线性代数练习题(有答案)

《线性代数》 练习题

一、选择题

1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）

A 、|A

B |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+

C 、22))((B A B A B A -=-+

D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定

3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________

4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.

5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )

(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题

6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A

6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2

2022

12020-⎛⎫

⎪--- ⎪ ⎪-⎝

⎭

2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭

（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭22

21

86240-⎛⎫

⎪

=-- ⎪ ⎪--⎝

⎭

7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-

8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .

8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，

A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11

(3)3

A A E -=-.

9、计算行列式:1

01430021

132

1221---=

D

9、69D =-.

10、计算行列式D =

4

23200200525

0230---- 10、解：D =

4

2320

0200

525

230----0

205252

304--=55208---=80-=

11、计算n 阶行列式a

b

b

b b a b

b b a D =

11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

12、计算n 阶行列式1

211

32

121---=

n n n n n n D 12、(1)(2)

12

(1)(1).2

n n n n n D ---+=-。

13、已知矩阵220213010A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，利用初等行变换法求A 的逆矩阵1-A .

13、解:对(A ,E )施行初等行变换：

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛100010010312001022⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

--−→−

3131311001000101021001 ⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=∴-313131

10010211

A

14、已知矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-----=461351341A ，利用初等行变换法求A 的逆矩1-A .

14、解:对(A ,E )施行初等行变换：

143100153010164001--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭100223010110001121⎛⎫

⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1223110121A -⎛⎫

⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭

15、设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值时,可使矩阵的秩分别为

(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.

15、解:对A 施行初等行变换：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(001101132321321k k k k k k k k A

所以，(1) 当k =1时，R (A )=1;(2) 当k =-2时，R (A )=2; (3) 当12k k ≠≠-且时，R (A )=3.

16、设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=11

11

11k k k A ,问k 分别为何值时,可使矩阵的秩分别为 (1)r (A )=1; (2)r (A )=2; (3)r (A )=3.

16、解:对A 施行初等行变换：

2111111110-11-0111101100(1)(2)k k k A k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=−−−−→−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等变换

所以，(1) 当k =1时，R (A )=1 (2) 当k =-2时，R (A )=2; (3) 当12k k ≠≠-且时，R (A )=3.