平面直角坐标系和极坐标

第二节平面直角坐标系和极坐标

为了需要，温习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）

一平面直角坐标系

1．平面直角坐标系的成立

为了确信平面上点的位置：

（1）在平面上选定两条相互垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；

（2）以两直线的交点O作为原点；

（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；

如此，咱们就说在平面上成立了一个直角坐标系（图1-2-1）

图1-2-1

这两条相互垂直的直线叫做坐标轴，适应上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。

2. 平面上点的坐标

成立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就能够够确信了，方式是如此的：由P 点别离作y轴和x轴的平行线，交点别离是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，咱们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），如此的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。

反过来，易知任意一对实数（a，b），都能够确信平面上的一个点.

由上面的分析，能够取得下面的结论：在给定的直角坐标系下，关于平面上的任意一点P，咱们能够取得唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，关于任何有序实数对，在平面上就能够确信唯一的点，那个点的坐标是（a，b）。确实是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间成立了一一对应得关系。

咱们在代数里已经明白坐标轴把平面分成了四个部份，每一部份是一个象限。依照数轴上有向线段的数量，能够明白得第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），

第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。同理，

在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。

二 极坐标

极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题若是用极坐标法处置，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中常经常使用到。

在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确信平面上一点的位置，此刻表达另一种坐标，它对平面上的一点的位置尽管也是用有序实数对来确信，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个那么是指示方向。一样来讲，取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，如此就组成了一个极坐标系。平面上一点P 的位置，能够由OP 的长度及其∠xOP 的大小决定，这种确信一点位置的方式，叫做极坐标法。具体地说，假设平面上有点P ，连接OP ，今设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确信了，那么P 点的位置就确信了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置。

今以θ的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺那么为负），又为处置上便利起见，ρ也能够是负的值，如图1-2-2，OC 为角θ的终边，规定在OC 上气宇的数为正，而在OC 的相反方向，即OC 的延长线上气宇的数为负，如图1-2-2中，假设点P 的坐标为),(θρ，那么点P ’的坐标为),(θπρ+-。

图1-2-2

ρ，θ的值照上面如此扩大以后，那么在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对。例如，在图1-2-2中，能够看到，点P 的坐标一样写为),(θρ，也能够写成)2,(θπρ+，)4,(θπρ+ ， )6,(θπρ+，又P ’的坐标能够是 )2,(),,(θπρθρ+--.也能够是 )3,(),,(θπρθπρ++.

图1-2-3

极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3所示，将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。若是点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 那么有以下关系成立：

ρθρθy sin x cos ==

即 θρθ

ρsin y cos x ==

另外还有下式成立： x y tan ,y x 222=

+=θρ.

例 给出极坐标系中点P=（2，3/π）的直角坐标。

解： 由上面的讨论知：

3

32sin sin y 132cos

cos x ======π

θρπθρ 故点P 的直角坐标为（1，3）.

极坐标方程的形式为0),(F =θρ. 在极坐标里，从ρ，θ的每一组对应的值),(11θρ ),(22θρ作为点的坐标，而且标出这些点，然后用滑腻的曲线依次连结这些点，所取得的曲线就称为那个极坐标方程的曲线。反过来，称那个方程为那个曲线的极坐标方程。

例 试作曲线1=θ.

显然1=θ表示的是一条直线。

例试作曲线2=ρ.

显然2=ρ表示的是一个以2为半径的圆周。

例试给出曲线θρ2cos =在直角坐标系下的方程.

解 因为ρθx cos =

，故曲线θρ2cos =能够写为：ρρx 2⋅=

即 x 22⋅=ρ

又

222x y +=ρ，

故有：

x y x ⋅=+222

即：

1)1(22=+-y x

显然该方程表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周。

习 题

1. 三角形三个极点的坐标如下：

（a ）（8，4），（0，-4），（2，4）；

（b ）（3，5），（3，10），（0，）；

（c ）（2，0），（-1，3），（-1，-3）.

求作这些三角形.

2. 设a=1，b=2，求作点（a ，b ），（b ，a ），（-a ，b ），（b ，-a ），（-b ，a ），（a ，-b ），（-a ，-b ）和（-b ，-a ）.

3. 菱形每边长为5单位，它有一条对角线长为6个单位，若是把菱形的二对角线放在二坐标轴上，求它的各极点的坐标.

4. 已知点M （3，2），作它关于横轴、纵轴、原点的对称点，求这些点的坐标.

5. 描出以下各点，它们的极坐标是：

).,1(),0,6(),3

2,2(),32,6(),2,4(ππππ

-- 6. 化以下各点的极坐标为直角坐标： )3

2,3(),6,2(),2,1(πππ-. 7. 化以下各点的直角坐标为极坐标：

).5,3(),1,3(),4,0(),2

1,21(),0,2(---- 8. 极角6π

θ=的点的轨迹是什么？写出通过极点的直线的极坐标方程.

9. 曲线的极坐标方程是：

（1）;10sin =θρ （2）θρ4sin2

=； 求曲线的直角坐标方程.

第三节 空间直角坐标系

在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方式研究平面几何，起到了超级良好的成效．本章将用类比法，用代数的方式研究立体几何．为此必需成立类似于平面的直角坐标系的概念．

在咱们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部份，在此平面上成立一个直角坐标系xoy ，那个地址x 表示x 轴，y 表示y 轴．O 表示x ，y 轴的一起原点．过o 作平面xoy 的垂线（o 为垂足），作为新的数轴，叫做z 轴．并与x,y 轴拥有相同的长度单位，如此咱们就取得空间中两两相互垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：x 轴，y 轴, z 轴，这就形成了咱们所谓的空间直角坐标系．相同的原点O 叫做空间直角坐标系的原点．

从立体几何能够明白，x 轴与z 轴也唯一的决定了一个平面，称为xoz 平面．一样y 轴与z 轴也唯一的决定了一个平面,叫做yoz 平面．这三个平面都叫做坐标面．这三个轴都叫做坐标轴(如图1-3-1)．显然三个坐标面将空间分成八个部份每一个部份叫做卦限，其中，含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限，记为I ．其余依次叫做第二卦限，第三卦限，第四卦限，第五卦限，等等．记为II ，III ，IV ，V 等， 如图1-3-1．