(江苏专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理-人教版高三全册数学试题
【精选】江苏专版版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及其应用课件
如果解题过程中不满足上述条件,可以进行必要、合理的拆分或配凑因
1, 1
2
.
∵a>0,b>0, 1 + 1 =1,
2a b b 1
∴ 1 + 1 =1,即 1 + 1 =1.
2(t 2b) b b 1
2t 3b b 1
∴ 1 =1- 1 = b .
2t 3b b 1 b 1
从而2t-3b= b 1=1+ 1 ,即2t=3b+ 1 +1≥2 3b 1 +1=2 3 +1
u
u 52 2 52
u
= 5 1,故a≥ 5 1 ,即amin= 5 1.
2
2
2
答案 5 1 2
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
a
2
b
2
,∴
a
2
b
2
≥a+b+3,即 (a+b)2-1(a+b)-3≥0,解得a+b≥6(a+b≤-2舍去).
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件
本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何
关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.
设P
x0 ,
x0
4 x0
,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=
x0
x0
4 x0
2
=
2
x0
2 x0
≥4,当且仅当x0= x20 ,
1 2
c,
3 2
c
,C
1 2
a,
3 2
a
,D
(1,0),由A,D,C三点共线,
得
3c 2
=
3 2
a
,化简得ac-a-c=0,即 1 + 1 =1,
1 c 1 1 a 1
ac
2
2
所以4a+c=(4a+c) 1a
1 c
=5+ c + 4a ≥9,
得 1 acsin 120°= 1 csin 60°+ 1 asin 60°,
2
2
2
则ac=a+c,即 1 + 1 =1,
ac
所以4a+c=(4a+c) 1a
1 c
=5+ c + 4a ≥9,当且仅当a= 3 ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.
ac
2
解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A
即x0= 2 时取“=”.
高考理科数学一轮复习《第7章不等式》7.4 基本(均值)不等式及其应用试题
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。
高考数学一轮复习第七章不等式7.4.2基本不等式的综合应用课件理
2．把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的
A．4
B．8
C．16
D．32
解析 设截成的两段铁丝的长分别为 x，16－x，16>x>0，则围成的两个正方形
164－x2≥4x＋1264－x2＝8，当且仅当4x＝164－x，即 x＝8 时，等号成立．故两个正方形 8，故选 B.
[正解] 由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1， 所以 3x＋4y＝(3x＋4y)51y＋53x ＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋2 53yx·152xy＝153＋152＝5，当且仅当 x＝1，y＝12时取等号 是 5.
[心得体会]
命题法 基本不等式在实际问题中的应用 典例 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利 铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米造价 45 元，屋顶每平方米造价 20 元， (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少； (2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长． [解] (1)设正面的长度为 x 米，侧面长为 y 米． 由题意，知 40x＋2y×45＋20xy＝3200. 因为 40x＋90y≥2 40x·90y＝120 xy(当且仅当 40x＝90y 时，取等号成立)， 所以 3200≥120 xy＋20xy，即( xy－10)( xy＋16)≤0.所以 0< xy≤10. 所以 S＝xy≤100，即仓库面积 S 的最大允许值是 100 平方米． (2)由(1)知，当 40x＝90y 时，S 取最大值， 又 xy＝100，所以 x＝15，y＝230， 所以此时正面铁栅应设计为 15 米．
C．5
D．6
[错解]
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用课件(理)
(2)(2015·四川)如果函数 f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区
间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为( )
A．16
B．18
C．25
81 D. 2
解：当 m＝2 时，易得 n－8＜0，n＜8，此时 mn＜16.
＋2n＝18，得 m＝9＞2，故应舍去．要使 mn 取得最大值，应有 m＋2n＝18(8
＜n＜9)．
此时 mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为 18.故选 B.
【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和 求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆 补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”， 使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向 和对称轴，根据所给单调区间找到 m、n 满足 的条件，再利用基本不等式求解．
C．2
D．4
解：依题意得 2a＝2－b，即 2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2 2ab，∴ab≤12，当且仅当 2a＝b＝1 时取等号，∴ab 的最大值是12.故选 A.
设 f(x)＝lnx，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝fa＋2 b，
r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
C．2 2
D．2 6
解：因为 2a＞0，2b＞0，由基本不等式得 2a＋2b≥2 2a·2b ＝2 2a＋b＝4 2，当且仅当 a＝b＝32时取等号，故选 B.
(2015·贵阳模拟)已知向量 m＝(2，1)，n＝(2－b，
a)(a＞0，b＞0)．若 m∥n，则 ab 的最大值为( )
【精选】江苏版高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲
专题7.4 基本不等式及其应用【考纲解读】理解：【直击考点】题组一 常识题1．函数y ＝x ＋4x(x ＞0)的最小值为________．【解析】∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故函数y ＝x ＋4x(x ＞0)的最小值为4.2．一段长为40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．【解析】设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝40，即x ＋y ＝20，∴ 矩形的面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝100，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m 2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.【解析】设两直角边长分别为a m ，b m ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l ＝a ＋b ＋a2＋b2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．【解析】设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4xm ，由题意可得y ＝4×120＋2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8x×80＝480＋320⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2x·4x ＝480＋320×24＝1760，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，y min ＝1760. 故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元．题组二 常错题5．若x ＞－1，则x ＋4x ＋1的最小值为________． 【解析】x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．6．已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________． 【解析】∵0<x <1，∴lg x <0，则－lg x >0.∴－y ＝－lg x ＋4－lg x ≥2（－lg x ）×4－lg x＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1100时，等号成立， ∴y max ＝－4.7. 函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为 _________________________. 【解析】当sin x ＝4sin x时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设t ＝sin x ，则t ∈(0，1]，y ＝t ＋4t在(0，1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取最小值5.题组三 常考题8． 设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是__________．【解析】将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．9．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于________． 【解析】依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋b a ＋1≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．10．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.考点2 利用基本不等式求最值常见结论：1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、考点3 基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知、、都是正数，求证：【答案】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，，.∴.【1-2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.【1-3】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【温馨提醒】1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log2x＋1og2y＝1，则x＋2y的最小值是________．【答案】4【解析】因为log2x＋log2y＝1，即log2xy＝1，所以xy＝2且x＞0，y＞0，于是x＋2y≥2x·2y＝4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号，所以x＋2y的最小值为4.【2-2】设，函数的最小值为．【答案】 9【2-3】已知，则的最小值是．【答案】【解析】由，得，即，亦即,且，从而，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.【2-4】若a>0，b>0，且a＋b＝2，则ab＋的最小值为．【答案】2【解析】由2＝a＋b≥2得0<ab≤1，令t＝ab，t∈(0,1]，则y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y min＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是．【答案】2【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋ax(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为,. 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【3-2】如图，在三棱锥P ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M PAB ，三棱锥M PBC ，三棱锥M PCA 的体积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，且1x ＋ay≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为．【答案】【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？【答案】5年【解析】年平均利润为,当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元． 【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．【易错试题常警惕】忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.【答案】(1)3＋22(2)1＋2 6【解析】(1)∵x>0，y>0，温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。
2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第7章不等式7.4基本不等式及其应用
7.4 基本不等式及其应用考纲要求1．掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)．2．能用基本不等式证明简单不等式．3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(解同一问题时限用一次)． 4．提高提出问题、分析和解决实际问题的能力．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________.4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是________．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是__________．(简记：和定积最大)1．若b ＜a ＜0，则下列不等式中正确的有__________．(填序号) ①1a ＞1b ②|a |＞|b | ③b a ＋ab＞2 ④a ＋b ＞ab 2．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为__________．3．(2012江苏盐城四星学校期中)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为__________．4．设a ＞0，b ＞0,4a ＋b ＝ab ，则在以(a ，b )为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是__________．5．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ， Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则P ，Q 与R 大小关系为__________．运用基本不等式解题要注意哪些方面？提示：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．一、利用基本不等式证明不等式【例1】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 方法提炼利用基本不等式证明不等式，应先观察题目的条件是否满足基本不等式的使用条件，若不满足，可通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．请做针对训练1二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2012江苏无锡五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为__________；(2)(2012江苏南京十二中期中考试)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为__________．方法提炼利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．请做针对训练2三、利用基本不等式解答实际应用题 【例3】 (2012江苏南京、盐城三模)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为c v 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y .(1)将y 表示为v 的函数；(2)设0＜v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．方法提炼(1)应用基本不等式解决实际问题的步骤是：①仔细阅读题目，理解透彻题意；②设出自变量，写出函数解析式；③应用基本不等式求出函数最值；④还原实际问题，作出解答．(2)当应用基本不等式，求出使等号成立的条件不在实际问题的取值范围内时，就不能用基本不等式，可考虑用函数的单调性来解决．请做针对训练3从近三年高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，难度以中低档题为主，考查学生的代数变形、化简能力；同时注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .2．(1)(2013江苏南京三校联考)已知x ＞1，则f (x )＝x 2－x ＋1x －1的最小值为__________．(2)(2012浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是__________． 3．(2012江苏扬州高三第一学期期末考试)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系式为p ＝k3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f (x )为建造宿舍与修路费用之和．(1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)a ≥0，b ≥0 (2)a ＝b 2．(1)2ab (2)2 (4)≤ 3.a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．(1)x ＝y 小 2p (2)x ＝y 大 p 24基础自测1．③ 解析：∵b ＜a ＜0，∴1a ＜1b ＜0,0＜|a |＜|b |，a ＋b ＜0＜ab ，b a ＋a b ＞2b a ×ab＝2，故应填③.2．50 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．3.15 解析：y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴0＜5x ＜2,2－5x ＞0.∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1.∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y 的最大值是15.4．(x －3)2＋(y －6)2＝81解析：∵4b ＋1a＝1，∴(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4b ＋1a ＝5＋4a b ＋b a≥5＋24＝9. 当且仅当b ＝2a 时，等号成立．即b ＝6，a ＝3，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝81.5．R ＞Q ＞P 解析：因为a ＞b ＞1，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q .所以R ＞Q ＞P .考点探究突破【例1】 证明：(方法一)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba.同理，1＋1b ＝2＋ab .∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(方法二)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a 、b 为正数，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．【例2】 (1)3＋22 (2)1解析：(1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝1－22，y ＝－1＋2时，取“＝”．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．【例3】解：(1)潜入水底用时30v ，用氧量为30v ×c v 2＝30c v ； 水底作业时用氧量为5×0.4＝2；返回水面用时60v ，用氧量为60v ×0.2＝12v .所以y ＝30c v ＋2＋12v (v ＞0)．(2)y ＝30c v ＋2＋12v ≥2＋230c v ×12v ＝2＋1210c .当且仅当30c v ＝12v ，即v ＝25c时取等号．当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 的最小值2＋1210c .当25c ＞5，即c ＜2125时，y ′＝30c －12v 2＝30c v 2－12v 2＜0，因此函数y ＝30c v ＋2＋12v 在(0,5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为25c 时，用氧量最小为2＋1210c ；当0＜c ＜2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.演练巩固提升 针对训练1．证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2bc a ·ca b＝2c ；bc a ＋ab c ≥2bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，取“＝”． 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 2．(1)3 (2)5 解析：(1)∵x ＞1，∴f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时取“＝”．(2)本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．由x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x即x ＝1，y ＝12时，取“＝”．3．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k ＝800.故f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8.(2)因为f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)即x ＝5时，取“＝”，此时f (x )的最小值是75.所以宿舍应建在离厂5 k m 处，可使总费用f (x )最小，最小为75万元．。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本不等式及其应用讲义-人教版高三全册数学试题
§7.3基本不等式及其应用考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017基本不等式及其应用1.利用基本不等式求最值2.基本不等式的实际运用3.基本不等式的变形运用C10题5分填空题解答题★★★分析解读基本不等式是求函数最值的重要工具,在实际应用题中也经常用到,是高考的热点,复习这部分内容要注意基本不等式的灵活运用.五年高考考点基本不等式及其应用1.(2017某某,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案302.(2017某某文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案83.(2017某某理改编,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x 的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值X围是.答案4.(2013某某理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y 2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为.答案 15.(2016某某理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,所以cos C===-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点基本不等式及其应用1.(2018某某某某时杨中学高三月考)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最大值为.答案-2.(2017某某某某溧水中学质检,10)已知x,y为正实数,且2x+y=1,则+的最小值是.答案93.(2017某某某某师X大学附中期中,11)等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项和为S n,若log3=9,则+的最小值是.答案 2.54.(苏教必5,三,3,变式)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为.答案 45.(2017某某某某、某某、某某第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值是. 答案86.(2017某某某某期中,9)已知正实数a,b满足a+3b=7,则+的最小值为.答案7.(2016某某某某一模,13)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为.答案4+8.(2017某某某某沛县中学质检,19)已知函数f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+f(2x+1)≥6;(2)已知a+b=1(a,b>0),且∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立,某某数m的取值X围.解析(1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-1|=当x<时,由3-3x≥6,解得x≤-1;当≤x≤2时,x+1≥6无解;当x>2时,由3x-3≥6,解得x≥3.所以不等式f(x)+f(2x+1)≥6的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).(2)∵a+b=1(a,b>0),∴+=(a+b)=5++≥5+2=9,∴∀x∈R,f(x-m)-f(-x)≤+恒成立等价于∀x∈R,|x-2-m|-|-x-2|≤9恒成立,即(|x-2-m|-|-x-2|)max≤9,∵|x-2-m|-|-x-2|≤|(x-2-m)-(x+2)|=|-4-m|,∴-9≤m+4≤9,∴-13≤m≤5.9.(2017某某某某期中,18)如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1∶3的左、右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;(2)试求x的值,使路EF的长度最短.解析(1)S平行四边形ABCD=2××1×2sin 120°=,当点F与点D重合时,S△CDE=S平行四边形ABCD=,又∵S△CDE=CE·CD·sin 120°=x,∴x=1,即E是BC的中点.(2)①当点F在CD上时,易知CF=,1≤x≤2,再由余弦定理可得y=≥,当且仅当x=1时取等号.②当点F在DA上(不包含点D)时,易知DF=1-x,0≤x<1,(i)当CE<DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=1-2x,∠EGF=60°,利用余弦定理得y=.(ii)当CE≥DF时,过E作EG∥CD交DA于G,在△EGF中,EG=1,GF=2x-1,∠EGF=120°,利用余弦定理得y=,由(i)、(ii)可得y=,0≤x<1,∴y==,∵0≤x<1,∴y min=,当且仅当x=时取等号.由①②可知当x=时,路EF的长度最短.10.(2016某某某某中学期中,18)有一块三角形边角地,如图中△ABC,其中AB=8百米,AC=6百米,∠A=60°.某市为迎接250年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其中点E在边AB上,点F 在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC的面积的一半,设AE=x百米,△AEF的周长为l(百米).(1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF的三边安装水管,求水管总长度的最小值;(2)如果沿△AEF的三边修建休闲长廊,求长廊总长度的最大值,并确定此时E、F的位置.解析(1)∵S△AEF=S△ABC,∴AE·AF·sin A=×AB·AC·sin A.∵AB=8,AC=6,∴AF=.∵∴4≤x≤8.∵△AEF中,EF2=x2+-2x·cos 60°=x2+-24,∴l=x++,x∈[4,8].∵l=x++≥2+=6,当且仅当x=2时取“=”,∴l min=6.故水管总长度的最小值为6百米.(2)由(1)知:l=x++,x∈[4,8].令t=x+,x∈[4,8],∴t'=1-==.列表得:x (4,2) 2(2,8)t' - 0 +t ↘极小值4↗且x=4时,t=10;x=8时,t=11,故t∈[4,11].l=t+在[4,11]上单调递增,∴当t=11时,l max=18,此时x=8,=3.故当点E在B处,点F是线段AC的中点时,长廊总长度的最大值为18百米.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:60分时间:30分钟)一、填空题(每小题5分,共45分)1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知函数f(x)=x2-mx+1,x1,x2是f(x)的两个零点,且x1>x2,则的最小值为.答案22.(2018某某某某高三期中)已知正项数列{a n}的首项为1,前n项和为S n,对任意正整数m,n,当n>m时,S n-S m=2m·S n-m总成立,若正整数p,q满足p+q=6,则+的最小值为.答案3.(2018某某某某、宿迁期中)在锐角三角形ABC中,9tan Atan B+tan Btan C+tan Ctan A的最小值为.答案254.(2017某某某某中学模拟,12)已知|AB|=3,C是线段AB上异于A,B的一点,△ADC,△BCE均为等边三角形,则△CDE的外接圆的半径的最小值是.答案5.(2017某某某某暑期调研,14)已知a+b=2,b>0,当+取最小值时,实数a的值是.答案-26.(2017某某海头高级中学质检,13)已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则(其中a+c≠0)的取值X围为.答案(-∞,-6]∪[6,+∞)7.(苏教必5,三,3,变式)函数y=的最大值为.答案8.(2017某某苏北四市联考,11)若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为.答案89.(2017某某仪征中学第二学期期初检测,13)已知正数x,y满足=4xy,那么y的最大值为.答案二、解答题(共15分)10.(2016某某宿迁三校调研,19)如图,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tan α=-2.在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3 km, km.现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,试确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小,并求最小面积.解析如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连结PA.设AB=x,AC=y,则x>0,y>0.因为P到AM,AN的距离分别为3,,所以PE=3,PF=.S△ABC=S△ABP+S△APC=×x×3+×y×=(3x+y).①因为tan α=-2,所以sin α=.所以S△ABC=×x×y×.②由①②可得×x×y×=(3x+y).即3x+5y=2xy.③因为3x+5y≥2,所以2xy≥2.解得xy≥15.当且仅当3x=5y时取“=”,结合③解得x=5,y=3.此时S△ABC=×x×y×取得最小值15.答:当AB=5 km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15 km2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值问题1.(2017某某第三次模拟考试,12)若a,b均为非负实数,且a+b=1,则+的最小值为.答案 32.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则-+b2-的最小值为.答案73.(2017某某某某期末,14)已知a>0,b>0,c>2,且a+b=2,则+-+的最小值为.答案+方法2 基本不等式的实际应用4.(2016某某三校联考,18)、某某2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革,并提高售价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件售价.解析(1)设每件售价为t(t≥25)元,依题意得t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件售价最高为40元.(2)依题意知,x>25,且ax≥25×8+50+(x2-600)+x,等价于a≥+x+(x>25).由于+x≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件售价为30元.5.(2016某某某某中学检测,18)如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D 在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.设AN=x米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则x应在什么X围内?(2)当x是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积;(3)若x≥6,则当x是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.解析(1)易知x>2,且ND=x-2,由题意得=,∴=,∴AM=,∴·x>32,∴3x2-32x+64>0,∴(3x-8)(x-8)>0,∴2<x<或x>8.(2)S矩形AMPN===3(x-2)++12≥2+12=24(当且仅当x=4时取等号).故当x=4时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为24平方米.(3)S矩形AMPN=3(x-2)++12(x≥6),令x-2=t(t≥4),f(t)=3t++12,∵f(t)=3t++12在[4,+∞)上递增,∴f(t)min=f(4)=27,此时x=6.故当x=6时,矩形AMPN的面积最小,最小面积为27平方米.方法3 不等式恒成立问题6.(2018某某某某高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+(a∈R),若当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)≥4恒成立,则a 的取值X围是.答案(-∞,2]7.(2018某某金陵中学高三月考)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值X围是.答案1≤t≤8.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值X围是.答案(-∞,-5]9.设0<m<,若+≥k恒成立,则实数k的最大值为.答案8。
(江苏专版)19版高考数学大一轮复习第七章不等式第42讲基本不等式及其应用课件理
大).
考点一 利用基本不等式求最值(多维探究)
命题角度1 配凑法求最值 【例1－1】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.
5 1 (2)已知 x<4，则 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为________. 4x－5 x2＋2 (3)函数 y＝ (x>1)的最小值为________. x－1
本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.
易错警示
(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多
次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.
【训练1】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.
1 |a| (2)设 a＋b＝2，b>0，则2|a|＋ b 取最小值时，a 的值为________.
a＋b 不等式 ≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0. 2
1 (3)函数 y＝x＋x 值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. 4 (4)函数 f(x)＝sin x＋ 的最小值为－5. sin x x y (5)x>0 且 y>0 是y＋x≥2 的充分条件.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
lg y lg x 当且仅当8lg x＝2lg y，即 lg y＝2lg x，
即 y＝x2 时取等号.
2 3 (2)过点 A 作 AO⊥平面 BCD 于点 O， 则 O 为△BCD 的重心， 所以 OB＝ × × 6＝ 2， 3 2
所以 AO＝ （ 6）2－（ 2）2＝2.
又 VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，
第42讲
考试要求 问题.
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第七章不等式第四节基本不等式及应用课件理
[变式 5] 若母题变为：设 a，b，c 均为正数，满足 a－ 2b＋3c＝0，则abc2的最小值是________． 解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝a＋23c， ∴abc2＝a2＋94ca2c＋6ac≥6ac4＋ac6ac＝3，
当且仅当 a＝3c 时取“＝”．
答案：3
[变式 6] 若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an，使得 am·an＝2 2a1，则 m1 ＋n4的最小值为________．
[变式 3] 若母题条件变为“已知 a>0，b>0，a＋2b＝3”，
则2a＋1b的最小值为________． 解析：由 a＋2b＝3 得13a＋23b＝1，
∴2a＋1b＝13a＋23b 2a＋1b
＝43＋3ab＋43ba≥43＋2 3ab·43ba＝83.
当且仅当 a＝2b＝32时取等号．
答案：83
[变式 4] 若母题的条件变为“已知 a 为正实数且 a2＋ b22＝1”，则 a 1＋b2的最大值为________．
解析：因为a>0，
所以a 1＋b2＝ 2
a2
12＋b22
≤
2a2＋
12＋b22
2
，
又a2＋
12＋b22
＝a2＋
b2 2
＋12＝32，
所以a
1＋b2≤
2
12×32
＝3
4
2，
当且仅当a＝ 23，b＝ 22时等号成立．
第四节 基本不等式及应用
a>0，b>0 a＝b
2ab 2
ab 数不小于它们的几何平均数
a＋b 2
两个正数的算术平均
2p
q2 4
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 基本不等式及其应用讲义 文
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
利用均值 不等式证明
[证明] 由 a＋b＝1，得1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
利用基本不等式证明不等式的技巧 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配 凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外， 解题中要时刻注意等号能否取到．
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及
x
x
x
= 64 ,即x=4时,等号成立,故选B.
x
4.(2018北京海淀期中,11)能够说明“设x是实数,若x>1,则x+ 1 >3”是
x 1
假命题的实数x的值为 2 .
答案 2
解析 ∵x>1,∴x-1>0,∴x+ 1 =x-1+ 1 +1≥3,当且仅当x-1= 1 ,即x=
x 1
x 1
x 1
2时,取“=”,∴当x=2时,x+ 1 >3是假命题.
xy
此时由
x x
2 y, 3y
5xy
解得
x
y
1, 1
2
(满足x>0,y>0).
故3x+4y的最小值为5.
(3)因为正数x,y满足x+2y=1,
所以
2 x
+
1 y
=
2 x
1 y
(x+2y)
=2+ 4 y + x +2
xy
=4+ 4 y + x ≥4+2 4 y x =8,
xy
xy
当且仅当 4 y = x ,即x=2y时取等号.
x 1
5.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为 4 2
3
,此时x= 2 .
答案 4 2 ; 3
2
解析 由题意得 x2 ( y 4)2 = (x 2)2 y2 ,即x+2y=3,则2x+4y≥2 2x 4y =2 2x2y =2 23 =4 2 ,当且仅当x=2y= 3 时,等号成立.
高考数学第7章不等式推理与证明第四节基本不等式及其应用课件理
[方法归纳] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求 得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 取不到，可利用函数的单调性求解.
函数单调性求最值]函数 f(x)＝x＋1x在[2，＋∞)上的最小值为 ________.
解析 若 x＝1x，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上
单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋12＝52.
答案
5 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号
方向的改变]
(2)若 x＞0，则 y＝x2＋xx＋4有最______值为________.
1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.[－2，＋∞)
C.[－2，2]
D.[0，＋∞)
解析 (1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 过点 A(1，1)时，z 取得最大值， ∴a＋b＝4， ∴ab≤a＋2 b2＝4.(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)， 又∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0，4]，故选 B.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但 可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.
江苏专版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案理含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案理含解析苏教版第三节 基本不等式及其应用1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(2019·南京调研)已知m ，n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________． 解析：∵m ＋2n ＝1，∴m ·2n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2n 22＝14，即mn ≤18，当且仅当m ＝2n ＝12时，mn 取得最大值18.答案：182．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ， 由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：251．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏]1．(2019·启东检测)函数y ＝x ＋9x －1(x ＞1)的最小值为________． 解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝x ＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋1≥2x －1·9x －1＋1＝7，当且仅当x ＝4时取等号．答案：72．函数f (x )＝x ＋1x的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)考点一 利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2018·启东期末)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋4b的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝1，∴b a ＋4b ＝b a＋4a ＋b b ＝b a ＋4ab ＋4≥2b a ·4a b ＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立， ∴b a ＋4b的最小值为8.2．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________． 解析：因为x ＞－4，所以x ＋4＞0， 所以f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2 x ＋4·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 答案：23．(2018·徐州调研)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则12x ＋y2＋4x －2y2的最小值为________．解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，12x ＋y2＋4x －2y2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号，所以12x ＋y2＋4x －2y2的最小值为35.答案：35[由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]1．设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．又因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 答案：922．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x22x，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：33．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：4考点二 基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， 所以1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1， 每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，所以2018年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． 所以利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．(2)由(1)知y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)．因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥2 16m ＋1·m ＋1＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号． 所以y ≤－8＋29＝21， 即当m ＝3时，y 取得最大值21.所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．[由题悟法]解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)．(2)S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝ 5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三 利用基本不等式求参数的值或范围重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·淮安调研)若x ∈(0,1)时，不等式m ≤1x ＋11－x 恒成立，则实数m 的最大值为________．解析：∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1， ∴1x ＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x [x ＋(1－x )]＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥2＋21－x x ·x1－x＝4， 当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取等号，∴m ≤4，即实数m 的最大值为4. 答案：42．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173.所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [由题悟法]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]1．(2019·东台月考)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的最小值为________．解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x，∵x ＞0，∴x ＋3＋1x≥3＋2x ·1x ＝3＋2＝5，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，∴0＜1x ＋3＋1x≤15， ∴要使x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15，故a 的最小值为15.答案：152．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，求实数λ的最小值． 解：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2y的最小值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥22xy＝2，当且仅当1x ＝2y且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，∴1x ＋2y的最小值为 2. 答案： 22．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋ba＝5＋3a b ＋3b a≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 答案：114．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －312－xx的最大值为________．解析：y ＝x －312－xx＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3. 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3. 答案：35．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4a＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋4a＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝2b ＝6时取等号． ∴a ＋b 的最小值是9. 答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y的最大值为________．解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4y＝m ，∴m ·n ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥9.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ≥9，m ＋n ≤9⇒9≥m ＋n ≥m ＋9m.∴m 2－9m ＋9≤0，解得9－352≤m ≤9＋352.∴1x ＋4y 的最大值为9＋352. 答案：9＋3522．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜14a ＜1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋24a －14－4a ≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝24a －14－4a 时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4233．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4，则2x ＋1y的最小值是________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4， ∴4＝2x＋4y≥22x ＋2y，即x ＋2y ≤2，∴2x ＋1y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4y x ＋x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24y x·x y ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立， ∴2x ＋1y的最小值是4.答案：44．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x＋4x ＋y y＝y x＋4xy＋4≥2y x ·4x y＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________．解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x y －1＋2y x －1x －1y －1 ＝5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2yx ＋y －x －y ＋1＝2x ＋3y .又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1x＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x＝2x y ＋3yx＋5≥22x y·3y x＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号，∴3x x －1＋2y y －1的最小值为26＋5. 答案：26＋59．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x ＜32时，有3－2x ＞0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0， 所以y ＝x4－2x＝2·x 2－x ≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x4－2x的最大值为 2.10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ⇒xy ≤2， 所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”． (2)因为9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝18，所以9x＋3y 的最小值为18，当且仅当9x＝3y，即2x ＝y ＝2⇒x ＝1，y ＝2时取“＝”． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋31－tan 2α2tan α＝32tan α＋tan α2≥232tan α·tan α2＝3，当且仅当tan α＝ 3，即α＝π3时取得等号，∴2tan α＋3tan 2α的最小值为 3.答案： 32．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2＜4，且16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x.所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．命题点一 一元二次不等式1.(2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：[－2,1)2．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，fm ＋1＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 3．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9命题点二 简单的线性规划问题1.(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 2．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.答案：63．(2017·全国卷Ⅲ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 答案：[－3,2]4．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：95．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：36．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125，随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 命题点三 基本不等式1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．解析：在锐角三角形ABC 中，因为sin A ＝2sin B sin C ， 所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①因为A ，B ，C 均为锐角，所以tan B tan C －1＞0，所以tan B tan C ＞1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C ＞1得tan Atan A －2＞1，所以tan A ＞2.所以tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝tan A －22＋4tan A －2＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案：83．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：144．(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：16。
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【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4基本不等式及其应用 理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________． 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为________．答案 4解析 由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝x －y 2＋2xyx －y ＝x －y ＋4x －y≥2x －y ·4x －y＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，所以x 2＋y 2x －y的最小值为4.3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋10－x2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －2＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． (3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1， 因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时，a 的值为________． 答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13y －15＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a 4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my(m >0)的最小值为3，则m ＝________. (2)(2015·某某模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)4 (2)6 解析 (1)由2x －3＝(12)y得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y)≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mx y时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝31＋y2－61＋y ＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·3y ＋3－6＝6，当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 命题点2 求参数的值或取值X 围例 4 (2015·滨州模拟)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________． 答案 12解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或X 围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或X 围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值X围是________________________________________________________________________． 答案 (1)32 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m＝4mn时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x)＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值X 围是[－83，＋∞)．题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值X 围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －2500<x <80，1 200－x ＋10 000xx ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2－2x ·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性． [失误与防X]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________． ①lg(x 2＋14)>lg x (x >0)；②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故②不正确；由基本不等式可知，③正确； 当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的__________条件． 答案 必要不充分解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， 即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的必要不充分条件． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 答案 7＋4 3解析 由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________． 答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________． 答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍去)． ∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为________． 答案 2解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________． 答案 2解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2.所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2. 9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，22－3] 解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2x ＋3×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值X 围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x＋(4＋a )3x＋4＝0有解，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x＋43x ≥4，得a ≤－8.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20 ＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为________．答案163解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a2b，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163.13．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是________． 答案 4 解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b ＝(a －5c )2＋ab ＋1ab＋a (a －b )＋1aa －b≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，如取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值X 围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。