微分中值定理与导数的应用总结
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理与导数应用小结
VS
最大利润
在生产决策中，企业通常追求最大利润。 通过求利润函数的一阶导数并令其为零， 可以找到使利润最大的产量和价格组合。
05
CATALOGUE
导数在物理学的应用
导数与速度和加速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 而加速度是描述速度变化快慢的物理 量。导数可以用来计算物体在某一时 刻的速度和加速度，通过分析导数的 符号和大小，可以判断物体的运动状 态。
导数与热传导
在热传导过程中，热量传递的速度与 温度梯度成正比，而温度梯度的导数 描述了温度随空间位置的变化速率。
导数的符号和大小可以用来判断热传 导的方向和强度，例如在稳态热传导 中，导数为0表示温度分布达到平衡 状态。
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详细描述
罗尔定理的证明基于闭区间上连续函数的性质和导数的定义 。它的应用非常广泛，例如在证明某些等式或不等式时，可 以通过构造满足罗尔定理条件的函数来找到证明的突破口。
拉格朗日中值定理
总结词
拉格朗日中值定理是微分中值定理中的重要定理之一，它指出如果一个函数在 闭区间上连续，在开区间上可导，则在该区间内至少存在一点，使得该点的导 数等于函数在此区间内的平均变化率。
边际成本
边际成本表示企业在生产过程中，每 增加一个单位产量所增加的成本。通 过计算边际成本的一阶导数，可以了 解成本随产量变化的趋势，从而做出 最优的生产决策。
导数与弹性分析
弹性分析
弹性是衡量某一经济变量对另一经济变量变化的敏感程度，即当一个经济变量发生一定 变化时，另一个经济变量变化的比率。导数可以用来计算各种弹性，如需求弹性、供给
03
CATALOGUE
导数的几何意义
导数与曲线的切线
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
第三章 微分中值定理与导数的应用
《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用判断题第一节.微分中值定理1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。
（ ）2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。
（ ）3、方程015=-+x x 只有一个正根。
（ ） 第二节.洛必达法则4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞型未定式。
（ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。
（ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。
（ ） 第三节.泰勒公式7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。
（ ）8、佩亚诺余项可以用于误差估计。
（ ）9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。
（ ）10、()nnx n x x x x ο++++=!!21sin 2。
（ ）第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。
（ ）12、二阶导数为零的点一定是拐点。
（ ）第五节.函数的极值与最大值最小值13、单调函数一定存在最大值最小值。
（ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。
（ ）第六节.函数图形的描绘15、若()0lim =+∞→x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。
（ ） 16、若()-∞=-→x f x 3lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。
（ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3，3。
填空题第一节.微分中值定理1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。
2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。
第二节.洛必达法则3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f ax →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
高等数学(一)01-微分中值定理和导数的应用单元总结_31
的拐点.
4. 典型例题
例1 求下列极限
(1)lim
1 x
1
xe
ln1 x
ln1 x1
e x e
e x 1
lim
e lim
x0
x
x0
x
x0
x
e
lim
x0
ln1 x
x x
1
e lim x0
ln1 x
x2
2．Peano：定性; Lagrange：定量. 3．Peano：局部，Lagrange：整体 4． Lagrange定理是Taylor定理的特例.
四大中 值定理
前三个建立 f ( x) 与一阶导数的关系； Taylor建立 f ( x) 与高阶导数之间的关系。
2. 洛必达法则
0
设函数
f
x, g x 在
U
x0
,
内可导，g
x
0,
0 并且满足下列条件
1 lim f x lim g x 0;
x x0
x x0
2
lim
x x0
f x g x A
A 为有限实数或无穷大
f x
f x
则
lim
x x0
gx
lim
x x0
g x
A
3. 函数的性态
单调性 极值 凹凸性 拐点
函数单调性的判别法
设 f : I R 在 I 上连续，在 I 内可导，则 (1) 在 I 内 f ( x) 0( 0) f ( x) 在 I 上严格单调增(减); (2) 在 I 内 f ( x) 0( 0) f ( x) 在 I 上单调增(减).
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用§1 微 分 中 值 定 理一、 罗尔定理1. 费马定理:设f (x )在U (x 0)内有定义,且在x 0处可导,若∀x 0∈U (x 0),有f (x )≤f (x 0)[或f (x )≥f (x 0)], 则 f ′(x 0)=0.证明:不妨设x ∈U (x 0)时,有f (x )≤f (x 0).则对x 0+∆x ∈U (x 0),有f (x 0+∆x )≤f (x 0)即 当∆x >0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00≤0; 当∆x <0时,xx f x x f ∆-∆+)()(00≥0;从而:f ′(x 0)= f ′+(x 0)=+→∆0limx xx f x x f ∆-∆+)()(00≤0;f ′(x 0)= f ′-(x 0)=+-→∆0limx xx f x x f ∆-∆+)()(00≥0;于是 f ′(x 0)= 0定义:称满足f ′(x )=0的点为驻点(或稳定点,或临界点). 2. 罗尔定理:如果函数y =f (x )满足：1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b ) 3) f (a )=f (b )那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b ),使得: f ′(ξ)=0.证明:因为f (x )∈C [a ,b ],所以f (x )在[a ,b ]内存在最大值M 和最小值m . 以下分两种情形讨论: 1) M =m .此时f (x )在[a ,b ]上必然取得相同的值f (x )=M .此时有f ′(x )=0,即 对∀ξ∈(a ,b ),有f ′(ξ)=0. 2) M >m .由于f (a )=f (b ),所以M 和m 中至少有一个不等于f (x )在[a ,b ]上的函数值.不妨设:M ≠f (a ).则在(a ,b )内必有ξ使得f (ξ)=M . 即∀x ∈[a ,b],有f (x )≤f (ξ). 有费马定理得: f ′(ξ)=0.例1. 验证罗尔定理对函数y =lnsin x 在区间[π/6,5π/6]上的正确性.证明:显然函数在区间[π/6,5π/6]上连续,在(π/6,5π/6)上可导,且有:y (π/6)=y (5π/6)=ln1/2.令y ′=cot x =0,则有:x =π/2,因此存在ξ=π/2∈(π/6,5π/6),使得y ′(ξ)=0.例2. 不求函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数,说明方程f ′(x )=0的根的个数,并指出根所在的区间.解：由于f (1)=f (2)=0,且f (x )在[1,2]上连续,可导,且当x ∈(1,2)时f (x )≠0从而存在点ξ1∈[1,2]使得f ′(ξ1)=0;同理存在ξ2∈[2,3],ξ3∈[3,4]使得f ′(ξ2)= f ′(ξ3)=0.例3. 证明无论C 为何实数值,方程x 3-3x +C =0在[0,1]上至多有一个实数根.证明:(反证法)假设方程x 3-3x +C =0在[0,1]上有两个实数根ξ1,ξ2,且ξ1<ξ2.则f (x )= x 3-3x +C 在[0,1]上连续,可导且f (ξ1)=f (ξ2)=0,于是 f (x )在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理的条件, 从而存在ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(0,1)使得f ′(ξ)=0.但f ′(x )=3(x -1)(x +1)=0只有两个根-1和1,且此两个根显然不在(ξ1,ξ2)⊂(0,1)内,矛盾.所以原命题正确. 二、 拉格朗日中值定理 拉格朗日定理: 如果函数y =f (x )1) f (x )∈C [a ,b ] 2) f (x )∈D(a ,b )那么在(a ,b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b ),成立等式:f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a )此公式称为拉格朗日中值公式.此公式称为拉格朗日中值公式. 定理的几何解释:ab a f b f --)()(为弦AB 的斜率.f ′(ξ)为曲线点C 处的斜率.几何意义:如果曲线y =f (x )在弧AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线,那么在这弧上至少存在一点C ,使曲线在C 点处的切线平行于弦AB . 辅助函数的建立:有向线段NM 的值是x 的函数,记为φ(x ),则显然有φ(a )=φ(b )=0. 由于直线AB 的方程为:L (x )=f (a )+ab a f b f --)()((x -a )又点N 、M 的纵坐标分别为L (x )、f (x ),因此有向线段NM 的值的函数为:φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a )此函数满足罗尔定理的全部条件.证明:作辅助函数: φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a )则该函数在[a ,b ]内满足罗尔定理的条件,从而在(a ,b )内存在一点ξ,使得φ′(ξ)=0. 又φ′(x )=f ′(x ) -ab a f b f --)()(所以:f ′(ξ)=ab a f b f --)()(.注:拉格朗日公式对a >b 也成立. 拉格朗日公式的其它形式:当x ,x +Δx ∈[a ,b ]时,则在区间[x ,x +Δx ](x >0)或区间[x +Δx ,x ](Δx <0)上有:f (x +Δx )-f (x )=f ′(x +θΔx )·Δx (0<θ<1).或 Δy = f ′(x +θΔx )·Δx (0<θ<1).此公式表明当Δx 有限时，Δy 有精确值，定理也称为有限增量定理.定理: 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零,那么f (x )在区间I 上时一个常数.证明:在区间I 上任取x 1,x 2 (x 1<x 2),则有:f (x 2)-f (x 1)=f ′(ξ)( x 2-x 1) (x 1<ξ<x 2)由假定:f ′(ξ)=0,所以: f (x 2)-f (x 1)=0.即: f (x 2)=f (x 1).例4. 证明等式:arcsin x +arccos x =π/2.证明:设f (x )= arcsin x +arccos x ,则f ′(x )=0,从而f (x )=C =f (0)=π/2.例5. 验证拉格朗日定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0,1]上的正确性.证明:函数在[0,1]上显然连续可导.令y ′=12x 2-10x +1=0,得:x =12135-∈(0,1).例6. 证明:当x >0时,xx +1<ln(1+x )<x .证明:设f (x )=ln(1+x ),则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有: f (x )-f (0)=f ′(ξ)(x -0), (0<ξ<x ). 由于f (0)=0,f ′(x )=x+11, 所以上式为:ln(1+x )=ξ+1x又 0<ξ<x ,所以: xx +1<ξ+1x<x .即:xx +1<ln(1+x )<x .例7.设a >b >0,证明:ab a -< ba ln <bb a -.证明:设f (x )=ln x ,则f (x )在[b ,a ]上满足拉格朗日定理的条件,从而 ∃ξ∈(b ,a ) 使得:ba b a --ln ln =ξ1,由于a1<ξ1<b1,所以结论成立.三、 柯西中值定理：柯西中值定理:如果函数f (x )和F (x )满足 1) f (x ),F (x )∈[a ,b ]2) f (x ),F (x )∈(a ,b ),且F ′(x )≠0,∀x ∈(a ,b )则在(a ,b )内至少存在一点ξ,成立等式:)()()()(a F b F a f b f --=)()(ξξF f ''.分析:在参数方程:⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X (a ≤x ≤b )表示的曲线上,弦AB 的斜率为:)()()()(a F b F a f b f --.曲线上点(X ,Y )处的切线的斜率为: dXdY =)()(x F x f ''.当x =ξ时,则点C 处的切线平行于弦AB . 证明:因为F (b )-F (a )=F ′(η)(b -a ) (a <η<b ), 由假设:F ′(η)≠0,所以F (b )-F (a )≠0. 所以AB 的方程为:Y -f (a )=)()()()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )].于是:N 点的纵坐标为:Y =f (a )+)()()()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )],M 的纵坐标为f (x ).于是:NM 的方程为:φ(x )=f (x )-f (a )-)()()()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )]此函数满足罗尔定理的条件,即:存在ξ∈(a ,b ),使得:f ′(ξ)-)()()()(a F b F a f b f --F ′(ξ)=0.即:)()()()(a F b F a f b f --=)()(ξξF f ''.当F (x )=x 时,即为拉格朗日中值定理.例8. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数,且f (0)=f ′(0)=…=f(n -1)(0)=0.证明:nxx f )(=!)()(n x fn θ(0<θ<1)证明:设F (x )=x n ,则f (x )和F (x )在[0,x ](或[x ,0])上满足柯西中值定理.即: ∃θ1∈(0,x ),使得nxx f )(=)0()(--nx f x f =111)(-'n n f θθ.在[0,θ1]上,函数f ′(θ1)和n θ1n -1满足柯西中值定理,即:∃θ2∈(0,θ1)使得111)(-'n n f θθ=)0()(111-'-'-n n f f θθ=212)1()(--''n n n f θθ同理:nxx f )(=nn n n fθθ!)()(.由于θn =θx ,(0<θ<1)所以:nxx f )(=!)()(n x fn θ(0<θ<1)§2 洛必达法则当x →a (或x →∞)时,f (x ),F (x )→0(或f (x ),F (x )→∞), 称极限)()(lim )(x F x f x ax ∞→→为未定式.记为:00或∞∞.一、未定式00或∞∞的求法.定理:设1) x →a 时,f (x )和F (x )→0;2) 在点a 的某个去心邻域内,f ′(x )和F ′(x )存在,且F ′(x )≠0;3) ax →lim)()(x F x f ''存在(或为∞).那么ax →lim)()(x F x f =ax →lim)()(x F x f ''.证明:定义f (a )=F (a )=0.则f (x )和F (x )在[x ,a ]或[a ,x ]上满足柯西中值定理的条件,于是)()(x F x f =)()()()(a F x F a f x f --=)()(ξξF f '' (ξ在a 与x 之间).令x →a ,则有ξ→a ,于是: ax →lim)()(x F x f =ax →lim)()(x F x f ''.当f ′(x )和F ′(x )满足定理的条件时,可以继续使用.即:ax →lim)()(x F x f =ax →lim)()(x F x f ''=ax →lim)()(x F x f ''''.对x →∞时的未定式00及x →a 或x →∞时的未定式∞∞,有相应的结论.例1. 求下列极限:1)lim→x bxax sin sin (b ≠0)解：原式=0lim →x bxb ax a cos cos =ba 2)1lim→x123233+--+-x x x x x解：原式=1lim→x 1233322---x x x =1lim→x 266-x x =233)lim→x 3sin xx x - 解:原式=0lim →x 23cos 1xx -=0lim→x xx 6sin =0lim→x 6cos x =614)+∞→x limx (xarctan 2-π)解:原式=+∞→x limxx 1arctan 2-π=+∞→x lim22111xx -+-=+∞→x lim221xx+=1.5)+∞→x limnxx ln (n >0)解:原式=+∞→x lim 11-n nxx =+∞→x limnnx1=0.6)+∞→x limxnex λ(n 为正整数,λ>0)解:原式=+∞→x limxn enxλλ1-=…=+∞→x limxn en λλ!=0.7)2limπ→x2)2(sin ln x x -π解: 原式=2lim π→x )2(4cot x x --π=2lim π→x 8csc 2x-=-818)lim→x xx x cos sec )1ln(2-+解:原式=0lim→x x x x x xsin tan sec 122++=0lim→x )1)(1(secsin 222x x x x++=19)1lim→x 13)1()1()1)(1(-----n nx x x x解:原式=1lim→x xx--11•1lim→x x x--113•…•1lim→x x xn--11=1lim→x 121--x•1lim→x 13132---x •…•1lim→x 111----nn xn=!1n二、 未定式0·∞;∞- ∞; 00; 1∞; ∞0的求法. 例2. 求下列极限: 1)lim+→x x n ln x (n >0)解:原式=0lim +→x nxx 1ln =0lim+→x 111+-n xnx =0lim +→x -nxn=02)2limπ→x (sec x -t a n x );解: 原式=2lim π→x xx cos sin 1-=2lim π→x xx sin cos --=03)lim+→x x x ;解:原式=0lim +→x xx eln =xx x e1ln lim+→=211limxx x e-+→=14)lim→x x x x x sin tan 2-解:原式=0lim→x 3tan xxx -=0lim→x 2231secxx -=0lim→x xx x 222cos 3cos 1-=315)0lim →x 21arctan xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解:设y =21arctan xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛则ln y =xxxarctan ln12=2ln arctan ln xxx -由于0lim →x 2ln arctan ln x x x -=0lim →x xx x x 21arctan 112-+=0lim→x xxxx 21arctan )1(12-+=0lim→x xx x x x x arctan )1(2arctan )1(222++-=0lim→x 211x+•0lim→x 322arctan )1(xxx x +-=0lim→x 222611)1(arctan 21xxx x x ++--=0lim→x 2262xx -=-31所以,原式=31-e .6)lim +→x )1(-xx x解:设y =)1(-xx x⇒ln y =(x x -1)ln x由于0lim +→x x ln x =0lim +→x xx 1ln =0lim+→x 2/1/1xx -=0所以当x →0时,e x ln x -1～x ln x ,从而lim+→x (x x -1)ln x =0lim +→x x ln x •ln x ==0lim+→x xx1ln2=0lim+→x 2/11ln 2xx x -∙=0lim +→x -2xx 1ln =0. 即: 0lim +→x )1(-xxx =1例3. 求常数a 和n ,使当x →0时,ax n 与ln(1-x 3)+x 3为等价无穷小.解:0lim→x naxx x )1ln(33-+=0lim→x 1322133---+n naxxx x =0lim →x -)1(136x naxn --6=n当n =6时, 0lim→x naxx x )1ln(33-+=-a61例4. 求下列极限:1) ∞→n lim nn解:xx=xxe ln 1 由于 +∞→x limxx ln =+∞→x limx1=0； 所以+∞→x limxx=+∞→x lim xxe ln 1=1从而 ∞→n limnn=11)∞→n lim nnnnc b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++3(a ,b ,c 均为正数)解:n nnnc b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++3=)3ln(111nn n c b a n e++因为:+∞→x lim )3ln(111xx xc b ax ++t x=1+→0lim t tc b a tt t 3ln )ln(-++=+→0limt tt t tttcb a cc b b a a ++++ln ln ln =3)ln(abc所以∞→n lim )3ln(111nnncban ++=3)ln(abc即:∞→n lim nnnnc b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++3=3)ln(abc e =3abc例5. 求下列极限:1) 0lim→x xx x sin 1sin2解：此题不能用洛必塔法则，因为0lim→x xx x x cos 1cos1sin2-不存在原式=0lim →x )1sin (sin x x x x ∙=0lim→x x xsin •0lim →x x x 1sin =0 2) +∞→x lim xxx cos -解:此题也不能用洛必塔法则,因为:+∞→x lim 1sin 1x-不存在原式=+∞→x lim (1-xxcos )=1例6. 讨论函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+-0,0,])1([2111x e x ex x x 在x =0处的连续性. 解:当x >0时,ln f (x )=ln x xex 11])1([+=x1·[x1ln(1+x )-ln e ]=2)1ln(xxx -+所以0lim +→x ln f (x )=0lim+→x 2)1ln(xxx -+=0lim +→x xx2111-+=0lim+→x )1(21x +-=-1/2.从而: 0lim +→x f (x )=e -1/2.由0lim -→x f (x )=f (0)=e -1/2=0lim +→x f (x ),所以函数在x =0处连续.例7. 设f ′′(x 0)存在,证明20000)(2)()(limhx f h x f h x f h --++→=f ′′(x 0).解: 0lim→h 2000)(2)()(h x f h x f h x f --++=0lim→h hh x f h x f 2)()(00-'-+'= f ′′(x 0).§3 泰 勒 公 式一、 泰勒公式设函数f (x )在x 0处可导,则由微分公式有:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0)这表明在x 0处f (x )可以用一个一次多项式来近似表示.但这种表示存在缺陷:函数的表示不够精确,且误差不易估计.为了解决此问题,用一个高次多项式来近似表示函数,且使其误差容易估计,这就是泰勒公式.设函数f (x )在含有x 0的开区间内具有直到(n +1)阶导数, 下面找出(x -x 0)的n 次多项式:p n (x )=a 0+a 1(x -x 0)+ a 2(x -x 0)2+...+ a n (x -x 0)n (1)使其近似表示f (x ),要求1) p n (x )与f (x )之差是比(x -x 0)n 高阶的无穷小; 2) 给出误差|f (x )-p n (x )|的具体表达式.假设p n (x )在x 0处的函数值及n 阶导数在x 0处的值满足:p n (x 0)＝f (x 0), p ′n (x 0)= f ′(x 0), p n ′′(x 0)=f ′′(x 0),… ,p n (n )(x 0)=f (n )(x 0). 下面确定多项式的系数a 0,a 1，a 2 …，a n 为此， 对(1)式求各阶导数,然后分别代入以上等式,得:a 0=f (x 0),a 1=f ′(x 0), 2!a 2=f ′′(x 0),…, n ! a n =f (n )(x 0),即得:a 0=f (x 0), a 1=f ′(x 0), a 2=！21f ′′(x 0),… a n =！n 1f (n )(x 0).从而p n (x )= f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…+!)(0)(n x fn (x -x 0)n .泰勒中值定理:如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(a ,b )内具有直到(n +1)阶的导数,则∀x ∈(a ,b ),f (x )可以表示为关于(x -x 0)的一个n 次多项式与p n (x )一个余项R n (x )之和:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…!)(0)(n x fn (x -x 0)n +R n (x ). (2)其中R n (x )=)!1()()1(++n fn ξ (x -x 0)n +1, (3)这里ξ是x 0与x 之间的某个值.证:记 R n (x )=f (x )-p n (x ).只需证明R n (x )=)!1()()1(++n fn ξ(x -x 0)n +1,(ξ在x 0与x 之间).由假设可知,R n (x )在(a ,b )内具有直到(n +1)阶导数,且R n (x 0)=R n ′(x 0)=R n ′′(x 0)=…=R n (n )(x 0)=0.则R n (x )和(x -x 0)n +1在[x 0,x ]或[x ,x 0]满足柯西中值定理,即有:10)()(+-n n x x x R =0)()()(100---+n n n x x x R x R =nnx n R ))(1()(011-+'ξξ (ξ1在x 0与x 之间),同样函数R n ′(x )与(n +1)(x -x 0)n 在[x 0,x ]或[x ,x 0]满足柯西中值定理,即:nnx n R ))(1()(011-+'ξξ=))(1()()(0101--+'-'x n x R R n nξξ=1022))(1()(--+''n nx n n R ξξ(ξ2在x 0与ξ1之间).余此经过n +1次后,得:10)()(+-n n x x x R =)!1()()1(++n R n nξ,(ξ在x 0与ξn 之间,从而在x 0与ξ之间) 由于R n (n +1)(x )=f (n +1)(x ) ;[因为p n (n +1)(x )=0]所以R n (x )=)!1()()1(++n fn ξ (x -x 0)n +1, 这里ξ是x 0与x 之间的某个值.(2)称为泰勒公式,余项(3)称为拉格朗日余项.对某个固定的n 值,如果∃M >0,使得|f (n +1)(x )|≤M ,则有余项估计式:|R n (x )|=|)!1()()1(++n fn ξ (x -x 0)n +1|≤)!1(+n M |x -x 0|n +1.且limx x →10)()(+-n n x x x R =0, 因此R n (x )=o [(x -x 0)(n )].特别当n =0时,有:f (x )=f (x 0)+f ′(ξ)(x -x 0) (ξ在x 与x 0之间)此为拉格朗日中值定理.当不需要余项的精确表达式时,则n 阶泰勒公式为:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+!2)(0x f '' (x -x 0)2+…!)(0)(n x fn (x -x 0)n +o [(x -x 0)(n )].此式称为Peano 公式R n (x )= o [(x -x 0)(n )] 称为Peano 余项公式 特别当x 0=0时,即为麦克劳林公式:f (x )=f (0)+f ′(0)x +!2)0(f '' x 2+…+!)0()(n fn x n+)!1()()1(++n x fn θx n +1. (0<θ<1).或 f (x )=f (0)+f ′(0)x +!2)0(f '' x 2+…+!)0()(n fn x n+o (x n ). 于是 f (x )≈f (0)+f ′(0)x +!2)0(f '' x 2+…+!)0()(n fn x n.且|R n (x )|≤)!1(+n M|x |n +1.二、 求函数的泰勒公式: 例1. 求函数f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式.解: 由于 f ′(x )=f ′′(x )=…=f (n )(x )=e x . 所以f (0)=f ′(0)=f ′′(0)=…=f (n )(0)=1.|R n (x )|=|)!1(+n exθxn +1|<|)!1(||+n ex |x |n +1.当x =1时,则有: e =1+1+！21+…+！n 1其中|R n (1)|=|)!1(+n eθ|<|)!1(3+n .例2. 求函数f (x )=sin x 的n 阶麦克劳林公式.解: 由于 f (n )(x )=sin(x +n π/2). 所以 f (0)=0, f ′(0)=1, f ′′(0)=0, f ′′′(0)=-1, f (4)(0)=0, 即有: f (2m )(0)=0, f (2m -1)(0)=(-1)m -1. m =0,1,2,…. 因此:其中R 2m (x )=)!12(]2)12(sin[+++m m x πθx 2m +1.(0<θ<1).当m =1时, sin x ≈y =x , |R 2|=|!3)23sin(πθ+x x 3|≤|x |3/6.当m =2时,sin x ≈y =x -！33x,|R 4|≤|x |5/5!.当m =2时, sin x ≈y =x -！33x +！55x|R 6|≤|x |7/7!例3.求函数f (x )=cos x 的麦克劳林公式.π解:其中R 2n +1(x )=)!22(])1(cos[+++n n x πθx 2n +2.例4.其中: R n (x )=11)1)(1()1(++++-n n nxx n θ (0<θ<1)其中: R n (x )=)!1())(1()1(+-+--n n n αααα (1+θx )α-n -1x n +1 (0<θ<1)例5.求函数f (x )=t a n x 的二阶麦克劳林公式. 解:f (0)=0,f ′(0)=sec 2x |x =0=1;f ′′(0)=2sec 2x tan x |x =0=0. f ′′′(x )=4sec 2x tan 2x +2sec 4x =2·xx42cos sin21+所以 tan x =x +!32)(cos )(sin 2142x x θθ+x 3=x +)(cos 3)(sin 2142x x θθ+x 3 (0<θ<1).例6. 用Talor 公式求极限1)+∞→x lim(3233x x +-4342x x -)解:3233xx +=331x x +=x [1+x 331∙+2)3(!2)131(31x-∙+2)3(x o ]=x +1-x 1+)1(x o 4342x x -=421x x -=x [1-x 241∙+2)2(!2)141(41x--∙+2)2(x o ]=x -21-x 83+)1(x o3233x x +-4342x x -= x +1-x1+)1(xo -[ x -21-x 83+)1(xo ]=23-x85+)1(xo+∞→x lim(3233x x +-4342x x -)=+∞→x lim [23-x85+)1(xo ]=232)lim→x xe x xx xsin )(cos 1211222-+-+解:21x +=1+221x +4!2)121(21x -+o (x 4);221211xx +-+=481x +o (x 4);cos x =1-！21x 2+！41x 4+o (x 4);2xe=1+x 2+4!21x+ o (x 4);cos x -2xe =-23x 2-42411x + o (x 4); 0lim→x xe x xx xsin )(cos 1211222-+-+=0lim→x )](241123[)(81442244x o x x x x o x +--+=0lim→x )](23)(814444x o x x o x +-+=-121§4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、 函数单调性的判定法定理:(函数单调性的判定法) 设函数y =f (x )∈C [a ,b ], f (x )∈D (a ,b ).1) 如果:∀x ∈(a ,b ),f ′(x )>0, 则y =f (x )在[a ,b ]上单调增加; 2) 如果:∀x ∈(a ,b ),f ′(x )<0, 则y =f (x )在[a ,b ]上单调减少.yf ′(x )>0,图形上升图 f ′(x )<0图形下降证明1)由于f (x )∈C [a ,b ],f (x )∈D (a ,b ),在(a ,b )内任取两点x 1、x 2(x 1<x 2),由拉格朗日中值定理,得f (x 2)－f (x 1)=f ′(ξ)(x 2－x 1) (x 1<ξ<x 2)由于x 2－x 1>0,且f ′(x )>0,从而有f ′(ξ)>0,于是f (x 2)－f (x 1)=f ′(ξ)(x 2－x 1)>0, 即 f (x 2)>f (x 1).例1. 判定函数y =x －sin x 在[0,2π]上的单调性. 解: 因为在(0,2π)内y ′=1－cos x >0,所以函数y =sin x 在[0.2π]上单调增加. 例2. 讨论函数y =e x -x -1的单调性. 解: y ′=e x -1.y =e x -x -1的定义域为(-∞,+∞),因为在(-∞,0)内y ′<0,所以函数y =e x -x -1在(-∞,0)上单调减少; 因为在(0,+∞)内y ′>0,所以函数y =e x -x -1在[0,+∞]上单调增加.例3. 讨论函数y =32x 的单调性.解 这函数的定义域为(－∞,+∞).当x ≠0时,这函数的导数为y ′=332x,当x =0时,函数的导数不存在,∀x ∈(-∞,0), y ′<0, 函数y =32x 在(-∞,0)上单调减少,∀x ∈(0,+∞), y ′>0,函数y =32x 在[0,+∞]上单调增加.例4. 确定函数f (x )=2x 3-9x 2+12x -3的单调区间.解:函数的定义域为(-∞,+∞), 函数的导数为:f ′(x )=6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2).令f ′(x )=0,即解6(x -1)(x -2)=0.得x 1=1、x 2=2,这两个根把(-∞,+∞)分成三个部分区间(-∞,1)、[1,2]及(2,+∞).∀x ∈(-∞,1)U (2,+∞), f ′(x )>0, 函数单调上升; ∀x ∈(1,2), f ′(x )<0, 函数单调下降.例5. 讨论函数y =x 3的单调性.解: 函数定义域为(－∞,+∞).且y ′=3x 2≥0,函数单调上升. 例6. 证明:当x >1时,2x >3－x1证: 令f (x )=2x －(3－x 1),则 f ′(x )=-x 121x=21x(x x －1).f (x )∈C [1,+∞],∀x ∈(1,+∞),f ′(x )>0, f (x )在 [1,+∞]上单调增加,从而 当x >1时, f (x )>f (1)=0. 即: 2x －(3－x1)>0,亦即2x >3－x 1(x >1).例7. 证明当0<x <π/2时,t a n x >x +x 3/3. 证: 设f (x )=x +x 3/3-t a n x .则f ′(x )=1+x 2-sec 2x =x 2-t a n 2x =(x -t a n x )(x +t a n x )<0. 所以 f (x )<f (0)=0. 即: t a n x >x +x 3/3. [这里用了:x <t a n x ].例8. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根? 解:设f (x )=ln x -ax ,则令f ′(x )=x 1-a =0得: x =1/a .当0<x <a 时, f ′(x )>0, 函数单调上升, 当a <x <+∞时, f ′(x )<0, 函数单调下降. 又+→0lim x f (x )=-∞, +∞→x lim f (x )=+∞→x lim x [xx ln -a ]=-∞.因此f (1/a )=-ln a -1为函数的最大值. 当 f (1/a )=-ln a -1>0,即0<a <1/e 时, 在(-∞,1/a )内存在唯一点ξ1,使f (ξ1)=0. 在(1/a ,+∞)内,存在唯一点ξ2,使f (ξ2)=0,此时函数f (x )有两个零点,从而方程有两个根. 当f (1/a )=-ln a -1=0,即a =1/e 时,此时x =1/a 为函数的唯一零点,从而方程只有唯一根. 当f (1/a )=-ln a -1<0时,即:1/e <a <+∞时 函数无零点,从而方程没有根.y=lnx-ax (a=1/e) y=lnx-ax(0<a<1/e)y=lnx-ax(a>1/e)例9. 设α>β>e ,证明αβ<βα. 证明:设f (x )=xx ln ,(x ≥e )则f ′(x )=2ln 1xx -<0.因此函数在(e ,+∞)上单调下降.从而当α>β时,f (α)<f (β),即:ααln <ββln ,于是βln α<αln β,从而有: αβ<βα.例10.比较e π和πe 的大小.解: 由于πe =e e ln π.于是只要比较e π和e e ln π的大小.从而只要比较π和e ln π的大小. 设 f (x )=x -e ln x (x >1)令f ′(x )=1-e x 1=0得:x =e .当1<x <e 时,f ′(x )<0,函数单调下降, 当e <x <+∞时,f ′(x )>0,函数单调上升.所以f (e )=0为函数的最小值.从而f (π)>f (e )=0.即:π-e ln π>0. 从而: e π>πe .二、 曲线的凹凸性与拐点定义:设f (x )在区间I 上连续,如果对I 上的任意两点x 1和x 2有:)2(21x x f +<2)()(21x f x f +称f (x )在I 上的图形是向上凹的(或凹弧); )2(21x x f +>2)()(21x f x f +称f (x )在I 上的图形是向上凸的(或凸弧);另一定义为:定义:设f (x )在区间I 上连续,如果对∀x 1,x 2∈I 及实数t (0<t <1)有:f [tx 1+(1-t )x 2]<tf (x 1)+(1-t )f (x 2),称f (x )在I 上的图形是向上凹的(或凹弧); f [tx 1+(1-t )x 2]>tf (x 1)+(1-t )f (x 2),称f (x )在I 上的图形是向上凸的(或凸弧); 凹凸性的判断定理:定理:设f (x )∈C [a ,b ],在(a ,b )内具有连续的一阶和二阶导数,则: 1) 若在(a ,b )内有f ′′(x )>0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是向上凹的; 2) 若在(a ,b )内有f ′′(x )<0,则f (x )在[a ,b ]上的图形是向上凸的; 证明:1)∀x 1,x 2∈[a ,b ],记x 0=(x 1+x 2)/2.则由泰勒公式有:f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ′′(ξ1)(x -x 0)2/2< f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)(ξ1在x 与x 0之间)从而: f (x 1)< f (x 0)+f ′(x 0)(x 1-x 0); f (x 2)< f (x 0)+f ′(x 0)(x 2-x 0); 所以: f (x 1)+f (x 2)<2 f (x 0)+f ′(x 0)(x 1+x 2-x 0)=2f (x 0). 同理可证明2).例11. 判断函数y =ln x 的凹凸性.解:由于y ′=1/x ,y ′′=-1/x 2<0 (x >0),所以函数在(0,+∞)内是向上凸的. 例12. 判断函数y =x 3的凹凸性 解:由于:y ′=3x 2,y ′′=6x ,当x ∈(-∞,0)时,y ′′<0,曲线在(-∞,0)内是向上凸的, 当x ∈(0,+∞)时,y ′′>0,曲线在(0,+∞)内是向上凹的. 拐点的定义:定义:曲线由凹变凸(或由凸变凹)的分界点称为曲线的拐点. 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点为曲线的拐点. 例13. 判断函数y =3x 的凹凸性. 解:y ′=3231x;y ′′=-3292xx.当x ∈(-∞,0)时, ,y ′′<0,曲线在(-∞,0)内是向上凸的, 当x ∈(0,+∞)时,y ′′>0,曲线在(0,+∞)内是向上凹的.函数在x =0处的一阶和二阶导数不存在,但(0,0)为函数图形的拐点. 例14. 判断函数y =x 4的凹凸性.解:由于y ′′=12x 2>0 ,∀x ∈(-∞,+∞),所以函数在(-∞,+∞)内是向上凹的. 这里y ′′(0)=0,但(0,0)不是曲线的拐点. 拐点的求法:1) 求f ′′(x )=0的根;2) 求f ′′(x )不存在的点;3) 对上面求出的每一个点x 0,判断f ′′(x )在点(x 0,f (x 0))的左右两侧的符号,当两侧符号相反时,点(x 0,f (x 0))为拐点,当两侧的符号相同时,点(x 0,f (x 0))不是拐点. 例15. 求函数y =(x -1)3x 的凹凸区间和拐点. 解:函数的定义区间为:(-∞,+∞).y ′=32313134--xx, y ′′=35329294--+xx=359)12(2x x +当x例16. 证明曲线y =112+-x x 有三个拐点在同一直线上. 解: y ′=222)1(12+++-x x x ,y ′′=3223)1(2662++--x x x x =32)1()32)(32)(1(2+--+--x x x x可以判断点A (-1,-1)、B (2-3,)32(431--)、C (2+3,)32(431++)为拐点.k AB =)1(32)1()32(431-------=41=k AC .例17. 试确定k 的值,使曲线y =k (x 2-3)2的拐点处的法线通过原点. 解:由于 y ′=2k (x 2-3)2x =4kx 3-12kx , y ′′=12k (x -1)(x +1). 显然x 1=-1和x 2=1为拐点的横坐标. 当x 1=-1时,y 1=4k ,点(-1,4k )处有: y ′(-1)=8k , 所以法线方程为:y -4k =-k81(x +1).由法线通过原点有:32k 2=1,即: k =±82.当x 2=1时, y 1=4k ,点(1,4k )处有:y ′(1)=-8k , 所以法线方程为:y -4k =k81(x -1).由法线通过原点有:32k 2=1,即: k =±82.因此当k =±82时,曲线在拐点处的法线通过原点.例18. 设y =f (x )在x =x 0的某一邻域内具有三阶连续的导数,如果f ′(x 0)=0, f ′′(x 0)=0而f ′′′(x 0)≠0,问x =x 0是否为极值点?(x 0, f (x 0))是否为拐点?为什么?解:由f ′′′(x 0)≠0,不妨设f ′′′(x 0)>0.由于f ′′′(x )在U (x 0)内连续,从而存在区间I ⊂U (x 0),对∀x ∈I ,有f ′′′(x )>0.于是由泰勒公式有: f (x )= f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+！21f ′′(x 0)(x -x 0)2+！31f ′′′(ξ)(x -x 0)3 ,ξ在x 与x 0之间.即: f (x )- f (x 0)=！31f ′′′(ξ)(x -x 0)3 ,由于f ′′′(ξ)>0,所以当x >x 0时,有f (x )>f (x 0); 当x <x 0时,有f (x )<f (x 0);从而x 0非极值点. 又f ′′(x )-f ′′(x 0)=f ′′′(ξ1)(x -x 0), ξ1在x 与x 0之间.即: f ′′(x )=f ′′′(ξ1)(x -x 0),所以当x <x 0时,有f ′′(x )<0, 当x >x 0时,有f ′′(x )>0. 所以点(x 0,f (x 0))为拐点.一般地:如果f (x )在U (x 0)内具有n 阶连续的导数,且f ′(x 0)= f ′′(x 0)=…= f (n -1)(x 0)=0,f (n )(x 0)≠0,当n 为奇数时,x =x 0为曲线拐点的横坐标; 当n 为偶数时,x =x 0为极值点,且当f (n )(x 0)>0时x =x 0为极小值点; 当f (n )(x 0)<0时x =x 0为极大值点. 例19. 证明不等式:1)21(x n +y n )>ny x)2(+ (x >0,y >0,x ≠y ,n >1).2) x ln x +y ln y >(x +y )ln2y x +(x >0,y >0,x ≠y ).证明:1)设f (x )=x n (x >0,n >1).则f ′′(x )=n (n -1)x n -2>0.从而f (x )在(0,+∞)内是向上凹的,于是对∀x ≠y ∈(0,+∞)有:21(x n +y n )>ny x)2(+2)设f (x )=x ln x ,则f ′(x )=1+ln x ,f ′′(x )=1/x >0.从而f (x )在(0,+∞)内是向上凹的,于是对∀x ≠y ∈(0,+∞)有:21(x ln x +y ln y )>21(x +y )ln2y x +,即: x ln x +y ln y >(x +y )ln 2y x+.§5 函数的极值与最大值最小值一、 极值及求法1. 定义: 设函数f (x )在区间(a ,b )内有定义, x 0是(a ,b )内的一个点,如果存在点x 0的一个去心邻域Ů(x 0,δ),对于∀x ∈Ů(x 0,δ),有f (x )<f (x 0), 称f (x 0)是函数f (x )的一个极大值;∀x ∈Ů(x 0,δ),有f (x )>f (x 0),称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值. 2. 极值存在的必要条件:定理(必要条件)设f (x )在点x 0处可导,且在x 0处取得极值,则 f ′(x 0)=0. 证明:设函数f (x )在x 0处取得极大值f (x 0).由于f ′(x 0)=00)()(limx x x f x f x x ---→≥0; f ′(x 0)=00)()(limx x x f x f x x --+→≤0.所以f ′(x 0)=0.驻点: 方程f ′(x )=0的点 (或导数为零的点). 3. 驻点与极值点的关系:可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点. 例如y =x 3有驻点x =0,但不是极值点. 4. 极值存在的充分条件定理(第一种充分条件)设函数f (x )在x 0连续,在Ů(x 0,δ)可导,且f ′(x 0)=0. 1) 若∀x ∈(x 0-δ,x 0),f ′(x )>0, ∀x ∈(x 0,x 0+δ),f ′(x )<0, f (x )在x 0处取极大值; 2) 若∀x ∈(x 0-δ,x 0),f ′(x )<0, ∀x ∈(x 0,x 0+δ),f ′(x )>0, f (x )在x 0处取极小值; 3) 若∀x ∈ Ů(x 0,δ) f ′(x )不变号,则 f (x )在x 0处没有极值. 证明:1) 当∀x ∈(x 0-δ,x 0),f ′(x )>0 函数是单调上升的;当∀x ∈(x 0,x 0+δ),f ′(x )<0 函数是单调下降的; 所以f (x 0)为函数的极大值. 同理可证明2)和3). 5. 求极值的方法:如果函数f (x )在定义区间内可导,则求极值步骤为: 1) 求函数的导数f ′(x );2) 求出f ′(x )=0的全部实根(即函数的所有驻点);3) 对每个驻点讨论f ′(x )在其左、右两边的符号,确定是否为极值. 例1. 求函数f (x )=x 3-3x 2-9x +5的极值.解:f ′(x )=3x 2-6x -9=3(x +1)(x -3); 令f ′(x )=0得 驻点:x 1=-1 ;x 2=3.当x <-1时,f ′(x )>0,当-1<x <3时,f ′(x )<0,所以x 1=-1为函数的极大值点; 当x >3时,f ′(x )>0,从而x 2=3为函数的极小值点; 所以函数的极大值为:f (-1)=10;极小值为f (3)=-22. 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时,有定理3(第二充分条件)设函数f (x )在点x 0处具有二阶导数且f ′(x )=0, f ′′(x )≠0, 那末1) f ′′(x 0)<0时,函数f (x )在x 0处取得极大值; 2) f ′′(x 0)>0时,函数f (x )在x 0处取得极小值.证明:1)由于f ′′(x 0)=0limx x →00)()(x x x f x f -'-'<0.由保号性定理,存在Ů(x 0,δ),对x ∈Ů(x 0,δ),有00)()(x x x f x f -'-'=0)(x x x f -'<0.即f ′(x )与x -x 0异号.所以在Ů(x 0,δ)内, 当x <x 0时,f ′(x )>0;当x >x 0时,f ′(x )<0,由第一充分条件得f (x 0)为函数的极大值.同理可证2).注:当f ′′(x 0)=0时,f (x )在x 0处可能有极值,也可能没有极值.例如y =x 3和y =x 4在x =0处有f ′(0)=f ′′(0)=0,但x =0不是y =x 3的极值点,而x =0是y =x 4的极小值点.例2. 求函数f (x )=(x 2-1)3+1的极值.解:由于：f ′(x )=6x (x 2-1)2=6x (x -1)2(x +1)2, 所以驻点： x 1=-1, x 2=0, x 3=1. 又 f ′′(x )=6(x 2-1)(5x 2-1)f ′′(0)=6>0,所以x =0为函数的极小值点,极小值为f (0)=0. 而f ′′(-1)=f ′′(1)=0.不能用第二充分条件判断.但当x <-1时,f ′(x )<0,当-1<x <0时,f ′(x )<0,所以x =-1不是极值点. 同理x =1也不是极值点.例3. 求函数f (x )=1-(x -2)2/3的极值.解:当x ≠2时,f ′(x )=-3232-x .当x <2时, f ′(x )>0, 当x >2时,f ′(x )<0,所以x =2为函数的极大值点,且极大值为f (2)=1.注:函数在x =2处不可导.函数的极值可能在导数不存在的点处取得. 但导数不存在的点处函数也可能没有极值,例如函数y =3x 在x =0处不可导,函数在x =0处没有极值.由此可得求函数极值的方法如下:1) 求出函数的所有驻点和导数不存在的点;2) 对上述每一个点讨论其左、右两边f ′(x )的符号,判断是否为极值点. 3) 求出极值. 例4.求函数f (x )=⎩⎨⎧≤+>0,202x x x x x ，的极值.解:当x >0时, f ′(x )=2x 2x (1+ln x ); 当x <0时, f ′(x )=1. f ′+(0)=+→0limx xxx22-=-∞;f ′-(0)=-→0limx xx 22-+=0所以函数在x =0处不可导.令f ′(x )=0得驻点:x =1/e .当0<x <1/e 时,f ′(x )<0,当1/e <x <+∞时,f ′(x )>0,所以f (1/e )=e -2/e 为函数的极小值.当x =0时,由于f (0-0)=2=f (0);f (0+0)=+→0lim x x 2x =+→0lim x e 2x ln x =1,所以函数在x =0处间断.由于f (0+0)=1,所以对ε=1/2,存在δ>0,当0<x <δ时,有|f (x )-1|<1/2,即有f (x )<f (0)=2.而当x <0时,f ′(x )=1>0,所以f (x )<f (0)=2,于是f (0)=2为函数的极大值. 例5. 求函数f (x )=x 2/3-(x 2-1)1/3极值.解:f (x )的定义域为(-∞,+∞).f ′(x )=xx x2)1(313232231∙----=3223134322)1()1(32---x x x x令f ′(x )=0得驻点x 1=-1/2,x 2=1/2.设函数f (x )∈C [a ,b ],则在[a ,b ]上f (x )有最大值和最小值,求法如下: 1) 求出函数在[a ,b ]上的驻点x 1,x 2,…,x n .2) 求出函数在[a ,b ]上的导数不存在的点y 1,y 2,…,y m .3) 求出函数值:f (x 1), f (x 2),…f (x n ), f (y 1), f (y 2),…, f (y n ), f (a ),f (b ). 4) m =min{ f (x 1), f (x 2),…f (x n ), f (y 1), f (y 2),…, f (y n ), f (a ),f (b )} M =m ax { f (x 1), f (x 2),…f (x n ), f (y 1), f (y 2),…, f (y n ), f (a ),f (b )} 特别情形:1) 当函数在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x 0,且此驻点x 0为函数的极值点,那么当f (x 0)为极小值时,则它为最小值;当f (x 0)为极大值时,它为最大值.2) 由实际问题可以断言函数的最值存在并在区间的内部取得,且只有唯一的一个驻点时,可以不必判断此驻点是否为极值,直接断定f (x 0)是最大值或最小值.例6. 求函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)的最大值和最小值. 解:令 y ′=6x 2-12x -18=6(x +1)(x -3)=0 得驻点 x =3. 又 y (1)=-29; y (3)=-61,y (4)=81.例7. 如图，从南到北的铁路干线经过A ，B 两城，两城之间的距离为150公里，某工厂位于B 城正西20公里处，今要从A 城把货物运往工厂C ，已知。
4微分中值定理与导数的应用
f (x) g( x)
f ( x) f ( x0 ) g( x) g( x0 )
f ( g(
) )
(在x0与x之
间)
x0
x
x0
x
返回 上页 下页
因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 只要 +x∈(a,b),总有 f( + x)-f()≤0．
当x＞0时, f ( x) f ( ) 0
x
根据极限的保号性及f()的存在知
f ( ) lim f ( x) f ( ) 0
lim
a
x
a
1
x
返回 上页 下页
二、 型未定式
定理2 设f(x),g(x)
(1)lim f(x)=∞, limg(x)=∞
x x0
xo x0
(2) f(x)和g(x)在U( x0 ) 内可导,且g(x)≠0；
(3)lim f ( x)存在(或为∞)． 则 x x0 g( x)
从而有
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
返回 上页 下页
例 设0 a b,函数f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,
试证: 至少存在一点 (a, b),使得
f ( ) -f ( ) bf (a) af (b) .
ba
将F'( ) xf ( x) f ( x) ,G'( ) 1 代入得
x2
x2
f ( ) - f ( ) bf (a) af (b)
微分中值定理及导数的应用
积分因子法
通过引入一个积分因子，将微分方程转化为可解的一 阶线性方程组。
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微分中值定理及导数的应用
目录
• 微分中值定理 • 导数的定义与性质 • 导数在函数中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步研究
01
微分中值定理
微分中值定理的定义
微分中值定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可 导，则存在$c in (a, b)$，使得$f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
导数与积分的关系
牛顿-莱布尼兹公式
用导数和积分相互转化的方式，将定积分转化为求和的 形式，从而简化计算。
微积分基本定理
定积分可以表示为被积函数的一个原函数在积分上下限 的函数值的差，即牛顿-莱布尼兹公式的特殊形式。
导数与微分方程
微分方程
描述一个变量关于另一个变量的导数等于某个给定函 数的方程。
初值问题
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数在数值分析中有着广泛的应用，例如在求解微分方程、 积分方程和线性代数方程时，导数可以帮助我们找到近似 解。
图像处理
在图像处理中，导数可以帮助我们进行边缘检测、图像滤 波和图像增强等操作，从而提高图像的清晰度和质量。
信号处理
在信号处理中，导数可以用来分析信号的变化趋势和频率 特征，例如在音频处理和图像处理中，导数可以帮助我们 提取信号中的重要信息。
详细描述
如果一个函数在某区间的导数大于0， 则该函数在此区间单调递增；如果导 数小于0，则函数单调递减。
导数与函数的中值定理解析与归纳
导数与函数的中值定理解析与归纳导数和函数的中值定理是微积分中非常重要的概念和定理。
导数可以理解为函数在某一点上的切线斜率，而函数的中值定理则描述了函数在某个区间内的平均斜率与某一点的瞬时斜率相等的关系。
本文将详细解析导数和函数的中值定理的数学原理，并进行归纳总结。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义导数的定义是函数微分学中的基本概念，它表示函数在某一点上的切线斜率。
设函数f(x)在点x0附近有定义，若极限lim┬(x→x0)〖(f(x)−f(x0))/(x−x0) 〗存在，则称这个极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|x=x0。
2. 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可导函数必定连续，但连续函数不一定可导；- 常数函数的导数为0；- 对于可导函数f(x)，导数f'(x)代表了函数在该点的瞬时改变率。
二、函数的中值定理函数的中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均斜率与某一点的瞬时斜率相等的关系。
根据中值定理，我们可以得出导数的几何意义和丰富的性质。
1. 平均值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a)和f(b)不相等。
则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)−f(a))/(b−a)。
这一定理表明了函数在某个区间内的平均斜率与某一点的瞬时斜率相等。
2. 罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a)=f(b)。
则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。
这一定理说明了函数在某个区间内存在至少一个驻点（导数为0的点）。
3. 拉格朗日中值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)−f(a))/(b−a)。
第五讲 导数与微分,微分中值定理及导数的应用
则 f 为I上的凸函数
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
定义 2：设曲线 y f (x)在点（x0，f (x0 )）处有穿过曲线的切线，且在切点旁， 曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这是切点（x0，f (x0 )）为曲线 y f (x) 的拐点. Th1：设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等价 （i） f 为 I 上的凸函数 （ii） f (x) 为 I 上的增函数 （iii）对 x1, x2 I ，有 f (x2 ) f (x1) f (x1)( x2 x1)
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
绝对误差 y f (x0) x
相对误差 y f (x0 ) x y f (x)
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
7. 微分学基本 Th（导数的应用） （1）费马 Th （2）Rolle 中值 Th （3）Lagrange 中值 Th
f
'(x0 )
lim
x x0
f
'( )
f '(x0
0)
同理可得若 f '(x) 在 x0 点处存在右极限，则必有
f
'(x0 )
第五讲 导数与微分，微分中值Th及导数的应用
Th2：设 f 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f 为凸（凹）函数
f (x) 0 ( f (x) 0), x I
Th3：......,则 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y
f (x) 的拐点
f (x) 0
Th4:设 f 在 x0 可导。在U 0 (x0 ) 内二阶可导，若在U 0 (x0 ) 和U 0 (x0 ) 上 f (x) 的
第三章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上，证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上 单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的 切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所 示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角， 它们的斜率f′(x)都是负的，即 f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；
微分中值定理及导数应用
( ) lim 点 (a b) 于 是 f ( ) f
x
f ( x) f ( ) 0 x
( ) lim f ( ) f
x
f ( x) f ( ) 0 所 以 f x
(x)=0. 拉格朗日中值定理： 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a
X F ( x) 柯西中值定理：设曲线弧 C 由参数方程 Y f ( x) (axb)表示 其中 x 为参数 如果曲线 C
上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必有一点 x 使曲线上该点的切线
f ( ) 平行于连结曲线端点的弦 AB 曲线 C 上点 x 处的切线的斜率为 dY 弦 AB 的斜率为 dX F ( ) f (b) f (a) f (b) f (a) f ( ) 于是 F (b) F (a) F (b) F (a) F ( )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 1 f ( x0 )( x x0 )2 1 f (n) ( x0 )( x x0 )n o[( x x0 )n ] 2! n!
麦克劳林公式：当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 就是
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 1 f ( x0 )( x x0 )2 1 f (n) ( x0 )( x x0 )n Rn ( x) n! 2!
称为 f(x)按(xx0)的幂展开的 n 阶泰勒公式 而 R n(x)的表达式 Rn (x)
f(x2)f(x1)f ( )(x2 x1) (x1< < x2)
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章 微分中值定理与导数的应用
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章微分中值定理与导数的应用一、微分中值定理1.费马引理：若函数在区间内某一点取得极值且在该点可微，则f'(x)=0。
2.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a)=f(b)，则至少可以找到一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
3.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
4.拉格朗日中值定理的其他表示形式：①f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)；②f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<1；③f(x+Δx)-f(x)-f'(x)=f'(x+θΔx)Δx,0<θ<1。
其中③式也称为有限增量公式。
5.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是连续的，在开区间(a,b)内可微，且对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(a<ξ<b)6.以上三个定理之间的关系：罗尔定理推广得到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理推广得到柯西中值定理。
反之，在柯西中值定理中，令g(x)=x即得拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中，令f(a)=f(b)即得罗尔定理。
7.对这系列定理的简单解释：这些定理其实都很好意会。
所谓极值，就是指函数增加（或减少）到了一定程度之后又开始减少（或增加），中间肯定有一个增加到最大或减小到最小的地方，这个地方对应的函数值就是极值，对应的自变量就是极值点。
注意极值点是函数取到极值时的自变量的值，是一个数。
在此基础上，费马引理很好解释。
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。
5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。
第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。
当然也有用第一章的零点定理的。
但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。
而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。
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1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。
5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。
第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。
当然也有用第一章的零点定理的。
但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。
而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。
如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。
拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。
5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。
不定式极限有如下7种：000,,0*,,0,1,0∞∞∞∞-∞∞∞每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。
6、泰勒公式求极限。
如果极限是0lim ()x x f x → 那么就在0x 附近展开。
如果极限是lim ()x f x →∞，那么就变形成0lim ()t t f t →，再在0t 附近展开。
一般都是化成0lim ()t f t →用迈克劳林展开式展开。
那么展开多少步呢一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。
如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。
分母一定会跟着分子有同样阶的。
算吧，很大的计算量。
7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数'()0(0)f x ><结论1：()f x 在闭区间[a,b]上单增（单减）结论2：'()0f x =或不存在 则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点）方法一：条件：区间连续。
结论：若1212()()()22x x f x f x f ++<，则该曲线在(x1,x2)凹 若1212()()()22x x f x f x f ++>，则该曲线在(x1,x2)凸 方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数结论1：''()0f x > 在[a,b]凹；''()0f x < 在[a,b]凸；结论2：''()0f x =或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。
然后验证-''()''()f x f x +、的符号。
异号则一定为拐点。
9．函数在区间上的极值点，最值点。
定理1：极值点处的导数0'()0f x =定理2：条件：()f x 在0x 点处连续，在0x 附近的去心邻域内可导结论：00'()0,'()0f x f x +->< 则在0x 点取得极大值。
00'()0,'()0f x f x +-<> 则在0x 点取得极小值。
若左右邻域内符号不变，则该点无极值。
定理3：条件：()f x 在0x 点处的一阶导数0'()0f x =结论：0''()0f x > ，则在0x 点取得极小值。
0''()0f x < ，则在0x 点取得极小值。
0''()=0f x ,则该点可能是极值，也可能不是极值。
总结：一阶导数就能得出极值点。
二阶导数也能得出，但二阶导数有限制0'()0f x =。
最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。
10、曲率 曲率定义是：d K ds α= ，曲率半径用a 表示，是曲率的导数，即1a K=。
所谓曲率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K 。
如何推导曲率课本典型题：2扩展三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。
然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。
拉格朗日中值定理结论是存在导数。
柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。
罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理微分中值定理这部分看起来特别重要。
因为它涉及到几个定理。
罗尔定理常用于以下几种题：1 )('x f 在（a ，b ）上是否存在零点显然，只要找到)()(b f a f =的a 和b 即可。
找到了还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。
如已知)3)(2)(1()(---=x x x x f ，说明0)('=x f 有几个实根范围是什么等。
2 证明)(x f 在（a ，b ）上是否存在零点注意1是)('x f 是否存在零点。
故可以求出⎰=dx x f x F )()(，这样就成了求)('x F 在(a,b)上是否存在零点。
和1一样的方法了。
3 证明)(x f 的根不超过多少个。
如证明其根不超过3个。
那么，记住用反证法+罗尔定理。
设根有四个，分别为x1<x2<x3<x4。
则由罗尔定理，)('x f 肯定有三个不等的根，)(''x f 有两个不等的根，)()3(x f 有一个不等的根。
但是算到)()3(x f 时，结果却是无根。
故假设错误，根不超过3个。
拉格朗日中值定理常用于证明不等式：1 证明),(),(),(b a Q b a F b a P <<，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把),(b a F 变成两个同函数相减的方式，)()(a f b f -的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。
柯西中值定理常用于证明不等式：1 证明)()(x Q x P > 方法：把原式转换成1)()(>x G x F 或1<的形式。
因为柯西中值定理实质是两个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。
拉格朗日中值定理是弄成减的形式。
然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了证明函数恒等)()(x g x f =，),(b a x ∈证明原则： 1 )(')('x g x f =，),(b a x ∈【当然还有个条件就是f,g 在(a,b)存在导数】2 找到任意一点),(0b a x ∈，使得)()(00x g x f =如果],[b a x ∈还需要验证],[)(),(b a x g x f 在连续2洛必达法则应用有两个条件① ∞∞=lim 00lim )()(lim 或者x g x f ② A )(')('lim=x g x f ，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如)1sin(lim 0x A x →=之类的没具体的玩意。
但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体的玩意，也不能证明该函数除法式无极限。
只能证明洛必达法则此时适用性太小。
3洛必达法则应用① 求1的七种类型的未定式极限② 确定无穷小的阶是多少K 阶无穷小的定义：若0,0lim >≠=k C k αβ，则称β是α的K 阶无穷小。
无穷小阶的运算法则：设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则有：f(x)+g(x)是x的min( n , m )阶无穷小f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小f(x)/g(x)是x的abs( n - m)阶无穷小这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。
泰勒中值定理的来源想象：任何一个函数f(x)，在0点附近都可以曲线化直的表示成)(...)(2210x Rn x b x b x b b x f n n +++++=用导数一算，恰好有!)0(...!2)0('',!1)0(',!0)0()(210n f b f b f b f b n n ==== 故在0x 点处可得泰勒展开公式：（前提：f(x)在含0x 的某个开区间（a , b ）上具有（n+1）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项）)()(!)(...)(!2)())((')()(00)(200''000x Rn x x n x f x x x f x x x f x f x f n n +-++-+-+=当n=0时，))((')()(00x x f x f x f -+=ζ其中))(('0x x f -ζ是n=0时的拉格朗日余项 拉格朗日余项为：),(,)()!1()()(Rn 010)1(x x x x n f x n n ∈-+=++ζζ换成θ表示为：)1,0(),(00∈-+=θθζx x x 这样表示很常见 （不要求精确时）可使用佩亚诺余项：])[()(Rn 0n x x o x -=（注意：不是拉格朗日余项的n+1次方）最开始推导时，x 在0处的仿f （x ）多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。