完整word版,2019全国初中数学竞赛初三预赛试题
初中数学竞赛试题及答案汇编(K12教育文档)
初中数学竞赛试题及答案汇编(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学竞赛试题及答案汇编(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学竞赛试题及答案汇编(word版可编辑修改)的全部内容。
全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数,并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >(Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1,那么p 的值为( ） (Ａ）2（Ｂ）4(Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE,BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ )(Ａ)12（Ｂ）14(Ｃ)16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二(Ｂ)二、三(Ｃ）三、四(Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ)17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12,AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足,那么PE+PF=___________。
初中数学竞赛试题汇编
初中数学竞赛试题汇编(总89页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除（第2题中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41 B ．31 C ．21 D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ）A ．38B ．39C ．40 D. 413．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ）A ．95 B ．59 C ．52011-D ．92011-4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6B. 7 C ．8D ．95．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形 D角形6出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．10种 D ．12种 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）（1） （2） （第6题7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 . 8．（人教版考生做，在 ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式．求证：c b a ==．14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ；(第11题AB CD（第8题图A ）D GFECBA（第8题图B ）D（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=.（1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年全国初中数学竞赛试题考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分1. 用圆珠笔或钢笔作答；2. 2.解答书写时不要超过装订线；3. 3草稿纸不上交。
“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题(Word版,含答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A（B（C ）1 （D ）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）． （A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组DCOB二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.ED CB12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．。
2019年中考数学试题汇编 整式(word版有答案解析)
整式一．选择题（共16小题）1．（2019•泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3 2．（2019•重庆）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝0C．m＝1，n＝2D．m＝2，n＝1 3．（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．10﹣x B．10﹣y C．10﹣x+y D．10﹣x﹣y 4．（2019•邢台二模）若m+n＝7，2n﹣p＝4，则m+3n﹣p＝（）A．﹣11B．﹣3C．3D．11 5．（2019•宿迁三模）若（2x+1）4＝a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a0+a2+a4的值为（）A．82B．81C．42D．41 6．（2019•南安市一模）已知（2x﹣3）7＝a0x7+a1x6+a2x5+……+a6x+a7，则a0+a1+a2+……+a7＝（）A．1B．﹣1C．2D．0 7．（2019•霍邱县二模）2018年电影《我不是药神》反映了用药贵的事实，从而引起了社会的广泛关注．国家针对部分药品进行了改革，看病贵将成为历史．据调查，某种原价为345元的药品进行了两次降价，第一次降价15%，第二次降价的百分率为x，则该药品两次降价后的价格变为多少元？（）A．345（1﹣15%）（1﹣x）B．345（1﹣15%）（1﹣x%）C．D．8．（2019•重庆模拟）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣2，则输出的值为（）A．﹣7B．﹣3C．﹣5D．5 9．（2019•平房区二模）甲、乙两个商家对标价相同的同一件商品进行价格调整，甲的方案是：先提价8%，再降价8%；乙的方案是：先降价8%，再提价8%；则甲、乙两个商家对这件商品的最终定价（）A．甲比乙多B．乙比甲多C．甲、乙一样多D．无法确定10．（2019春•南岸区校级月考）根据如图的程序运算：当输入x＝50时，输出的结果是101；当输入x＝20时，输出的结果是167．如果当输入x的值是正整数，输出的结果是127，那么满足条件的x的值最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个11．（2019春•沙坪坝区校级月考）如图是一个计算程序，按这个计算程序的计算规律，若输入的数是9，则输出的数是（）A12345B36111827A．50B．63C．83D．100 12．（2019春•兴化市期中）如图，两个正方形的面积分别为25，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（）A．4B．9C．16D．25 13．（2019•柳州模拟）已知a2+2a＝1，则代数式3a2+6a﹣1的值为（）A．0B．1C．﹣1D．214．（2019春•南京期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm 15．（2019•慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l2，若，则m，n满足（）A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n 16．（2019•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b二．填空题（共4小题）17．（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．18．（2019•海安县一模）已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2﹣k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为．19．（2019•临海市一模）如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y＝．20．（2019春•江油市校级月考）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx+1＝2019，当x＝﹣1时，ax5+bx3+cx+1＝．三．解答题（共10小题）21．（2019•贵阳）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．22．（2019•长安区三模）下列算式是一类两个两位数相乘的特殊计算方法：67×63＝100×（62+6）+7×3＝4221，38×32＝100×（32+3）+8×2＝1216．（1）仿照上面方法计算，求44×46和51×59的值44×46＝；51×59＝；（2）观察上述算式我们发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，可以使用上述方法进行计算．如果用a，b分别表示两个两位数的个位数字，c表示十位上的数字．请用含a，b，c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；（3）仿照（1）的计算方法，补充完成3342×3358的计算过程：3342×3358＝＝．23．（2019春•沙坪坝区校级月考）已知A、B、C是数轴上3点，O为原点，A在O右侧，C在B右侧，线段OA＝2BC＝m，点D在线段BC上，关于x的多项式P的一次项系数为n，BD＝nCD，且l6x4+mx＝P•（2x﹣1）+7．（1）求m，n的值：（2）若OA、BC中点连线的长度也为m，求线段OB的长；（3）若A、C重合，E是直线OA上一动点，F是线段OA延长线上任意一点，求OE++AE的最小值．24．（2019春•鼓楼区校级期中）某菜农用780元购进某种蔬菜200千克，如果直接批发给菜商，每千克售价a元，如果拉到市场销售，每千克售价b元（b＞a）．已知该蔬菜在市场上平均每天可售出20千克，且该菜农每天还需支付15元其他费用．假设该蔬菜能全部售完．（1）当a＝4.5，b＝6时，该菜农批发给菜商和在市场销售获得的销售额分别是多少元？（2）设W1和W分别表示该菜农批发给菜商和在市场销售的利润，用含a，b的式子分别表示出W1和W；（3）若b＝a+k（0＜k＜2），试根据k的取值范围，讨论选择哪种出售方式较好．25．（2019春•瑞安市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长都为m厘米的大正方形，2块是边长都为n厘米的小正方形，5块是长为m厘米，宽为n厘米的一模一样的小长方形，且m＞n，设图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为L厘米．（1）L＝（试用m，n的代数式表示）（2）若每块小长方形的面积为10平方厘米，四个正方形的面积和为58平方厘米，求L 的值．26．（2019•河东区一模）某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收150元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印刷费，不收制版费设在同一家印刷厂一次印制数量为x份（x为正整数）（1）根据题意，填写下表一次印制数量51020 (x)甲印刷厂收费（元）155…乙印刷厂收费（元）12.5…（Ⅱ）在印刷品数量大于800份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？27．（2019春•瑶海区期中）书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图1的数学课本，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去xcm封皮展开后如图（2）所示，求：（1）则小海宝所用包书纸的面积是多少？（用含x的代数式表示）（2）当封面和封底各折进去2cm时，请帮小海宝计算一下他需要的包装纸至少需要多少平方厘米？28．（2019春•南关区校级月考）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.45元/分钟0.4元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（QUOTE 含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费元．（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元（用含a、b的代数式表示，并化简．）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？29．（2018秋•蒸湘区校级期末）甲、乙两家商店出售同样牌子和规格的羽毛球拍和羽毛球，每副球拍定价300元，每盒羽毛球定价40元，为庆祝五一节，两家商店开展促销活动如下：甲商店：所有商品9折优惠；乙商店：每买1副球拍赠送1盒羽毛球．某校羽毛球队需要购买a副球拍和b盒羽毛球（b＞a）．（1）按上述的促销方式，该校羽毛球队在甲、乙两家商店各应花费多少元？试用含a、b 的代数式表示；（2）当a＝10，b＝20时，试判断分别到甲、乙两家商店购买球拍和羽毛球，哪家便宜？30．（2018秋•南安市期末）福建省教育厅日前发布文件，从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球40个，跳绳x条（x＞40）（1）若在A网店购买，需付款元（用含x的代数式表示）．若在B网店购买，需付款元（用含x的代数式表示）．（2）若x＝100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？（3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．【解答】解：4a2﹣6ab+3b，＝2a（2a﹣3b）+3b，＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），＝1，故选：B．2．【解答】解：当m＝1，n＝1时，y＝2m+1＝2+1＝3，当m＝1，n＝0时，y＝2n﹣1＝﹣1，当m＝1，n＝2时，y＝2m+1＝3，当m＝2，n＝1时，y＝2n﹣1＝1，故选：D．3．【解答】解：x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面，y份沙拉则在C餐中点了y份意大利面，∴点A餐为10﹣x；故选：A．4．【解答】解：∵m+n＝7，2n﹣p＝4，∴m+3n﹣p＝（m+n）+（2n﹣p）＝7+4＝11，故选：D．5．【解答】解：令x＝1，得34＝a0+a1+a2+a3+a4，①令x＝﹣1，得1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4，②①+②得：2（a0+a2+a4）＝82，则a0+a2+a4＝41，故选：D．6．【解答】解：当x＝1时，（2﹣3）7＝a0+a1+a2+……+a6+a7，则a0+a1+a2+……+a7＝﹣1，故选：B．7．【解答】解：由题意可得，该药品两次降价后的价格变为：345（1﹣15%）（1﹣x），故选：A．8．【解答】解：当x＝﹣2，x2+1＝4+1＝5．故选：D．9．【解答】解：甲：把原来的价格看作单位“1”，1×（1﹣8%）×（1+8%）＝92%×1.08＝99.36%；乙：把原来的价格看作单位“1”，1×（1+8%）×（1﹣8%）＝92%×1.08＝99.36%；则甲、乙两个商家对这件商品的最终定价一样多．故选：C．10．【解答】解：根据题意得：2x+1＝127，解得：x＝63；2x+1＝63，解得：x＝31；2x+1＝31，解得：x＝15；2x+1＝15，解得：x＝7；2x+1＝7，解得：x＝3；2x+1＝3，解得：x＝1，则满足条件x的值有6个，故选：D．11．【解答】解：若输入的数是9，则输出的数为92+2＝81+2＝83，故选：C．12．【解答】解：设空白出长方形的面积为x，根据题意得：a+x＝25，b+x＝9，两式相减得：a﹣b＝16，故选：C．13．【解答】解：当a2+2a＝1时，3a2+6a﹣1＝3（a2+2a）﹣1＝3×1﹣1＝3﹣1＝2故选：D．14．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm（x＞y），则根据题意得：3y+x＝7，阴影部分周长和为：2（6﹣3y+6﹣x）+2×7＝12+2（﹣3y﹣x）+12+14＝38+2×（﹣7）＝24（cm）故选：B．15．【解答】解：图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为m，宽为n的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长l1为2m+2n图③中，设小长形卡片的宽为x，长为y，则y+2x＝m所求的两个长方形的周长之各为：2m+2（n﹣y）+2（n﹣2x），整理得，2m+4n﹣2m＝4n即l2为4n∵，∴2m+2n＝×4n整理得，故选：C．16．【解答】解：由图形可知，，，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故选：B．二．填空题（共4小题）17．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．18．【解答】解：x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝（x﹣k）2﹣k﹣1（k＞2），①当2＜k≤3时，当x＝k时取最小值，∴﹣k﹣1＝﹣2，∴k＝2，不合题意；②当k＞3时，当x＝3时取最小值，∴9﹣6k+k2﹣k﹣1＝﹣2，∴k＝4或2.5，∵k＞3，∴k＝4；综上，k＝4；故答案为：4．19．【解答】解：根据题意得：第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，整理得：y＝2x﹣7，故答案为：2x﹣7．20．【解答】解：把x＝1代入ax5+bx3+cx+1得a+b+c+1＝2019，∴a+b+c＝2018，再把x＝﹣1代入ax5+bx3+cx+1得﹣a﹣b﹣c+1＝﹣（a+b+c）+1＝﹣2018+1＝﹣2017．故答案为：﹣2017三．解答题（共10小题）21．【解答】解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；22．【解答】解：（1）由题意可得，44×46＝100×（42+4）+4×6＝2024，51×59＝100×（52+5）+1×9＝3009，故答案为：100×（42+4）+4×6＝2024；100×（52+5）+1×9＝3009；（2）（10c+a）×（10c+b）＝100（c2+c）+ab，证明如下：（10c+a）×（10c+b）＝100c2+10bc+10ac+ab＝100c2+10c（b+a）+ab＝100c2+100c+ab＝100（c2+c）+ab；（3）3342×3358＝3342×（3348+10）＝3342×3348+33420＝100×（3342+334）+2×8+33420＝11222436故答案为：100×（3342+334）+2×8+33420；11222436．23．【解答】解：（1）∵l6x4+mx＝P•（2x﹣1）+7，设P＝8x3+ax2+nx+b，∴16x4+2ax3+2nx2+2bx﹣8x3﹣ax2﹣nx﹣b+7＝l6x4+mx，∴a＝4，n＝2，2b﹣n＝m，b＝7，∴m＝12，n＝2；（2）∵m＝12，∴OA＝12，BC＝6，∵O为原点，A在O右侧，∴A表示的数是12，∴OA的中点表示的是6，∵OA、BC中点连线的长度也为m，∴BC中点在数轴上表示的数是18或﹣6，∴B点表示的数是15或﹣9，∴BO＝15或BO＝9；（3）∵BC＝6，n＝2，BD＝nCD，A、C重合，∴B点表示的数是6，D点表示的数是10，设E点表示的数是a，F点表示的数是b，OE++AE＝|a|++|12﹣a|＝|a|+|12﹣a|+，当a＜0时，OE++AE＝17﹣＞17；当0≤a≤10时，OE++AE＝17﹣，∴12≤OE++AE≤17；当10＜a＜12时，OE++AE＝7+，∴12＜OE++AE＜13；当a≥12时，OE++AE＝﹣17≥13；∴12≤OE++AE，∴OE++AE的最小值是12；24．【解答】解：由题意，可得直接批发商的销售额为200a元，拉到市场的销售额为200b元（1）当a＝4.5时，直接批发商的销售额为：200×4.5＝900元，当b＝6时，拉到市场的销售额为：200×6＝1200元（2）由题意，进菜的成本为＝3.9元直接批发商的利润为：W1＝200（a﹣3.9）＝200a﹣780拉到市场的利润为：W＝200（b﹣3.9）﹣×15＝200b﹣930（3）由题意，当b＝a+k（0＜k＜2）时，W＝200（a+k）﹣930＝200a+200k﹣930则W﹣W1＝200a+200k﹣930﹣（200a﹣780）＝200k﹣150∴①当0.75＜k＜2时，W＞W1，选择拉到市场出售比直接给批发商好；②当k＝0.75时，W＝W1，两种出售方式都可以；③当0＜k＜0.75时，W＜W1，选择直接给批发商比拉到市场出售好；25．【解答】解：（1）L＝6m+6n，故答案为：6m+6n；（2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10，∴m2+n2＝29，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴（m+n）2＝29+20＝49，∵m+n＞0，∴m+n＝7，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．26．【解答】解：（1）甲每份材料收1元印刷费，另收150元的制版费；故答案为160，170，150+x；乙每份材料收2.5元印刷费，故答案为25，50，2.5x；（2）对甲来说，印刷大于800份时花费大于150+800，即花费大于950元；对乙来说，印刷大于800份时花费大于2.5×800，即花费大于2000元；故去甲更省钱；27．【解答】解：（1）小海宝所用包书纸的面积是：（18.5×2+1+2x）（26+2x）＝（38+2x）（26+2x）＝4x2+128x+988（cm2）；（2）当x＝2cm时，S＝4×22+128×2+988＝1260（cm2）．答：需要的包装纸至少是1260平方厘米．28．【解答】解：（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、b分钟，1.8×9.5+0.45a＝1.8×14.5+0.45b+0.4×（14.5﹣10）整理，得0.45a﹣0.45b＝10.8，∴a﹣b＝24因此，这两辆滴滴快车的行车时间相差24分钟．29．【解答】解：（1）由题意可得，在甲商店购买的费用为：（300a+40b）×0.9＝（270a+36b）（元），在乙商店购买的费用为：300a+40（b﹣a）＝（260a+40b）（元）；（2）当a＝10，b＝20时，在甲商店购买的费用为：270×10+36×20＝3420（元），在乙商店购买的费用为：260×10+40×20＝3400（元），∵3420＞3400，∴当a＝10，b＝20时，到乙商店购买球拍和羽毛球便宜．30．【解答】解：依题意（1）A店购买可列式：40×150+（x﹣40）×30＝4800+30x在网店B购买可列式：（40×150+30x）×0.9＝5400+27x故答案为：4800+30x；5400+27x（2）当x＝100时在A网店购买需付款：4800+30x＝4800+30×100＝7800元在B网店购买需付款：5400+27x＝5400+27×100＝8100元∵7800＜8100∴当x＝100时，应选择在A网店购买合算．（3）由（2）可知，当x＝100时，在A网店付款7800元，在B网店付款8100元，在A网店购买40个足球配送40个跳绳，再在B网店购买60个跳绳合计需付款：150×40+30×60×90%＝7620∵7620＜7800＜8100∴省钱的购买方案是：在A网店购买40个足球配送40个跳绳，再在B网店购买60个跳绳，付款7620元．。
(完整word版)初中数学八年级上数学竞赛试题含,文档
八年级〔上〕数学竞赛试题一、填空题 : 〔 40 分〕1、在Rt ABC 中，a、b为直角边，c为斜边，假设a b14， c 10 ，那么ABC 的面积是；2、计算：1；31；23 2 ＝；127 3 ＝333、某位老师在讲实数时，画了一个图〔如图1〕，即以数轴的单位长线段为边作一个正方形，尔后以0 点为圆心，正方形的对角线长为半径画图，交x 轴于一点A，作这样的图是用来说明；A F··· · ·DC－ 10 1 A2E〔 1〕(2)(3)B4、在电子游戏中有一种方格拼图游戏，假设在游戏过程中，已拼好的图案如图2，又出现了一个方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必定按后才能拼一个完满图案，从而使图案自动消失〔游戏机有此功能〕。
5、如图3，A B C D E F；6、图 4 是一住处小区的长方形花坛图样，阴影局部是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地的面积之比为；(4)(5)(6)7、如图5，一块白色的正方形木板，边长是18 cm ，上面横竖各有两根木条〔阴影局部〕，宽都是 2 cm ，那么白色局部面积是cm2；8、如图 6，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板上的两条对角线上的瓷砖所有是黑色，其余的瓷砖是白色的，若是有101 块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是；二、选择题 : 〔 30 分〕9、CD是Rt ABC斜边AB上的高，假设AB2，AC:BC 3 : 1CD为〔〕，那么A、1B、2C、3D、4555510、如图，长方形ABCD 中， AB3， BC4，假设将该矩形折叠，使C 点与 A 点重合，那么折痕EF 的长为〔〕A、 3.74B、C、D、A ED C(A)A DB B S1SM ·B C B S2CF A D C11、若是a11 a ，那么 a 的取值范围是〔〕A、a 1B、 0 a1 C 、a 0D、 0 a 112、假设 2 x x 2 有意义，那么 x 的取值为〔〕A、x 2B、 x 2 C 、x 2D、 x 213、如上中图所示，一块边长为10 cm 的正方形木板 ABCD ，在水平桌面上绕点 D 按顺时针方向转到A B C D 的地址时，极点 B 从开始到结束所经过的路径为〔〕A、20 cmB、 20 2 cm C 、10cm D、 5 2cm14、如上右图所示，设M是ABCD 边上任意一点，设CMB 的面积为S2， CDM 的面积为 S ， AMD的面积为 S1，那么有〔〕A、S S1S2B、S S1S2 C 、S S1S2D、不能够确定三、画图题 : 〔 12 分〕15、如图，历史上最有名的军师诸葛亮，率精骑兵与司马懿对阵，诸葛亮一挥羽扇，军阵瞬时由左图变为右图，其实只搬动了其中的 3 骑而己，请问如何搬动？〔在图形上画出来即可〕16、有一等腰梯形纸片，其上底和腰长都是 a ，下底的长是2a ，你能将它剪成形状、大小完满同样的四块吗？假设能，请画出图形。
2019-2020年初三第一次模拟考试数学试卷(word版,含答案)
保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板：①
正三角形； ② 正
四边形；③ 正五边形；④ 正六边形，可以选择的是
（
）
A. ②③④
B.
①②③
C. ①②④ D. ①③④
10. 如图， 四边形 ABCD为⊙ O的内接四边形， E 是 BC延长线上的一点， 已知 BOD 100 ，
则 DCE 的度数为（
六、解答题（ 10× 2=20 分）
25．设 x i (i 1, 2 ,3 , , n ) 为任意代数式， 我们规定： y max x1 , x2 , , xn 表示 x1 ，x2 ，
, xn 中的最大值，如 y max 1,2 2
（1）求 y max x , 3 ；
（2）借助函数图像，解决以下问题：
向红色区域的概率是
.
17．在平行四边形 ABCD中，E 为 BC延长线上一点， AE交 CD于点 F，若 AB=7，CF=3，则 AD CE
的值为
．
红
白
白
红
红
蓝
第 16 题
第 17 题
18. 当 2 x 2 时，下列函数中，函数值 y 随自变量 x 增大而增大的是
（只
填写序号）① y 2x ；② y 2 x ；③ y
A ．（— 4，— 3） B ．（ 4， 3 ） C ．（— 4， 3 ） D ．（ 4，— 3）
3．若 x1， x2 是一元二次方程 x 2 4 x 1 0 的两个根，则 x1 +x2 的值是（
）
A． 1
B． 1
C． 4
D ．4
4．下列图象中，表示直线 y x 1的是
（
）
5. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的
2019年吉林省中考数学试题(Word版,含答案)
吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。
全卷满分120分，考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－12．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）（第2题）A．B．C．D．3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a+B．1a-C．1a⨯D．1a÷4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°（第4题）OPCBA（第5题）曲桥(第6题)BA5．如图，在⊙O中，AB所对的圆周角∠ACB=50°，若P为AB上一点，∠AOP=55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。
如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．垂线段最短D ．两点确定一条直线二、填空题（每小题3分，共24分） 7．分解因式：21a -=________．8．不等式321x ->的解集是________．9．计算：22y xx y⋅=________．10．若关于x 的一元二次方程()23x c +=有实数根，则c 的值可以为________（写出一个即可）． 11．如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥B C ．若∠BAC =70°，∠CED =50°，则∠B =________°．(第11题)EDCAB(第12题)ADEB (第14题)12．如图，在四边形ABCD 中，AB =10，BD ⊥A D ．若将△BCD 沿BD 折叠,点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为________．13．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为________m ．14．如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的□ODCE 的顶点G 在AB 上，若OD =8,OE =6,则阴影部分图形的面积是________（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：()()212a a a -++，其中a ．16．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．（第16题）乙口袋甲口袋17.已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =． ⑴求y 关于x 的函数解析式； ⑵当4x =时，求y 的值．18．如图，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE 、DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．FE CDBA （第18题）四、解答题（每小题7分，共28分） 19.图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A 、B 、C 、D 均为格点，按下列要求画图： ⑴在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E ，F 为格点； ⑵在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且G ,H 为格点，∠CGD =∠CHD =90°20.问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？（第20题）反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是________（填写序号）．⑴bc +d =a ；⑵ac +d =b ；⑶ac -d =b ．21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）（参考数据：sin 43°=0.68，cos 43°=0.73，tan 43°=0.93）（第21题）EB A CD 17022.某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．⑴该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查； 方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查． 其中最具有代表性的一个方案是________；⑵该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为________人； ②统计图中人数最多的选项为________；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数． 五、解答题（每小题8分，共16分）23.甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地，甲、乙两车距B 地的路程y （km ）与各自行驶的时间x （h ）之间的关系如图所示． ⑴m =________，n =________；⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程24.性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________．图②H GF 图①ECB（第24题）A理解运用⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843________；⑵如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH．①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，E为边BC上一点，BE=AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD—DC 向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm²）．⑴AE=________cm,∠EAD=________°；⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当PQ=54cm时，直接写出x的值．Q （第25题）PAD EBC （备用图）C BE DA26.如图，抛物线()21y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，－3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0． ⑴求此抛物线的解析式；⑵当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；⑶设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围； ②当h =9时，直接写出△BCP 的面积．参考答案1、D2、D3、B4、C5、B6、A7、1)(1)a a +-（ 8、x ＞1 9、12x10、5（答案不唯一，只有c ≥0即可） 11、60 12、20 13、54 14、25π－4815、解：原式＝22221221a a a a a -+++=+， 当2a =时，原式＝516、解：画树状图如下：共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能， 所以，所求的概率为：P ＝1417、解：（1）y 是x 的反例函数， 所以，设(0)ky k x=≠， 当2x =时，6y =． 所以，12k xy ==， 所以，12y x=（2）当x ＝4时，y ＝3 18、证明：AE ＝FC ，在平行四边形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠C 在△ABE 和△CDF 中，AE CF A C AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，△ABE ≌△CDF （SAS ） 19、（1）（2）如下图所示。
河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
20XX 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：20XX 年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】（A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ．解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1.∴201520132014c b a ++=201520131020141+⨯+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，则代数式144+-z x 的值是【 】（A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ．解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】（A ）a （B ）b （C ）c （D ）d图2图1d cb aNM【答】C ．解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图NM B A B A 图2图1dc b aNM （第3题图）2，首先确定B 点，所以线段d 与AM 重合，MN 与线段c 重合.4. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，ac b 42-，c b a ++，c b a +-，b a +2中，其值为正的式子的个数为【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）4个以上【答】C ．解：由图象可得：0>a ，0<b ，0>c ，∴0<ab ，0>ac ，0<bc . 抛物线与x 轴有两个交点，∴042>-ac b .当x =1时，0<y ，即0<++c b a .当x =1-时，0>y ，即0>+-c b a .从图象可得，抛物线对称轴在直线x =1的左边，即12<-ab，∴02>+b a .因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 5. 如图，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB =90°，AO =2BO ，当A 点在反比例函数xy 1= （x >0）的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为【 】（A ）xy 81-= （x <0） （B ）x y 41-=（x <0）（C ）x y 21-= （x <0） （D ）xy 1-=（x <0）【答】B ． 解：如图，分别过点,A B 分别做y 轴的垂线,AN BM ，那么ANO ∆∽OMB ∆，则.4)(2==∆∆OBOA S S OMB ANO .81,2121=∴=⨯=∆∆OMB ANO S AN ON S41=⨯∴BM OM ，故xy 41-=.6．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）6【答】B ．解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点, 即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知223<<-x ，化简2)9(32--+x x 得 . 【答】6-3x ． 解：∵223<<-x ，∴032>+x ，09<-x ， 原式=63932-=-++x x x .8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . S【答】256． 解：设口袋中蓝色玻璃球有x 个，依题意，得5296=++x x ，即x =10，所以P （摸出一个红色玻璃球）=25610966=++. 9. 若214x x x ++=，则2211x x++== . 【答】8．解：∵412=++x x x ，∴31=+xx . 则9)1(2=+x x ，即7122=+xx .∴.81122=++x x10．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，则AB 扫过的面积为 .【答】π．解：∵Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，∴AO =CO =32，BO =DO =4，∴阴影部分面积=AOB COD OBD OAC S S S S +--△△扇形扇形=OBD OAC S S -扇形扇形=360)32(9036049022⨯⨯-⨯⨯ππ=π.11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，CA 1= .【答】122±． 解：过A 1作A 1M ⊥BC ，垂足为M ，设CM =A 1M =x ，则BM =4－x ，在Rt △A 1BM 中，（第10题图）A 1E D CBA （第11题图）222121)4(9x BM B A M A --=-=，∴2)4(9x --=2x ，∴x =A 1M =222±， ∴在等腰Rt △A 1CM 中，C A 1=122±.12．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m 是关于x 的方程（x －a ）（x －b ）（x －c ）（x －d ）=2014中大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，则m 的值为 .【答】20．解：∵（m －a ）（m －b ）（m －c ）（m －d ）=2014，且a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，由于m 是大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，∴（m －a ）、（m －b ）、（m －c ）、（m －d ）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m －a ）+（m －b ）+（m －c ）+（m －d ）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本y 本，钢笔z 支，则有3461075=++z y x ，z y 2=.易知0＜x ≤69，0＜y ≤49，0＜z ≤34, ……………………………………4分∴34610145=++z z x ，346245=+z x ，即524346zx -=.∵x ，y ，z 均为正整数，z 24346-≥0，即0＜z ≤14∴z 只能取14，9和4. …………………………………………………8分①当z 为14时， 524346zx -==2，z y 2==28. 44=++z y x .②当z 为9时， 524346zx -==26，z y 2==18. 53=++z y x .③当z 为4时， 524346zx -==50，z y 2==8. 62=++z y x .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD 中，AD =8，直线DE 交直线AB 于点E ，交直线BC 于F ，AE =6.（1）若点P 是边AD 上的一个动点（不与点A 、D 重合），,H DE PH 于⊥设DP 为x ,四边形AEHP 的面积为y ,试求y 与x 的函数解析式； （2）若AE =2EB .①求圆心在直线BC 上，且与直线DE 、AB 都相切的⊙O 的半径长； ②圆心在直线BC 上，且与直线DE 及矩形ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt AED ∆中，.10,8,6=∴==ED AD AE290,,.43.,.108655624.25AED PHD PHD EAD PDH EDA PHD EAD x DH PH DH x PH x y S S x ∆∆∠=∠=︒∠=∠∴∆≅∆∴==∴==∴=-=- …………………………………………………………5分（2）①//,AD BC EBF ∴∆∽EAD ∆.3.1068EF BF∴== 5, 4.EF BF ∴==………………………7分若⊙1O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心1O 在AB 的左侧，过点1O 作DF G O ⊥11于1G ，则可设.1111r B O G O ==1111111,5334222EO F EBO EBF S S S r r ∆∆∆+=∴⋅+⋅=⋅⋅. 解得.231=r …………………10分若⊙2O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心2O 在AB 的右侧，过点2O 作DF G O ⊥22于2G ，则可设.2222r B O G O ==.5102136)4(21.2121222222r r G O DF DC FO S D FO ）（）（+=++∴⋅⋅=⋅⋅=∆解得.62=r即满足条件的圆的半径为23或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC 的底边OC 在x 轴上，AB ∥OC ，O 为坐标原点，OA = AB =BC ，∠AOC =60°，连接OB ，点P 为线段OB 上一个动点，点E 为边OC 中点.（1）连接P A 、PE ，求证：P A =PE ；（2）连接PC ，若PC +PE =32，试求AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB 取最大值时，如图2，点M 坐标为（0，－1），点D 为线段OC 上一个动点，当D 点从O 点向C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为N ，设D 点横坐标为m ，当△MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.....22.90.30,60.,//.,PE PA AE OB OAE OA BC OC OC E OBC BOC AOB AOC BOC ABO OC AB ABO AOB AB OA =∴∴∴==∴︒=∠∴︒=∠=∠∴︒=∠∠=∠∴∠=∠∴=垂直平分线段为等边三角形的中点，为…………………………………………………………5分(2)∵PC +PE =32，∴PC +P A =32.显然有OB=AC ≤PC +P A =32.……………7分在Rt △BOC 中,设AB =OA =BC=x ，则OC=2x ，OB =x 3， ∴x 3≤32，∴x ≤2.即AB 的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB 取最大值时，AB =OA =BC =2，OC =4. 分三种情况讨论：①当N 点在OA 上时，如图2，若CN ⊥MN 时，此时线段OA 上N 点下方的点（不包括N 、O ）均满足△MNC 为钝角三角形. 过N 作NF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵A 点坐标为（1，3），∴ 可设N 点坐标为（a ，a 3），则DF =a －m ，NF =a 3，FC =4－a . ∵△OMD ∽△FND ∽△FCN ，.FC NF NF DF OM OD ==∴ ∴a a am a m -=-=4331. 解得，13434+-=m ，即当0<m <13434+-时，△MNC 为钝角三角形；…14分②当N 点在AB 上时，不能满足△MNC 为钝角三角形；………………15分③当N 点在BC 上时，如图3，若CN ⊥MN 时，此时BC 上N 点下方的点（不包括N 、C ）均满足△MNC 为钝角三角形..3,1.30.//,,==∴=︒=∠=∠∴∴⊥⊥m OD OM BOC ODM OB MN MN CN BC OB∴当3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. 综上所述，当0<m <13434+-或3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. …18分。
TI杯全国初中数学竞赛试题B卷
20XX 年TI 杯全国初中数学竞赛试题B 卷一、选择题（30分）1、化简)2(2)2(2234++-n n n ，得（ ） （A ）8121-+n (B) 12+-n (C)87 (D)47 2、如果c b a ,,是三个任意整数，那么2,2,2a c c b b a +++ （ ） （A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数（C ）至少有一个整数 （D ）都是整数3、如果b a ,是质数，且,013,01322=+-=+-m b b m a a 那么ba ab +的值为 （ ）（A ）22123 （B ）222125或 （C ）22125 （D ）222123或4、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、 下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）125、如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB交于点D,且PB=4，PD=3，则AD ∙DC 等于（（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）166、若b a ,是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是（ ）（A ）b a > （B ）b a = （C ）b a < （D ）不能确定二、填空题（30分）7、已知：2323,2323-+=+-=y x 。
那么=+22y x x y 8、若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则y x +的值为9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于10、销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m 。
为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为 11、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x12、已知实数b a ,满足2222,1b a ab t b ab a --==++且，那么t 的取值范围是三、解答题（60分）13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。
(word完整版)九年级数学总复习试卷及参考答案
九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．38．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．129．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=．12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=度．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．14．若tanα=5，则=．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为m．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为米．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos25422．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵cosA=，∴设AC=7x，AB=25x，则BC=24x，则tanB=．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义可得cosB=，然后根据题目所给3a=4b 可求解．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 对边，如果3a=4b，令b=3x，则a=4x，所以c=5x，所以cosB=故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cosB=，3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cos B B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA=，tanB=，cosB=，stnB=；因而b=c•sinB=a•tanB，a=b•tanA，错误的是b=c•cosB．故选：A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】坡度=坡角的正切值，依此求出坡角的度数．【解答】解：设坡角为α，由题意知：tanα==，∴∠α=30°．即斜坡的坡角为30°．故选：B．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵∠A为锐角，cosA=，∴∠A=60°．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，∴在Rt△ABC中，sinA===，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sinA===，∴tanA==，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．12【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵tanA=，∴sinA=，∴=，∴AB=10，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，∴BC=AB•cos∠B=5cos25°．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，牢记直角三角形中边角之间的关系是解题的关键．10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x，结合BC=10（1+）即可求出x的值，进而即可得出A和C之间的距离．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x．∵BC=BD+CD=（+1）x=10（1+），∴x=10，∴AC=10．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解一元一次方程求出AD的长度是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=45°．【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．【解答】解：∵sinα=cos（90°﹣α），∴α=90°﹣α，解得，α=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=65度．【分析】依据α是锐角，且cotα=tan25°，即可得出α=65°．【解答】解：∵α是锐角，且cotα=tan25°，∴α=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i=1：=，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得．【解答】解：∵斜坡的坡度i=1：=，∴坡角α=60°，∴斜坡的正弦值sinα=，∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）．故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．14．若tanα=5，则=．【分析】根据同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：原式=∵tanα=5，∴原式=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为2m．【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，可求出坡面的铅直高度，此题得解．【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC=6m，∴BC=×6=2m．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，牢记坡度的定义是解题的关键．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为150米．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：∵坡度tanα==1：=，∴α=30°．∴上升的垂直高度=坡长×sin30°=300×=150（米）．故答案为150．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．掌握坡度、坡角的定义是解答本题的关键．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D．由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．设AD=x海里．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x海里．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=AD=x海里．∵BD+DC=30，∴x+x=30，解得x=15（﹣1），17（﹣1）≈10.5＞8，即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=100，构造关系式求解．【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=x米，∵在Rt△CEF中，tan∠CFE=，∴EF===x，∵在Rt△CEG中，tan∠CGE=，∴GE===x．∵FG=EF﹣GE=100，∴x﹣x=100，解得x=50．∴CD=CE+ED=50+1.5（米）．答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A==，∴AC=12，∴AB===6，∴sin∠B===．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【解答】解：原式=﹣（﹣）=﹣==【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）原式=（）2﹣×+1=﹣+1=，（2）原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）=1+1=2【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）【分析】（1）作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=15°，∠BCH=22°，然后计算它们的和即可得到∠BCD的度数；（2）利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan15°=8.04，在Rt△BCH 中计算出BH=30tan22°=12.12，然后计算BH+DH即可得到教工宿舍楼的高BD．【解答】解：（1）作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；（2）易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=，∴DH=30tan15°=30×0.268=8.04，在Rt△BCH中，tan∠BCH=，∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1（m）．答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．计算：sin45°+cos45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=+=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4，在Rt△ABC中求得AB=4，再根据三角函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD=3、BD=5，∴BC===4，又AC=AD+CD=8，∴AB===4，则sinA===，cosA===，tanA===．【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；（2）设AC=x，则BC=x，利用方程解答；（3）由锐角三角函数定义求得AB=4，然后由勾股定理解答．【解答】解：（1）sinA=；（2）在Rt△ABC中，∠A=45°，设AC=x，则BC=x，AB=，则sinB=；（3）sinB=，则AB=4，由勾股定理得：BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．【点评】考查了锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）【分析】（1）作CH⊥AB于H，如图，利用坡度的定义得到tan∠CAH===，然后根据特殊角的三角函数值求出∠CAH即；（2）另一条坡度定义得到tan∠CBH==，所以BH=CH=6，再利用=得到AH=6，接着计算出AB≈4.392，然后根据3+4.392＞7可判断文化墙需要拆除．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH===，∴∠CAH=30°，即新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH==，∴BH=CH=6，∵=，∴AH=CH=6≈10.392，∴AB=AH﹣BH=6﹣6=4.392，∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【解答】解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°==∴BC=AB×=4×=∵∠B=90﹣∠A∴∠B=15°∵sin∠B=sin15°==∴AC=AB×=【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．。
初一奥林匹克数学竞赛训练试题集(01)word版含答案
初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）设a 、b 为正整数（a ＞b ），p 是a 、b 的最大公约数，q 是a 、b 的最小公倍数，则p ，q ，a ，b 的大小关系是（ ）A ． p ≥q≥a＞bB ． q ≥a＞b≥pC ． q ≥p≥a＞bD ． p ≥a＞b≥q2．（4分）下列四个等式：=0，ab=0，a 2=0，a 2+b 2=0中，可以断定a 必等于0的式子共有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个3．（4分）a 为有理数，下列说法中，正确的是（ ）A ． （a+）2是正数B ． a 2+是正数C ． ﹣（a ﹣）2是负数D ． ﹣a 2+的值不小于4．（4分）a ，b ，c 均为有理数．在下列：甲：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2．乙：若ac 2＞bc 2，则a ＞b ．两个结论中（ ）A ． 甲、乙都真B ． 甲真，乙不真C ． 甲不真，乙真D ． 甲、乙都不真5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a 3+b 3的值是（ ）A ． 24B ． 36C ． 27D ． 306．（4分）a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c 的关系是（ ）A ． 互为相反数B ． 互为倒数C ． 相等D ． 无法确定7．（4分）两个10次多项式的和是（ ）A ． 20次多项式B ． 10次多项式C ． 100次多项式D ． 不高于10次的多项式8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（ ）A ． 奇数B ． 偶数C ． 负整数D ． 非负整数二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是 _________ 岁．10．（5分）1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________ ．11．（5分）已知方程组，哥哥正确地解得，弟弟粗心地把c看错，解得，则abc= _________ ．12．（5分）若，则= _________ ．13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则的值是_________ ．14．（5分）满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于_________ ．15．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于_________ ．16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，的形式，则a1992+b1993= _________ ．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）设a 、b 为正整数（a ＞b ），p 是a 、b 的最大公约数，q 是a 、b 的最小公倍数，则p ，q ，a ，b 的大小关系是（ ）A ． p ≥q≥a＞bB ． q ≥a＞b≥pC ． q ≥p≥a＞bD ． p ≥a＞b≥q考点： 约数与倍数．专题： 分类讨论．分析： 根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可．解答： 解：∵（a ，b ）=p 且[a ，b]=q ，∴p|a 且p|b ，即a|q 且b|q ．∴q≥a＞b≥p．故选B ．点评： 本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．2．（4分）下列四个等式：=0，ab=0，a 2=0，a 2+b 2=0中，可以断定a 必等于0的式子共有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个考点：非负数的性质：偶次方；有理数的加法；有理数的乘法；有理数的除法． 专题：计算题． 分析：按照两数相除商是0，则除数一定是0；两数的积是0，那么其中的一个数必为0；两数的平方和是0，那么两数必都等于0；一个数的偶次方是0，那么这个数一定为0．由此可判断出本题的答案． 解答： 解：∵=0，b≠0，∴a 必为0，符合题意，故正确；又∵ab=0，b=0时成立，a 未必为0，不符合题意，故错误；又∵a 2=0，a 必定=0，符合题意，故正确；又∵a 2+b 2=0，则ab 必都等于0，故正确；∴必等于0的式子共有3个，故B 、C 、D 选项错误，故选A ．点评：本题主要考查有理数加法、乘法、除法中的特殊结果0的出现原因．3．（4分）a 为有理数，下列说法中，正确的是（ ）A ． （a+）2是正数B ． a 2+是正数C ． ﹣（a ﹣）2是负数D ． ﹣a 2+的值不小于考点：有理数的乘方．分析：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．02=0．解答：解：A、（a+）2可为0，错误；B、a2+是正数，正确；C、﹣（a﹣）2可为0，错误；D、﹣a2+的值应不大于，错误．故选B．点评：此题要注意全面考虑a的取值，特别是底数为0的情况不能忽视．4．（4分）a，b，c均为有理数．在下列：甲：若a＞b，则ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中（）A．甲、乙都真B．甲真，乙不真C．甲不真，乙真D．甲、乙都不真考点：不等式的性质．专题：常规题型．分析：若c=0，甲不正确．对于乙，隐含着条件c≠0，则c2＞0，进而推出a＞b，乙正确．解答：解：当c=0时，ac2=bc2，故甲不对；∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，故乙正确．故选C．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a3+b3的值是（）A．24 B．36 C．27 D．30考点：立方公式．专题：计算题．分析：将a3+b3展开，然后代入题干中a+b及ab的值即可得出答案．解答：解：∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（a+b）2﹣3ab]∵（a+b）=3，ab=﹣1，∴原式=3×12=36．故选B．点评：本题考查立方公式的知识，比较简单，关键是掌握立方公式的展开形式．6．（4分）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定考点：代数式．分析：由于a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则a+2b+3c=a+b+2c，则b与c的关系即可求出．解答：解：由题意得，a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则a+2b+3c=a+b+2c，即b+c=0，b与c互为相反数．故选A．点评：本题考查了代数式的换算，比较简单，容易掌握．7．（4分）两个10次多项式的和是（）A．20次多项式B．10次多项式C．100次多项式D．不高于10次的多项式考点：整式的加减．分析：多项式次数的定义：多项式中各单项式次数最高的次数，就是多项式的次数，合并同类项的法则：字母和字母的次数不变，系数相加作为结果的系数；根据这两方面解答本题．解答：解：根据多项式次数的定义，多项式中各单项式次数最高的项的次数就是多项式的次数，而同类项相加减时，系数相加减，字母和字母的次数不变，故多项式相加减时，次数不会高于10次．故选D．点评：本题考查了多项式次数的定义，合并同类项的法则，需要熟练掌握．8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（）A．奇数B．偶数C．负整数D．非负整数考点：奇数与偶数．专题：计算题．分析：根据在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变的性质即可得出答案．解答：解：由于在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变，这个性质对n个整数也是正确的，因此，1，2，3，1991，1992的每一个数前面任意添加“+”或“﹣”号，其代数和的奇偶性与﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，故选B．点评：本题考查了整数的奇偶性，难度一般，关键是掌握在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是24 岁．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；年龄问题．分析：要求哥哥现在的年龄，就要先设出未知数，利用9年前两个人之间的年龄关系作为相等关系“九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的”和“现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的”列方程求解即可．解答：解：设哥哥现在年龄为X，弟弟现在年龄为X，那么哥哥九年前的年龄为X﹣9，弟弟九年前的年龄为X﹣9．由题意得：X﹣9=（X﹣9）解得：X=24，所以哥哥现在的年龄是24岁．故填：24．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．10．（5分）1.23452+0.76552+2.469×0.7655= 4 ．考点：完全平方公式．分析：本题可根据完全平方公式，设出a，b进行计算即可．解答：解：令x=1.2345，y=0.7655，则2xy=2.469×0.7655，1.23452+0.76552+2.469×0.7655，=（x+y）2，=（1.2345+0.7655）2，=22，=4．故答案为：4点评：本题考查完全平方公式的应用，找出相应关系即可．11．（5分）已知方程组，哥哥正确地解得，弟弟粗心地把c看错，解得，则abc= ﹣40 ．考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：先把正确的解代入求出c的值，然后再把解代入ax+by=2即可得出答案．解答：解：把得代入方程组⇒，解得：c=﹣2，再把解代入ax+by=2，∴，解得：，∴abc=4×5×（﹣2）=﹣40．故答案为：﹣40．点评：本题考查了二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握．12．（5分）若，则= ．考点：分式的化简求值．专题：计算题；整体思想．分析：先将化简为含有的形式，然后代入进行求值．解答：解：===，把代入得：a×=．故答案为：．点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是把所求分式化简成含有的形式，然后根据条件求解．13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则的值是﹣2 ．考点：解二元一次方程组；有理数的除法；代数式求值；因式分解-十字相乘法等．专题：计算题；方程思想；待定系数法．分析：由于x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b 能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x﹣1），则x=﹣2和x=1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．解答：解：∵x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，设商是A．则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x﹣1），则x=﹣2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x=﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=32+24+4a﹣14+b=4a+b+42=0 ①当x=1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=2﹣3+a+7+b=a+b+6=0 ②①﹣②，得3a+36=0，∴a=﹣12，∴b=﹣6﹣a=6．∴==﹣2．故答案为﹣2．点评：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=﹣2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．14．（5分）满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于﹣30 ．考点：一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：首先解不等式，即可求得绝对值不超过11的整数，进而求解．解答：解：∵，即6+3x≥4x﹣2解得：x≤8其中绝对值不超过11有整数之和是﹣9+（﹣10）+（﹣11）=﹣30．故答案是：﹣30．点评：本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于5312 ．15．考点：有理数的混合运算．专题：应用题．分析：三个连续偶数的和等于1992，则中间的一个偶数为1992÷3=664，求得其余两个偶数分别为662与666，从而算出最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差．解答：解：∵三个连续偶数的和等于1992，∴中间的一个偶数为1992÷3=664，其余两个偶数分别为662与666，∴6662﹣6622=（666+662）（666﹣662）=1328×4=5312．点评：本题考查了有理数的混合运算，解决此题的关键是求得三个偶数．16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，的形式，则a1992+b1993=2 ．考点：有理数无理数的概念与运算．专题：计算题．分析：根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．解答：解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，与b中有一个为1，但若a=0，会使没意义，所以a≠0，只能是a+b=0，即a=﹣b，又a≠0，则=﹣1，由于0，，b为两两不相等的有理数，在=﹣1的情况下，只能是b=1．于是a=﹣1．所以，a1992+b1993=（﹣1）1992+（1）1993=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．考点：数的整除性．分析：首先假设出这个九位数奇位数字之和为x，偶位数字之和为y，由被11整除的判别法知x+y与x﹣y 的取值，从进一步分析得出，x与y的值．解答：解：我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判别法知x﹣y=0，11，22，33或44．但x+y与x﹣y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x﹣y也只能取奇数值11或33．于是有①解得：②解得：但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以②的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17，987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行．为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求．点评：此题主要考查了数的整除性与两数和差奇偶性的性质，确定住x﹣y与x+y的取值是解决问题的关键．18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：观察6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m式子，只有常数项未确定，又该式可变为因为（3x﹣4y）（2x+y）﹣11x+22y+m．因此可假定多项式可分解为（3x﹣4y+a）（2x+y+b），展开（3x﹣4y+a）（2x+y+b），比较各次项系数，及常数项．并与6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m对应相等，可解得a、b的值，再代入m关于ab的表达式，可得m的值．至此问题得解．解答：解：∵6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m=（3x﹣4y）（2x+y）﹣11x+22y+m∴设多项式可分解为（3x﹣4y+a）（2x+y+b）（3分）则展开得：6x2﹣5xy﹣4y2+（2a+3b）x+（a﹣4b）y+ab∴有（6分）解得：a=2，b=﹣5∴m=ab=﹣10（8分）原式可分解为：（3x﹣4y+2）（2x+y﹣5）（10分）点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是首先确定这两个一次因式的系数，并假设常数项，展开与6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m对应相等．19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．考点：质数与合数．专题：证明题．分析：根据a与a2的奇偶性相同即可作出判断．解答：证明：∵a2+b2与a+b同奇偶，c2+d2与c+d同奇偶，又a2+b2=c2+d2，∴a2+b2与c2+d2同奇偶，因此a+b和c+d同奇偶．∴a+b+c+d是偶数，且a+b+c+d≥4，∴a+b+c+d一定是合数．点评：本题主要考查了整数的奇偶性，a与a2的奇偶性相同，注意：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d≥4在本题中是不能缺少的．。
2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第20课时锐角三角函数与解直角三角形精讲试题word版本
第20课时锐角三角函数与解直角三角形题号,30三角形一般与圆综合考查毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：⎝⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋3 tan 30°－(π－3)0＋||1－3.解：原式＝(－3)－23＋3×33－1＋(3－1)＝－3－23＋3－1＋3－1＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8,sin D＝45,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB ∥CD,AD ∥BC,AD ＝BC. ∴∠D ＋∠C ＝180°,∠ABF ＝∠BEC. ∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°,∠AFE ＝∠D, ∴∠C ＝∠AFB. ∴△ABF ∽△BEC ； (2)解：∵AE ⊥DC,AB ∥DC, ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中,AE ＝AD·sin D ＝5×45＝4.在Rt △ABE 中,根据勾股定理,得 BE ＝AE2＋AB2＝42＋82＝4 5. ∵△ABF ∽△BEC, ∴AF BC ＝AB BE , 即AF 5＝845,∴AF ＝2 5.毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值\ 锐角α α解直角三角形1.(2018·柳州中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝4,AC ＝3,则sin B ＝ACAB ＝( A )A .35B .45C .37D .34(第1题图)(第3题图)2.若∠A＋∠B ＝90°,则下列各式成立的是( D )A .sin A ＝cos AB .tan A ＋tan B ＝1C .sin A ＝sin BD .sin A ＝cos B3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB ＝8 m ,某一时刻,旗杆影子长BC ＝16 m ,则tan C ＝__12__.4.(2018·滨州中考)在△ABC 中,∠C ＝90°,若tan A ＝12,则sin B ＝55.(2018·贵阳中考)如图①,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法：∵sin A ＝a c ,sin B ＝bc,∴c ＝a sin A ,c ＝bsin B ,∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC 中,探究a sin A ,b sin B ,c sin C之间的关系,并写出探究过程.解：a sin A ＝b sin B ＝c sin C .证明如下：过A 作AD ⊥BC 于点D,过B 作BE ⊥AC 于点E.在Rt △ABD 中,sin B ＝ADc ,即AD ＝c si n B.在Rt △ADC 中,sin C ＝ADb ,即AD ＝b sin C.∴c sin B ＝b sin C,即b sin B ＝csin C .同理可得a sin A ＝csin C ,则a sin A ＝b sin B ＝csin C.6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC 与地面保持垂直,吊臂AB 与水平线的夹角为64°,吊臂底部A 距地面1.5 m .(计算结果精确到0.1 m ,参考数据sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A 与货物的水平距离AC 为5 m 时,吊臂AB 的长为______m ； (2)如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在Rt △ABC 中,∠BAC ＝64°,AC ＝5, ∴AB ＝ACcos 64°≈5÷0.44≈11.4.∴吊臂AB 的长为11.4 m .故应填：11.4； (2)过点D 作DH ⊥地面于点H,交水平线于点E.在Rt △ADE 中,AD ＝20,∠DAE ＝64°,EH ＝1.5,∴DE ＝sin 64°×AD ≈20×0.90＝18.0,即DH ＝DE ＋EH ≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m .中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1 (2018·广安中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|－12＋6 cos 30°＋(π－3.14)0.【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.【答案】解：原式＝9＋2－3－23＋6×32＋1＝12.解直角三角形例2 (2018·潍坊中考)如图,点M 是正方形ABCD 边CD 上一点,连接AM,作DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F,连接BE.(1)求证：AE ＝BF ；(2)已知AF ＝2,四边形ABED 的面积为24,求∠EBF 的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA ＝AD,∠BAD ＝90°.由DE ⊥AM,BF ⊥AM,可得∠ABF ＝∠DAE.对于△ABF 和△DAE,可由AAS 得到△ABF ≌△DAE,结论可证；(2)设AE ＝x,由(1)中结论可得BF ＝x,DE ＝AF ＝2.利用S 四边形ABED＝S △ABE ＋S △ADE 可列方程求出x 得到EF 的长.在Rt △BFE 中利用勾股定理可求出BE 的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形, ∴BA ＝AD,∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F, ∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°,∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°,∠DAE ＋∠BAF ＝90°, ∴∠ABF ＝∠DAE. 在△ABF 和△DAE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠DEA，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(AAS ),∴BF ＝AE ； (2)解：设AE ＝x,则BF ＝x,DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24, ∴12·x·x ＋12·x·2＝24, 解得x 1＝6,x 2＝－8(舍去),∴EF ＝x －2＝4. 在Rt △BEF 中,BE ＝42＋62＝213, ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝4213＝21313.解直角三角形的应用例3 (2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40 km /h .数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A,B 两点,并在AB 路段进行区间测速.在l 外取一点P,作PC ⊥l,垂足为点C.测得PC ＝30 m ,∠APC ＝71°,∠BPC ＝35°.上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6 s ,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 71°≈0.95,cos 71°≈0.33,tan 71°≈2.90)【解析】先根据角的正切分别得出AC ＝PC tan ∠APC,BC ＝PC tan ∠BPC,再根据线段的和与差得出AB 的长,继而根据速度＝路程时间,求得该车通过AB 路段的车速.若该车通过AB 路段的车速超过40 km /h ,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解：在Rt △APC 中,AC ＝PC tan ∠APC ＝30 tan 71°≈30×2.90＝87. 在Rt △BPC 中,BC ＝PC tan ∠BPC ＝30 tan 35°≈30×0.70＝21, 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66, ∴该汽车的实际速度为666＝11(m /s ).又∵40 km /h ≈11.1 m /s ,11<11.1, ∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2 019＋2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋2 cos 30°－27.解：原式＝2－1＋2＋2×32－33＝3＋3－3 3 ＝3－2 3.2.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E,连接BD,则tan ∠DBC 的值为( A )A .13B .2－1C .2－ 3D .143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD 中,DB ＝DA,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC ＝10,tan ∠DCB ＝3,求菱形AEBD 的面积. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥CE,∴∠DAF ＝∠EBF. ∵∠AFD ＝∠BFE,AF ＝FB, ∴△AFD ≌△BFE,∴AD ＝BE.∵AD ∥EB,∴四边形AEBD 是平行四边形. 又∵DB ＝DA,∴四边形AEBD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD ＝AB ＝10,AB ∥CD, ∴∠ABE ＝∠DCB,∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形, ∴AB ⊥DE,AF ＝FB,EF ＝DF, ∴tan ∠ABE ＝EFBF ＝3.∵BF ＝102,∴EF ＝3102,∴DE ＝310. ∴S 菱形AEBD ＝12AB·D E ＝1210×310＝15.4.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB ＝20 m ,AC ＝30 m ,∠A ＝150°,草皮的售价为a 元/m 2,则购买草皮至少需要( C )A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元(第4题图)(第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m ,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( B )A .斜坡AB 的坡度是10° B .斜坡AB 的坡度是tan 10°C .AC ＝1.2 tan 10° mD.AB＝1.2cos 10°m6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m,升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75,坡长CD＝2 m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m,则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( B )A.12.6 mB.13.1 mC.14.7 mD.16.3 m。
(完整word版)初三数学基础训练题
练习题(一）1。
计算：()12121138121-⎪⎭⎫⎝⎛+-+++2。
16的平方根是3。
分式112+-x x 的值为零，则=x4。
等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是5。
若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是6.函数112++=x x y 的定义域是 ,若113)(-+=x x x f 则=)4(f 7。
相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是8。
在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i9。
把抛物线32-=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 1111。
方程38151622=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1原方程可变形关于y 的整式方程是12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是A D B13.若正多边形的中心角是036，则这个正多边形的边数是14.分式方程01112=-+-xx x 的根是 15.分解因式=+--2221a ax x16。
数据5，-3，0，4,2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是21-x ＜3x18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。
19。
已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20。
两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.上海市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是22。
在边长为2的菱形ABCD 中，045=∠B AE 为BC 边上的高,将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E,那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23。
已知222=-x x 代简求值 24。
解方程：31066=+++x x x x ()()()()()133312--+-++-x x x x x练习题（二）1。
数学中考仿真模拟试题word版含答案
中考仿真模拟测试数学试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分120分,考试时间100分钟.一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.1．与15为倒数的数为()A ．﹣15B ．15C ．5D ．﹣52．下列垃圾分类的标志中,既是轴对称又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．3．下列计算正确的是()A ．√2+√3＝√5B ．√4×2＝2√2C ．√6+2＝√3D ．3√2﹣√2＝34．2019新型冠状病毒(2019﹣nC oV),科学家借助电子显微镜发现该病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示正确的是()A ．1.25×107B ．1.25×10﹣7C ．1.25×108D ．1.25×10﹣85．下列图形中,不是正方体表面展开图的是()A ．B ．C ．D ．6．如图,在Rt △A B C 中,∠C ＝90°,A B ＝4,A C ＝3,则sin B ＝( )A ．35B ．45C ．34D ．√747．《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便我们把它改为横排,如图1,图2所示,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ,y 的系数与相应的常数项．图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为{2x +y =11,4x +3y =27．类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )A ．{3x +2y =14x +4y =23B ．{3x +y =122x +4y =43C ．{3x +2y =19x +4y =23D ．{3x +y =192x +4y =238．在同一坐标系中,若直线y ＝﹣x +B 与直线y ＝kx ﹣4的交点在第一象限,则下列关于k 、B 的判断正确的是( ) A ．k ＜0,B ＜0B ．k ＜0,B ＞0C ．k ＞0,B ＜0D ．k ＞0,B ＞09．如图,四边形A B C D 内接于⊙O ,⊙O 的半径为1,A B ＝√2,C B ＝√3,则∠A D C 的度数是( )A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°10．已知非负数A ,B ,C 满足A +B ＝2,C ﹣3A ＝4,设S＝A 2+B +C 的最大值为m,最小值为n,则m﹣n的值为()A ．9B ．8C ．1D ．103二、填空题(每小题3分,共18分)在实数范围内有意义,则x的取值范围是．11．若式子√x−112．因式分解：y3﹣4y2+4y＝．13．如图,A B ∥C D ,∠A B E＝146°,FE⊥C D 于E,则∠FEB 的度数是度．14．关于x的一元二次方程x2+4x﹣3A ＝0有实数根,则A 的取值范围是．15．在一个不透明的袋子中放有m个球,其中有6个红球,这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后,任意摸出一球记下颜色后再放回袋子,通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在0.3左右,则m的值约为．16．如图,在正方形A B C D 中,O是对角线A C 与B D 的交点,M是B C 边上的动点(点M不与B ,C 重合),C N⊥D M,C N与A B 交于点N,连接OM,ON,MN．下列五个结论：①△C NB ≌△D MC ；②△C ON≌△D OM；③△OMN∽△OA D ；④A N2+C M2＝MN2；⑤若A B ＝2,则S△OMN的最小值是1,其中正确结论有．三、解答题(本大题共9个小题,满分72分)17．(4分)计算：(-2021)0+√16-|-2|×2×2-2．18．(4分)已知：如图,Rt△A B C 中,∠C ＝90°,M是A B 的中点,A N＝1A B ,A N∥C M．2求证：MN＝A C ．19．(6分)先化简(1﹣xx−1)÷x 2−4x+4x 2−1,再从不等式x ﹣1≤2的正整数解中选一个适当的数代入求值．20．(6分)某学校对试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名学生的参与情况,绘制了如图两幅不完整的统计图,请根据图中所给信思解答下列问题：(1)在这次评价中,一共抽查了____名学生；(2)讲解题目组所在扇形的圆心角的大小是_____；(3)如果全市有12000名初中学生,那么在试卷讲评课中,“独立思考”的学生约有多少人？21．(8分)某超市经销一种销售成本为每件20元的商品,据市场调查分析,如果按每件30元销售,一周能售出500件,若销售单价每涨1元,每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x 元(x≥30),一周的销售量为y 件．(1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)在超市对该种商品投入不超过5000元的情况下,使得一周销售利润达到8000元,销售单价应定为多少？22．(10分)如图,在平行四边形A B C D 中,A D ＞A B ．(1)作∠B A D 的平分线交B C 于点E (要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,要下结论)； (2)在A D 边上截取A F ＝A B ,连接EF ,若A B ＝3,∠B ＝60°,求四边形A B EF 的面积．23．(10分)如图,直线y＝x+B 与双曲线y＝k(x＞0)的交点为A (1,A ),与x轴的交点为B (﹣1,0),点C 为双曲x(x＞0)上的一点．线y＝kx(1)求A 的值及反比例函数的表达式；(2)如图1,当OC ∥A B 时,求△A OC 的面积；(3)如图2,当∠A OC ＝45°时,求点C 的坐标．24．(12分)如图①,已知⊙O是△A B C 的外接圆,∠A B C ＝∠A C B ＝α(45°＜α＜90°,D 为AB上一点,连接C D 交A B 于点E．(1)连接B D ,若∠C D B ＝40°,求α的大小；(2)如图②,若点B 恰好是CD中点,求证：C E2＝B E•B A ；是否为定值,如(3)如图③,将C D 分别沿B C 、A C 翻折得到C M、C N,连接MN,若C D 为直径,请问A BMN 果是,请求出这个值,如果不是,请说明理由．25．(12分)在平面直角坐标系中,点A 是抛物线y＝﹣1x2+mx+2m+2与y轴的交点,点B 在该抛物线上,该抛2物线A 、B 两点之间的部分(包括A 、B 两点)的图象记为G．设点B 的横坐标为2m﹣1．(1)当m＝1时,①当函数y的值随x的增大而增大时,自变量x的取值范围为．②求图象G最高点的坐标．(2)当m＜0时,若图象G与x轴只有一个交点,求m的取值范围．(3)设图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h,求h与m之间对应的函数关系式．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的.1．与15为倒数的数为()A ．﹣15B ．15C ．5D ．﹣5【答案】C【解答】解：与15为倒数的数为：5．故选：C ．2．下列垃圾分类的标志中,既是轴对称又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：A 、既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项符合题意；B 、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项不合题意；C 、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项不合题意；D 、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不合题意．故选：A ．3．下列计算正确的是()A ．√2+√3＝√5B ．√4×2＝2√2C ．√6+2＝√3D ．3√2﹣√2＝3【答案】B【解答】解：A 、√2+√3,无法计算,故此选项错误；B 、√4×2＝2√2,故此选项正确；C 、√6+2,无法计算,故此选项错误；D 、3√2﹣√2＝2√2,故此选项错误；故选：B ．4．2019新型冠状病毒(2019﹣nC oV),科学家借助电子显微镜发现该病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示正确的是()A ．1.25×107B ．1.25×10﹣7C ．1.25×108D ．1.25×10﹣8【答案】B【解答】解：0.000000125＝1.25×10﹣7,故选：B ．5．下列图形中,不是正方体表面展开图的是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：根据正方体的展开图的11种情况可得,C 选项中的图形不是它的展开图．故选：C ．6．如图,在Rt△A B C 中,∠C ＝90°,A B ＝4,A C ＝3,则sin B ＝()A ．35B ．45C ．34D ．√74【答案】C【解答】解：∵在Rt △A B C 中,∠C ＝90°,A B ＝4,A C ＝3, ∴sin B ＝,故选：C ．7．《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便我们把它改为横排,如图1,图2所示,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ,y 的系数与相应的常数项．图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为{2x +y =11,4x +3y =27．类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )A ．{3x +2y =14x +4y =23B ．{3x +y =122x +4y =43C ．{3x +2y =19x +4y =23D ．{3x +y =192x +4y =23【答案】C【解答】解：图2所示的算筹图我们可以表述为：{3x +2y =19x +4y =23．故选：C ．8．在同一坐标系中,若直线y ＝﹣x +B 与直线y ＝kx ﹣4的交点在第一象限,则下列关于k 、B 的判断正确的是( ) A ．k ＜0,B ＜0 B ．k ＜0,B ＞0C ．k ＞0,B ＜0D ．k ＞0,B ＞0【答案】D【解答】解：此题可通过观察图象求解,如图所示,(1)y ＝﹣x 只有向上平移时,图象才会经过第一象限,即B ＞0；(2)y ＝kx ﹣4(k ≠0),①k ＜0时,图象不经过第一象限,不合题意,②k ＞0时,图象经过第一象限,和y ＝﹣x +B 的交点在第一象限,符合题意．故选：D ．9．如图,四边形A B C D 内接于⊙O ,⊙O 的半径为1,A B ＝√2,C B ＝√3,则∠A D C 的度数是()A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°【答案】B【解答】解：过O 分别作OE ⊥A B 于E ,OF ⊥B C 于F ,连接OB ,则A E ＝B E ＝12A B ＝√22,B F ＝C F ＝12B C ＝√32,OB ＝1∴C os ∠OB E ＝OE OB ＝√32,C os ∠OB F ＝√32,∴∠OB E ＝45°,∠OB F ＝30°,∴∠A B C ＝∠OB E +∠OB F ＝75°,∵四边形A B C D 内接于⊙O ,∴∠A D C +∠A B C ＝180°,∴∠A D C ＝180°﹣75°＝105°,故选：B ．10．已知非负数A ,B ,C 满足A +B ＝2,C ﹣3A ＝4,设S＝A 2+B +C 的最大值为m,最小值为n,则m﹣n的值为()A ．9B ．8C ．1D ．103【答案】B【解答】解：∵A +B ＝2,C ﹣3A ＝4,∴B ＝2﹣A ,C ＝3A +4,∵B ,C 都是非负数,∴{2−A ≥0①3A +4≥0②,解不等式①得,A ≤2,解不等式②得,A ≥﹣43,∴﹣43≤A ≤2,又∵A 是非负数,∴0≤A ≤2,S＝A 2+B +C ＝A 2+(2﹣A )+3A +4, ＝A 2+2A +6,∴对称轴为直线A ＝﹣22×1＝﹣1, ∴A ＝0时,最小值n＝6,A ＝2时,最大值m＝22+2×2+6＝14, ∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B ．二、填空题(每小题3分,共18分)11．若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是．√x−1【答案】x＞1【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0,解得：x＞1,故答案为：x＞1．12．因式分解：y3﹣4y2+4y＝．【答案】y(y﹣2)2【解答】解：原式＝y(y2﹣4y+4)＝y(y﹣2)2．故答案为：y(y﹣2)2．13．如图,A B ∥C D ,∠A B E＝146°,FE⊥C D 于E,则∠FEB 的度数是度．【答案】56【解答】解：∵A B ∥C D ,∴∠A B E+∠B EC ＝180°,∵∠A B E＝146°,∴∠B EC ＝180°﹣146°＝34°,∵FE⊥C D ,∴∠C EF＝90°,∴∠FEB ＝∠C EF﹣∠B EC ＝90°﹣34°＝56°．故答案为：56．14．关于x的一元二次方程x2+4x﹣3A ＝0有实数根,则A 的取值范围是．【答案】A ≥﹣43【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣3A ＝0有实数根,∴△≥0,即42﹣4×(﹣3A )≥0,．解得A ≥﹣43故答案为：A ≥﹣4．315．在一个不透明的袋子中放有m个球,其中有6个红球,这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后,任意摸出一球记下颜色后再放回袋子,通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在0.3左右,则m的值约为．【答案】20【解答】解：根据题意得6＝0.3,m解得：m＝20,经检验：m＝20是分式方程的解,故答案为：20．16．如图,在正方形A B C D 中,O是对角线A C 与B D 的交点,M是B C 边上的动点(点M不与B ,C 重合),C N⊥D M,C N与A B 交于点N,连接OM,ON,MN．下列五个结论：①△C NB ≌△D MC ；②△C ON≌△D OM；③△OMN∽△OA D ；④A N2+C M2＝MN2；⑤若A B ＝2,则S△OMN的最小值是1,其中正确结论有．【答案】①②③④【解答】解：在正方形A B C D 中,C D ＝B C ,∠B C D ＝90°,∴∠B C N +∠D C N ＝90°,又∵C N ⊥D M ,∴∠C D M +∠D C N ＝90°,∴∠B C N ＝∠C D M ,又∵∠C B N ＝∠D C M ＝90°,∴△C NB ≌△D MC (A SA ),故①正确；∵△C NB ≌△D MC ,∴C M ＝B N ,又∵∠OC M ＝∠OB N ＝45°,OC ＝OB ,∴△OC M ≌△OB N (SA S ),∴OM ＝ON ,∠C OM ＝∠B ON ,∴∠D OC +∠C OM ＝∠C OB +∠B PN ,即∠D OM ＝∠C ON ,又∵D O ＝C O ,∴△C ON ≌△D OM (SA S ),故②正确；∵∠B ON +∠B OM ＝∠C OM +∠B OM ＝90°,∴∠MON ＝90°,即△MON 是等腰直角三角形,又∵△A OD 是等腰直角三角形,∴△OMN ∽△OA D ,故③正确；∵A B ＝B C ,C M ＝B N ,∴B M ＝A N ,又∵Rt △B MN 中,B M 2+B N 2＝MN 2,∴A N 2+C M 2＝MN 2,故④正确；∵△OC M ≌△OB N ,∴四边形B MON 的面积＝△B OC 的面积＝1,即四边形B MON 的面积是定值1,∴当△MNB 的面积最大时,△MNO 的面积最小,设B N ＝x ＝C M ,则B M ＝2﹣x ,∴△MNB 的面积＝12x (2﹣x )＝﹣12x 2+x ,∴当x ＝1时,△MNB 的面积有最大值12,此时S △OMN 的最小值是1﹣12＝12,故⑤错误,故答案为①②③④．三、解答题(本大题共9个小题,满分72分)17．(4分)计算：(-2021)0+√16-|-2|×2×2-2．【解答】解：原式＝1+4﹣2×14＝1+4﹣12 ＝92．18．(4分)已知：如图,Rt △A B C 中,∠C ＝90°,M 是A B 的中点,A N ＝12A B ,A N ∥C M ． 求证：MN ＝A C ．【解答】证明：在Rt △A B C 中,∠C ＝90°,∵M 是A B 的中点,∴C M ＝12A B , ∵A N ＝12A B ,∴C M ＝A N ,∵A N ∥C M ,∴四边形A C MN 是平行四边形．∴MN ＝A C ．19．(6分)先化简(1﹣x x−1)÷x 2−4x+4x 2−1,再从不等式x ﹣1≤2的正整数解中选一个适当的数代入求值．【解答】解：原式＝x−1−x x−1·(x+1)(x−1)(x−2)2 ＝−1x−1·(x+1)(x−1)(x−2)2 ＝﹣x+1(x−2)2,∵x ﹣1≤2,且x≠1,2,∴x ≤3,把x ＝3代入上式得,原式＝﹣x+1(x−2)2=3+112=-4.20．(6分)某学校对试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名学生的参与情况,绘制了如图两幅不完整的统计图,请根据图中所给信思解答下列问题：(1)在这次评价中,一共抽查了____名学生；(2)讲解题目组所在扇形的圆心角的大小是_____；(3)如果全市有12000名初中学生,那么在试卷讲评课中,“独立思考”的学生约有多少人？【解答】解：(1)在这次评价中,共抽查的学生有：224÷40%=560(名)．故答案为：560；(2)选择“讲解题目”的人数为：560-84-168-224=84(人),讲解题目组所在扇形的圆心角的大小是：360°×84560=54°．故答案为：54°；(3)168560×12000=3600(人),答：在试卷讲评课中,“独立思考”的学生约有3600人．21．(8分)某超市经销一种销售成本为每件20元的商品,据市场调查分析,如果按每件30元销售,一周能售出500件,若销售单价每涨1元,每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元(x≥30),一周的销售量为y 件．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)在超市对该种商品投入不超过5000元的情况下,使得一周销售利润达到8000元,销售单价应定为多少？【解答】(1)依题意得：y=500-10(x-30)=-10x+800(x≥30)．(2)依题意得：(x-20)(-10x+800)=8000,整理得：x2-100x+2400=0,解得：x1=40,x2=60．当x=40时,20(-10x+800)=8000(元),8000＞5000,不合题意,舍去；当x=60时,20(-10x+800)=4000(元),4000＜5000,符合题意．答：销售单价应定为60元．22．(10分)如图,在平行四边形A B C D 中,A D ＞A B ．(1)作∠B A D 的平分线交B C 于点E(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,要下结论)；(2)在A D 边上截取A F＝A B ,连接EF,若A B ＝3,∠B ＝60°,求四边形A B EF的面积．【解答】解：(1)如图,A E即为所求；(2)在平行四边形A B C D 中,A D ∥B C ,∴∠D A E＝∠A EB ,由(1)知：A E平分∠B A D ,∴∠D A E＝∠B A E,∴∠A EB ＝∠B A E,∴A B ＝EB ,∵A B ＝A F,∴A F ＝B E ,∴A F ∥B E ,∴四边形A B EF 是平行四边形,∵A B ＝A F ,∴▱A B EF 是菱形,作A H ⊥B E 于点H ,∵A B ＝B E ＝3,∠B ＝60°,∴A H ＝3√32, ∴四边形A B EF 的面积为：B E ×A H ＝3×3√32＝9√32．23．(10分)如图,直线y ＝x +B 与双曲线y ＝k x (x ＞0)的交点为A (1,A ),与x 轴的交点为B (﹣1,0),点C 为双曲线y ＝k x (x ＞0)上的一点．(1)求A 的值及反比例函数的表达式；(2)如图1,当OC ∥A B 时,求△A OC 的面积；(3)如图2,当∠A OC ＝45°时,求点C 的坐标．【解答】解：(1)∵直线A B 过点B (﹣1,0),∴﹣1+B ＝0,解得：B ＝1,∴直线A B 的表达式为y ＝x +1．∵点A (1,A )在直线A B 上,∴A ＝1+1＝2,∴点A 的坐标为(1,2)．又∵双曲线y ＝k x (x ＞0)过点A (1,2),∴k ＝1×2＝2,∴反比例函数的表达式为y ＝2x (x ＞0)． (2)在图1中,过点C 作C D ⊥x 轴于点D ,过点O 作OE ⊥A B 于点E ,设直线A B 与y 轴交于点M ． ∵直线A B 的表达式为y ＝x +1,OC ∥A B ,∴直线OC 的表达式为y ＝x ．联立两函数表达式成方程组,{y =x y =2x,解得：{x =√2y =√2或{x =−√2y =−√2(不合题意,舍去), ∴点C 的坐标为(√2,√2),∴OD ＝C D ＝√2,∴OC ＝√OD 2+C D 2＝2．当x ＝0时,y ＝0+1＝1,∴点M 的坐标为(0,1),∴OM ＝OB ＝1,∴△B OM 为等腰直角三角形,∴OE ＝12B M ＝12√OB 2+OM 2＝√22, ∴S △A OC ＝12OC •OE ＝12×2×√22＝√22.(3)在图1中,过点A 作A F ⊥x 轴于点F ,则B F ＝1﹣(﹣1)＝2,A F ＝2,∴A B ＝√B F 2+A F 2＝2√2,∴A E ＝A B ﹣B E ＝2√2﹣√22＝3√22, ∴tA n ∠OA E ＝OE A E ＝13．∵OB ＝OM ,∠B OM ＝90°,∴∠A B O ＝45°．在图2中,过点C 作C N ⊥x 轴于点N ．∵∠A ON ＝∠A B O +∠B A O ,∠A OC ＝∠A B O ＝45°,∠A ON ＝∠A OC +∠C ON ,∴∠C ON ＝∠B A O ,∴tA n ∠C ON ＝13．设点C 的坐标为(m,1m),3∵点C 在反比例函数y＝2(x＞0)的图象上,x∴m×1m＝2,3∴m＝√6或m＝﹣√6(舍去),)．∴点C 的坐标为(√6,√6324．(12分)如图①,已知⊙O是△A B C 的外接圆,∠A B C ＝∠A C B ＝α(45°＜α＜90°,D 上一点,连接C D 交A B 于点E．(1)连接B D ,若∠C D B ＝40°,求α的大小；(2)如图②,若点B 中点,求证：C E2＝B E•B A ；(3)如图③,将C D 分别沿B C 、A C 翻折得到C M、C N,连接MN,若C D 为直径,请问A B是否为定值,如MN 果是,请求出这个值,如果不是,请说明理由．【解答】解：(1)∵＝,∴∠C A B ＝∠C D B ＝40°,∵∠A B C +∠A C B +∠C A B ＝180°,∠A B C ＝∠A C B ＝α,∴α＝12×(180°−40°)＝70°；(2)证明：∵点B 的中点,∴＝,∴∠D C B ＝∠A ,∵∠A B C ＝∠C B E,∴△B C E∽△B A C ,∴B CB A =B EB C,∴B C 2＝B E•B A ,∵∠A C B ＝∠A C D +∠B C D ,∠B EC ＝∠A C D +∠A ,∠B C D ＝∠A ,∴∠A B C ＝∠A C B ＝∠B EC ,∴C B ＝C E,∴C E2＝B E•B A ；(3)是定值．∵将C D 分别沿B C 、A C 翻折得到C M、C N,∴∠D C N＝2∠D C A ,∠D C M＝2∠D C B ,C N＝C D ＝C M＝2r,∴∠MC N＝2∠A C B ＝2α,过点C 作C Q⊥MN于点Q,则MN＝2NQ,∠NC Q＝12∠MC N＝α,∠C QN＝90°,连接A O并延长交⊙O于点P,连接B P,则∠A B P＝90°,,∴∠P＝∠A C B ＝∠NC Q＝α,∵A P＝C N,∠A B P＝90°＝∠NQC ,∴△A B P ≌△NQC (A A S ),∴A B ＝NQ ＝12MN ,∴A B MN =12,A B MN 为定值．25．(12分)在平面直角坐标系中,点A 是抛物线y ＝﹣12x 2+mx +2m +2与y 轴的交点,点B 在该抛物线上,该抛物线A 、B 两点之间的部分(包括A 、B 两点)的图象记为G ．设点B 的横坐标为2m ﹣1．(1)当m ＝1时,①当函数y 的值随x 的增大而增大时,自变量x 的取值范围为 ．②求图象G 最高点的坐标．(2)当m ＜0时,若图象G 与x 轴只有一个交点,求m 的取值范围．(3)设图象G 最高点与最低点的纵坐标之差为h ,求h 与m 之间对应的函数关系式．【解答】解：(1)①当m ＝1时,抛物线的表达式为y ＝﹣12x 2+x +2, ∵-12＜0,故抛物线开口向下,当函数y 的值随x 的增大而增大时,则图象在对称轴的左侧,即x ≤1,故答案为x ≤1；②函数的对称轴为x ＝1,当x ＝1时,y ＝﹣12x 2+x +2＝92, 即点G 的坐标为(1,92)；(2)当x ＝2m ﹣1时,y ＝﹣12x 2+mx +2m +2＝3m +32,则点B 的坐标为(2m ﹣1,3m +32), 同理,点A 的坐标为(0,2m +2),∵m ＜0,则y B ﹣y A ＝3m +32﹣2m ﹣2＝m ﹣12＜0,即点A 在点B 的上方,故当y A ＞0且y B ≤0时,符合题意,即2m +2＞0且3m +32≤0, 解得﹣1＜m ≤﹣12；(3)设抛物线的顶点为H ,则点H (m ,12m 2+2m +2),由抛物线的表达式知,点A 、B 的坐标分别为(0,2m +2)、(2m ﹣1,3m +32), ①当m ≤0时,由(2)知,y B ＜y A ,而y H ﹣y A ＝12m 2+2m +2﹣2m ﹣2≥0,故图象G 的H 点和B 点分别是最高和最低点,则h ＝y H ﹣y B ＝12m 2+2m +2﹣3m ﹣32＝12m 2﹣m +12；②当0＜m ≤12时,此时点A 、B 分别是G 的最高和最低点,则h ＝y A ﹣y B ＝(2m +2)﹣(3m +32)＝﹣m +12；③当12＜m ≤1时,此时点B 、A 分别是G 的最高和最低点,则h ＝y B ﹣y A ＝m ﹣12；④当m ＞1时,此时点H 、A 分别是G 的最高和最低点,则h ＝y H ﹣y A ＝12m 2；∴h ＝{12m 2−m +12(m ≤0)−m +12(0＜m ≤12)m −12(12＜m ≤1)12m 2(m ＞1)。
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(2021年整理)
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改)的全部内容。
代数式的化简求值问题初中数学中,全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值.注:一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.【答案】—4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8,求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
全国初中数学竞赛辅导(初3)第19讲平面几何中的几个著名定理(2021年整理)
全国初中数学竞赛辅导(初3)第19讲平面几何中的几个著名定理(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（全国初中数学竞赛辅导(初3)第19讲平面几何中的几个著名定理(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为全国初中数学竞赛辅导(初3)第19讲平面几何中的几个著名定理(word版可编辑修改)的全部内容。
第十九讲＊平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理,以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年,他和斯巴达的Menelaus是两个人）曾著《球面论》,着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理"现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△ABC的三边AB，BC,CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q,P，S,见图3－98．由△AXQ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明（1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点,且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．(2）梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y,如果那么X,Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F,D，E共线．例2（戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′,BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′,BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D,E共线．证如图3－100,直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC,得将这三式相乘得所以D，E，F共线．2．塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA,AB相交于D，E，F,则证如图3－101，过B,C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于△BHD∽△CKD,所以同理可证将这三式相乘得说明 (1）如果P点在△ABC外,同样可证得上述结论,但P点不能在直线AB,BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．（2)塞瓦定理的逆定理也成立,即“在△ABC的边BC,CA，AB上分别取点D,E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得所以 F′B=FB,即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．证（1）如果D，E,F分别是△ABC的边BC,CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD,BE,CF共点．(2)如果D，E,F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC,CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE,CF共点．（3)设D，E,F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．(i）当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E,F分别在BC,CA,AB上，有BD=ccosB,DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．（ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos（180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A）=—bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高AD,BE,CF共点．（iii）当△ABC是直角三角形时,高AD,BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形,A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明:直线AA1,BB1,CC1相交于一点．证如图3－104．设直线AA1,BB1，CC1与边BC，CA,AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1,BB1，CC1共点．3．斯台沃特定理定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则证过A作AE⊥BC，E为垂足（如图3－105)，设DE=x，则有AE2=b2-（v-x）2=c2-(u+x）2=t2—x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x—v．)于是得消去x得（u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式．(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式．（3)当AD是△ABC的高时，AD2=b2—u2=c2-v2．再由u+v=a,解得所以若设AD=h a，则这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用—v代替v，同样可得高线长线公式．这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线,E在BC上，BE=CD．求证:AE2-AD2=(c-b)2．证为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4．托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85~165年）是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”（圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。
2019年中考数学试卷(word版,含答案) (18)
2019年初中毕业升学考试数 学 试 题本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分130分．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．5的相反数是A ．﹣5B ．5C ．15-D ．152．函数y 中的自变量x 的取值范围是 A ．x ≠12 B ．x ≥1 C ．x ＞12 D ．x ≥123．分解因式224x y -的结果是A ．(4)(4)x y x y +-B ．4()()x y x y +-C ．(2)(2)x y x y +-D ．2()()x y x y +- 4．已知一组数据：66，66，62，67，63这组数据的众数和中位数分别是 A ．66，62 B ．66，66 C ．67，62 D ．67，66 5．一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是 A ．长方体 B ．四棱锥 C ．三棱锥 D ．圆锥 6．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是7．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 8．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P=40°，则∠B 的度数为 A ．20° B ．25° C ．40° D ．50° 9．如图，已知A 为反比例函数ky x=(x ＜0)的图像上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ．若△OAB 的面积为2，则k 的值为A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4 10．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a 为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a 的值至少为 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7第8题 第9题 第16题二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．49的平方根为 ．12．2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为 人次． 13．计算：2(3)a +＝ ．14．某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）．15．已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm ． 16．已知一次函数y kx b =+的图像如图所示，则关于x 的不等式30kx b ->的解集为 ．第17题 第18题17．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙Oxy O-6OOB CABE Fxy-6OABBCHGB的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ．18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC＝D 为边AB 上一动点（B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）1013()2--+-； （2）3233)(2a a a -⋅． 20．（本题满分8分）解方程：（1）0522=--x x ； （2）1421+=-x x ． 21．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD ＝CE ，BE 、CD 相交于点O ．（1）求证：△DBC ≌△ECB ； （2）求证：OB ＝OC ．22．（本题满分6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 ； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23．（本题满分6分）B《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．各等级学生人数分布扇形统计图各等级学生平均分统计表（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ； （2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级． 24．（本题满分8分）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABOOAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．25．（本题满分8分）不及格“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y (km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路汽骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x (km)与出发时间t (h)之间的函数关系式如图2中折线段CD —DE —EF 所示．（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2）求E 点坐标，并解释点的实际意义．26．（本题满分10分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A 为圆O 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出得内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在□ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ；②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH ．27．（本题满分10分）CBBAA D已知二次函数42-+=bx ax y (a ＞0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，（A 在B 左侧，且OA ＜OB ），与y 轴交于点C ．D 为顶点，直线AC 交对称轴于点E ，直线BE 交y 轴于点F ，AC ：CE ＝2：1．（1）求C 点坐标，并判断b 的正负性；（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC 交于点D ，已知DC ：CA ＝1：2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC ．①若△BCE 的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD 为锐角三角形，请直接写出OA 的取值范围．28．（本题满分10分）如图1，在矩形ABCD 中，BC ＝3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作△PAB 关于直线PA 的对称△PAB′，设点P 的运动时间为t (s)．（1）若AB＝2，当点B′落在AC 上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t 的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PC B′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由．（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB′与直线CD 相交于点M ，且当t ＜3时存在某一时刻有结论∠PAM ＝45°成立，试探究：对于t ＞3的任意时刻，结论∠PAM ＝45°是否总是成立？请说明理由．参考答案1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B 11．23±12．7210´ 13．269a a ++ 14．2y x =（答案不唯一） 15．3 16．x ＜2 17．25 18．8 19．（1）【解答】解：原式=4 （2）【解答】解：原式=6a 20．（1）【解答】解：61,6121-=+=x x ； （2）【解答】解：3=x ，经检验3=x 是方程的解 21．（1） 证明：∵AB=AC ， ∴∠ECB=∠DBC 在中与ECB DBC ∆∆ECB CB BC DBC CE BD ∠⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∴ ECB DBC ∆≅∆（2）证明：由（1）知ECB DBC ∆≅∆ ∴∠DCB=∠EBC ∴OB=OC 22． （1）12（2）开始2112121211221221ììïïïïíïïïïîïïìïïïïíïïïïîïíìïïïïïíïïïïîïïìïïïïíïïïïîî红红黑黑红红黑黑红黑红黑红黑红黑 共有等可能事件12种 其中符合题目要求获得2份奖品的事件有2种所以概率P=1623．（1） 4%（2）92.1×52%+85.0×26%+69.2×18%+41.3×4%=84.1（3）设总人数为n 个 , 80.0 ≤ 41.3×n×4%≤89.9 所以 48<n<54 又因为 4%n 为整数 所以n=50即优秀的学生有52%×50÷10%=260 人 24．（1） 作MN BO ，由垂径定理得N 为OB 中点 MN=12OA ∵MN=3∴OA=6，即A （-6,0） ∵sin ∠ABO=2，OA=6 ∴OB= 即B （0，设y kx b =+，将A 、B带入得到3y x =+（2）∵第一问解得∠ABO=60°，∴∠AMO=120°所以阴影部分面积为221=434S =--π（（π25．（1）()()=36 2.25=16/=361-16=20/V km h V km h ÷÷小丽小明（2）93620=5914416=)559144,55km E ÷⨯⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭（h ）（实际意义为小明到达甲地26．（1）连结AE 并延长交圆E 于点C ，作AC 的中垂线交圆于点B ，D ，四边形ABCD 即为所求（2）①法一：连结AC,BD 交于点O,连结EB 交AC 于点G,连结DG 并延长交CB 于点F ， F 即为所求法二：连结AC,BD 交于点OEACB连结EO 并延长交AB 于点G 连结GC,BE 交于点M连结OM 并延长交CB 于点F ，F 即为所求②27．（1） 令x=0，则4-=y ，∴C （0，-4） ∵ OA ＜OB ，∴对称轴在y 轴右侧，即02 ab- ∵a ＞0，∴b ＜0 （2）①过点D 作DM ⊥oy ，则21===CO MC OA DM CA DC , ∴AO DM 21=设A （-2m ，0）m ＞0，则AO=2m,DM=m ∵OC=4，∴CM=2∴D （m ，-6），B （4m ，0） A 型相似可得OBBNOE DN = EDACBCAB∴OE=884421BEF △=⨯⨯=m S∴1=m∴A （-2，0），B （4,0） 设)4)(2(-+=x x a y 即a ax ax y 822--= 令x=0，则y=-8a ∴C （0，-8a ） ∴-8a=-4，a=21 ∴4212--=x x y ②易知：B （4m ，0）C （0，-4）D （m ，-6），通过分析可得∠CBD 一定为锐角 计算可得2222221616,4,936CB m CD m DB m =+=+=+ 1°当∠CDB 为锐角时，222CD DB CB +＞22249361616m m m ++++＞，解得2m 2-＜＜2°当∠BCD 为锐角时，222CD CB DB +＞22241616936m m m ++++＞,解得m m ＜m 2＜，m 42＜∴4OA ＜ 28．（1）①勾股求的 易证'CBA CB P △∽△,''4B P =解得②1°如图，当∠PCB ’=90 °时，在△PCB ’中采用勾股得：222(3)t t +-=，解得t=22°如图，当∠PCB ’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得：222(3)t t +-=，解得t=63ABP ’为正方形，解得（2）如图3-t tB'B'CBAADPD3B'CA BD∵∠PAM=45°∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45° 又∵翻折∴∠1=∠2，∠3=∠4又∵∠ADM=∠AB ’M （AAS ） ∴AD=AB ’=AB即四边形ABCD 是正方形 如图，设∠APB=x∴∠PAB=90°-x ∴∠DAP=x易证△MDA ≌△B ’AM （HL ） ∴∠BAM=∠DAM ∵翻折∴∠PAB=∠PAB ’=90°-x∴∠DAB ’=∠PAB ’-∠DAP=90°-2x ∴∠DAM=21∠DAB ’=45°-x ∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°MA DP4321MB'BCB'A D PP。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（第2题图） 2019全国初中数学竞赛初三预赛试题
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
2018年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
〔本卷总分值120分，考试时间120分钟〕
【一】选择题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕
在以下各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分、
1.从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是〔〕
A 、41
B 、31
C 、21
D 、1
2、如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，那么△ABC 的周长为〔〕 A 、38 B 、39 C 、40 D.41
3、1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，那么y x 的值等于〔〕
A 、9
5
B 、5
9
C 、
52011- D 、9
2011-
4、直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边 为直径作三个半圆(如下图)，两个月牙形(带斜线的阴
影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形〔带点的阴影图形〕面积之和的是〔〕
A 、6 B.7C 、8 D 、9
5、设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2
)2(2b a cx x b a y -
---=在1=x 时取最小值
b 5
8-，那么△ABC 是〔〕 A 、等腰三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形
6、计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原那么，如图，堆栈〔1〕中的2个连续存储单元
已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈〔2〕的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ， e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据〔每次取出1个数据〕
，那么不
（1） （2）
（第5题图）
同顺序的取法的种数有〔〕
A 、5种
B 、6种
C 、10种
D 、12种 【二】填空题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分〕 7、假设
4122=---x x ，那么满足该方程的所有根之和为.
8、〔人教版考生做〕如图A ，在
中，过A ，B ，
C 三点的圆交A
D 于
E ，且与CD 相切，假设AB =4，BE =5
，那么DE 的长为、 8、〔北师大版考生做〕如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，那么FG AF
=
、
9、012=--a a ，且3222
322
324-=-++-a
xa a xa a ，那么=x 、 10、元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.假设两人购买商品一共花费了172元，那么其中单价为9元的商品有件、
11、如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，那么电线杆AB 的长为m 、
12、实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，y x 四个数中的三个有相同的数值，那么所有具
有这样性质的数对),(y x 为、
3个小题，每题20分，共60分〕
13. ：))(())(a x c x c x b +++++是完全平方式、 14.〔此题总分值20分〕如图，将OA =6，AB =4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP 、
〔1〕点B 的坐标为；用含t 的式子表示点P 的坐标为；
〔2〕记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式〔0<t <6〕；并求t 为何值时，S 有最大
值？
〔3〕试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角
形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的3
1？假设存在，求出点T 的坐
15.〔此题总分值20分〕
对于给定的抛物线b ax x y ++=2〔1〕证明：抛物线px x y ++=2〔2〕证明：以下两个二次方程，x 实数根. （备用图）
(第14题图)
(第11题图)
A B C
D （第8题图A ）
G
F E
C
B
A
（第8题图B ）
D
2018年九年级试卷参考答案
一、选择题〔每题5分，共30分〕1—6CDBADC 二、填空题〔每题5分，共30分〕：
7.62-；8.A ：516；B ：12
；9.4；10.12；11.26；12.)1,21
(-)1,2
1
(--. 【三】解答题：〔每题20分，共60分〕
13.证明：把代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2
+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式，∴△＝0. 即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0.∴2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0, (a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=-000
a c c
b b a
解这个方程组，得c b a ==. 14.解：〔1〕〔6，4〕；〔
2,3
t t 〕.〔其中写对B 点得1分〕 ………………………………3分
〔2〕∵S △OMP =12×OM ×23
t
，
∴S =12×〔6-t 〕×23t =213t -+2t ＝2
1(3)3
3
t --+〔0<t <6〕、
∴当3t =时，S 有最大值、…………………………………………8分
〔3〕存在、
由〔2〕得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M 〔3，0〕，N 〔3，4〕， 那么直线ON 的函数关系式为：43
y x
=、
设点T 的坐标为〔0，b 〕，那么直线MT 的函数关系式为：3
b
y x b
=-+， 解方程组
433y x b y x b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
得
3444b
x b b y b
⎧
=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为
34(,)44b b b b
++、 ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13
S △OCN ＝2、 ········· …………………10分
一、当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1， 二、如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，
那么S △OR 1T 1＝12
•RD 1•OT ＝12
•34b b
+•b ＝2.
∴234160b b --=，b
∴b 1
，b 2
此时点T 1的坐标为〔0
. ·· ……………………………………………15分
②当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b
-，
作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，那么 S △R 2NE ＝12•EN •D 2=12
•312(3)b b
--
•
4(4)4b b -
+96
(4)
b b =+＝2.
∴24480b b +-=，b
2
=±.
∴b 1
＝2，b 2
＝2-〔不合题意，舍去〕、 ∴此时点T 2的坐标为〔0
，2〕、
综上所述，在y 轴上存在点T 1〔0
〕
，T 2〔0
，2〕符合条件、…20分
15.证明：〔1〕∵)(2q b ap +=
∴
b
ap q -=2
代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2
=++-+-a x p b x y 得
⎪
⎩
⎪⎨⎧=+=-+-020
2a x b x y 解得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=4422
b a y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点
)4
4,2(2b a a --……………………10分
〔2〕∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-
=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---
∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.
∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分
（备用图）。