必备数学第一部分第二章第3节

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江西省初一数学目录

江西省初一数学目录第一章有理数
第一节有理数的加减法
第二节有理数的乘除法
第三节有理数的乘方
1 乘方
2 科学记数法
3 近似数
第二章整式的加减
第一节整式
第二节整式的加减
第三章一元一次方程
第一节从算式到方程
1 一远一次方程
2 等式的性质
第二节解一元一次方程
1合并同类项与移项
2 去括号与分母
3 实际问题与一元一次方程
第四章图形
第一节几何图形点线面体
第二节直线射线线段
第三节角
1 角
2 角的比较与运算
3 余角与补角
第五章相交线与平行线
第一节1 相交线
2垂线
3同位角内错角同旁内角
第二节平行线及其判定
1 平行线
2 平行线的性质
3 命题定理
4 平移
第六章平面直角坐标系
第一节平面直角坐标系
第二节坐标方法的简单应用
第七章三角形
第一节与三角形有关的线段
1 三角形的高线中线和角平分线
2 三角形的稳定性
第二节与三角形有关的角
1 三角形的外角
第二节多边形及其内角和
第八章二元一次方程组
第一节二元一次方程组
第二节消元—二元一次方程组的饿接法第九章不等式与不等式组
第一节不等式
第二节实际问题与一元一次不等式
第三节一元有次不等式组
第十章数据的收集整理与描述
第一节统计调查
第二节直方图。

中考数学专题复习反比例函数及其应用

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(教材母题链接：北师九上 P162T11)
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反比例函数与几何图形的综合 9．(2020 滨州)如图，点 A 在双曲线 y＝4x上，点 B 在双曲线 y＝1x2上，且 AB∥x 轴，点 C，D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 (C )
(C ) A．k＝2 B．函数图象分布在第一、三象限
C．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
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2．(2020 河南)若点 A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y＝－6x的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( C )
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2．关于反比例函数 y＝－3x，下列说法不正确的是( D ) A．图象经过点(1，－3) B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大
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三、反比例函数解析式的确定待定系数法： (1)设所求的反比例函数的解析式为 y＝kx(k≠0)； (2)将图象上的一点坐标代入 y＝kx中，求出 k； (3)把 k 代入解析式 y＝kx中，写出解析式.
第一部分夯实基础
第三章函数
第3节反比例函数及其应用
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课标导航 ·结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式． ·能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 y＝kx(k≠0)．探索并理解 k＞0 和 k＜0 时，图象的变化情况． ·能用反比例函数解决简单实际问题．
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(2)若一次函数图象与 y 轴交于点 C，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，求△ACD 的面积．

2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第二章方程(组)与不等式(组)第三节分式方程及其应用

(1)两人要去距离学校10 km的图书批发市场购买图书，出发时，张老师因有事
耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20 min后，张老师乘坐汽车出发，结果
两人同时到达①.已知汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求李老师骑自
行车的平均速度；
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解：设自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，根据题意，
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第三节
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分式方程及其应用
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分
式
方
程
及
其
应
用
相
关
概
念
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分
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及
其
应
用
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程
的
实
际
应
用
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得

－＝，解得x＝15，

经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
答：李老师骑自行车的平均速度为15 km/h.
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【分层分析】
第一步：设自行车的平均速度为x km/h；

第二章第3节变量间的相关关系

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P84～P91，回答下列问题．(1)两个变量之间除了函数关系还有其他关系吗？提示：相关关系．(2)当两个变量呈负相关关系时，散点图有什么特点？提示：当两个变量之间呈负相关关系时，散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域．(3)求回归直线方程的主要方法是什么？提示：求回归直线方程的主要方法是最小二乘法．2．归纳总结，核心必记(1)变量之间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用解析式来表达．(2)两个变量的线性相关①散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．②正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．③负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．④线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程．(3)回归直线方程 ①回归直线方程假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x －.②最小二乘法通过求Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．[问题思考](1)任意两个统计数据是否均可以作出散点图？提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．(2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？提示：用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程无意义．(3)根据a ^＝y －b ^x 及回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，判断点(x ，y )与回归直线的关系是什么？提示：由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^，因此点(x ，y )在回归直线上．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)相关关系：； (2)散点图：； (3)回归直线方程及求回归直线方程的方法步骤：.瑞雪兆丰年，这不禁使我们想到这样一句谚语：“冬天麦盖三层被，来年枕着馒头睡”，意思是冬天“棉被”盖得越厚，春天小麦就长得越好．[思考1] 下雪与小麦丰收有关系吗？提示：有关系，但这种关系具有不确定性．[思考2]若把下雪量和小麦产量看作两个变量，则这两个变量之间的关系是确定的吗？若不是确定的，那会是什么关系？名师指津：这两个变量之间的关系是不确定的，这两个变量之间的关系是相关关系．[思考3]怎样理解两个变量之间的关系？名师指津：两个变量间的关系分为三类：(1)确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；(2)相关关系，变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；(3)不相关，即两个变量间没有任何关系．讲一讲1．下列关系中，属于相关关系的是________．①人的身高与视力的关系；②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．[尝试解答]续表相关关系与函数关系区别函数关系是一种确定的关系，而相关关系是两个变量间一种不完全确定的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．练一练1．在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；解：两变量之间的关系有三种：函数关系、相关关系和不相关．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．下表为某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：[思考1]点？此图称为什么图形？名师指津：能，如图所示，此图称为散点图．[思考2]从散点图看应怎样描述房屋的销售价格与房屋面积之间的变化关系？名师指津：从大体上看，面积越大，销售价格越高，但不是正比例函数关系．[思考3]怎样认识散点图？名师指津：(1)散点图与相关性的关系：散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．(2)散点图与正、负相关性的关系：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称这两个变量正相关，即两个变量具有相同的变化趋势；如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称这两个变量负相关，即两个变量具有相反的变化趋势．讲一讲2．下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？[尝试解答]以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图，如图所示：因为图中各点并不在一条直线附近，所以两者不具有相关关系，求回归直线方程也是没有意义的．用散点图判断两个变量x与y的相关关系(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．练一练2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C在从散点图来看，图①中的点自左上方向右下方分布，说明变量x与y负相关；图②中的点自左下方向右上方分布，说明u与v正相关.观察知识点2中的背景实例．[思考]根据表格中的数据，能否估计出房屋面积为120 m2时的销售价格？如何估计？名师指津：能．可根据散点图作出一条直线，求出直线方程，再进行预测．根据两个变量的取值，画出散点图后作出一条直线，利用最小二乘法求出此直线方程，代入相关数据即可对另一个变量取值进行估计．讲一讲3．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据(单位均为 cm)作为一个样本如下表所示：(1)散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若某人的脚掌长为26.5 cm ，试估计此人的身高． (参考数据：∑i ＝110(x i －x )(y i －y )＝577.5，∑i ＝110(x i －x )2＝82.5)[尝试解答] (1)记样本中10人的“脚掌长”为x i (i ＝1,2，…，10)，“身高”为y i (i ＝1,2，…，10)，则b ^＝∑i ＝110(x i －x )(y i －y )∑i ＝110(x i －x )2＝577.582.5＝7， ∵x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010＝24.5，y ＝y 1＋y 2＋…＋y 1010＝171.5，∴a ^＝y －b ^x ＝0.∴y ^＝7x . (2)由(1)知y ^＝7x ，则当x ＝26.5时， y ^＝7×26.5＝185.5(cm)．故估计此人的身高为185.5 cm.用线性回归方程估计总体的一般步骤(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a ^，b ^，并写出线性回归方程(否则求出的回归方程是没有意义的)；(3)根据线性回归方程对总体进行估计．练一练3．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(1)(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解：(1)由题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计该年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念，了解最小二乘法的思想．2．本节课要掌握以下几类问题： (1)准确区分相关关系与函数关系，见讲1.(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系，见讲2. (3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤，见讲3. 3．本节课的易错点有两个：(1)区分不清相关关系与函数关系，如讲1；(2)求回归直线方程中易出现计算错误，如讲3.课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1变量间的相关关系1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系()A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高解析：选D A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．上梁不正下梁歪C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧解析：选D选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是迷信说法，没有科学依据．题组2散点图3．下列图形中，两个变量具有线性相关关系的是()解析：选B线性相关关系要求两个变量的散点图大致在一条直线上，且不是函数关系．4．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？解：不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标平面内，不呈线形． 5．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据(单位：百万元)：(1)画出散点图；(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？解：(1)以x 对应的数据为横坐标，以y 对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示：(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x 与y 成正相关关系．题组3 线性回归方程的求法及应用6．下列有关回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的叙述正确的是( ) ①反映y ^与x 之间的函数关系； ②反映y 与x 之间的函数关系； ③表示y ^与x 之间的不确定关系；④表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：选D y ^＝b ^x ＋a ^表示y ^与x 之间的函数关系，而不是y 与x 之间的函数关系．且它所反映的关系最接近y 与x 之间的真实关系．故选D.7．设有一个回归方程为y ^＝－1.5x ＋2，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位解析：选C ∵两个变量线性负相关，∴变量x 增加一个单位，y 平均减少1.5个单位． 8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 样本中心点是(3.5,42)，则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5，故选B.9．已知工厂加工零件的个数x 与花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时．解析：将200代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5，得y ＝2.5. 答案：2.510．有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：(1)(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为y ^＝23.25x ＋102.15，假如一个城市的人均GDP 为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？解：(1)根据表中数据画散点图，如图所示．从图中可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)上述断言是错误的，将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.15得y ^＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP 为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．[能力提升综合练]1．(2014·湖北高考)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b <0，a >0，选B.2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A.y ^＝1.5x ＋2B.y ^＝－1.5x ＋2 C.y ^＝1.5x －2 D.y ^＝－1.5x －2解析：选B 设回归方程为y ^＝bx ＋a ，由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ＜0，a ＞0，因此方程可能为y ^＝－1.5x ＋2.3．在2015年5月1日，某市物价部门对本市的5家商场某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：y ^＝－3.2x ＋a (参考公式：回归方程y ^＝bx ＋a ，a ＝y －b x )，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40解析：选D 价格的平均数是x ＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数是y ＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y ^＝－3.2x ＋a 知b ＝－3.2，所以a ＝y －b x ＝8＋3.2×10＝40，故选D.4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位： cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．5．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x )和高一英语成绩(y )如下：解析：将x ＝71，y ＝72.3，b ^＝1.22，代入y ＝b ^x ＋a ^，得a ^＝72.3－1.22×71＝－14.32. 答案：y ^＝1.22x －14.326．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知x ，y 具有线性相关关系，回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，解得x ≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．答案：87．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y 关于吨位x 的回归方程为y ^＝9.5＋0.006 2x ，(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数； (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2 ，则船员人数为y ^1，y ^2， y ^1－y ^2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2) ＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人．(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈11，当x ＝3 246时，y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为11人和30人．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。

高二数学第二章第3节双曲线(理) 人教新课标A版选修21

高二数学第二章第3节双曲线（理）人教新课标A 版选修21一、学习目标：1、知识目标：掌握双曲线的定义，双曲线的标准方程和双曲线的几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：双曲线的定义、标准方程和几何性质，并会利用双曲线的几何性质解决一些问题。

难点：双曲线的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关双曲线焦点三角形的问题并能与正余弦定理结合解题。

能用坐标法解决简单的直线与双曲线的位置关系等问题。

三、考点分析：学习完本节内容，我们要熟练掌握双曲线的定义及其两种标准方程的表达，会用待定系数法确定双曲线的方程，以及双曲线的简单几何性质的运用。

初步掌握用定义法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时解决一些直线与双曲线的位置关系的问题。

1、对双曲线第一定义的理解在双曲线定义中，平面内的动点与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数，当这个常数小于|F 1F 2|时，动点的轨迹是双曲线；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两射线F 1F 2，F 2 F 1；当这个常数大于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、双曲线的第二定义：动点M 与一个定点F 的距离和它到一条定直线的距离的比是一个大于1的正常数，这个点的轨迹是双曲线。

定点是双曲线的焦点。

定直线叫双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

即dMF ||＝e （e ＞1）。

注意：（1）定点必须在直线外。

（2）比值必须大于1。

（3）符合双曲线第二定义的动点轨迹肯定是双曲线，但它不一定具有标准方程的形式。

（4）双曲线离心率的两种表示方法：到相应准线的距离点的距离到焦点点M F M a c e ==准线方程为：双曲线焦点在x 轴：c a x 2±=双曲线焦点在y 轴：ca y 2±=3、双曲线的标准方程与几何性质标准方程22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0） 22a y －22b x ＝1（a ＞0，b ＞0）简图中心 O （0，0）O （0，0）顶点 A 1（－a ，0），A 2（a ，0）B 1（0，a ），B 2（0，－a ）范围 |x|≥a|y|≥a焦点 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，－c ），F 2（0，c ）准线x ＝±c a 2y ＝±c a 2渐近线 y ＝±a b xy ＝±ba x4. 焦半径公式（1）当M （x 0，y 0）为22a x －22b y ＝1右支上的点时，则|MF 1|＝ex 0＋a ，|MF 2|＝ex 0－a 。

高二数学第二章第3节双曲线(理)知识精讲人教实验B版选修2-1

高二数学第二章第3节双曲线人教实验B 版（理）选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：双曲线二、教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。

2、了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。

三、知识要点分析：（一）双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）。

此定义中，“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|，不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（二）双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形顶点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c +=离心率 )1(>=e a ce （离心率越大，开口越大）准线c a x 2±=ca y 2±=渐近线 x ab y ±= x bay ±= 焦准距cb c a c p 22=-=2、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x 2，y 2系数的大小，而双曲线是看x 2，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

匀变速直线运动的位移与时间的关系人教版(2019)必修第一册第二章匀变速直线运动的研究

恒定（逐差相等），即
Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2
推广: Δxmn=xm-xn=(m-n)aT2
请同学们自行证明
当堂巩固
1.一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？
v0=9m/s
2.在平直公路上，一汽车的速度为16m/s。从某时刻开始刹车，在阻力
拓展
推论2：匀变速直线运动，某段位移的中间位置的瞬时速度与
这段位移的初速度和末速度之间的关系：
v2 v02 2ax
v
2 x
2
v02
2a
x 2
vx 2
v02 v2 2
中间时刻的瞬时速度与中间位置的瞬时速度哪个大？
vx 2 vt 2
拓展推论3：匀变速直线运动，在连续相等相邻时间内的位移差
S v0 v t
2
微元累加法
即得位移：x
1 2
(v0
v)t
由v＝v0＋at得：
x
v0t
1 2
at 2
匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.公式：
x
v0t
1 2
at 2
2.对位移公式的理解:
只适用于匀变速直线运动：匀加、匀减；
因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。
（一般以v0的方向为正方向）如果物体在做匀减速运动，在使用上式分析问题时，需要注意什么？
拓展
速度与位移的关系图像 v2-x图像
斜率：k=2a
解决思路：基本公式变形，待定系数法。
拓展学习
微元累加法：在处理复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。

必修1第二章第3节幂函数

一、学习目标：1、了解幂函数的概念。

2、会画幂函数的图象，并理解它们的性质。

二、重点、难点：重点是32,,x y x y x y ===，1x y -=，21x y =五种幂函数的图象和它们的性质。

难点是幂函数的图象。

三、考点分析：1、了解幂函数的概念。

会画32,,x y x y x y ===，1xy -=，21x y =五种幂函数的图象，并理解它们的性质。

2、现今对幂函数的要求有所降低，考试中不会超出上述五种情况，在学习中不要盲目挖深加难。

1、幂函数的概念一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数；其定义域是使x α有意义的x 值的集合。

2、幂函数的图象和性质图象：结合以上特征得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在(0)+，∞上都有定义，并且图象都过点(11)，；（2）如果0α>，则幂函数的图象过点(00)，和(11)，，并且在区间[)0+，∞上是增函数；（3）如果0α<，则幂函数的图象过点(11)，，并在区间(0)+，∞上是减函数。

在第一象限内，当x 从+∞趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数。

知识点一：幂函数的定义例1：已知幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--，且当(0)x ∈+，∞时()f x 为减函数。

求幂函数()f x 的解析式。

思路分析：首先要正确理解幂函数的概念，然后理解幂函数的图象与性质。

解答过程：由于2223(1)m m y m m x--=--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =，或1m =-。

当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在(0)+，∞上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，01(0)y x x ==≠在(0)+，∞上为常函数，不合题意，舍去。

高考数学一轮总复习教学课件第二章函数第3节函数的奇偶性、周期性与对称性

5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数

f(x)的解析式为
+ -, > 0,
f(x)= , = ,
- + + , < 0
.
解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,
因为f(x)是R上的奇函数,
√
D.1
)
-

f(-x).若 f(- )= ,则 f( )等于(

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

A.

B.

C.

√

D.

)
解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).
又 f(1+x)=f(-x),
所以 f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.
+ -, > 0,
综上所述,f(x)= , = ,
- + + , < 0.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
函数奇偶性的判断
[例1] (多选题)(2024·山东临沂统考一模)已知f(x)=x3g(x)为
==-f(x),

-
所以函数 f(x)为奇函数.
③显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为当x<0时,-x>0,

第一部分第二章第3节随堂基础巩固11

[随堂基础巩固]
1．如图2－3－10所示，R1＝6 Ω，R2＝3 Ω，R3＝4 Ω，接入电
路后，关于这三只电阻的判断正确的是()
A．电流之比是I1∶I2∶I3＝4∶3∶6 图2－3－10
B．电压之比是U1∶U2∶U3＝1∶2∶2
C．功率之比是P1∶P2∶P3＝1∶2∶6
D．功率之比是P1∶P2∶P3＝6∶3∶4
2．如图2－3－11所示的电路中，电压表和电流表的读数分别为10 V
和0.1 A，电流表的内阻为0.2 Ω，那么有关待测电阻R x的下列说法
正确的是()图2－3－11 A．R x的测量值比真实值大
B．R x的测量值比真实值小
C．R x的真实值为99.8 Ω
D．R x的真实值为100.2 Ω
3．一电流表的内阻R g＝200 Ω，满刻度电流值是I g＝500 μA，现欲把该电流表改装成量程为1.0 V的电压表，正确的方法是()
A．应串联一个0.1 Ω的电阻
B．应并联一个0.1 Ω的电阻
C．应串联一个1 800 Ω的电阻
D．应并联一个1 800 Ω的电阻。

五年级数学上册梳理第一单元到第三单元所学的知识制作成数学小报

《五年级数学上册知识梳理小报》第一单元：算法与口诀第一节：加法和减法算法加法算法：按位相加，进位等于前一位的和除以10的商。

减法算法：按位相减，如果被减数小于减数，需要向高位借位。

第二节：乘法口诀表1×1=12×1=23×1=34×1=45×1=51×2=22×2=43×2=64×2=85×2=101×3=32×3=63×3=94×3=125×3=151×4=42×4=83×4=124×4=165×4=201×5=52×5=103×5=154×5=205×5=25第三节：除法口诀表1÷1=12÷1=23÷1=34÷1=45÷1=52÷2=14÷2=26÷2=38÷2=410÷2=53÷3=16÷3=29÷3=312÷3=415÷3=54÷4=18÷4=212÷4=316÷4=420÷4=55÷5=110÷5=215÷5=320÷5=425÷5=5第二单元：多位数的加法与减法第一节：多位数的加法按位相加，逢十进一第二节：多位数的减法按位相减，如果被减数小于减数，需要向高位借位。

第三单元：算式的转化第一节：加减法算式的转化加法算式转化减法算式：在加法算式中，改变被减数和差的位置，算式结果不变。

减法算式转化加法算式：在减法算式中，舍掉减法号，将减数与差调换位置，算式结果不变。

第二节：减法算式的转化减法算式转化成增加算式：将减法转化成加法，同时将被减数增加等量的数，差不变。

必备数学第一部分第一章第3节(完整版)

第一部分教材梳理
第一章数与式第3节代数式、整式
知识梳理
概念定理
1. 代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子. 单独的一个数或者一个字母也是代数式. 带有“＜(≤)”“＞ (≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式. 注意：①代数式中不能含有等于号(=)、不等号(≠、≤、≥、
5. 下列算式中，结果等于a6的是
A. a4+a2
B. a2+a2+a2
C. a2·a3
D. a2·a2·a2
6. 计算(ab2)3的结果是
A. 3ab2
B. ab6
C. a3b5
D. a3b6
( A) (D ) ( D)
7. 下列运算正确的是 A. 3a-a=2 C. a2·a3=a5 8. 下列运算正确的是 A. a3+a2=a5 C. a3·a2=a6
考点2 整式的有关概念(5年未考)
典型例题
1. 在下列式子
中，
多项式有 A. 2个
B. 3个
C. 4个
( B) D. 5个
2. 多项式 A. 1
B. 2
的次数为 C. 3
( C) D. 5
3. (2017西宁) 是__3___次单项式.
4. 多项式
的二次项系数是__-_9___.
考点演练
5. 下列说法正确的是
考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握整式的相关运算法则，包括整式的加减乘除运算法则、合并同类项法则、去括号法则等，并正确进行计算.
广东中考
1. (2017广东)下列运算正确的是

高中必修第一册统编人教A版《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》优秀教学教案教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《一元二次不等式及其解法》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。

从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。

同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。

课程目标学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

a.数学抽象：一元二次不等式的定义及解法； b.逻辑推理：理解三个二次的关系； c.数学运算：按步骤解决一元二次不等式； d.直观想象：运用二次函数图像解一元二次不等式；e.数学建模：将生中的不等关系转化为一元二次不等式解决；重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.多媒体（一）、情境导学问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０，其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝．整理得x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．一元二次不等式的定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.（二）、探索新知问题：二次函数y=x2-5x的函数图像如下，思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我们知道，对于一元二次方程a x2+b x+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第二章方程(组)与不等式(组)第3节一元二次方程及其应用

解得x1＝15,x2＝20.
当x＝15时,70－2x＝40＞35,不符合题意,舍去;
当x＝20时,70－2x＝30,符合题意.
答:这个茶园的长和宽分别为30 m,20 m.
基础过关
能力提升
能力提升
-18-
2.3 一元二次方程及其应用
16.
为了响应“大众创业,万众创新”的号召,丁丁利用
某直播平台售卖蓝牙耳机,平均每天可出售50个,每个获利20
及长一十二步.问阔及长各几步.意思是:矩形面积864步2,宽比
长少12步,问宽和长各几步.若设长为x步,则可列方程为
x(x－12)＝864 .
9.[易错题]菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2－9x+20
＝0的一个根,则该菱形的周长为 20
.
基础过关
基础过关
能力提升
-6-
2.3 一元二次方程及其应用
2k)x+k＝0,因为方程有两个实数根,所以k≠0且Δ＝(5－2k)2－

2
4k ≥0,解得k≤ 且k≠0.

基础过关
能力提升
能力提升
-16-
2.3 一元二次方程及其应用
15.[HK版教材八下P48 B 组复习题第4题改编]某驻村工作
队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚
下,围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
基础过关
能力提升
能力提升
-11-
2.3 一元二次方程及其应用
【解析】根据图象可得k＜0,b＜0,所以b2＞0,－4k＞0.因为Δ
＝b2－4(k－1)＝b2－4k+4＞0,所以方程有两个不相等的实数

【教案】二次函数与一元二次方程、不等式说课稿-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！我说课的题目是《二次函数与一元二次方程、不等式》，内容选自人教A版普通高中教科书必修第一册第二章第3节，以下我将从教学分析与处理、学情分析、教学目标、教学重难点确定、教学过程与教学策略、教学效果与教学反思、练习、作业和板书设计等九个方面对我的教学设计进行阐述。

第一方面:教学分析与处理函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。

用二次函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中的相关内容的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性。

作为高中数学课程中的预备知识，本章起着衔接初高中数学的作用，在教学中，应引导学生结合本章知识的学习，从知识与技能、方法与习惯、能力和素养等方面实现从初中到高中数学学习的过渡。

第二方面:学情分析1.知识掌握上，学生对二次函教的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题.2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

3、心理上，老师应抓住一元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基础上，激发学生对一元二次方程的其它解法的探求兴趣，进而由一次函数与一元一次方程的关系类比到二次函数的图象与一元二次方程的根的情况上来，顺着学生的思维逐步引导加以激发。

第三、四方面：教学目标、教学重难点确定根据以上对教材和学生的分析，我确定了本节课的教学目标为：（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。

(2)借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性.(3)能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算素养.借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使研究方程和不等式的方法更具一般性和代表性，因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重要地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法。

中级经济师基础知识(2021年版)-第一部分第2章第2-3节(知识整理)

第三节
消费者均衡和化的商品组合必定位于预算线与无差异曲线相切的点上。 • 将预算线置于无差异曲线图中：
• 2、消费者效用最大化的均衡条件：商品边际替代率=商品的价格之比。
• 3、经济含义：在一定的预算约束下，为了实现效用最大化，消费者应该选择商品的最优组合，使得两种商品边际替代率等于两种商品价格比。
两种商品的效用最大化组合。
• “ 需求曲线” ：消费者在需求曲线上消费可以实现效用最大化。
• [解析]需求曲线某点斜率为负的价格的变化量与需求的变化量，由于正常商品对价格变化的反应大，例如价格下降10个单位，需求增加20个单位，此时斜率=-0.5，
• 而低档商品对价格变化的反应相对较小，如价格下降10个单位，由替代效应和收入效应共同影响，需求增加5个单位，斜率=-2，斜率的绝对值大于正常商品斜率的绝对值，所以低档商品的需求曲线更陡峭，正常商品需求曲线更平缓。)
• 【记忆三句话】 • 商品价格变化会产生收入效应和替代效应。 • 收入效应下，低档品价格与需求呈同方向变动，其他均为反方向。 • 收入效应小于替代效应
二、消费者的需求曲线（一）消费者均衡的前提条件（1）偏好不变（2）收入不变（3）价格不变（二）消费者需求曲线的推导过程假定X2商品价格不变，收入不变，X1商品价格变化，分析价格变化对消费者均衡的影响，从而说明X1商品需求曲线的形成。 • “ 价格-消费曲线” 表示消费者收入不变，与一种商品价格变化相联系的
• 结论：满足效用最大化的商品组合必定位于预算线与无差异曲线相切的点上。即：图中的C点。消费者效用最大化的均衡条件是商品边际替代率=商品的价格之比。 MRS=P1/P2
• 含义:在一定的预算约束下，为了实现效用最大化，消费者应该选择商品的最优组合，使得两种商品边际替代率等于两种商品价格比。

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2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫
做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0 时，x+a=±b，x=-a±b，当b<0时，方程没有实数根.
(2)配方法
考点2 一元二次方程根的判别式与根的情况［5年3考： 2014年(选择题)、2015年(选择题)、2017年(选择题)］
典型例题
1. (2017安顺)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数
根，则m的值可以是
(D )
A. 0
B. -1
C. 2
D. -3
2.(2017北京)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.
3. (2017宜宾)一元二次方程4x2-2x+ =0的根的情况是 ( B)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
4. 已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. (1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围.
(1)证明：∵在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中， Δ=［-(k+3)］2-4×1×(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0， ∴方程总有两个实数根. (2)解：∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0， ∴x1=2，x2=k+1. ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得k＜0. ∴k的取值范围为k＜0.
主要公式 1. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用 “Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.
I. 当Δ>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II. 当Δ=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； III. 当Δ<0时，一元二次方程没有实数根.
6. 解方程：(x-1)(x-3)=8.
解：∵(x-1)(x-3)=8， ∴x2-4x+3=8. ∴x2-4x=5. ∴x2-4x+4=9，即(x-2)2=9. ∴x-2=±3. ∴x1=3+2=5，x2=2-3=-1.
7. 解方程：3(x-3)2-25=0. 解：∵3(x-3)2-25=0，
3. 解方程：(2x-1)2=25.
解：开方,得2x-1=5或2x-1=-5. 解得x1=3，x2=-2.
4. 解方程：x2+x-2=0. 解：分解因式,得(x-1)(x+2)=0. 可得x-1=0或x+2=0. 解得x1=1，x2=-2.
考点演练
5. 4x2-3=12x.(用公式法解) 解：原方程整理,得4x2-12x-3=0， ∵a=4，b=-12，c=-3， ∴Δ=144-4×4×(-3)=192＞0.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为：
公式法的步骤：把一元二次方程的各系数分别代入求根公式，
然后计算得出结果即可，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c.
(4)因式分解法因式分解法就是利用因式分解的思想，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求出方程的解的方法，它是解一元二次方程最常用的方法.
解：(1)设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系,得x+1=-a，x·1=a-2. 解得x=- ，a= . 即a= ，方程的另一个根为- . (2)∵Δ=a2-4(a-2)=a2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
∴(x-3)2= .
∴x-3=± .
∴x1=3ห้องสมุดไป่ตู้ ，x2=3- .
8. 解方程：(x-2)(x-5)=-2. 解：∵(x-2)(x-5)=-2, ∴x2-7x+12=0. ∴(x-3)(x-4)=0. ∴x-3=0或x-4=0. ∴x1=3，x2=4.
考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题和解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤. 注意以下要点： (1)解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种； (2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在与掌握求根公式和因式分解的方法.
配方法的理论根据是完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则有 x2±2bx+b2=(x±b)2.
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方公式. (3)公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
2. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
方法规律
公式法和因式分解法的运用技巧 (1)在解一元二次方程时，最常用到的方法是公式法和因式分解法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法). 在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解. (2)在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.
第一部分教材梳理
第二章方程与不等式第3节一元二次方程
知识梳理
概念定理
1. 一元二次方程 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边为一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项， b叫做一次项系数；c叫做常数项.
中考考点精讲精练
考点1 解一元二次方程［5年1考：2015年(解答题)］典型例题
1. 解方程：x2-5x-1=0.
2. x2-4x+1=0.(用配方法) 解：∵x2-4x+1=0， ∴x2-4x=-1. ∴x2-4x+4=4-1，即(x-2)2=3. ∴x-2=± . 解得x1=2+ ，x2=2- .