2013年数学建模试卷及答案

葡萄酒的评价

摘要

葡萄酒的评价结果反映了葡萄酒的优劣程度，而葡萄酒的质量是由多种因素综合决定的。本文综合考虑了评酒员对葡萄酒的品尝评分、酿酒葡萄及葡萄酒的理化指标等因素，建立了相应的数学模型，利用excel软件，C++编程，变量的相关分析及统计学相关知识等对模型求解，并对所得结果分析比较，对葡萄酒进行评价。

针对问题一，根据附件1中两组品酒员对红、白葡萄酒的品尝评分，分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确定出各酒样品的质量。通过欧式距离公式，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据，得出两组品酒员的评价结果都存在显著性差异。然后通过计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，判断评价结果的稳定性，从而得出第二组的评价结果更可信。

针对问题二，根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，通过聚类算法对红、白两种葡萄进行聚类划分，将酒样品分为4类。然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。

针对问题三，根据附件2，可以得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减少，而葡萄酒中含量相对增加的物质可能是由葡萄中与其不相关的物质转化而形成的。通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

针对问题四，对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析，结合问题三的结论，得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，而葡萄和葡萄酒的理化指标主要与口感相关，但并不能决定葡萄酒的质量。芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，将聚类结果与葡萄酒质量等级比较，从而得出结论。

最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。关键词：欧式距离公式聚类算法变量的相关分析 C++编程 excel软件

一、问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

二、问题的分析

问题一：

问题要求分析附件一中的数据，两组评酒员，每组十人，根据葡萄酒的色泽、香气、口感、整体评价四个方面，对红、白酒样品进行评分。本文引入欧式距离公式，建立评酒员评价结果差异性模型，并对其进行求解。

首先分别计算出两组品酒员对红、白葡萄酒各酒样品的评分总值及均值，确

定出各酒样品的质量。通过欧式距离公式n

b a

B A d n

j ij

ij i i ∑=-=

1

2

)(),(（其中n=10）

),(10,21i i i i a a a A =表示第一组10个品酒员对第i 个红葡萄酒样品的评分，

272,1 =i ，)(102,1i i i i b b b B =表示第二组10个品酒员对第i 个红葡萄酒样品的

评分，272,1 =i ，计算出两组品酒员的评价结果差异性数据。由方差公式

∑=-=10

1

2)(1s s x x n D 计算两组品酒员对两种酒的评价总分的方差均值，判断评价结

果的稳定性，从而得出哪一组的评价结果更可信。 问题二：

本文定义了葡萄酒的质量：葡萄酒各类指标的总和。 有第一问可以判断出哪一组更可信，由可信组的相关数据，确定每个样品总分的均值，即可代表酒样品的质量。将葡萄酒酒样品的分值进行排序，划分等级。

根据附件2中酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标，建立聚类模型。 传统k-均值的模型为：

2

11

),,(i k k

i n

c ic v x u X V U J -=∑∑== （1）

这里},...,,{21n x x x X =是n 个模式，U 是k*n 的分区矩阵，},...,,{21k v v v V =中包含k 个类的中心。此外，

⎩⎨

⎧∀-=-==otherwise

c

i v x v x if u j c k j i c ic 0,},{min 1,...,1 ，i v 是第i 类的中心，

∙为范数。

通过此模型，对红、白两种葡萄进行聚类划分。然后根据葡萄酒质量，划分出样品的等级。再由葡萄酒样品等级，对聚类后的酿酒葡萄进行分级。 问题三：

通过观察附件2-指标总表，得出葡萄酒中的一些物质含量相对于葡萄中的一些物质含量有所减少或增加。在葡萄酒的制作过程中，由于陈酿条件和发酵工艺及条件可能会造成物质的流失，导致酒中物质含量的减少。进而分析葡萄酒中含量相对增加的物质形成的原因。通过分析葡萄酒中含量增加的指标与葡萄的各理化指标的相关性系数，判断出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 问题四：

要得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，可以对葡萄的理化指标与葡萄酒的评价指标进行相关性分析。根据附件1，可知评价葡萄酒要综合考虑香气、口感等方面，色泽占15/100，香气占30/100，口感占44/100，整体评价占11/100。得出葡萄和葡萄酒的理化指标与口感的联系，芳香物质与香气有关，在一定程度上也可能会影响葡萄酒的质量。要得出结论，需分别对葡萄和葡萄酒的芳香物质进行聚类分析，再将聚类结果与葡萄酒质量等级比较。

三、模型假设和符号说明

3.1 模型假设

1.假设品酒时选择的场所明亮且没有其他气味的影响。

2.假设品酒员身体健康，精神状态良好。

3.假设葡萄的采摘和运输过程中没有任何破坏的现象。

4.假设酿造过程中，温度适中，不会产生由于温度过高而产生芳香物质增加的现象。

5.假设制酒过程中，所用的设备使用不锈钢材料，质量达到最好。

6.假设分离、压榨、破碎和氧化的过程正常。