.50 0.0062 7.5090 2362.73 2368.00 0.0022 8.6760 2862.73 2842.50 0.0071 9.9241 3362.73 3309.30 0.0161 9.9432 3364.74 3316.00 0.0147 8.6899 2864.74 2848.00 0.0059 7.1532 2214.74 2222.60 -0.0035 6.1253 1764.74 1789.30 -0.0137 4.5240 1114.74 1134.40 -0.0173 4.1173964.74973.11-0.0086表2通过观察表2中相对误差一栏的数据，可知该组数据值均小于相当误差限0.02，因此该模型具有良好的可行性.3.实际罐的变位标定问题3.1模型假设1)储油罐只考虑变位对罐容的影响; 2)储油罐只在纵向倾斜，横向偏转;3)周围环境和仪器的使用对仪器的测量结果不产生影响; 4)储油罐为规则的圆柱体及球罐体组成;5)储油罐的油位探针在偏转前后与储油罐的相对位置不发生改变. 3.2符号说明V 卧式储油罐的容积 (单位：L);1V 圆柱体内油的容积 (单位：L); 2V 球冠体内的油容积 (单位：L);x 建立直角坐标系后的纵坐标;y 建立直角坐标系后的横坐标;z 建立空间直角坐标系的坐标; R 圆柱截面正圆的半径(单位:dm );S 油在储油罐圆柱体内变化的截面面积(单位:2dm );L 圆柱体的长度(单位:dm ); r 球冠体的球半径(单位:dm );b 球冠体与圆柱体的链接面的圆心到球冠体顶端的距离(如图3);∆V 半个球冠体封头内油容积(单位:3dm );1h 无变位情况下油位高度,(单位:dm );2h 纵向倾斜情况下油位高度,(单位:dm ); 3h 横向倾斜情况下油位高度,(单位:dm );m 油位探针距圆柱体边缘的最小距离,(单位:dm ); α 纵向倾斜角度,(单位:rad);β 横向偏转角度,(单位:rad).题中实际罐由主体为圆柱体,两端为球冠体组成,如图6所示:图6故该实际罐的容积为: 212V V V +=,在圆柱截面上建立直角坐标系,如图7所示:图7得到圆柱截面上圆的方程为：222)(R y R x =+-则油在储油罐圆柱体内的截面面积]2arcsin )()[(21arcsin2)()(21)(22202220220R R R x R R x R R x R R x R R x R R x dx R x R dx y S x xxπ+-+---=-+---=--=⋅=⎰⎰圆柱体内的储油量为:]2arcsin )()[(22221R R R x R R x R R x L SL V π+-+---⋅== 对球冠体建立空间直角坐标系,如图8所示:得到球体的方程：2222)(r z y R x =++-根据椭球方程知:222)(y R x r z ---=椭球曲面与面222)(y R x r z ---=及面0,0,0===z y x 所围成的体积为： ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω∆==Dy R x r dz dxdy dxdydz V 222)(0(8)由球在y x 0平面上的投影：222)(r y R x =+-得到22)(R x r y --= (9)综合(8)、(9)可以得到：]31)[(4])([4)(32220220)(022222x Rx x R r dxR x r dy y R x r dx V xxR x r -+-=--=---=⎰⎰⎰--∆ππ故两个球冠体封头内储油量为：]31)[(4232222x Rx x R r V V -+-==∆π，其中冠体的球半径r 满足：222)(b r R r -+=；又由题意可知,无变位情况下油位高度1h 与上式中x 值相等，故圆柱体内的储油量为:]2arcsin)()[(21221211R R R h R R h R R h L SL V π+-+---⋅== 两个球冠体封头内储油量为：]31)[(4231211222h Rh h R r V V -+-==∆π其中冠体的球半径r 满足：222)(b r R r -+=；从而实际罐储油量为：]31)[(]2arcsin )()[(]31)[(]2arcsin )()[(2312121221213121122112212121h Rh x b r R R R h R R h R R h L h Rh h R h R R R h R R h R R h L V V V -+-++-+---⋅=-+-++-+---⋅=+=ππππ (10)根据图9,图9可得αtan 21=-mh h ，即 αtan 12m h h -= (11)根据图10,图10可得βcos 23=--Rh Rh 即 R R h h +-=βcos )(23 (12)由(11)、(12)整理可得:R R m h h +--=βαcos )tan (13 (13)将(13)带入(10)可得罐体变位后储油量与油位高度间函数关系解析式:⎪⎩⎪⎨⎧-+-++-+---⋅=+--=]31)[(]2arcsin )()[(cos )tan (3121212212113h Rh x b r R R R h R R h R R h L V R R m h h ππβα (14) 根据附件2中所给数据,利用Matlab 编程,得到 3.5,1.4==βα罐体变位后油位高度间隔为1dm 的罐容表标定值求解方法:首先，求出此时的油位高度,即3h 的值;其次,根据(13)求解1h 的值，确定1h 的取值区间及其函数解析式;最后,将1h 带入相应的函数解析式,利用Matlab 编程求得此时的储油量,见表3.3.4 模型结果的分析与检验设),(βαf y =为二元函数,**βα、分别为βα、的近似值,*y 为相应的y 的近似值,即：),(***βαf y =21E E 、分别为**βα、的绝对误差,21εε、分别为**βα、的绝对误差限,*2*1r r E E 、分别为**βα、的相对误差,*2*1r r εε、分别为**βα、的相对误差限.函数),(βαf 在点),(**βαf 处的Taylor 展开式为*y 的误差与**βα、的误差的关系式：2*1***2**22***22**22******),(])())(()([!21)]()([),(),(E f E f f f f f f f f f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-≈+-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=βαβαβββββααβααααβββαααβαβα *y 的绝对误差为:2*1****),(),()(E f E f f f y E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈-=βαβαβα*y 的绝对误差限为:εεβεαβαβα=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≤⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈2*1*2*1*2*1**)(f f E f E f E f E f y E *y 的相对误差)(**y E r 为：*2****1*******)()(r r rE f y E f y y y E y E ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈=ββαα *y 的相对误差限)(**y rε为： )()(***2****1*****y f y f y y E r r r rεεββεαα=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≤ 经分析得知存在*y ,使得ε≤)(*y E 且)()(****y y E r r ε≤,因此该模型有良好的可靠性.参考文献[1]高炳军,苏秀苹各种封头的卧式容器不同液面高度体积计算(1) 1999年7月[2]董成卧式容器任意液位高度下液体容积的计算 2000年第2期附录油位高度（dm）储油量（L）流水号油罐号油位高度（dm）储油量（L）1.590231250 1 6.65672262 1.761436251 1 6.776323121.925941252 1 6.78542315.832.08546253 1 6.90532365.83 2.239351254 1 6.90822367.06 2.389756255 1 7.02852417.06 2.536661256 1 7.14912467.06 2.680466257 1 7.27032517.06 2.821671258 1 7.39192567.062.960376259 1 7.51422617.063.096981260 1 7.6372666.98 3.231586261 1 7.64162668.83 3.364491262 1 7.76532718.83 3.495796263 1 7.88992768.83 3.6256101264 1 8.01542818.83 3.7542106265 1 8.14192868.833.8816111266 1 8.26952918.834.0079116267 1 8.39832968.83 4.1332121268 1 8.52843018.83 4.2576126269 1 8.663068.83 4.3812131270 1 8.79323118.83 4.504136271 1 8.92823168.83 4.6262141272 1 8.92843168.91 4.7478146273 1 9.06533218.91 4.8689151274 1 9.20453268.914.9895156275 1 9.34613318.915.1097161276 1 9.49053368.91 5.2295166277 1 9.6383418.91 5.349171278 1 9.78913468.91 5.4682176279 1 9.94433518.91 5.5872181280 1 10.10433568.91 5.7061186281 1 10.26993618.91 5.8248191282 1 10.44253668.915.9435196283 1 10.62373718.916.0622201284 1 10.81593768.91 6.1809206285 1 11.02333818.91 6.2996211286 1 11.25323868.91 6.4185216287 1 11.52363918.91 6.5375221288 1 11.93493968.91附录[2]x=[1.5902 1.7614 1.9259 2.085 2.2393 2.3897 2.5366 2.6804 2.8216 2.9603 3.09693.2315 3.3644 3.4957 3.6256 3.7542 3.88164.0079 4.1332 4.2576 4.3812 4.5044.6262 4.7478 4.8689 4.98955.1097 5.2295 5.349 5.4682 5.5872 5.7061 5.82485.94356.0622 6.1809 6.2996 6.4185 6.5375 6.6567 6.7763 6.7854 6.9053 6.90827.0285 7.1491 7.2703 7.3919 7.5142 7.637 7.6416 7.7653 7.8899 8.0154 8.14198.2695 8.3983 8.5284 8.66 8.7932 8.9282 8.9284 9.0653 9.2045 9.3461 9.49059.638 9.7891 9.9443 10.1043 10.2699 10.4425 10.6237 10.8159 11.0233 11.2532 11.5236 11.9349];y=[312 362 412 462 512 562 612 662 712 762 812 862 912 962 1012 1062 1112 1162 1212 1262 1312 1362 1412 1462 1512 1562 1612 1662 1712 1762 1812 1862 1912 1962 2012 2062 2112 2162 2212 2262 2312 2315.83 2365.83 2367.06 2417.06 2467.06 2517.06 2567.06 2617.06 2666.98 2668.83 2718.83 2768.83 2818.83 2868.83 2918.83 2968.83 3018.83 3068.83 3118.83 3168.83 3168.91 3218.91 3268.91 3318.91 3368.91 3418.91 3468.91 3518.91 3568.91 3618.91 3668.91 3718.91 3768.91 3818.91 3868.91 3918.91 3968.91];plot(x,y,x,y,'.')附录[3]x=[1.5902 1.7614 1.9259 2.085 2.2393 2.3897 2.5366 2.6804 2.8216 2.9603 3.09693.2315 3.3644 3.4957 3.6256 3.7542 3.8816];y=[312 362 412 462 512 562 612 662 712 762 812 862 912 962 1012 1062 1112];plot(x,y,x,y,'.');cftool(x,y);附录[4]x=[4.0079 4.1332 4.2576 4.3812 4.504 4.6262 4.7478 4.8689 4.9895 5.1097 5.22955.349 5.4682 5.5872 5.7061 5.8248 5.94356.0622 6.1809 6.2996 6.4185 6.53756.6567 6.7763];y=[1162 1212 1262 1312 1362 1412 1462 1512 1562 1612 1662 1712 1762 1812 1862 1912 1962 2012 2062 2112 2162 2212 2262 2312];plot(x,y,x,y,'.');cftool(x,y);附录[5]x=[6.7854 6.9053 6.9082 7.0285 7.1491 7.2703 7.3919 7.5142 7.637 7.6416 7.76537.8899 8.0154 8.1419 8.2695 8.3983 8.5284 8.66 8.7932 8.9282 8.9284 9.06539.2045 9.3461 9.4905 9.638 9.7891 9.9443 10.1043 10.2699 10.4425 10.623710.8159 11.0233 11.2532 11.5236 11.9349];y=[2315.83 2365.83 2367.06 2417.06 2467.06 2517.06 2567.06 2617.06 2666.98 2668.83 2718.83 2768.83 2818.83 2868.83 2918.83 2968.83 3018.83 3068.83 3118.83 3168.83 3168.91 3218.91 3268.91 3318.91 3368.91 3418.91 3468.91 3518.91 3568.91 3618.91 3668.91 3718.91 3768.91 3818.91 3868.91 3918.91 3968.91];plot(x,y,x,y,'.');cftool(x,y);。
储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模竞赛
储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定参赛学校：重庆工商大学承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理．我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆工商大学参赛队员 (打印并签名) ：1．王文姣2．白洋3．吴静指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：袁德美日期： 2010 年 9 月 13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要油品的数量管理在油品的经营过程中占有很重要的地位,其中储油罐罐容表的标定是加油站中油品管理的关键.但由于储油罐的长时间使用会导致地基变形,罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）, 从而需要定期对罐容表进行重新标定.因此能够正确地解决好罐容表的标定问题,将会给现实生活中加油站等储油行业的操作带来方便.本文主要解决储油罐的变位识别及罐容表的标定问题.我们根据积分“无限细分,无限求和”的思想,通过建立积分模型,将储油罐划分为无数个连续的椭圆形截面.在进行储油量的计算时,由于油液面将这无数个椭圆截成了无数个弓形,故计算储油量的过程即转化为了对这无数个弓形在一定范围内求积分的问题.问题一,在准确的模型假设的前提下,根据油位高度与各弓形面积的关系和弓形面积与油罐体体积的关系,分别对罐体无变位和变位的情况建立积分模型,然后利用附件1的实测数据,对模型进行误差分析与拟合修正,最后给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值（结果请见表1）.问题二,在问题一的基础上,首先我们同样采用积分的思想求得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系.然后根据对问题二的模型所求得的数据与附件2所给的实际检测数据进行运算可以得到理想的α、β值，我们求解得出 2.07α=︒， 4.98β=︒.进而利用α，β得到油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值（结果请见表2）.另外在去掉温度对储油量不会产生影响的假设条件下,我们对模型进行了进一步的改进. 为了消除温度的影响,我们考虑了油品的体积随温度变化的关系.利用经验公式.将油品体积全部转化为固定温度下的数据,然后再进行比较分析.关键词：优化处理；拟合；罐容表标定；微积分模型；最小二乘法.一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的"油位计量管理系统"，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况．许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变．按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定．在不考虑外界环境的影响下，现解决如下问题：1．为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，得出实验数据．并在所得数据的基础上建立数学模型，研究罐体变位后对罐容表的影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值．2．在实际情况下，罐体变位后标定罐容表的标定值与理论上是有偏差的，但也存在着一定的联系，因此问题二需要找出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系．在对实际情况下罐体变位后进/出油过程中的实际检测数据进行分析与运算后，我们建立一数学模型，并通过其确定变位参数，同值．时求得罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定[]1二、问题分析储油罐罐体的变位识别是油位计量管理系统中的重要环节之一，而油品的数量管理是加油站等经营部门的基础工作，同时它又在其经营过程中占有重要地位．目前，由于地基变形等原因，出现了一些不规范的问题．故对罐体变位识别是确定一个规范的、科学的、精确的油位计量管理系统的必要前提．问题一要解决的是小椭圆形罐体纵向倾斜变位后对罐容表的影响问题．对于此类问题，我们通常利用高等数学中的定积分方法来求解．其一般思想为“求和、取极限”[]2.我们根据附件1所给出的小椭圆形罐体在无变位和变位时的进/出油量与油位高度的实验数据最后来修正模型．综上所述，先讨论小椭圆形罐体无变位时，储油量与油位高度之间的关系，建立积分模型一并且根据模型求出无变位时的罐容表．α=︒纵向倾斜后的情况，建立积分模型二．模型二涉然后再讨论当储油罐发生 4.1及二重积分的知识．对模型二分盲区和非盲区两种情况进行讨论．其中盲区包含两个部分：一、油面刚好接触油位探测装置底部，此油位探针的读数为0但实际油量不为0；二、油位探针刚好接触储油罐顶部，油位探针的读数为1．2，但此时储油罐并没有装满．对于非盲区情况也需要进行分类讨论．最后将模型数据和实测数据通过MATLAB软件进行拟合，我们可以得出两种情况下模型数据与实测数据间的关系，通过该关系进一步对原来的模型进行修正．最后确定变位后的罐容表，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值．问题二要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，且α与β未知，通过对题意的理解和对图形的分析，我们决定在问题一的基础上运用积分的知识建立数学模型三．首先，我们将油罐体横向分为五个部分，并依次求得各部分截面面积；其次，我们又将油罐体纵向分为三个部分，依据之前求得的截面面积，纵向依次对其进行积分运算，从而得到各部分的体积，而油量的总体积即为各部分体积之和，该和式即为罐内油量与油位高度及变位参数α与β的关系式．根据附件2所给出的数据确定α与β，然后通过对模型数据与实测数据之差（即离差）的平方和求出离差最小时,α与β的取值，进而确定罐体在变位后油位高度间隔为10cm 罐容表标定值．最后，再用附件2给定的数据,利用最小二乘法对我们所建立的“罐体纵、横向变位后模型”进行检验.下面为该问题的解法流程图：三、模型假设1． 累计进/出油量与罐内油位高度为连续型变量；2． 空气对油品的氧化情况不存在，注入油料时没有气泡的存在；3． 地下储油罐的外界环境适宜．如气压为常压，温度在19c ︒~200c ︒，考虑到数据为8月份的数据，设温度为固定温度30c ︒；4． 忽略储油罐壁厚和油浮子所占用的体积和罐底污泥厚度；5． 系统稳定，不存在信号、噪声等外界因素带来的随机误差，也不考虑观测误差、连续问题离散化所产生的误差，附录所给的数据真实、准确、可靠；6． 该储油罐为两端平头且为椭圆的柱体；7． 忽略温度对储油罐储油量的影响，储油罐储油量不随温度的变化而变化；8． 储油罐密封性好，没有泄露和蒸发损失的情况；9． 不考虑液体静压力对罐壁的作用而对油罐容积产生的影响；10．储油罐罐壁平滑，不存在变形；11．当高度达到1.2时，不再向储油罐内注油， 这是从单位经济效益方面考虑的．12．忽略油罐内部气体压强对注油这一过程的影响．四、符号说明i N ：储油罐截面圆圆心， 1,2,3i =；RR ：变位与无变位罐容表标定值的相似度；α：储油罐纵向倾斜的角度，单位为度；β：储油罐横向偏转角度，单位为度；x ：建立三维坐标x 轴，单位为m ；z ：建立三维坐标z 轴，单位为m ；b ：小椭圆型油罐椭圆截面长半轴长，单位为m ；c ：小椭圆型油罐椭圆截面短半轴长，单位为m ；y ：小椭圆型油罐连续椭圆截面到储油罐罐底的距离，单位为m ；y '：以椭圆截面的中心为坐标原点，建立的横坐标，单位为m ；i h ：第i 种情况下油位探针测得储油器的油位的高度， 1,2,3i =，单位为m ； ()ij t y ：在第i 问中第j 种情况下油罐在y 点处弓形截面高度，,1,2i j =，单位为m ；()kij s y '：第i 问中第j 种情况下油罐在k 阶段形成弓形截面面积与y '的关系，,1,2i j =，1,2,3,4,5k =，单位为2m ；()kij v y ：在第i 问中第j 种情况下储油罐在第k 部分内的储油量关于y 的函数，1,2,3i =， 1,2j =，1,2,3,4,5k =单位为3m ；i V ：第i 种情况下求得的储油量，1,2,3i =，单位为L ；i V '：第i 种情况下给出的储油量，1,2,3i =，单位为L ；i V ∆：第i 种情况下求得的储油量的绝对误差，1,2,3i =，单位为L ；i E ：第i 种情况下误差调节函数，1,2,3i =，单位为L ；m ：替换变量，单位为m ；i r ：储油罐截面圆的半径，，1,2,3,4,5,6i =，单位为m ；L ：球冠体球心到i r 的距离，单位为m ；h '：储油器的油位的实际高度，单位为m ；1R ：包含球冠体的球体的半径，单位为m ；1P y ：1P 点纵坐标，单位为m ；2P y ：2P 点的纵坐标，单位为m ；()i S y ：储油罐各分段截面的面积，1,2,3,4,5i =，单位为2m ；O ,A ,H ,B ,Q ,C ,D ,1P ,2P ,F ,N :图形上相应的点;,R r :图中相应圆的周长.五、问题一模型的建立与求解5.1 模型一的建立5.1.1 油罐无变位时模型的建立小椭圆型油罐无变位时，油位探针所测得的油位高度h 与椭圆截面的弓形高度始终是相等的，即()111t y h =．此时，小椭圆型平头油罐椭圆截面的弓形面积如图1-1-1中阴影所示：图1-1-1该椭圆的方程为：22221y z b c '+=， 对阴影部分积分得弓形面积：()112()111221c t y c z s y b dz c-+-'=-⎰， 由图中弓形所形成的体的体积为：()()1122.45()1111120 2.4521c t y c z v y s y dz b dz c-+-'==⨯-⎰⎰． 5.1.2 罐体无变位时模型的求解利用牛顿—莱布尼茨公式求解得： ()1211111() 2.452arcsin 2b h c h c bc v y h c h bc c c π-⎡⎤-=⨯-+⎢⎥⎣⎦． （1.1） 将给定的无变位时进油量的实验采集的数据和题中已知的数据代入式(1．1)中，用MATLAB 编程求出模型一的结果，将其与给定的数据进行比较分析（程序见附录一）可得误差结果（见附录表1-1）．5.1.3 误差分析及修正从附录表1-1中可以看出，绝对误差值1V ∆随着储油量1V 的增大而增大．经分析产生误差的因素有：1．油品中的气泡．当油品中混有气泡时，由于气泡具有体积，从而使油位探针的读数比实际的读数大，且随着油量的增大气泡的所占的体积也增大；2．油品储油罐罐壁的厚度．由于储油罐罐壁包括内壁和外壁，我们计算的体积包括壁的厚度所占的体积．所以随着油容量的增加，壁厚所占的体积就增大，我们所测量的体积与实际油量的容积差就增大[]3. 3．储油罐的变形．储油罐的变形是指罐体壁的凹凸变形，无论是凹还是凸都会使油位探针的读数与实际值不符，当罐壁凹进去时，实际容量比油位探针的读数小；当罐壁凸出来时，实际容量比油位探针的读数大．在本题中，由于误差随储油量的增大而增大，因此可以猜测为罐壁凸时的情况；4．外界温度．油品的性质与外界温度有必然的联系，当外界的温度越高时，油的体积就相对越大．为较正误差，我们在MATLAB 软件中对附录表1-1中所得出的绝对误差值1V ∆与油量高度1h 进行了拟合（程序见附录二），得出了校正误差的调节函数关系式如下：321111=-84.029792h +150.64977h +58.215842h -1.7108249E ，所以得到较正后的函数为：()1111V v y E =+.下图为对理论数据调节前、后的曲线与实际曲线的拟合图，图1-1-2所示：图1-1-2从图中可以看出，修正后的理论数据与实测数据能很好的吻合．用MATLAB编程(程序见附录三)求出无变位情况下油位高度间隔为1cm时罐容表标定值（见表一）．5.2.1 罐体变位后模型的建立在上面模型的基础上小椭圆型油罐在地基变形的情况下，发生了纵向倾斜角α=︒的倾斜，我们建立三维坐标系．以油罐身长的延长线作y轴，以油罐左底面的4.1纵向对称轴为z轴，以垂直于zoy平面过o点作x轴，如图1-1-4所示：图1-1-3区部分：1．考虑盲[]4由于储油罐发生纵向倾斜，导致储油罐存在有部分油料体积无法准确测得的情况．这就是所谓的盲区情况．进一步说：所谓的盲区是指由于液位计的选型和安装位置不同形成的无法测量的区域．出现盲区的情况又分为两种：(1)第一种盲区情况如图1-1-5（盲区一）所示：此时0h =，由不变位时模型中椭圆截面弓形面积公式易得： ()0.4tan 1122c csy dz α-+-'=⎰，积分得阴影部分体积（即盲区一的体积）得：，()0.40.4tan 11202c cvy dz dy α-+-=⎰⎰．(2)同理，可得如图1-1-6中阴影部分体积（盲区二）：() 2.052.05tan 51202c cvy dz dy α-+-=⎰⎰综上所述：即当满足00.40y h ≤≤⎧⎨=⎩或者0.4 2.451.2y h <≤⎧⎨=⎩时，测量出油位的高度是有误差的，为了减小误差我们有必要将盲区考虑到模型中去．2．接下来研究非盲区情况：根据图1-1-4进行分析，可以将非盲区在分为三个部分，这三个部分在图中1,2,3,4L L L L 之间．(1)当0 2.05tan h α<≤时，即在1,2L L 之间的区域内： 此时的椭圆截面弓形面积公式为：()20.4tan 2122c h csy dz α-++-'=⎰，求得储油量的公式为 ：()()10.4cot 221212h vy sy dz α+'=⎰220.4cot 00.4tan 2h cc h dz dy αα+--++=⎰⎰．(2120.4cot 02h cc t y b c α+-=⎰⎰，(2)当2.05tan 1.20.4tan h αα<≤-时，即在2,3L L 之间的区域内： 此时的椭圆截面弓形面积公式为：()12()3122c t y csy dz -+-'=⎰ ，求得储油量的公式为：()()122.452.45()33121202c t y cvy sy dy dz dy-+-'==⎰⎰⎰(122.4502c t y c a b-+-=⎰⎰ (3)当1.20.4tan 1.2h α-<<时，即在3,4L L 之间的区域内：[]{}([]12122.45412120.4 1.2()cot 2()0.4 1.2()cot c t y c t y b v y bc t y c απα---=--+⎰⎰ 总之，综合盲区和非盲区情况，可以将整个储油罐的储油量分为五个阶段，得到如下结果：(([]{}([]121212120.40.4tan 00.4cot 02.4502120.4 1.2()cot 2,0,00.4(2,0 2.05tan 2, 2.05tan 1.20.4tan 0.4 1.2()cot 2c ch cc t y c t y cc t y c t y dz dy h y b h ca hb V bc t y b c αααααπα-+-+--+----=<<<≤<≤-=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰盲区一)2.452.05 2.05tan 0, 1.20.4tan 1.22, 1.2,0.4 2.45(c ch dz dy h y ααα-+-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎪⎪=<<⎪⎩⎰⎰⎰盲区二) 5.2.2 罐体变位后模型的求解(1)．盲区两种情况储油量的计算，利用MATLAB 编程求解（程序见附录四），得到结果112() 1.674350511183661e+000,0,00.4(v y h y ==<<盲区一), 512()9.740076199628695e+001,1.2,0.42.45(v y h y ==<<盲区二).此模型的求解利用MATLAB 编程（程序见附录五）．将附件1中的变位进油量的实验采集的数据导入，将得出的结果与实际结果进行比较分析可得误差结果（见附录表1-2）．MATLAB 编程进行误差拟合，得到此模型的误差拟合曲线，即调节函数：-33-322222E =0.5503210h -0.6930210h -0.58276h +104.10⨯⨯⨯对此模型同样用MATLAB 编程(程序见附录三)求出变位情况下油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值如下表一．5.2.3 结果检验：用MATLAB编程（程序见附录六）原模型加入了调节函数前后与实际数据拟合的结数数后，模型数据与实际数据能吻合的果如图1-1-7所示，可以看出在加入了调节函[]5很好．图1-1-7变位前后罐容表标定值的相似度，用MATLAB编程求解（程序见附录七）．相似度：RR=0．998901855248828．说明角度小的情况下，这两个模型有很大程度的相似度，同时由于角度很小,两模型得到的结果有很高有相似度,也从实际生活中说明了本模型的正确性；六、问题二模型的建立与求解6.1 罐体纵、横向变位后模型的建立问题二的实物模型是主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐．这就比问题一中两端为平头的储油罐模型更具有实际意义．模型二的储油罐的倾斜情况分为两种，罐体纵向倾斜变位和罐体横向偏转变位．纵向倾斜角度为α，横向偏转角度为β．其中罐体横向偏转变位的截面示意图如图1-1-8和图1-1-9所示：图1-1-8图1-1-9图1-1-8为罐体没有发生偏转时的截面示意图，这时油位探针测量的油位高度为实际高度h'．图1-1-9为罐体发生横向偏转，偏转角度为β时的截面示意图．此时油位探针所测得的高度记作h ，而实际高度：()cos h r h r β'=+-．罐体发生纵向倾斜变位的示意图如图所示，建立三维坐标系．以油罐身长的延长线作y 轴，以过油罐左球[]7冠冠表面球心的切线为z 轴，以垂直于zoy 平面过o 点作x 轴．如图1-1-10所示：图1-1-10半径为1．5m 的圆形截面与y 轴的切点分别记为A 点与H 点．油面上有一动点Q ． 油面与左边球冠体表面的交点记作1P 点，油面与右边球罐体表面的交点记2P 点．在zoy 平面中1P 点的坐标记为()11,P P y z ，2P 点的坐标记为()22,P P y z ．油面延伸出去交y 轴于F 点，油位探针交y 轴于B 点．易知cot FB h α=，cot 3OF h α=+．截面弓形[]8高为：()()227tan 10tan 3tan t h y h y ααα=-+-=+-．又因为油罐的高度为3H m =，球缺截面形成的弓形的高为1L m =，所以有：()2222H R R L ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 得到：1.625R m =由图易得过1P 点、切点、球心的圆球体的圆的方程()1和过1P 点直线方程()2， 联立：()()222( 1.625)( 1.5) 1.6251tan 3tan 2y z z y h αα⎧-+-=⎪⎨=-++⎪⎩ 解之，求出1P 点在zoy 平面上的横坐标：()1123.2523tan 1.5tan 2sec p h y ααα++-=，同理有：222(8.375)( 1.5) 1.625tan 3tan y z z y h αα⎧-+-=⎨=-++⎩， 解之，求出2P 点在zoy 平面上的横坐标：()2116.7523tan 1.5tan 2sec p h y ααα++-=经计算得弓形的面积公式为：(2arccos h r S r h r r π-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（3） 当出现临界状态时，此时油面与右边球罐体表面的交点记3P 点． 联立：222(8.375)( 1.5) 1.625tan tan 3y z z y αα⎧-+-=⎨=-++⎩解之，求出3P 点在zoy 平面上的横坐标：3p y =6.1.1该模型分为两种情况讨论：一、从横向来看，可以将储油罐划分为五个部分，下面就分别对其进行讨论．如图11所示：图1-1-11图1-1-12利用图1-1-12，可帮助求解半径和面积（1）当10p y y ≤≤时，所截图形的剖面为一个圆，设圆心为1N ，且1N 与N 在同一条直线上，求得1 1.625NN y =-，因此⊙1N 的半径()221r R R y =--1N 的面积：()()()222211 3.25S y r R R y y y πππ⎡⎤==--=⨯⨯-⎣⎦.（2）当11p y y ≤≤，此时油面截罐体所得图形的剖[]9面为一个弓形，记半径2 1.5r =的截面圆心为2N ，球缺表面到y 轴的距离为l ，弓高为h ，取⊙1N 与⊙2N 为11p y y ≤≤区间上的极限值，因此，在1N 2N 间任取一个圆，记圆心为3N ，易知1N 、2N 、3N 位于同一条直线上，所以依据同样的办法可以求得⊙3N 的半径：()223r R R y =--， ()2231.5 1.5l r R R y =-=-- 所以该弓形的弓高：2222 1.5h t l t ⎡=-=-⎢⎣． （4）将式（4）代入公式（3）中得：()()()()()222222222 1.5 1.625 1.6251.5S y R R y t y t ππ⎛⎫⎡⎤=-⨯--⎣⎦ ⎝+-⎛⎫⎡⎤=-⨯--⎣⎦ ⎝+-，（3）当19y ≤≤时，由于此时油罐体为一个底面半径4 1.5r =的圆柱体，此时所截得的弓形剖面的半径为1．5，22h t =，将其代入式（3）得出19y ≤≤区间上弓形的面积：()(2223221.5arccos 1.5 1.51.5t S y t π-⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭()222221.5arccos 1.5 1.51.5t t π-⎡⎤=-⨯+-⎢⎥⎣⎦ （4）当29p y y ≤≤时，此与上述()2过程相似，油面所截得的图形的剖面仍为一个弓形．同样，记半径为1．5的截面圆心为4N ，球缺表面到y 轴的距离为l ，弓高为h ．采用2过程的方法可以求出：4221.5r l h t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩代入式（3）得到弓形的面积：()()2248.375S y R y π⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣()22 1.5t +-()221.6258.375yπ⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣()221.5t+-．（5）当23p py y y≤≤时，油面所截得的图形的剖面为一个以5r=径的圆，所以该圆的面积为：()()()()22522228.3751.51.6258.375S y R ytyππ⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣+-⎡⎤⎢⎡⎤=-⨯--⎣⎦⎢⎣()221.5t+-．（6）当310py y≤≤，此与上述()1过程相似，油面所截得的图形的剖面为一个以6r=()()()222268.375 1.6258.375S y R y yππ⎡⎤⎡⎤=--=⨯--⎣⎦⎣⎦.二、从纵向来看，可以把油罐中的储油量分为四个阶段来研究：Ⅰ．当106tanhα≤≤时，依据前面的计算结果得出该区间内油罐中的储油量为：()()()()()()111111113cot112301221221223cot22211.51.5arccos 1.51.5pppppy hyyyyhV S y dy S y dy S y dyR R y dyR R y dyttdyααπππ++=++⎡⎤=--⎣⎦⎛⎫⎡⎤+-⨯--⎣⎦⎝+--⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13cot2211.5htα++-⎰.Ⅱ．当16tan7tan 1.5hαα≤≤+时，该时段是以2P点为临界点[]6,，此时的储油量是在Ⅰ的基础上加上29p y y ≤≤范围内的体积，即为：()()()()()()()1121111113cot 2123401912222013cot 22222122 1.51.5arccos 1.51.5p p p p p p y h y y y y h y V S y dy S y dy S y dy S y dyR R y dy R R y dy t t dy t ααπππ++=+++⎛⎫⎡⎤⎡⎤=--+-⨯--⎣⎦⎣⎦ ⎝-⎛⎫+-+-⨯ ⎪⎝⎭+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()1223cot 12292291.51.58.375.p p h y y t R y dy απ++-⎛⎫⎡⎤+-⨯--⎣⎦ ⎝⎰⎰⎰Ⅲ．当7tan 1.532tan h αα+≤≤-时，此时即在Ⅱ的基础上加上23p p y y y ≤≤范围内的体积，即为：()()()()()()()11231211113cot 31234501912222012222() 1.51.5arccos 1.1.5p p p p p p p p y h y y y y y y y V S y dy S y dy S y dy S y dy S y dyR R y dy R R y dy t t απππ+=++++⎛⎫⎡⎤⎡⎤=--+-⨯--⎣⎦⎣⎦ ⎝-⎛⎫+-+-⨯ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()()1122323cot 213cot 2212292292251.51.58.3758.375.p p p p h h y y y y dy t t R y dyR y dy ααππ+++-+-⎛⎫⎡⎤+-⨯--⎣⎦ ⎝⎡⎤+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰Ⅳ．当32tan 3h α-≤≤时，此时即在Ⅲ的基础上加上310p y y ≤≤范围内的体积，为：()()()()131212313cot 104123456019()().p p p p p p y h y y y y y V S y dy S y dy S y dy S y dy S y dy S y dy α+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.1.2 分析液面没有漫过左边球心的情况由于上述模型对液面没有漫过左边球心时的情况不适应，下面对上述模型进行修正，即当液面未漫过左边球心时，进行如下处理：一、从横向上看，重新将模型横向分为三部分，如上图所示，将模型分为左球缺部分[]()0,1y ∈、圆柱体部分[]()1,9y ∈、右球缺部分[]()9,10y ∈．二、从纵向上看，同理可以把油罐中的储油量纵向分为四个阶段来研究： Ⅰ．当106tan h α≤≤时， 储油量体积公式为：1 1.5tan 13cot 301.62512()h h V V V dy dz S y dyαα++=+=+⎰⎰⎰球缺直体Ⅱ．当16tan 7tan 1.5h αα≤≤+（临界状态值）时，体积为：()21.5tan 1201.6253cot 34192()p h h y V V V dy dzS y dy S y dyαα++=+=++⎰⎰⎰⎰球缺直体Ⅲ．当7tan 1.532tan h αα+≤≤-（临界状态值）时，体积为()3221.5tan 130 1.6253cot 345192()()p p p h h y y y V V V dy dzS y dy S y dy S y dyαα++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰球缺直体Ⅳ．当32tan 3h α-≤≤时，体积，即为：()()32231.5tan 1401.625910234563(3)cot 921.523cot ()()()p p p p h y y h y y V V V V dy dzh S y dy S y dy S y dy S y dy ααπα+--=++=+⨯⨯--++++⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰球缺圆柱直体6.2 罐体纵、横向变位后模型的求解： (1) α、β的求解.求得了各个阶段的体积公式后，要得到储油罐的罐容表标定值，首先要得到最理想的α和β的值．由于纵向倾斜角度α和横向偏转角度β未知，所以附件2中的显示油量容积数据根据的是以前的标定值，我们运用这个数据所求得的α和β就显得不准确．而就如题目所说的，加油站都有与之配套的“油位计量管理系统”，所以附件2中实际测算的显示出油量是准确的，这时计算模型i 时刻的高度()h i 所对应的容积()()V h i 模容与模型1i +时刻的高度()1h i +所对应的容积()(1)V h i +模容之差，作为模型的出油量数据，记V 模出油量．运用离差平方和最小的思想，得到目标函数为2min ()V V -∑模出油量实测出油量，用MATLAB 编程（程序见附录八）从而得到 2.07α=︒和 4.98β=︒．(2)．罐容表标定值的求解知道纵向倾斜角度α与横向偏转角度β以后，得到油位间隔为10cm 的罐容表标定值，如表2所示．表2:发生纵、横向变位时给出的标定值高度h(cm)标定值(L) 高度h(cm) 标定值(L) 高度h(cm) 标定值(L)10361.457 110 19240.190 210 46578.20020 1094.387 120 21899.000 220 49120.600 30 2267.847 130 24615.460 230 51562.810 40 3751.227 140 27373.880 240 53885.800 50 5479.082 150 30158.920 250 56068.670 60 7411.609 160 32955.430 260 58087.740 70 9518.782 170 35748.350 270 59915.000 80 11775.810 180 38522.550 280 61514.830 90 14161.120 190 41262.750 290 62835.170 100 16655.240 200 43953.330 300 63764.0506.3 模型正确性分析附件2所给出的实验数据中以容积为指标.我们用这个模型所求得一组相应的数据，将这两组数据进行对比分析(程序见附录九)，可以得出这两组数据很相似,能很好的拟合(图见附录图1).因此,说明了我们的模型是正确的.另外,我们再次从原始数据中取50组排出量数据,用Excel 进行修正,得到的修正后的模型数据V 模修，将数据与实验数据进行对比分析，得到使得离差平方和最小的目标函数2min ()V V -∑模修实.在MATLAB 中用lsqcurvefit 进行最小二乘拟合结果,程序返回的结果为 0α=︒, 0β=︒,误差大约为42.3410-⨯(程序见附录八).此时显示出油量为无变位时的数据，而我们对原始数据修正后得到的数据也相当于是无变位时的数据.因此,这有力的说明模型对于无变位和变位时的情况都实用.综上所述:首先,我们的模型是正确的;其次,又通过最小二乘拟合,程序返回0α=︒, 0β=︒,说明我们模型广泛实用性.七、模型评价7.1 模型优点:通过对模型的分析，验证了其的可靠性，该模型计算过程清晰简单，并且可以通过MATLAB 快速求解，为加油站等储油行业提供了方便可行的测定标定值的方法具有重要的实际意义和较高的应用价值.模型一研究的是无变位情况下的储油罐.我们考虑到储油量与油位高度是连续变量，将模型一建立为积分模型.利用模型数据与实测数据得出模型一的调节函数.对模型一进行了准确的误差分析与修正,考虑到了变量的连续性，研究和的极限值等因素，这比一般非积分模型的计算更为精确、连贯..模型二研究的是变位情况下的储油罐.变位涉及的情况有很多种，我们考虑到了各种储油情况下储油量的计算.模型二建立的是相当完善的.模型三的研究对现实生活更具有意义.我们建立了更符合客观情况的积分模型.利用软件编程得到α、β的最优值.并且利用修正后的模型数据和实测数据进行拟合，再次验证了我们模型的准确性,可靠性,最后,用我们的模型得到合适的罐定表标定值. 7.2.模型缺点：基本上模型数据与实测数据的差异来源于外界环境的影响，如：温度对储油量的影响，还有其他很多因素对模型结果的正确性都有影响.为了模型的简洁性,我们忽略了一些次要的因素.八、模型改进与推广8.1 模型改进8.1.1问题一中对油罐变位情况的进一步讨论上述模型我们只考虑了油罐向左下方倾斜 4.1α=︒时的情况，下面我们简单说明油罐向右下方倾斜的状况.如图1-1-13所示,当储油罐向右下方倾斜时，我们看到所谓的0h =时盲区区域比向左下方倾斜的盲区区域大，()22.052.05tan 22021c cz v y b dz dy cα-+-=-⎰⎰.但是从加油站的效益角度出发，这种向右下方倾斜情况我们应该尽量去避免.图1-1-138.1.2 问题一模型考虑温度后改进。
数学建模
挑战杯答辩稿储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体变位，需对罐容表重新标定。
本文针对卧式储油罐油量与变位参数、油位高度关系，进行几何分析，建立储油罐的油位高度与储油量的函数关系的微分方程模型，列出罐容表，并作出误差图像，检验模型的精度和稳定性。
2．问题分析2.1问题一的分析本文关键是求出储油罐变位参数和罐容表之间的关系，因同时考虑油位高度与变位参数较复杂，故将问题分步讨论。
第一问根据几何关系进行积分，首先讨论小椭圆储油罐无变位情况，得到油位高度与油量的关系；然后讨论纵向倾斜变位时油位高度与油量的函数关系，并作出罐容表。
2.2问题二的分析第二问在第一问的基础上，进一步分析加上横向倾角变位后油位高度与油量的关系。
通过几何关系分析和数值计算，得到油位高度与油量的一般关系，最后将实际数据代入关系式求出变位参数，并将理论值与实际值比较，检验模型。
当然模型的分析与讨论是基于以下以下的三个假设•（1）储油罐位变后形状并没有畸变；• （2）忽略温度等外界因素对储油罐容积的影响；• （3）球冠体圆筒储油罐的倾斜角度不能过大。
请大家看屏幕卧式储油罐为两边平头的椭圆柱体图像：假设 为同一液面高度下椭圆柱体内油品体积，根据积分的的概念得以下结果：3.1.1结果分析：椭圆储油罐水平实测值与理论值的对比我们可以看出实测值与理论值能够较好的吻合说明我们建立的模型精度较好。
3.2接下来当小椭圆油罐倾斜变位时对储油体积与油位高度几何关系的分析，分三种情况讨论：<1>液面的高度H处于的1CM 与2'M C 之间的情况，则有以下结论从拟合分析我们可以看出实测值与理论值的吻合度不够好，因此要对此模型进行改进。
改进后得到此模型的公式如下通过对比分析我们可以看出实测值与理论值能够较好的吻合说明我们建立的模型精度较好。
2>液面降至1CM 以下即的情况，则有<3>液面高度超过2'M C的情况，则有3.2.2模型求解根据油罐内油品体积与油液面高度的改进关系式，代入数据求得油位高度间隔为1cm 的罐容表如下：3.3.1实际储油罐纵向倾斜变位模型我们把储油罐中液体的体积与液面高度的关系分开在主体部分和两端球冠部分来求解。
储油罐的变位识别与罐容表-同济大学数学系
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要加油站的地下储油罐中油量的储量和损耗都直接关系到加油站的经济利益，所以必须的对储油罐的储油容量进行精确的标定，从而使加油站进行完善的进销存控制。
但目前加油站的储油罐多为一次性埋放并长期使用的，油罐会因地基变形等各种原因而发生变位，从而导致罐容表发生改变，因此需要定期对罐容表进行重新标定。
对于罐容表的重新精确标定，即研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
对于这样一个问题，我们采用高等数学中的定积分知识，加上对于数据的理解，并用MATLAB编程求解，从而求出罐体变位后对罐容表的影响。
对于简化的小椭圆型储油罐，我们用MATLAB求出罐体变位前后油位高度与理论储油量之间的函数曲线，并结合附件中的实验数据做出实际函数曲线。
将无变位进出油和倾斜变位进出油时我们的计算值和实际值进行对比，并进行了误差分析。
在此基础上利用曲线拟合对模型进行了改进，并给出了罐体变位后油位高度间隔为１ｃｍ的罐容表标定值。
对于实际储油罐，我们再次采用积分的方法，将实际储油罐分为三部分即右侧球冠体、中间圆柱体和左侧球冠体分别进行积分，得到其体积与油位高度、纵向倾斜角度α和横向偏转角度β的积分表达式。
在此基础上，我们适当简化了附件2中所给的数据，并用MATLAB画出了罐体储油量对油位高度的导数与油位高度的关系曲线。
针对所得曲线的图形特征，我们用二次函数进行了拟合，从而得到其函数表达式。
这样做可以使数据得到了充分和有效的利用，又避免了处理数据时的庞大计算量；并进一步利用待定系数法多次枚举α和β的值，积分求出其上述导数的理论值，与其拟合函数的实际值相比较，从而不断缩小纵向倾斜角度α和横向偏转角度β的范围，使两者的值尽可能的接近，最终确定变位参数：α=2.1°，β=4.3°；并给出了罐体变位后油位间隔高度为10cm 的罐容表标定值，并直接带进附件数据，求其储油量的理论值与实际值的误差的标准差，最终得到的标准差仅为6.0068L，误差不到1‰。
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2022年全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文储油罐的变位识别与罐承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：江西师范大学参赛队员(打印并签名)：1.洪情指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：2022年9月12日摘要本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。
再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。
对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。
代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
对于问题二中的储油罐，我们先将问题进行简化考虑，得出了储油罐水平卧放时油量与浮油子高度的函数关系；再考虑储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系；并在固定的横向偏转角度条件下，就纵向倾斜角度的变化进行分成三类讨论，这三类又可以分成八种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。
在模型的改进中，我们就问题二储油量与油位高度及变位参数的一般情况进行了仔细的考虑，将含油部分的体积分成四个部分，每一个部分将上述所提到的积分方法相结合，得到了各个部分的储油量与油位高度及变位参数的函数关系，从而可得总储油量与油位高度及变位参数的函数关系；并据此利用Matlab编程和实际测量的数据求得和值；与此同时我们可以得出在固定、值时各高度下的理论储油量；根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
【关键词】投影法截面法微元法Matlab编程§1问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为4.1的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
（以上涉及的图1~4均在附录中）§2模型的假设与符号的约定§2.1模型的假设与说明（1）在储油罐倾斜的情况下，忽略油浮子高度为0时油所占的体积；（2）在储油罐倾斜的情况下，假设当油浮子高度达到最大后不再进油；（3）油的挥发速度很慢，忽略因油的挥发而造成储油量的减少；（4）储油罐的材料为钢体，忽略因渗出油而造成储油量的减少；（5）储油罐管理妥当，不会因特殊情况而造成储油量的变化。
§2.2符号的约定与说明V表示储油罐中油的体积;L表示储油罐圆柱体部分的长度;a表示任一椭球截面的长半轴;b表示任一椭球截面的短半轴;a1表示油浮子在圆柱体高方向上投影至两端的较小值;h表示油浮子到圆柱体高方向的距离;h1表示储油罐接地一端油面到地面得距离;表示纵向倾斜角度;表示横向倾斜角度;h0表示球冠高;b0表示球冠底半径;§3问题的分析§3.1问题一的分析当储油罐无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系，利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。
当储油罐发生变位时，以储油罐圆柱体的接地一端为原点，圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系。
根据储油罐中油量的多少分成三类，然后就每一类利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。
利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
§3.2问题二的分析对于实际储油罐，我们首先将问题进行简化考虑，得出了当实际储油罐水平卧放时实际储油罐中油量与浮油子高度的函数关系；然后我们先考虑实际储油罐罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系，再在固定的横向偏转角度条件下，就纵向倾斜角度的变化进行分类讨论，一共有三种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。
最后我们先利用附件2中的少量实际数据得出了附件2所处状态下的纵向倾斜角度和横向偏转角度，再利用附件2中给定各高度进行代人，得到实际储油罐理论的储油量，与实际储油量进行比较，求出误差及相对误差。
由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。
§4模型的建立与求解§4.1问题一§4.1.1模型一当储油罐体无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系，如图4-1所示，在高度为h时，利用微元法过垂直z轴的方向做截面S(z)，对S(z)关于z进行积分，得到体积关于h的公式。
图4-1某2y2由221某abS(z)2a0bahb1(hb2arcinb2bb2dVS(z)dzVS(z)dzLahb12L(hb2arcinbbb2Vahb12L(hb2arcinbbb2利用Matlab中的命令ub代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V。
由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐中的实际储油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。
由附录中的程序youliang1，我们得到了理论储油量，误差及相对误差。
进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-2所示：图4-2出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-3所示：图4-3无变位进油和无变位出油的储油理论量和储油实际量及误差和相对误差的数据如表4-1所示：表4-120222062211221622212226223122315.82365.82367.12417.12467.12517. 12567.12617.126672668.82718.82768.82818.82868.82918.82968.83018 .83068.83118.83168.83168.93218.93268.93318.93368.93418.93468.93 518.93568.93618.93668.93718.93768.93818.93868.93918.93968.92082.22134.02185.72237.42289.22340.92392.72396.62448.42449.6250 1.42553.12604.92656.62708.32760.02761.92813.72865.42917.22968.9 3020.73072.43124.13175.93227.63279.43279.53331.23382.93434.7348 6.43538.23589.93641.73693.43745.13796.93848.63900.43952.14003.9 4055.64107.470.2071.9573.6775.4377.1678.8980.6780.7882.5482.5684.3486.0587. 8289.5391.2893.0393.1194.8396.5998.34100.09101.84103.58105.3110 7.06108.80110.55110.55112.27114.03115.76117.52119.26121.01122.7 6124.51126.23127.98129.74131.48133.23134.95136.70138.453.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37% 3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37 %3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.3 7%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%—6—2216.22166.22116.22066.22022.21966.21916.21866.21816.21766.2171 6.21666.21616.21566.21516.21466.21416.21366.21316.21266.21216.2 1166.21116.21066.21016.2966.2916.2866.2816.2766.2716.2666.2616. 2566.2516.2466.2416.2366.2316.2266.22293.52241.72190.02138.32086.52034.81983.01931.31879.51827.8177 6.11724.31672.61620.81569.11517.31465.61413.81362.11310.41258.6 1206.91155.11103.41051.6999.9948.2896.4844.6792.9741.2689.4637. 7585.9534.2482.5430.7379.0327.2275.577.3275.5573.8472.0870.3268.6066.8565.1263.3561.6159.8858.1256. 3754.6452.8751.1449.4247.6545.9144.1842.4240.6838.9437.1935.433 3.7131.9630.2028.4526.7124.9923.2521.5119.7418.0216.2814.5012.7 711.029.283.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37% 3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37 %3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3.37%3. 37%3.37%3.37%由上述的表格可以得出相对误差稳定，不会随高度发生变化。