必备数学第一部分第二章第3节

(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围.
(1)证明：∵在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中， Δ=［-(k+3)］2-4×1×(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0， ∴方程总有两个实数根. (2)解：∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0， ∴x1=2，x2=k+1. ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得k＜0. ∴k的取值范围为k＜0.
主要公式 1. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用 “Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.
I. 当Δ>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II. 当Δ=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； III. 当Δ<0时，一元二次方程没有实数根.
第一部分 教材梳理
第二章 方程与不等式 第3节 一元二次方程
知识梳理
概念定理
1. 一元二次方程 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程，叫做一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征 是：等式左边为一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是 零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项， b叫做一次项系数；c叫做常数项.
考点2 一元二次方程根的判别式与根的情况［5年3考： 2014年(选 择题)、2015年(选 择题)、2017年(选 择题)］
典型例题
1. (2017安顺)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数
根，则m的值可以是
(D )
A. 0
B. -1
C. 2
D. -3
2.(2017北京)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.
6. 解方程：(x-1)(x-3)=8.
解：∵(x-1)(x-3)=8， ∴x2-4x+3=8. ∴x2-4x=5. ∴x2-4x+4=9， 即(x-2)2=9. ∴x-2=±3. ∴x1=3+2=5，x2=2-3=-1.
7. 解方程：3(x-3)2-25=0. 解：∵3(x-3)2-25=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为：
公式法的步骤：把一元二次方程的各系数分别代入求根公式，
然后计算得出结果即可，这里二次项的系数为a，一次项的系 数为b，常数项的系数为c.
(4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的思想，使方程化为两个一次 式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 求出方程的解的方法，它是解一元二次方程最常用的方法.
3. 解方程：(2x-1)2=25.
解：开方,得2x-1=5或2x-1=-5. 解得x1=3，x2=-2.
4. 解方程：x2+x-2=0. 解：分解因式,得(x-1)(x+2)=0. 可得x-1=0或x+2=0. 解得x1=1，x2=-2.
考点演练
5. 4x2-3=12x.(用公式法解) 解：原方程整理,得4x2-12x-3=0， ∵a=4，b=-12，c=-3， ∴Δ=144-4×4×(-3)=192＞0.
解：(1)设 方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系,得x+1=-a，x·1=a-2. 解得x=- ，a= . 即a= ，方程的另一个根为- . (2)∵Δ=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫
做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元 二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0 时，x+a=±b，x=-a±b，当b<0时，方程没有实数根.
(2)配方法
∴(x-3)2= .
∴x-3=± .
∴x1=3+ ，x2=3- .
8. 解方程：(x-2)(x-5)=-2. 解：∵(x-2)(x-5)=-2, ∴x2-7x+12=0. ∴(x-3)(x-4)=0. ∴x-3=0或x-4=0. ∴x1=3，x2=4.
考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题和解答题， 难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基 本思路和步骤. 注意以下要点： (1)解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平 方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种； (2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在 与掌握求根公式和因式分解的方法.
3. (2017宜宾)一元二次方程4x2-2x+ =0的根的情况是 ( B)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
4. 已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. (1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
中考考点精讲精练
考点1 解一元二次方程［5年1考：2015年(解答题)］ 典型例题
1. 解方程：x2-5x-1=0.
2. x2-4x+1=0.(用配方法) 解：∵x2-4x+1=0， ∴x2-4x=-1. ∴x2-4x+4=4-1， 即(x-2)2=3. ∴x-2=± . 解得x1=2+ ，x2=2- .
2. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
方法规律wenku.baidu.com
公式法和因式分解法的运用技巧 (1)在解一元二次方程时，最常用到的方法是公式法和因式分 解法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法). 在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系 数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程 是否有解. (2)在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同 时应使二次项系数化为正数.
配方法的理论根据是完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，把 公式中的a看作未知数x，并用x代替，则有 x2±2bx+b2=(x±b)2.
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系 数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完 全平方公式. (3)公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元 二次方程的一般方法.