(江苏专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理-人教版高三全册数学试题

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4

基本不等式及其应用 理

1．基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．

(4)

a 2＋

b 22

≥⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为

a ＋b

2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个

正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2

4.(简记：和定积最大)

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x

的最小值是2.( × )

(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π

2

)的最小值等于4.( × )

(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x

≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3

＋1a

2的最小值为2a .( × )

(5)不等式a 2＋b 2

≥2ab 与

a ＋b

2

≥ab 有相同的成立条件．( × )

1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81

解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y

2

≥xy ，

即xy ≤(

x ＋y

2

)2

＝81，

当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.

2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2

x －y

的最小值为________．

答案 4

解析 由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝x －y 2＋2xy

x －y ＝x －

y ＋4

x －y

≥2

x －y ·4

x －y

＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，

所以x 2＋y 2

x －y

的最小值为4.

3．若函数f (x )＝x ＋1

x －2

(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3

解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1

x －2

＋2≥2x －2×1

x －2

＋2＝4，当且仅

当x －2＝

1

x －2

(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2

. 答案 25

解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为1

2×(20－2x )＝(10－x )m ，

∴y ＝x (10－x )≤[

x ＋10－x

2

]2

＝25，

当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.

5．已知x ，y ∈R ＋

，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案

116

解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝1

16

，

当且仅当x ＝4y ＝1

2

，即

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝

1

2

y ＝18

时，(xy )max ＝1

16

.

题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值

例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为________．

(2)函数y ＝x 2＋2

x －1

(x >1)的最小值为________．

(3)函数y ＝

x －1

x ＋3＋x －1

的最大值为________．

答案 (1)1 (2)23＋2 (3)1

5

解析 (1)因为x <5

4

，所以5－4x >0，

则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1

5－4x )＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x ，即x ＝1时，等号成立．

故f (x )＝4x －2＋1

4x －5

的最大值为1.

(2)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1

＝

x －1

2

＋2x －1＋3

x －1

＝(x －1)＋

3

x －1

＋2≥23＋2.