浙教版七年级数学下册培优专题—第1讲 平行线性质和判定

4

3

2

1C

D

B

A

第1讲 平行线性质和判定

模块一 平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于

直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．这就需要更简单易行的判定方法来判定两条直线平行． 判定方法1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平

行． 简称：同旁内角互补，两直线平行．

如上图：

若已知∠1＝∠2，则AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1＝∠3，则AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1＋∠4＝180°，则AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．

例题1、（1）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）．

A ．两直线平行，同位角相等；

B ．内错角相等，两直线平行；

4

3

2

1A

B

C D E

F H

G

N

M

C ．同旁内角互补，两直线平行；

D ．同位角相等，两直线平行．

答案：B

（2）如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A ＝∠DCE ；④∠D ＝∠DCE ；⑤∠A ＋∠ABD ＝180°；⑥∠A ＋∠ACD ＝180°⑦AB ＝CD ．能说明AC ∥BD 的条件有__________________．

答案：②④⑤

例题2、如图，已知∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，说明：AB ∥EF ．

解：∵∠1＝∠2，（ ）

∴AB ∥______．（_______________，__________________） ∵∠3＋∠4＝180°，（

）

∴CD ∥_______，（_______________，__________________） ∵AB ∥_______，CD ∥_______，（

）

∴AB ______EF ．（_______________ __________________）

答案：已知，CD ，内错角相等，两直线平行。已知，EF ，同旁内角互补，两直线平行，CD ，EF ，已证，∥，等量代换

例题3、（1）如图，∠1＝∠2，∠CNF ＝∠BME ，说明：AB ∥CD ，MP ∥NQ ．

2

1F

C

G

D

E

A

B

A

C

D

F

E

B

解：∵∠CNF=∠BME ，且∠BME=∠AMN ， ∴∠AMN=∠CNF ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BMN=∠DNF ， 又∠1=∠2， ∴∠PMN=∠QNF ， ∴MP ∥NQ ．

（2）如图，∠1＝∠A ，∠2与∠B 互余，AC ⊥BC ．说明：AC ∥DE ，AB ∥CD ． 解：∵∠1＝∠A E ∴AC ∥ED ， ∵AC ⊥BC ，

∴∠2与∠BCD 互余， ∵∠2与∠B 互余， ∴∠B ＝∠BCD ∴A B ∥GQ ．

（3）如图，∠B ＝102°，∠DEF ＝70°，说明：AB ∥CD ． 解：∵CD 与BF 相交于点E ∴∠DEF=∠BEC ∵ ∠DEF ＝70°

∴∠BEC ＝70°

∵∠B ＝102° ∴∠B+∠BEC=180° ∴AB ∥CD

3

21

A

B

C

F

E M G

D

N

（4）如图，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFC ＝∠DCG ，说明：AD ∥EF ．

解：∵∠A+∠B=180°， ∴AD ∥BC ， ∵∠EFC=∠DCG ， ∴EF ∥BC ， ∴AD ∥EF

模块二 平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如

图已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的关系．这就是平行线的性质． 性质1： 两条直线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：两直线平行，同位角相等

性质2： 两条直线被第三条直线所截，内错角相等

简称：两直线平行，内错角相等

性质3： 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 简称：两直线平行，同旁内角互补

例题4、（1）如图，已知AB ∥CD ，∠1＝70°，∠2＝40°，求∠3的度数． 解：∵AB ∥CD

∴∠2=∠BEN

3

21

D

C

B

A

∵∠2＝40° ∴∠BEN ＝40°

∵∠1+∠3+∠BEN=180°，∠1＝70° ∴∠3=70°

（2）如图，已知AB ∥CD ，∠1＝50°，GM 平分∠HGB 交直线CD 于点M ，求∠3的度数． ∵∠1=50°，

∴∠BGF=180°-∠1=130°， ∵GM 平分∠BGF ， ∴∠BGM=

1

2

∠BGF=65°， ∵∠1=∠2=50°， ∴AB ∥CD ， ∴∠3=∠BGM=65°

（3）如图，已知BC ∥AD ，CA 平分∠BCD ，∠1＝35°，求∠D 的度数．

解：∵BC ∥AD ， ∴∠1=∠2=35°， 又∵∠2=∠3， ∴∠2=∠3=35°， 则∠BCD=70°，

∴∠D=180°-∠BCD=110°．