最短路径问题

最短路径问题
基本概念
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最短路径问题的3种类型
1. 单源最短路径问题：找出从每一节点v到某指定节点u的 一条最短路径。把图中的每条边反向，我们就可以把这 一问题转化为单源最短路径问题。
2. 单对节点间的最短路径问题：对于给定节点对u和v，找 出从u到v的一条路径。
3. 每对节点间的最短路径问题：对于每对节点u和v，找出 从u到v的最短路径。可以使用Floyed-Warshall算法解决问 题，但时间效率底下，且有不能出现负权回路的苛刻条 件。不妨以每个节点为源点运行一次单源算法，以提高 时效。
松弛技术是单源算法的核心
• 所谓松弛技术，就是反复减小每个节点的实际最短路径的 权的上限，直到该上限等于最短路径的权为止。
• 定理：给定有向加权图G=（V，E），设P=<V1,V2,……,Vk>为 从节点V1到节点Vk的一条路径，对任意i，j有i<=j<=k，设 Pij=<Vi,Vi+1,…,Vj>为Vi到Vj的P的子路径，则Pij是从Vi到Vj的 一条最短路径。
for each v∈V[G] do {d[v]:=∞;f[v]=nil;} d[s]:=0; }
• 松弛一条边（u,v）的过程包括测试是否可通过节点u对目前找出的到v的最短路 径进行改进，如果可能则更新d[v]和f[v]，一次松弛操作可以减小最短路长估 计d[v]并更新v的父亲f[v]。
Proc relax(u,v,w); {
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法能在更一般的情况下解决单源点最短路径问题 ，在该算法中边的权可以为负。Bellman-Ford算法同样运用了松 弛技术，对每一节点v∈V，逐步减小从源s到v的最短路长估计 d[v]直至其达到实际最短路径的权&(s,v)，如果图中存在负权回 路，算法将会报告最短路径不存在。算法时间O（VE）。
Dijkstra算法与Prim算法的异同：
同：都是属于宽度优先搜索，且优先队列Q都是以距离d为关键字排列的， 节点出队后都要进行松弛操作。 异：Dijkstra算法中的距离d是节点与源点间最短路长估计值，Prim算法中 的距离d是节点连接生成树的最短边长。
变形
• 求出最短路的路径 • 对于多条最短路存在的情况，求方案数 • 求次短路径
Func Bellman_Ford(G,w,s):boolean; {initiallze_single_source(G,s); for i:=1 to |V|-1 do
for each(u,v)∈E do relax(u,v,w); for each(u,v)∈E do
if d[v]>d[u]+w(u,v) then exit(false); exit(true); }
• 给定有向加权图G=（V，E），源点为s，则对于所有边（ u,v）∈E，有&（s，v）<=&（s，u）+w（u,v）。
松弛技术
• 对每个节点v∈V，设置一个属性d[v]来描述从源点s到v的最短路径的权的上界 ，称之为最短路长估计，设置f[v]表示v点的父亲。
Proc initiallze_single_source(G,s); {
Procedure Dijstra(G,w,r); {
initiallze_single_source(G,r); S:=∮;Q:=V[G]; while Q<>∮ do {
从最小优先队列Q中取出d值最小的节点u； S:=S∪[u]; for v∈adj(u) do relax(u,v,w); } }
Bellman-Ford算法的思想基于以下事实：两点间如果有最短路径，那么每个 节点最多经过一次。也就是说，这条路不超过n-1条边。如果一个节点经过
了两次，那么就是走了一个圈。如果这个圈的权为正，显然不划算；如果 是负圈，那么最短路径不存在。如果是零圈，去掉不影响最优值。
Dijkstra算法的执行速度取决于优先队列Q的数据结构。 有3种数据结构可供选择：
（1）用一维数组实现优先队列，时间复杂度为O（V*V）。使用于 规模不大的稠密图。
（2）用二叉堆来实现优先队列Q，时间复杂度为O（ElnV），使用于 稀疏图。
（3）用Fibonacci堆实现优先队列，时间复杂度优化为O（VlnV+E） 。但Fibonacci堆的程序实现相当繁琐，程序的实际运行效果不理想，不推 荐使用。
• 初始时，Q包含了除r外的其他节点，这些节点的d值为∞ 。r进入集合S，d[r]=0。算法反复从Q中取出d值最小的节 点u∈V-S，把u插入集合S中，并对u的所有出边进行松弛。 这一过程一直进行到Q队列为空为止。
只要图中没有负权边，Dijkstra算法能够顺利完成。如果任何一条边的权值为 负，则算法可能得出错误的答案。
Dijkstra
• P1398 Car的旅行路线 • P1577 最佳路线 • Poj 3013 Big Christmas Tree • Poj 1135 Domino Effect
负权回路影响单源最短路径的计算
• 在某些单源最短路径问题中，可能存在权为负的边。如果 图G（V,E）不包含由源s可达的负权回路，则对所有v∈Vs ，最短路径的权的定义&(s,v)依然正确，即使它是一个负值 也是如此。但如果存在一个从s可达的负权回路，最短路 径的定义就不能成立了。从s到该回路上的节点不存在最 短路径，因为我们总可以顺着找出的“最短”路径再穿过 负权回路，从而获得一个权值更小的路径，因此如果从s 到v的某路径中存在一个负权回路，我们定义&(s,v)=-∞。
if d[v]>d[u]+w[u,v] then {d[v]:=d[u]+w[u,v];f[v]:=uDijkstra算法解决了有向加权图的最短路径问题，该算法的 条件是该图所有边的权值非负，即对于每条边(u,v)∈E， w(u,v)>=0;
• Dijkstra算法中设置了一节点集合S，从源节点r到集合S中节 点的最终最短路径的权均已确定，即对所有节点v∈S，有 d[v]=&(r,v)，并设置了最小优先队列Q，该队列包含所有属 于V-S的节点（即这些节点尚未确定最短路径的权），且以 d值为关键字排列各节点。