四大数论定理
数论定理
威尔逊定理：威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。
华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。
在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。
即：当且仅当p为素数时：但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。
证明充分性如果“p”不是素数，那么它的正因数必然包含在整数1, 2, 3, 4, … , p− 1 中，因此gcd((p− 1)!, p) > 1，所以我们不可能得到(p− 1)! ≡ −1 (mod p)。
必要性若p是素数,取集合; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况;解得:或其余两两配对;故而若p不是素数且大于4, 则易知有故而注：百度百科上的证明法二存在错误。
关于A中元素两两配对可以参见法一。
费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a p-1≡1（mod p）即：假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1一、准备知识：引理1．剩余系定理2若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且（m,c)=1，则当ac≡bc(mod m）时，有a≡b(mod m)证明：ac≡bc(mod m）可得ac–bc≡0(mod m）可得（a-b)c≡0(mod m）因为（m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m）可得a≡b(mod m)引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4]，…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2，…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。
取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3，…r=i-1,1<i<=m。
个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。
补充要求：面积与面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。
到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。
三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。
几何不等式。
简洁的等周问题。
理解下述定理：在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的根本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、外表绽开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线与法线。
圆的幂与根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。
赛瓦定理及其逆定理。
数论知识点归纳总结
数论知识点归纳总结数论是数学的一个分支，研究整数及其性质的科学。
它是由数学中最古老的领域之一，也是最重要的领域之一。
数论大部分内容都集中在整数的性质和关系，包括数的性质、数的划分、数的因子、余数、等式、方程等。
数论在许多不同的领域有很多应用，如密码学、加密技术、算法设计、计算机科学等等。
下面将对数论的一些重要知识点进行归纳总结，以便更好地理解和掌握数论的基本概念和方法。
一、整数及其性质1. 整数的性质：整数是由自然数和其相反数构成的有理数。
整数的性质包括奇数和偶数的性质、质数和合数的性质、互质数和最大公约数的性质等等。
2. 除法定理：任意两个整数a和b中，存在唯一的一对整数q和r使得a=bq+r，其中0<=r<|b|。
3. 唯一分解定理：每一个大于1的自然数都可以写成一组素数的乘积。
而且，如果一个数有两种不同的素因数分解形式，那么这两种形式只差一个或若干个单位。
4. 有限整除原理：如果一个整数被另一个不等于0的整数整除，那么这两个整数中一定有一个是整数的最大公因子。
二、数的划分1. 除法和约数：一个整数能被另一个整数整除，那么这个整数就是另一个整数的约数。
2. 素数：只有1和它本身两个因子的自然数，称为素数。
3. 合数：大于1的除了1和它本身以外还有其他因子的数，称为合数。
4. 最大公因数和最小公倍数：两个整数a和b最大的公因数称为a和b的最大公因数，最小的公倍数称为a和b的最小公倍数。
5. 互质数：两个数的最大公因数是1，就称这两个数是互质数。
三、同余和模运算1. 同余性质：如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相等，就称a与b对模m同余。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a，b，m都是整数。
3. 欧拉函数：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)是小于或等于n且与n互质的正整数的个数。
4. 模反元素：在模n的情况下，如果一个数a与n互质，那么a关于模n的乘法逆元素x 就是属于[0, n-1]的一个整数，使得ax ≡ 1 (mod n)。
数论的四大定理详解（转载）
数论的四⼤定理详解（转载）转载于:前⾔可以发现RSA中的很多攻击⽅法都是从数论四⼤定理推导出的，所以找时间好好学习了⼀下数论四⼤定理的证明及其应⽤场景——Rabin算法。
欧拉定理若$n,a$为正整数，且$n,a$互素，即$gcd(a,n) = 1$，则$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$证明⾸先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$这个式⼦实在$a$和$n$互质的前提下成⽴的。
证明⾸先，我们知道在1到$n$的数中，与n互质的⼀共有$φ(n$)个，所以我们把这$φ(n)$个数拿出来，放到设出的集合X中，即为$x_1,x_2……x_{φ(n)}$那么接下来，我们可以再设出⼀个集合为M，设M中的数为：$m_1=a∗x_1,m_2=a∗x_2……m_φ(n)=a∗x_{φ(n)}$下⾯我们证明两个推理：⼀、M中任意两个数都不模n同余。
反证法。
证明：假设M中存在两个数设为$m_a,m_b$模$n$同余。
即$m_a\equiv m_b$移项得到：$m_a−m_b=n∗k$再将m⽤x来表⽰得到：$a∗x_a−a∗x_b=n∗k$提取公因式得到：$a∗(x_a−x_b)=n∗k$我们现在已知$a$与$n$互质，那么式⼦就可以转化为：$x_a−x_b\equiv 0 \pmod{n}$因为$a$中没有与$n$的公因⼦（1除外）所以$a !\equiv 0 \pmod{n}$ 所有只能是$ x_a−x_b\equiv 0\pmod{n}$。
⼜因为$x_a,x_b$都是⼩于$n$的并且不会相同，那么上述的式⼦⾃然全都不成⽴。
假设不成⽴。
证得：$M$中任意两个数都不模$4$同余。
⼆、M中的数除以n的余数全部与n互质。
证明：我们已知$m_i=a∗x_i$⼜因为$a$与$n$互质，$x_i$与$n$互质，所以可得$m_i$与$n$互质。
带⼊到欧⼏⾥得算法中推⼀步就好了。
费马小定理和欧拉定理1 PPT
典例分析
进一步，设a是一个符合要求的奇合数，
则2a 1是一个奇合数这一点利用因式分解可知。
再设2a1 1=a q, q为正奇数，则
22a11 1=222a1 1
22aq 1
2a
2q
1
12q 1
0mod 2a 1.
典例分析
因此2a 1也是一个符合要求的数， 依次类推，可知有无穷多个满足条件的合数。
故 7|3n n3.
典例分析
例2：由费马小定理知，对任意奇质数p，都有2p-1 1mod p， 问：是否存在合数n，使得2n-1 1mod n成立？
解： 这样的合数n存，而且有无穷多个，其中
最小的满足条件的合数n=341=11×31 （是从两个不同奇质数作乘积去试算出来 的。） 事实上，由于210-1=1023=341×3 故 210≡1（mod341） 所以 2340≡134≡1（mod341）， 故341符合要求。
其中剩余类1 mod 6,5 mod 6里的所有数均 与6互素，我们称这两个剩余类为与6互素的 剩余类。 给定模m，如果模m的一个剩余类里面的某个 数与m互素，就把这个剩余类叫作一个与模m 互素的剩余类。
新知学习
由此我们可知：在模3的剩余类中，1 mod 3,2 mod 3为与3互素的剩余类，在模4的剩 余类中，1 mod 4,3 mod 4为与4互素的剩余 类，等等。 我们已经知道，1 mod 6,5 mod 6为所有与6 互素的剩余类，那么我们在这两个剩余类中 任取一个数，例如1和5，则由这两个数组成 的集合｛1,5｝，称为模6的一个简化剩余系。
费马小定理和欧拉定理
知识背景
费马小定理是初等数论四大定理 （威尔逊定理，欧拉定理（数论中的 欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子 定理)和费马小定理）之一，在初等数 论中有着非常广泛和重要的应用。实 际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。
数论的基本知识
数论的基本知识数论是研究整数的性质和关系的一个分支学科，它起源于古希腊，自那时以来，它一直在数学领域中占据重要地位。
数论不仅仅是研究整数本身，还包括整数之间的相对性质以及整数运算的规律等。
它在密码学、编码理论、数学分析等领域都有广泛的应用。
一、质数和合数质数是指只有1和自身两个因数的整数，如2、3、5、7等。
合数是指除了1和自身外还有其他因数的整数，如4、6、8、9等。
质数和合数是数论中最基本的概念，其中质数在数论中具有重要的地位。
二、最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数中能够整除它们的最大正整数。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
最大公约数和最小公倍数在解决整数分解、分数化简、比例关系等问题时非常有用。
三、同余与模运算同余是数论中非常重要的一个概念，它描述了整数之间的关系。
当两个整数除以同一个数得到的余数相等时，我们说这两个整数对于这个数是同余的。
模运算是指将一个数除以另一个数所得到的余数。
同余和模运算在密码学、离散数学等领域有广泛的应用。
四、欧拉函数和费马小定理欧拉函数（Euler's totient function）是指小于等于n的正整数中与n 互质的数的个数。
费马小定理是指在mod n情况下，如果a是整数且a 与n互质，那么a的欧拉函数次幂对n取模后结果为1。
欧拉函数和费马小定理在密码学中的RSA算法等加密算法中起到重要的作用。
五、数论的应用数论在密码学、编码理论、计算机科学等领域有广泛的应用。
在密码学中，数论的知识被用于设计和破解密码系统；在编码理论中，数论用于设计可靠的纠错码和压缩算法；在计算机科学中，数论的算法被用于解决数据结构和算法设计中的问题。
总结：数论是研究整数的性质和关系的一个重要学科，它涵盖了质数和合数、最大公约数和最小公倍数、同余和模运算等基本知识。
初等数论四大定理
初等数论四大定理威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,m n，则对任意的整数a1,a2,…,a n，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,m n有公解：x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),……,x≡a n(mod m n)费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了.首先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是a x≡1(modn)这个式子实在a和n互质的前提下成立的.为什么成立呢？下面来证一下.首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有φ(n)φ(n)个，所以我们把这φ(n)φ(n)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为x1,x2……xφ(n)x1,x2……xφ(n).那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)下面我们证明两个推理：一、M中任意两个数都不模n同余.反证法.证明：假设M中存在两个数设为m a,m b ma,mb模n同余.即m a≡m b ma≡mb移项得到：m a−m b=n∗k ma−mb=n∗k再将m用x来表示得到:a∗x a−a∗x b=n∗k a∗xa−a∗xb=n∗k提取公因式得到a∗(x a−x b)=n∗k a∗(xa−xb)=n∗k我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：x a−x b≡0（modn)xa−xb≡0（modn)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献.又因为x a,x b xa,xb都是小于n的并且不会相同，所以x a−x b xa−xb一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立.假设不成立.证得：M中任意两个数都不模n同余.二、M中的数除以n的余数全部与n互质.证明：我们已知m i=a∗x i mi=a∗xi.又因为a与n互质，x i xi与n互质，所以可得m i mi与n互质.带入到欧几里得算法中推一步就好了.即gcd(a∗x i,n)=gcd(m i,n)=gcd(n,m i modn)=1证毕.根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了.首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余.所以可以得到：m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)现在我们把m i mi替换成x的形式，就可以得到：a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)很开心，我们终于凑出了aφ(n)aφ(n),那么就开始移项吧：(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)然后，就出来啦：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)证毕.用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式.中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积.设为模的数论倒数( 为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数.考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解.另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍.而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解.所以方程组所有的解的集合就是：。
数论里的基本概念
数论里的基本概念数论是研究数及其性质的一个分支学科。
它涉及到数的整除性质、数字的分布模式、数的性质和数学结构等方面。
下面我将介绍数论中的一些基本概念。
1. 素数：素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数具有很多独特的性质，如无法表示为其他两个整数的乘积，无限多的存在性（欧几里得证明了素数有无穷多个），以及质数定理等。
2. 合数：合数是指除了1和本身以外还有其他因子的正整数。
与素数相对，合数可以分解成多个素数的乘积。
3. 互质：若两个正整数的最大公约数（即两个数的公共因子中最大的一个数）等于1，则称这两个数互质。
互质的数在一些问题中具有特殊的性质和应用，如中国剩余定理和欧拉函数等。
4. 最大公约数：最大公约数指的是两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的数。
我们可以使用辗转相除法或欧几里得算法来求解最大公约数。
5. 最小公倍数：最小公倍数指的是两个或多个整数中最小的能够同时被它们整除的数。
最小公倍数可以通过最大公约数来求解。
6. 同余：在数论中，同余是指两个整数除以一个正整数所得的余数相等。
我们可以使用同余关系来描述一些周期性问题，如模运算和剩余类等。
7. 模运算：模运算是指将一个整数除以另一个正整数后所得的余数。
模运算在数论中常常被用来处理与整除相关的问题，如同余关系和剩余类等。
8. 费马小定理：费马小定理是一个重要的数论定理，它描述了在模素数下的同余关系。
费马小定理可以用来快速计算指数幂的模运算结果，以及解决一些与同余关系相关的问题。
9. 欧拉函数：欧拉函数是指小于给定正整数n并与n互质的正整数的个数。
欧拉函数在数论中有很多重要的应用，如与同余关系相关的问题，以及RSA加密算法等。
10. 罗列函数：罗列函数是指小于给定正整数n并与n互质的正整数的列表。
罗列函数与欧拉函数在数论中有很多相似的性质和应用。
这些是数论中的一些基本概念，它们是研究数论的基础和出发点。
数论作为一门古老而又重要的学科，在密码学、组合数学、代数数论等领域都有广泛的应用。
解析数论知识点总结
解析数论知识点总结数论是研究整数之间关系和性质的数学分支。
它在许多领域中都有着广泛的应用，包括密码学、计算机科学和工程学等。
本文将对数论的一些重要知识点进行总结与解析，以帮助读者更好地理解这一领域的基本概念和定理。
一、基本概念1. 整数与自然数：整数是包括正整数、负整数和零在内的数集合，用Z表示。
自然数是整数中的一部分，即0、1、2、3……，用N表示。
2. 除法：在数论中，我们通常用以下符号表示除法：a ÷b = q……r其中a和b为整数，q为商，r为余数。
这里需要注意的是，除法在数论中并不总是完全的，即余数r可能不为零。
3. 质数与合数：质数是指除了1和自身外没有其他正因数的自然数，例如2、3、5、7等。
合数是指除了1和自身外还有其他正因数的自然数，例如4、6、8、9等。
4. 互质数：两个自然数a和b，如果它们的最大公因数为1，则称这两个数是互质数。
例如，3和5是互质数。
5. 同余与模运算：在数论中，我们通常会遇到同余和模运算。
如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
我们可以用模运算来简化数论中的运算和推理。
6. 整数的分解：任何一个非零自然数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积，这就是整数的唯一分解定理。
二、质数与因数1. 素数定理：素数定理是指在自然数中，大约有1/ln(n)的数为质数。
其中ln(n)是自然对数。
2. 欧拉函数：欧拉函数ϕ(n)是小于等于n且与n互质的正整数的个数。
例如，当n为质数p时，ϕ(p) = p-1；当n为合数时，我们可以利用欧拉函数的性质来求解模意义下的指数运算等问题。
3. 质因数分解：任何一个非零自然数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
这种分解方式称为质因数分解。
4. 最大公因数与最小公倍数：两个整数a和b的最大公因数记为gcd(a, b)，最小公倍数记为lcm(a, b)。
这两个概念在数论中有着广泛的应用，如化简分数、求解模方程等。
数学与数论探索数论中的数学奥秘
数学与数论探索数论中的数学奥秘数学与数论探索数论中的数学奥秘数学是一门严谨而深奥的学科，而数论则是数学中的一门重要分支。
在数论中，隐藏着许多令人着迷的数学奥秘，本文将探索数论中的一些数学奥秘。
一、质数的奥秘质数一直以来都是被数学家们所关注的对象。
质数是指只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5、7等。
虽然质数的定义看起来很简单，但质数间的分布却并不规律。
这给数学家们带来了许多困惑和挑战。
最著名的数论问题之一是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想认为，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。
虽然这个问题已经被证明是正确的，但证明过程却非常复杂，需要运用到许多高深的数论知识。
二、费马大定理费马大定理是数论中最著名的问题之一，也是数学史上最难以证明的定理之一。
费马大定理的表述是：对于任何大于2的自然数n，方程x^n+y^n=z^n不存在整数解。
这个定理由法国数学家费马在17世纪提出，但直到近四百年后的1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才给出了一种完整的证明方法。
费马大定理的证明涉及到了代数几何、模形式、椭圆曲线等许多高深的数学领域。
它的证明方法被称为“怀尔斯证明”，成为数论研究中的里程碑。
三、尼科彻斯定理尼科彻斯定理是数论中的一个重要定理，它刻画了一个自然数的因素个数与该数自身的大小关系。
尼科彻斯定理的表述是：对于任意一个大于1的正整数n，都可以表示为p_1^a_1 * p_2^a_2 * ... * p_k^a_k 的形式，其中p_1 < p_2 < ... < p_k为质数，a_1, a_2, ..., a_k为正整数。
尼科彻斯定理的证明相对来说比较简单，但这个定理本身却具有重要的数论意义。
通过尼科彻斯定理，我们可以更好地理解自然数的性质和结构。
四、哥德巴赫猜想的证明哥德巴赫猜想的证明是数论研究中的一大难题。
虽然这个猜想的正确性已经被证明，但是其证明过程却非常复杂，需要运用到许多高深的数论理论和技巧。
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1.梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1. 梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
数学发现数论中的奇妙规律和定理
数学发现数论中的奇妙规律和定理数学是一门富含奇妙规律和定理的学科，而数论则是数学中研究整数性质的分支。
在数论的研究过程中，人们发现了许多引人注目的规律和定理，这些规律和定理深刻地揭示了整数世界的本质和结构。
本文将介绍数论中一些具有奇妙规律和定理的代表性结果。
1. 质数的无穷性在公元前约300年，希腊数学家欧几里得首次证明了质数的无穷性。
他通过反证法证明，假设质数只有有限个，然后构造了一个比这些质数更大的数，这个数既不是之前的质数，也不是之前的合数，从而推翻了假设。
这个证明揭示了质数的无穷性，为数论的发展奠定了基础。
2. 素数定理素数定理是数论中的重要定理之一，它揭示了素数在整数中的分布规律。
在公元19世纪末，数学家塞尔贝里奇和范德科尔克独立地证明了素数定理。
该定理表明，当自然数n趋近于无穷大时，小于或等于n的素数的个数大约等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
这个定理不仅仅是一个关于素数分布的近似公式，更重要的是它揭示了素数之间的内在联系，为进一步研究素数提供了重要线索。
3. 欧拉函数欧拉函数是数论中一个重要且神奇的函数，它给出小于等于正整数n并与n互质的正整数的个数。
数学家欧拉在18世纪提出了欧拉函数的概念，并得出了一个重要的定理，即对于任意正整数n，有欧拉函数满足φ(n) = n × (1-1/p_1) × (1-1/p_2) × … × (1-1/p_k)，其中p_1，p_2，…，p_k是n的所有不同的质因数。
欧拉函数的应用非常广泛，涉及数论中很多重要的定理和算法。
4. 费马大定理费马大定理是数论中最著名和最长未被证明的定理之一，它由法国数学家费马在17世纪提出。
该定理断言对于任何大于2的正整数n，不存在满足a^n + b^n = c^n的正整数解a，b，c。
这个定理影响了数论研究几个世纪，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理的最后部分，验证了当n大于2时该定理成立。
个人整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
一、平面几何1.梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。
如百科名片中图。
※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。
（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。
数学竞赛中的数论知识点总结
数学竞赛中的数论知识点总结数学竞赛中，数论是竞赛题目中经常出现的一个重要知识点。
在数论中，各种定理和技巧层出不穷，很多时候需要针对特殊类型的问题有针对性地进行研究。
本文将对数论中的一些基本知识点进行总结，以便竞赛选手更好地备战数学竞赛。
一、同余同余是数论中常见的一个概念。
a与b模n同余，当且仅当它们的差能被n整除，即a-b是n的倍数。
可以表示为$a \equiv b\pmod{n}$。
同时，同余关系具有传递性、反身性和对称性。
同余关系在数论中有很多应用，特别是在求证和构造问题中。
二、模反元素求模反元素是数论中的一个重要技巧。
在模n的情况下，如果a乘以x再模n可以得到1，那么x就是a模n的反元素（或倒数）。
求模反元素的一般方法是通过使用扩展欧几里得算法，在求最大公约数的同时求出x和y的值，其中x就是a模n的反元素。
三、欧拉函数欧拉函数是数论中一个重要的概念，通常记为$\varphi (n)$。
欧拉函数的意义是小于n的正整数中，与n互质的数的个数。
求欧拉函数的方法有很多种，其中比较常用的有：将n分解为质因数的积，然后根据欧拉函数的性质，对于每个不同的质因数，将它的欧拉函数值相乘即可。
四、费马小定理费马小定理是数论中常用的一个定理，它表明如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。
这个定理在构造和求证问题中有很多应用，特别是在判定质数的问题中。
五、中国剩余定理中国剩余定理是一种将模数分解成相对质数乘积的方法。
可以表示为：$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{n_1} \\ x \equiv a_2\pmod{n_2} \end{cases}$ 其中，$n_1$和$n_2$是两个互质的正整数，a1和a2是任意整数。
该定理的思路是先根据n1和n2分别求出它们的模反元素，然后利用同余方程组的解法，得出一个通解，最后在将通解化简成最小正整数解即可。
数论的几个重要定理(精选、)
11 数论的几个重要定理欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理及中国剩余定理是数论的四大定理，它们是解决数论问题的重要工具。
下面介绍这几个定理在竞赛数学中的应用方法。
1． 基本原理定理1（欧拉定理） 设m 为大于1的整数，(,)1a m =，()m ϕ为欧拉函数，则()1(mod )m a m ϕ≡.证 设{}12(),,,m r r r ϕ…为模m 的一个简化剩余系，因为(,)1a m =，所以 {}12(),,,m ar ar ar ϕ…也是模m 的一个简化剩余系，从而有 12()12()()()()(mod )m m ar ar ar r r r m ϕϕ≡……，即 ()12()12()()(mod )m m m a rr r rr r m ϕϕϕ≡ (1)因为12()(,)1m r r r m ϕ=… ，所以由（1）得 ()1(mod )m a m ϕ≡.定理2（费马小定理） 设p 是素数，(,)1a p =，则11(mod )p a p -≡.证 因为p 是素数，所以()1p p ϕ=-，由欧拉定理知()1(mod )p a p ϕ≡，∴ 11(mod )p a p -≡.推论 设p 为素数，a 为整数，则(mod )p a a p ≡ （2）证 当p a 时，（2）式显然成立.当p 不能整除a 时，因为p 为素数，所以(,)1a p =.由定理2得 11(mod )p ap -≡， ∴ (mod )p a a p ≡.定理3（威尔逊定理） 若p 为素数，则(1)!1(mod )p p -≡-.证 {}2,3,,2a p ∀∈-…，因为(,)1a p =，所以{},2,,(1)a a p a -…也是模p 的简化剩余系，故存在唯一的{}1,2,,1b p ∈-…，使得1(mod )ba p ≡ （1）∵ {}2,3,,2a p ∈-…，∴ 1b ≠，1b p ≠-.若b a =，则21(mod )a p ≡∴ (1)(1)0(mod )a a p -+≡.∴ 11(mod )a p ≡-或,这与{}2,3,,2a p ∈-…矛盾.综上即知{}2,3,,2b p ∈-…且b a ≠.将{}2,3,,2p -…中的数按（1）式两两配对，得234(2)1(mod )p p ⨯⨯⨯⨯-≡…，∴ (1)!1(mod )p p -≡-.定理4（中国剩余定理） 设12,,,k m m m …是k 个两两互质的正整数，12k m m m m =…，i im M m =，1,2,,i k =…，则同余式组 1122(mod )(mod )(mod )kk x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩…… (1)有唯一解 111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m '''=+++ (2)其中1(mod )i i i M M m '≡，1,2,,i k =….证 容易验证（2）是（1）的解.又若x '，x ''均是（1）的解，则对于1,2,,i k =…，有(mod )i i x a m '≡(mod )i i x a m ''≡，从而有 0(mod )i x x m '''-≡，又因为12,,,k m m m …两两互质，从而有0(mod )x x m '''-≡，即 (mod )x x m '''≡，所以x '与x ''是同余式组（1）的相同解.设1m >，(,)1a m =，则由欧拉定理知()1(mod )m a m ϕ≡，我们把满足条件1(mod )r a m ≡的最小正整数r 称为a 对模m 的阶，或称为a 对模m 的指数.关于a 对模m 的阶，我们有如下结论.定理5 设1m >，(,)1a m =，a 对模m 的阶为0n ，n 为正整数.若1(mod )na m ≡，则0n n .证 由带余除法知，存在非负整数q 及r ，使得 0n qn r =+，00r n ≤<.所以 001()(mod )qn r n n q r r a a a a a m +===≡，由于0r n <，由0n 的最小性知0r =，所以0n n .2． 方法解读用上述定理解题，除应掌握数论解题的基本方法外，还应对这几个定理的用途有一定的 认识.一般说来，欧拉定理与费马小定理提供了降幂与归1的工具.威尔逊定理提供了处理连续整数的积的方法.中国剩余定理提供了某些存在性问题的构造方法.定理5提供了由方幂的指数导出整除关系的途径.例1 求使21n -为7的倍数的所有正整数n ..解 ∵ 122(mod 7)≡，224(mod 7)≡，321(mod 7)≡，所以2对模7的阶为3.又因为21(mod 7)n ≡，所以由定理5知 3n ，即3()n k k N +=∈.例2 设整数a ，b ，c 满足0a b c ++=，记201120112011d ab c =++，求证d 不是素 数.证 ∵ 2(mod 2)a a ≡，∴ 2011(mod 2)aa ≡ 同理知 2011(mod 2)b b ≡，2011(mod 2)c c ≡， ∴ 2011201120110(mod 2)a b c a b c ++≡++≡， ∴ 2d .又由费马小定理知，3(mod 3)a a ≡，word. ∴ 201120103670670669232232()a a a a a a a a a a a ⨯≡≡≡≡≡223222478262793(mod 3)a a a a a a a a a a a a ≡≡≡≡≡≡≡≡，同理可证 2011(mod 3)bb ≡，2011(mod 3)c c ≡， ∴ 2011201120110(mod3)a b c a b c ++≡++≡，∴ 3d . 又∵ (2,3)1=，∴ 6d ，所以d 不是素数.例3 证明：数列1,19,119,1119,11119，…中有无穷多个合数.证 因为19是素数，(10,19)1=，由费马小定理知 18101(mod19)≡，所以对于任 意的正整数n ，有 18101(mod19)n ≡，∴ 181010(mod19)n -≡，∴ 18191110(mod19)n ⨯≡个…，∵ (199)1=，， ∴ 18119111n 个…，∴ 1811911119n 个…，即 1811911119n 个….由于正整数n 有无穷多个，所以数列中有无穷多项被19整除，故数列中有无穷多项为合数.例4（第47界IMO 预选题） 已知(0,1)x ∈，令(0,1)y ∈，且y 的小数点后第n 位数字是x 的小数点后第2n 位数字.证明：若x 为有理数，则y 也为有理数.证 设120.n x x x x =……， 120.n y y y y =……，则对于1,2,n =…，有2n n y x =.因为x 为有理数，所以数列{}n x 从某项开始为周期数列，为了说话方便，不妨设{}n x 为周期数列，d 为它的一个周期，02nd v =，其中0n 为非负整数，v 为大于1的奇数（这是可以办到的，因为若T 为数列的周期，则3T 也为周期）.现令()v ωϕ=，由欧拉定理知，()221(mod )v v ωϕ=≡，从而有00022(mod(2))n n n v ω+≡⋅， 即 0022(mod )n n d ω+≡，所以对于任意的正整数0n n >，有 00002222(mod )n n n n n n d ω+--⋅≡， 即 22(mod )n n d ω+≡.∵ d 是{}n x 的周期，从而有 22n n x x ω+=， 即n n y y ω+=.综上知，对于任意的0n n >，都有n n y y ω+=，所以{}n y 从第01n +项开始为周期数列，因此y 为有理数.例5设1000(5x =+，求[]x 的末三位数.解 令1000(5y =-.∵ 10000(51<-<，∴ 01y <<.又因为 10001000(5(5x y +=++-100099839963224100010002(55(23)5(23)C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 23449350099810005(23)(23))C ++⋅⋅⋅+⋅…（1） 所以 []1x x y =+-.由（1）式知10003500252(23)(mod1000)x y +≡⨯+⋅⋅（2） ∵ 3100058=⨯，1000350(mod 5)≡ （3）10005005005(25)11(mod8)=≡= （4）由（3）得 1000355t =，代入（4）得351(mod8)t ≡，即 51(mod8)t ≡，∴ 5(mod8)t ≡.85t k ≡+，所以 100033555(85)625(mod1000)t k ==+≡，∴ 1000252625250(mod1000)⨯≡⨯≡.又∵ 15ϕ（125）=125(1-)=100，由欧拉定理知 3100(23)1(mod125)⋅≡，∴ 3500(23)1(mod125)⋅≡ （5）又 3500(23)0(mod8)⋅≡ （6）由（5）得 3500(23)1251t ⋅≡+，代入（6）得12510(mod8)t +≡，即 510(mod8)t +≡，∴ 3(mod8)t ≡.∴ 83t k =+，代入得 3500(23)125(83)1376(mod1000)k ⋅=++≡， ∴ 35002(23)2376752(mod1000)⋅⋅≡⨯=.综上知，10003500252(23)2507522(mod1000)x y +≡⋅+⋅⋅≡+≡，所以 11(mod1000)x y +-≡，故[]x 的末三位数为001.例6求具有如下性质的素数p 的最大值：存在1,2,,p …的两个排列（这两个排列可 以相同）1212,,,,,,p p a a a b b b …与…，使得1122,,,p p a b a b a b …被p 除所得的余数互不相同.解 不妨设 121,2,,p a a a p ===….若p b p ≠，则存在 {}1,2,,1i p ∈-…，使得 i b p =，从而有 0(mod )i i a b p ≡，0(mod )p p a b p ≡，从而有 (mod )i i p p a b a b p ≡，这与题设矛盾，因此有 p b p =.因为 0(mod )p p a b p ≡，又1122,,,p p a b a b a b …被p 除所得的余数互不相同，所以 112211,,,p p a b a b a b --…被p 除的余数构成的集合为{}1,2,,1p -…，由有威尔逊定理，得112211()()()123(1)(1)!1(mod )p p a b a b a b p p p --≡⋅⋅-=-≡-…….又 112211()()()p p a b a b a b --…121121()()p p a a a b b b --=……(1)!(1)!(1)(1)1(mod )p p p =--≡--=，∴ 11(mod )p -≡，∴ 20(mod )p ≡，∴ 2p .由于p 为素数，所以2p =.容易验证2p =满足要求.故所求的最大值为2.例7设整数n ，q 满足5n ≥，2q n ≤≤且q 不为某个质数的平方，试证：(1)!(1)n q q ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（1） 这里[]x 表示x 的这个数部分.证 若q 为合数，因为q 不为质数的平方，所以存在大于1的整数a ，b ，a b ≠，使得q ab =.因为q n ≤，所以1a n ≤-，1b n ≤-，从而有(1)!q n -，因此(1)!(1)!n n q q ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦. ∵ (1)(1)!q n --，(1)!q n -，(1,)1q q -=，∴ (1)(1)!q q n --，∴ (1)!(1)!(1)n n q q q ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，故结论成立. 若q 为质数，当q n <，易知(1)!q n -，从而有(1)!(1)!n n q q ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦. 又因为 (1)(1)!q n --，(1,)1q q -=，所以 (1)(1)!q q n --,∴ (1)!(1)!(1)n n q q q ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，结论成立. 当q n =时，因为q 为质数，由威尔逊定理知 (1)!(1)!1(mod )n q q -=-≡-，所以(1)!10(mod )n q -+≡，∴ (1)!1q n -+，所以 (1)!(1)!1(1)!(1)1n n n q q q q ⎡⎤--+---=-=⎢⎥⎣⎦. 又因为 (1)(1)!(1)q n q ----，(1,)1q q -=，所以 ()(1)(1)!(1)q q n q ----， ∴ (1)!(1)(1)!1n q n q q q ⎡⎤-----=⎢⎥⎣⎦（），故结论成立. 例8 若一个正整数的标准分解式中，每个素约数的幂次都大于1，则称这个数为幂数. 证明：对于任意的正整数n (2)n ≥，存在n 个连续的正整数，其中每一个数都不是幂数.证 选取n 个互不相同的素数12,,,n p p p ….由中国剩余定理知，同余式组2112222(mod )1(mod )(1)(mod )n n x p p x p p x n p p ⎧≡⎪≡-+⎪⎨⎪⎪≡--+⎩…………（1）有解.设222012(mod )n x x p p p ≡… 0(0)x >是（1）的唯一解，则对于0,1,2,,1i n =-…，有2i p 不整除0x i +且0i p x i +，故 0x i +不是幂数.因此，n 个连续正整数0000,1,2,,(1)x x x x n +++-…满足要求.例9 设1n >，21n n +，证明3n .证 设p 是n 的最小素因子，2对模p 的阶为r .∵ 21n n +， ∴ 21n p +，∴ 210(mod )n p +≡，∴ 21(mod )n p ≡-，221(mod )n p ≡ （1） 又因为p 为奇素数，所以 (2,)1p =.由费马小定理知121(mod )p p -= （2）由（1），（2）及定理5知，2r n ，1r p -，故1(2,1)2(,)2p r n p n --=.设1(,)2p d n -=，则 d n ，12p d -.因为n 为奇数，所以d 为奇数.又112p d p p -≤<-<，从而由p 的最小性知1d =，所以 (2,1)2n p -=，从而有 2r .又显然有1r >，所以2r =，即2对模p 的阶为2，从而知3p =，即3n .习 题111．已知 17x =，当1n >时，17n x n x -=，求n x 的末两位数.2．证明数列37,337,3337,33337，……中有无穷多个合数.3．证明有无穷多个正整数n ，使得2100(2)n n +.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本--------------------- 方便更改。
数论定理 —解答
数论定理1. 欧拉定理：设1m >为整数，a 是与m 互素的任一整数，()m ϕ为欧拉函数，则 ()1(mod )m a m ϕ≡。
证明：取12(),,,m r r r ϕ⋅⋅⋅为模m 的一个缩系。
因为(,)1a m =，故12(),,,m ar ar ar ϕ⋅⋅⋅也是模m 的一个缩系。
由于模m 的两个缩系在模m 意义下互为排列，因此有()12()12()12()(mod )m m m m r r r ar ar ar a r r r m ϕϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅因为(,)1i r m =，故12()(,)1m r r r m ϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，因此上式两边可约去12()m r r r ϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即有()1(mod )m a m ϕ≡。
2. 费马小定理：设p 是素数，a 是与p 互素的任一整数，则 11(mod )p a p -≡。
3. 若1212k k m p p p ααα=⋅⋅⋅，则欧拉函数()m ϕ由下面公式确定：121111122()(1)(1)(1)kk k m p p p p p p αααϕ---=--⋅⋅⋅- 12111(1)(1)(1)km p p p =--⋅⋅⋅- 4. 中国剩余定理：设12,,k m m m ⋅⋅⋅是k 个两两互素的正整数，则对任意整数12,,k c c c ⋅⋅⋅，存在整数x ，使得1122(mod )(mod )(mod )k k x c m x c m x c m ≡⎧⎪≡⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≡⎩ 都成立。
例1. 求证：数列1，31，331，3331，⋅⋅⋅中有无穷多个合数。
证明： 因为31是素数，由Fermat 小定理知，30101(mod31)≡，故对任意正整数k ，有30101(mod31)k ≡，从而301(101)0(mod31)3k -≡。
这表明，30k 个3组成的数被31整除，这数乘以100以后再加上31，也被31整除，即数列中第302k +项被31整除，故它不是素数，从而上述的数列中有无穷多个合数。
四个大定理
费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.的整数解都是平凡解，即当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)(补充：(0，0，0)是其中一个特殊解2008年由赵浩杰提出)当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁²怀尔斯和他的学生理查²泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁²怀尔斯 (Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
研究历史1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。
但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
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四大数论定理
四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：
费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：
欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推
广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，Diffie-Hellman密钥交换算法就是基于欧拉定理和大素数的选择来实现的。
三、中国剩余定理：
中国剩余定理是由中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出的，是解决一类线性同余方程组的方法。
它的主要内容是：如果给定一组同余方程x ≡ a1 (mod n1)，x ≡ a2 (mod n2)，...，x ≡ ak (mod nk)，其中n1、n2、...、nk两两互质，那么这个方程组一定有解，并且解在模n1 * n2 * ... * nk下是唯一的。
中国剩余定理的原理是基于同余方程和模运算的性质。
对于给定的
同余方程组，我们可以通过构造同余方程的解来求解整个方程组。
根据模运算的性质，我们可以将同余方程组拆分为多个模n1、n2、...、nk的同余方程。
然后通过求解每个同余方程，再将解合并得到最终的解。
中国剩余定理在数论和密码学中都有重要的应用。
它可以用于求解大整数的模运算问题，提高计算效率。
例如，RSA加密算法中就利用了中国剩余定理来加速解密操作。
四、欧几里得算法：
欧几里得算法是由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出的，是求最大公约数的一种有效方法。
它的主要内容是：对于给定的两个正整数a和b，我们可以通过连续的除法操作，将a和b的最大公约数逐步缩小，直到余数为0时，最后的除数就是a和b的最大公约数。
欧几里得算法的原理是基于整除和余数的性质。
对于给定的两个整数a和b，我们可以将a除以b得到商q和余数r，即a = bq + r。
如果r等于0，则b就是a和b的最大公约数。
如果r不等于0，则继续将b除以r，得到商q'和余数r'，即b = r * q' + r'。
如此反复进行，直到余数为0，最后的除数就是a和b的最大公约数。
欧几里得算法在数论和密码学中都有广泛的应用。
它可以用于判断两个整数是否互质，求解线性同余方程的解，以及实现快速的加密
和解密操作。
例如，RSA加密算法中就利用了欧几里得算法来生成加密密钥和解密密钥。
费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法是数论中的四大重要定理。
它们在密码学、数学和计算机科学等领域中有广泛的应用，为我们理解和应用数论提供了重要的工具和方法。
通过学习和掌握这些定理，我们可以深入研究数论问题，并将其应用于实际的计算和加密场景中。