解析函数习题课共33页
求函数解析式(知识点+例题+习题)精编pdf版
求函数的解析式（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式． (2,)+∞．(2,)+∞，求()f x 的解析式．21)1-，用新的．（2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．（4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x（或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．练习题：答案解析：6解析：设2()(0)f x ax bx c a=++≠，则22(1)()(1)(1)()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=++++-++=++由题意可知(0)122f caa b==⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得111abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩2()1f x x x∴=-+．答案：21x x=-+7解析：13()5()21f x f xx+=+…………①用1x替换x得123()5()1f f xx x+=+……②35①-②⨯⨯得1016()62f x xx-=--即153()888xf xx=+-．答案：153()888xf xx=+-8解析：()2()31f x f x x--=-…………①用x-替换x得()2()31f x f x x--=--……②两式联立解得()1f x x=+．答案：A数学浪子整理制作，侵权必究。
复变函数课件第二章习题课
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复变函数极限的洛必达法则
如果f (z)和g(z)在z0解析,且f (z0 )=g(z0 ) 0, g '(z0 ) 0,
f (z) f (z0 )
lim f (z) lim z z0 zz0 g(z) zz0 g(z) g(z0 )
z z0
= f '(z0 ) g '(z0 )
习题课
第二章 解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
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1、重点与难点
重点：1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数；
难点：1. 解析函数的概念； 2. 多值函数单值化。
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2、内容提要
它们之间的关系
极限 连续性
指数函数 三角函数 双曲函数 对数函数
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复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、 积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
复合函数的连续性
(2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处 连续.
sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
、csionshh((xx
yi ) yi )
cosh x cos sinh x cos
y i sinh y i cosh
x sin x sin
y, y.
、cosh2 z sinh2 z 1
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双曲函数的定义和性质
高中数学必修一课后习题答案(人教版)
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}U AB =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =， 集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
复变函数第三版习题
复变函数第三版习题第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。
3. 设函数f(z)在区域D内解析。
证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。
4. 设函数f(z)在区域D内解析。
证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。
5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。
6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。
7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。
?,??r?rr?????r2z8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。
证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。
10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。
11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。
【初中数学】人教版八年级下册第3课时 一次函数解析式的求法(练习题)
人教版八年级下册第3课时一次函数解析式的求法(179)1.如图,在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，3)，(3，1)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点.(1)求直线l所对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积．2.如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到像点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l所表示的一次函数的解析式；(3)若将点P2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．3.把直线y=−3x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且3m+n=10，则直线AB的函数解析式是（）A.y=−3x−5B.y=−3x−10C.y=−3x+5D.y=−3x+104.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是（）A.y=x+5B.y=x+10C.y=−x+5D.y=−x+105.如图所示，直线AB是一次函数y=kx+b的图象．若AB=√5，则函数解析式为．6.如图,在平面直角坐标系中,A(2,3),B(−2,1),在x轴上存在点P,使点P到A,B两点的距离之和最小,则点P的坐标为．7.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，过点A(1，2)的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k的值为．x+3 8.一次函数y=kx+b的图象过点(−2，5)，并且与y轴相交于点P，直线y=−12与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式．9.某超市以10元/件的价格购进一批商品．根据前期销售情况，每天销售量y(件)与定价x(元/件)是一次函数关系，如图所示．(1)求销售量y与定价x之间的函数解析式；(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所能获得的利润．10.已知一次函数y=kx+b，当−3≤x≤1时，−1≤y≤7，求这个一次函数的解析式．11.如果一次函数y=kx+b的图象经过点(1，3)和(0，1)，那么这个一次函数的解析式是（）A.y=−2x+1B.y=2x+1C.y=−x+2D.y=x+212.下表中是一次函数的自变量x与函数y的三组对应值，则一次函数的解析式为（）A.y=−x+1B.y=−x−1C.y=x−1D.y=x+113.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.k=2B.k=3C.b=2D.b=314.已知一次函数y=kx+b,当x=1时，y=2，且它的图象与y轴交点的纵坐标是−5，那么该函数的解析式为（）A.y=3x+5B.y=−3x+5C.y=7x−5D.y=−3x−515.若一次函数y=kx+b的图象与直线y=−x+1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为（）A.y=−x−2B.y=−x−6C.y=−x−1D.y=−x+1016.如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A.y=2x+3B.y=x−3C.y=2x−3D.y=−x+317.已知一次函数的图象经过点A(0，2)和点B(2，−2)，则y关于x的函数解析式为；当−2<y≤4时，x的取值范围是．参考答案1(1)【答案】设直线l 所对应的函数解析式为y =kx +b(k ≠0)．把点(1，3)，(3，1)代入，得{k +b =3,3k +b =1, 解方程组，得{k =−1,b =4.∴直线l 所对应的函数解析式为y =−x +4.【解析】:用待定系数法求此一次函数的解析式.(2)【答案】在y =−x +4中，令x =0,得y =4,∴B(0,4)．令y =0,得x =4,∴A(4,0)．∴OA =4,OB =4.∴S △AOB =12OA ·OB =12×4×4=8【解析】:算出直线与坐标轴的交点坐标，然后直接计算三角形的面积.2(1)【答案】P 2(3，3)．【解析】:由表可知，P 2(3，3).(2)【答案】设直线l 所表示的一次函数的解析式为y =kx +b(b ≠0)．∵点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，∴{2k +b =1，3k +b =3，解得{k =2，b =−3.∴直线l 所表示的一次函数的解析式为y =2x −3【解析】:通过待定系数法代入坐标求出k ,b 的值.(3)【答案】点P 3在直线l 上．理由：由题意知，点P 3的坐标为(6，9)．∵当x =6时，y =2×6−3=9，∴点P 3在直线l 上．【解析】:先得到平移后的点P 3的坐标，再带入解析式中验证是否在直线l 上．3.【答案】:D【解析】:设直线y=−3x向上平移后得到直线AB，则直线AB的函数解析式可设为y=−3x+k，把(m，n)代入得n=−3m+k，解得k=3m+n，∵3m+n=10，∴k=10，∴直线AB的函数解析式为y=−3x+10. 故选 D4.【答案】:C【解析】:设P点坐标为(x，y)，PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D,C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2(x+y)=10，∴x+y=5，即y=−x+55.【答案】:y=2x+2【解析】:由图象知OA=2，在Rt△AOB中，OB=√(√5)2−22=1，所以点B的坐标为(−1，0)．将A(0,2)，B(−1,0)的坐标代入y=kx+b中,解得k=2，b=2,所以函数解析式为y=2x+26.【答案】:(−1,0)【解析】:如图,作出点A(2,3)关于x轴对称的点C(2,−3),连接CB交x轴于点P,且可求得直线CB的函数解析式为y=−x−1,当y=0时,−x−1=0,解得x=−1,∴点P的坐标是(−1,0)．7.【答案】:−23或25【解析】:分B 点在x 轴的正半轴和负半轴两种情况，分别求出k 的值 .8.【答案】:由题意可知，点Q 的坐标为(0，3)，所以点P 的坐标为(0，−3)，即点(0，−3)和点(−2，5)都在函数y =kx +b 的图象上，列方程组，得{−3=b,5=−2k +b,解得{k =−4,b =−3,所以这个一次函数的解析式为y =−4x −3【解析】:写出点Q 和点P 的坐标，并用待定系数法求出一次函数解析式.9(1)【答案】解：设y 与x 之间的函数解析式为y =kx +b ，根据题意，得 {11k +b =10，15k +b =2， 解得{k =−2，b =32，∴y =−2x +32(11≤x ≤15)．【解析】:从图上可知，一次函数图像通过两点，用待定系数法求出一次函数的解析式.(2)【答案】当x =13时，y =−2×13+32=6.利润=(13−10)×6=18(元)．答：超市每天销售这种商品所能获得的利润为18元10.【答案】:由一次函数的性质知，当k >0时，y 随x 的增大而增大，根据题意，得{−3k +b =−1,k +b =7，解得{k =2,b =5,即y =2x +5； 由一次函数的性质知，当k <0时，y 随x 的增大而减小，根据题意，得{−3k +b =7,k +b =−1， 解得{k =−2,b =1，即y =−2x +1.综上所述，这个一次函数的解析式为y =2x +5或y =−2x +1【解析】:分类讨论，并用待定系数法求出一次函数解析式.11.【答案】:B【解析】:∵一次函数y =kx +b 的图象经过点(1，3)和(0，1), ∴{k +b =3,b =1，解得{k =2,b =1.则这个一次函数的解析式为y =2x +1. 故选 B12.【答案】:A【解析】:设一次函数解析式为y =kx +b 代入两点坐标，建立一元二次方程组，解得k =−1,b =1,故选 A.13.【答案】:D【解析】:由一次函数与y 轴的交点可知，b =3，故D 正确.14.【答案】:C【解析】:由题设得{k +b =2,k ·0+b =−5,解得{k =7,b =−5， 所以该函数的解析式为y =7x −5.故选 C15.【答案】:D【解析】:∵一次函数y =kx +b 的图象与直线y =−x +1平行， ∴k =−1，又∵一次函数图象过点(8，2)，∴2=−8+b ，解得b =10，∴一次函数解析式为y =−x +10．16.【答案】:D【解析】:∵点B 在正比例函数y =2x 的图象上，横坐标为1， ∴y =2×1=2，∴B(1，2)，设这个一次函数的解析式为y =kx +b ．∵一次函数的图象过点A(0，3)，与正比例函数y =2x 的图象相交于点B(1，2)， ∴可得出方程组{b =3,k +b =2,解得{k =−1,b =3,∴这个一次函数的解析式为y =−x +317.【答案】:y =−2x +2；−1≤x <2【解析】:设一次函数解析式为y =kx +b ，把A(0，2),B(2，−2)代入得 {b =2，2k +b =−2，解得{k =−2，b =2，则一次函数解析式为y =−2x +2.∵y =−2x +2，∴函数y 随x 的增大而减小．∵当y =−2时，x =2；当y =4时，x =−1，∴当−2<y ≤4时，−1≤x <2．。
第二章解析函数习题及解答
第二章解析函数习题及解答2.1 研究下列函数在任一点处的可导性、解析性，若可导求其导数值．1）()33i y x z f -=； 2）()z z f =； 3）()z z f =； 4）()y y z f xx sin ie cos e +=.2.2 证明 如果()()()y x v y x u z f ,i ,+=在区域D 内解析且满足下列条件之一，则()z f 必为一常数.1）()z f 在D 内为实值. 2）()z f 在D 内解析. 3）()z f 在D 内为常数. 4）()z f arg 在D 内为一常数.5）在D 内有()()c y x bv y x au =+,,，其中a ，b ，c 是不全为0的实常数. 6）()()z f Re 或()()z f Im 在D 内为常数. 7）在D 内有()0='z f .2.3 证明在极坐标系下的柯西－黎曼条件为11,uurρϕρρϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂vv【提示：另一证明方法，可利用 cos ,sin x y ρϕρϕ==，然后根据复合函数求导证明】2.4 设()()()y x v y x u z f ,i ,+=在D 内解析．证明()()2222224z f z f y x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂.2.5 证明解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=的实、虚部所确定的曲线族()C y x u =,与()B y x v =,在()0≠'z f 的点处是正交的.（C ，B 为任意实数）2.6 已知下列调和函数求复势表达式()()()y x v y x u z f ,i ,+=．并写成关于z 的表达式. 1）()()12,-=x y y x u ，()i 2-=f 2）()x yy x v arctan,=，0>x2.7设()y y x v pxsin e ,=，求p 之值，使v 为一调和函数，并求一解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=.2.8 计算下列复数1）()ii 1+ 2）z 1，其中y x zi +=； 3）()i ln -；4）i1i+； 5）()2ln -; 6)Ln(1+i)2.9 求解方程 sin cos 0z z +=2.10 解下列方程1）0sin =z 2）0e 1=+z2.11 证明，对任何数（复数、实数）ω，方程ω=z cos 均有解. 2.12 求ω，使对任意z ，有()z z sin sin =+ω.2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数.(提示：参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况)本章计算机编程实践与思考(说明：读者可参考第五部分 计算机仿真编程实践)2.14 计算机编程计算π1ii i21234, (1i), iz ez z z -===+=2.15 计算机编程计算 12Ln (34i), ln(i 1)z z =-+=- 2.16 计算机编程解方程 sin 2z = 2.17 计算机编程计算 tan(1i)Arc + 2.18 计算机求解方程 10ze +=2.19 计算机仿真（Matlab,Mathcad,Mathmatic ）绘出 sin , cos , tan , ctan z z z z 的图形. 2.20 对于下列解析函数，分别用计算机仿真方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic ）绘出其实部和虚部的等值曲线图．（如等势线、电力线）23(1)(); (2)()f z z f z z ==本章习题解答2.1 研究下列函数在任一点处的可导性、解析性．1）()33i y x z f -=； 2）()z z f =； 3）()z z f =； 4）()y y z f xx sin ie cos e +=．解 1）()()()y x v y x u y x z f ,i ,i 33+=-=故()3,x y x u =，()3,y y x v -=；23xxu=∂∂，0≡∂∂yu，0≡∂∂xv，23yyv-=∂∂显见，u ，v 在全平面有连续一阶偏导，故()y x u ,，()y x v ,全平面处处可微，又令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y u xv y v x u得2233y x -=，即0022==⇔=+y x y x即，当且仅当0==y x 时，C-R 方程成立．所以()z f 仅在0=z 处可导，其他任何点不可导．由解析的定义可知，()z f 于全平面处处不解析．注 由此结果可见，复变函数可存在孤立的甚至唯一的可导点，而无孤立的解析点．2）()y x z z f i -==，对任一0z ，考虑极限()()⎩⎨⎧≠∆=∆-=∆≠∆=∆+∆∆-∆=∆-∆+→∆→∆0,0,10,0,1i i limlim0000y x y x y x yx z z f z z f z z 即对任一0z ，上述极限不存在，由可导定义知，()z z f =于任一点0z 处不可导．故全平面不解析．3）()()()y x v y x u yx z z f ,i ,22+=+==其中()22,yx y x u +=，()0,≡y x v ．所以，当()()0,0,≠y x 时，有22yx x xu+=∂∂，22yx y yu +=∂∂，0≡∂∂=∂∂yu xv因此，对()()0,0,≠∀y x ，C-R 方程不成立．而当()()0,0,=y x 时，由于()()x xxxxu x u x x x 02limlim0,00,lim→→→=-=-不存在，即()xu ∂∂0,0不存在，同理，()y u ∂∂0,0不存在，故()z z f =在0=z 处不可导．于是，()zz f =于全平面处处不可导，不解析．注 在本题讨论中，仍然采用检验可导充要条件的方法，由于()()0,0,≠y x 时，x u∂∂，y u∂∂，x v∂∂，y v∂∂均连续，故u ，v 可微，但C-R 方程处处不成立．对()()0,0,=y x ，从偏导定义出发，得知x u∂∂与y u∂∂不存在，从而()y x u ,在()0,0处不可微，故对平面任一点，可导的充要条件不满足．4）()()()y x v y x u y y z f xx,i ,sin ie cos e +=+=()y y x u xcos e ,=，()y y x v xsin e ,=y v y x u x ∂∂==∂∂cos e ，x v y y u x ∂∂-=-=∂∂sin e ，且x u ∂∂，y u ∂∂于全平面连续，故()z f 于全平面处处可导，全平面处处解析．又，()x v xu z f ∂∂+∂∂='i因此有()()z f y y z f xx=+='sin ie cos e 注 1.这里用区域解析的充分条件得到结论；2.本题中的()f z 是一性质极好的函数：不仅全平面解析，且具有特性()()z f z f ='，它正是实指数函数xe 在复平面的推广，即()ecos ie sin exp exx zf z y y z '=+==．但应注意这一推广产生的新性质：1） 由于y cos 与y sin 以πk 2为周期，使得ze 以i 2π的整数倍为周期．2） ze 可取到除0以外的任意复值，包括负值．这两点是值得注意的．2.2 证明 如果()()()y x v y x u z f ,i ,+=在区域D 内解析且满足下列条件之一，则()z f 必为一常数．1）()z f 在D 内为实值． 2）()z f 在D 内解析． 3）()z f 在D 内为常数．4）()z f arg 在D 内为一常数．5）在D 内有()()c y x bv y x au =+,,，其中a ，b ，c 是不全为0的实常数． 6）()()z f Re 或()()z f Im 在D 内为常数． 7）在D 内有()0='z f ． 证 首先，由条件()()()y x v y x u z f ,i ,+=在D 内解析⇔a ）u ，v 均在D 内可微，且b ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x v yu y v x u 在D 内处处成立． 1）因为()z f 在D 内取实值，即()0,≡y x v ，()D y x ∈,．于是0≡∂∂=∂∂yv xv，()Dy x ∈,．将此结果代入C-R 方程b ），得0≡∂∂=∂∂yu xu，()D y x ∈,．所以()A y x u =,．()D y x ∈,．即()A z f = D z ∈（A 为一常数）2）于()()()()()[]y x v y x u y x v y x u z f ,i ,,i ,-+=-=在D 内解析．因而除条件a ），b ）成立之外，条件c ）()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂-∂-=∂∂∂∂-=∂-∂=∂∂x v x v yu y v y v x u成立．联立b ），c ）得y vy v∂∂-=∂∂，x v xv∂∂-=∂∂即0=∂∂=∂∂yv xu，()D y x ∈,．又由b ）或c ）得0=∂∂=∂∂yu xu．所以在D 内，恒有()A y x u =,，()B y x v =,．即()B A z f i +=为常数． 3）由于()()()C y x v y x uz f ≡+=,,22，()D y x ∈,．1若0=C ，则()0≡z f ，()0≡⇔∈z f D z ，D z ∈．2若0≠C ，则由()()0,,222≠≡+C y x v y x u，两端分别关于x ，y 求偏导得：e ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y v v y u u x v v x uu ()D y x ∈,将b ）代入e ）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂00y u u x u v y u v x uu ()D y x ∈,由()()0,,222≠≡+C y x v y x u 得 0≡∂∂=∂∂yu xu， ()D y x ∈,代入b ）得0≡∂∂=∂∂yv xv， ()D y x ∈,于是()A y x u ≡,，()B y x v ≡,即 ()B A z f i +=， D z ∈（A ，B 为任意实常数） 3）因为()≡z f arg 常数，D z ∈，由主值支ωarg 的表达式得f ）()()≡y x u y x v ,,arctan常数C =，及()()0,,222≠≡+C y x v y x u，()D y x ∈,1若0=C ，则()()⎩⎨⎧>≡0,0,y x u y x v ()D y x ∈,归为1）的情形，得证．2若0≠C ，对c ）两端分别关于x ，y 求偏导得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂-∂∂=+∂∂-∂∂002222vu yu vyv u v u xuvx vu ()022≠+vu 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂00yu vyv ux u v x v u将b ）代入得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂00xu uxv v x u v x v u ()D y x ∈,()()0,,22≠+y x v y x u，=∂∂=∂∂∴xv xu再由b ）即得 0=∂∂y v，0=∂∂yu从而得()B A z f i +=，D z ∈（A ，B 为任意实常数）5）()()c y x bv y x u =+,,a ，()D y x ∈,，且a ，b ，c 是不全为0的实常数． 所以有022≠+b a ．于是对上式两端分别关于x ，y 求偏导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00yv byu a x v b x u a将b ）代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂00xv axu b x v b x u a因为022≠+b a ，故得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00x v x u()D y x ∈,再由条件b ）即得0=∂∂yv，0=∂∂yu．于是得()B A z f i +≡，D z ∈（A ，B 为任意实常数）6）1若()()0Im =≡C z f ，则()z f 在D 内取实值．即1）所证．若()()0Im ≠≡C z f 即()C y x v ≡,， ()D y x ∈,则0≡∂∂xv，0≡∂∂y v，()D y x ∈,，代入b ），即得≡∂∂xu ，0≡∂∂yu．()D y x ∈,，()B A z f i +=∴ ， D z ∈（A ，B 为任意实常数）2若()()C z f ≡Re ，即()C y x u ≡,， ()D y x ∈,则0≡∂∂xu，0≡∂∂xu，则由b ）知0≡∂∂xv，0≡∂∂yv，即()B A z f i += ， D z ∈7）由于()x vxu z f ∂∂+∂∂='i ．所以若在D 内有()0='z f ，则0=∂∂xu，0=∂∂xv()D y x ∈,，由条件b ）即得0=∂∂yu，0=∂∂yv()D y x ∈,．所以()B A z f i +=， D z ∈（A ，B 为任意实常数）．注 以上各命题的论证均是在()z f 于区域D 上解析的前提下进行的，否则结论不一定成立．例如，()zz f =为一实值函数，满足条件1）．但它于全平面不解析（见1-26题，3）．显然()zz f =在任何区域D 上不可能取常数值，即无题中的结论． 2.3 证明在极坐标系下的柯西－黎曼条件为11,uurρϕρρϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂vv【提示：另一证明方法，可利用 cos ,sin x y ρϕρϕ==，然后根据复合函数求导证明】 2.4 设()()()y x v y x u z f ,i ,+=在D 内解析．证明()()2222224z f z f y x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂．证 令()()()()y x G y x v y x uz f ,,,222=+=则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂222222222x v v x u u x v x u xG（1）同理得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂222222222y v v y u uy v y u yG（2）并注意()z f 在D 内解析．所以有()y u yv xv xu z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='ii即()22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='y v y u x v x u z f且u ，v 均为调和函数，即0=∆=∆v u ．于是（1）+（2）得 ()222224z f yG x G'=∂∂+∂∂注 本题证明中用到解析函数三条性质：（1）实、虚部满足C-R 方程．（2）()y uyv xv xu z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='i i ．（3）实部、虚部均为调和函数．即0=∆u ，0=∆v ．2.5 证明解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=的实、虚部所确定的曲线族()C y x u =,与()B y x v =,在()0≠'z f 的点处是正交的．（C ，B 为任意实数）证 因为在()0≠'z f 的点()y x ,，曲线族()C y x u =,在该点处的切线斜率为x v xu yu xu xy k ∂∂∂∂=∂∂∂∂-==d d 1．曲线族()B y x v =,在该点处的切线斜率为x u xv yv xv xy k ∂∂∂∂-=∂∂∂∂-==d d 2．所以121-=k k ．即曲线族()C y x u =,与曲线族()B y x v =,正交． （2）对使得0≠∂∂x u，0=∂∂xv的点()y x ,，曲线族()C y x u =,在该点处的切线为铅直线（∵d d =yx ），而曲线族()B y x v =,在该点处的切线为水平线（∵0d d =xy），故二者正交，同理，当0≠∂∂xv，0=∂∂xu时，二者也正交．注 1.本题证明中用到曲线与曲线正交即为二者在交点处切线的正交这一概念； 2.本题的结论是解析函数在()0≠'z f 处的又一性质．2.6 已知下列调和函数求复势表达式()()()y x v y x u z f ,i ,+=．并写成关于z 的表达式． 1）()()12,-=x y y x u ，()i 2-=f 2）()x yy x v arctan,=，0>x解 由于()()()y x v y x u z f ,i ,+=解析，所以()y x u ,，()y x v ,满足C-R 方程． 1）()()12,-=x y y x u ，故yxu yv2=∂∂=∂∂．由此得()()x C y y x v +=2,，这里()x C 为x 的任一可导函数．又由y u x v∂∂-=∂∂得()()12--='x x C所以()122C x x x C ++-=，1C 为任一实常数． 于是()1222,C x x y y x v ++-=．令2=z ，即⎩⎨⎧==02y x 得 ()i i 21-==C f ∴ 11-=C于是，满足条件的解析函数为()()()12i 1222-+-+-=x x y x y z f所以()()21i --=z z f2）在极坐标系下，C-R 方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂-=∂∂r ur v r v r u θθ形式． 令θ==x y v arctan （则由0>x 得⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππθ），有1=∂∂θv ，0=∂∂r v ，所以得1=∂∂r ur ，即r ru1=∂∂解得 ()()θθC r r u +=ln , ()θC 为θ的任一可导函数．又由()0=∂∂-='=∂∂rv rC uθθ得()1C C =θ．1C 为任一实常数．所以 ()1ln ,C r r u +=θ()()()θθθi ln ,i ,1++=+=C r r v r u z f注意z r =，()0arg arctan >==x z x yθ得()1arg i ln C z z z f ++=2.7设()y y x v pxsin e,=，求p 之值，使v 为一调和函数，并求一解析函数()()()y x v y x u z f ,i ,+=．解 因为()y y x v pxsin e,=，所以yp xv pxsin e=∂∂，yp xvpxsin e222=∂∂，yyvpxcos e=∂∂，yyvpxsin e-=∂∂由[]1sin e22222=-=∂∂+∂∂=∆p y yv xv v px，得1±=p ．（1）当1=p 时，()y y x v xsin e ,=．由1-32题的方法易求出调和函数()c y y x u x+=cos e ,，则()C y C y z f zxx+=++=e sin ie cos e 为所求解析函数，其中C 为任意实常数．（2）当1-=p 时，()y y x v xsin e ,-=．可求得调和函数()1cos e,C y y x u x+-=-．（1C 为任一实常数）．于是所求的解析函数为()()()[]111esin i cos esin iecos eC C y y y C y z f xzxx+-=+-+--=++-=---- (全平面解析)2.8 计算下列复数1）()ii 1+ 2）z1，其中y x z i +=； 3）()i ln -；4）i1i+；5）()2ln -解 1）()()2iln 2412i 4i2ln i i 1iln ieee i 1+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++===+πππk k （k 为整数）2）()()()x k x k yk y yx zππππ2sini 2cos ee11k 22i i x i +===-++ () ,2,1,0±±=k当0=k 时得 11=z3）()()πππk k 2i 2i2i i iarg i ln i ln +-=+-+-=- () ,2,1,0±±=k4）()() ,2,1,0iek 22/1±±=+k π；5）()() ,2,1,012i 2ln ±±=++k k π 注 （i ）.以上各题均由定义求得；(ii). 值得注意的是，1只是z 1无穷多个值中的一个值（对应于0=k ），这与实变量函数中的概念不同．2.9 求解方程 sin cos 0z z +=【解】 (2)22sin cos 0(1)(1)2211/4, (0,1,2,)iz iziz iziz izi n ize e e ez z e i ei ii ei eiz n n ππππ-----++=+=∴-=-++=-=-=-∴=-=±±2.10 解下列方程1）0sin =z 2）0e 1=+z解2） ∵i2ee sin i i =-=-zz z∴ zzi i ee-=，即1e 2i =z由对数函数定义得 πk z 2i 1ln 2i == ∴ πk z k =，k 为任意整数． 3）由01e =+z 得1e -=z由对数函数定义得 ()()π12i 1ln +=-=k z k k 为任意整数 主值为i 0π=z2.11 证明，对任何数（复数、实数）ω，方程ω=z cos 均有解． 证在2ee cos i i zz z -+=中，令zt i e=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t z 121cos ，且()x x t yzsin i coseei +==-，所以0≠t ．且t 可取到任意非0值．于是，原方程即为ω=⎪⎭⎫⎝⎛+t t 121，即0122=+-t t ω．所以12-+=ωωt ．（这里12-ω有两个根） 故01e2i ≠-+=ωωz，由对数函数定义得()()1iln 1ln i 122-+-=-+=ωωωωz所以012≠-+ωω．故右端对任意ω均有意义，得证．注 这里的结果说明两点：（1）复变量余弦函数可取到任意值（复、实值），而不象实余弦函数取值区间仅为[]1,1-；（2）所得结果改变z 与ω的位置，即得()1iln 2-+-=z z ω）．这正是z cos =ω的反函数．可对z sin 进行同样讨论，此略． 2.12 求ω，使对任意z ，有()z z sin sin =+ω．解 由z sin 的定义，即求满足方程()()zz z z i i i i e e e e -+-+-=-ωω的一切ω值．整理化简即得 ()()ωωωi i i 2i e1e1ee ----=-⋅z，对任意z 成立．且因0eei 2i ≠⋅ωz．故得0e1i =--ω，即πωk 2i 1ln i ==-．k 为任意整数．所以 πωm 2= () ,2,1,0±±=m注 由此题结果可见，复变量正、余弦函数为周期函数，且周期与实变量正、余弦的相同． 2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数． 【提示，参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况】。
求函数解析式__定义域__值域习题课
新高一 求函数解析式 定义域 值域习题课教学目标：理解函数定义域，对应关系，值域的含义，并会求函数解析式，复合函数定义域，值域。
教学重点难点： 函数的对应关系，会求函数解析式，理解复合函数的概念。
教学过程：（一）：求抽象函数的定义域介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11- 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1同步练习1、（1）、若函数()y f x =的定义域是02,⎡⎤⎣⎦，则函数()()11y f x f x =++-的定义域为______________________________________________.（2）、若函数)23(x f -的定义域为[]1,2-，则函数)(x f 的定义域是________.变式：1.已知函数()f x 的定义域为14,⎡⎤⎣⎦,则()2f x 的定义域为____________； 2.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1],则函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为_____________________.（二）：求函数的解析式一，求函数解析式。
复变函数的可导与解析练习题.ppt
（3） f (z) x 2 iy
解 u( x, y) x 2 , v( x, y) y，而
ux 2x, uy 0, v x 0, v y 1 ux ,uy ,vx ,vy在复平面上处处连续， 但仅在直线x 1 上满足C R条件
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复 数 集 ：C z x iy x, y R
x Re z, y Im z, i 1
复 数 集C中 的 四 则 运 算 满 足 ： 加法 与 乘 法 的 交 换 律 ， 分 配 律 ， 且 复数 集 中 有 零 元(0)， 单 位 元(1)及 逆 元(z 1 ),于 是 复 数 集C构 成 一 个 数 域 复 数 域C
v v x x v y y o( (x)2 (y)2 ) w u iv
z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
课件
C
R条件
u
x
x
v
x
y
i（v
x
x
u
x
y)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
x y x y
x y x y
处处不可导。
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？
例 3 证明 ：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R
条件，但不可导。
证 ：f (z) Re z Im z xy ,
u( x, y) xy , v( x, y) 0
课件
f z f 0
lim
不存在
z 0
z
f (z) 在 z 0 不可课件导。
第二章 解析函数
例7 研究函数 f (z) z 的解析性.
解
f z
f (z z) f (z) z
z z z z
z . z
令 z x iy , f x iy .
z x iy
因为 lim f 1, z x0
y0
lim f 1, z y 0
x0
所以
f lim
不存在.
z z0
因此 f (z) 在复平面内处处不解析.
按实部和虚部整理得：
u( x x, y y) u( x, y) ax by o(| z |)； v( x x, y y) v( x, y) ay bx o(| z |)；
因此，u( x, y)及v( x, y)在( x, y)处可微，并有C R方
程 u v x y
u y
v x
解：lim z 0
f (z z) z
f (z) lim ( x x) 2i( y y) ( x 2 yi)
z0
z
x 2yi lim
z0 x yi
当z z沿平行于x轴的直线趋于z,有y 0
x 2yi
lim
1;
x0 x yi
y 0
当z z沿平行于y轴的直线趋于z,有x 0
用定义讨论函数的解析 性绝不是一种好办法！
任务！！！
寻求研究解 析性的更好 的方法
作业：
• 第二章习题p66 • 2(1)(3) • 3(2)(4) •4
一、函数解析的充要条件 二、函数解析的判定方法 小结与思考
三、函数解析的充要条件
定理一
设 函 数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定 义 在 区 域 D 内, 则 f (z) 在 D内 一 点z x yi 可 导 的 充 要 条 件 是: u( x, y) 与 v( x, y) 在 点( x, y) 可 微, 并 且 在 该 点 满 足 柯 西 － 黎 曼 方 程（ 简 称C R方 程 ）
(解析函数)
实事上,函数在一点可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点解析, 则在该点及该点的某个邻域一定可导. 练习： 试证 f (z) ex (cos y i sin y) 在复平面上解析，且求 f '(z)
2v y 2
0
调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续
偏导数且满足拉普拉斯方程 2H 0 则称H(x,y)为
区域B上的调和函数.
4
以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别
称之为共轭调和函数
( x,0)
(x,y)
v 2 ydx 2xdy 2 ydx 2xdy C
y
(0,0)
( x,0)
(x,y)
( x, y)
•• 2xdy C 2xy C C为积分常数
(0,0)
o
x
(x,0)
7
(2)凑全微分法 由上已知
dv=2ydx+2xdy 很容易凑成全微分形式d(2xy),则
dv=d(2xy) 此时显然有v=2xy+C
实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.
(3)不定积分法 上边算出
v 2x, ••v 2 y
y
x
第一式对y积分,x看做参数,可得
v 2xdy (x) 2xy (x) 其中(x)为x的任意函数,再
对x求导 v 2 y (x) 由柯西-黎曼条件知道 (x) 0
§1.4 解 析 函 数 上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们
第2章解析函数1-24页文档资料
第一章.掌握
❖ 复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换.
z与(x,y): f(z) ---- F(x,y)
❖ xoy平面映射到uov平面.
(x,y)<==>z --[w=f(z)]-- w<==>uov
作业讲解
❖ p.32. 12(3)
§1解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 1、导数的定义 2、例题： 例1；例2 3、连续、导数、微分 二、解析函数的概念 1、定义 2、例题： 例3；例4 3、定理
注: f为复值函数, F为实值函数
╬
返回
[例1] 设 f(z)zRz) e求 ,(f(0 )
解： f(0)lim f(z)f(0) z 0 z0
lim zR(z) z0 z
limR(z) z0
lim x 0 x0 y0
╬
返回
[例2] 证明 f(z)x2yi在任意点处不可导。
Proof:
f(zz)f(z)
0,
v
0
x
x 0
x
(0 ,0 )
x 0 x
y (0,0)
所以 u v , 同理 v u
x (0,0)
y (0,0)
x (0,0)
y (0,0)
即满足C-R条件；
f(0)lim f(0z)f(0) lim | x y |
返回
1、导数的定义：
设 wf(z) 在D上有定义，z0D ,z0zD。若
limf(z0z)f(z0) 存在，则称
z 0
z
f (z)
在z0处可导。记为
f
(z0
)
dw dz zz0
limf(z0z)f(z0)
解析函数
求f ( z ) = z 2的导数 . 例1
解 z ∈ C
f ( z + z ) f ( z ) ∵ lim z → 0 z
( z + z ) 2 z 2 = lim z → 0 z = lim ( 2 z + z ) = 2z .
∴ f ( z ) = z 在z平面上处处可导 .
2
z → 0
若记 z = z0 + z , 则得到 f ′( z0 ) 的另一种表达形式 f ( z 0 + z ) f ( z 0 ) z f ( z + z ) f ( z ) f ′( z ) = lim z → 0 z
函数 f(z) 的导数定义为
, . 如果函数 f (z) 在区域D内处处可导我们就称 f (z) 在区域内D可导
函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 闭区域上解析与在闭区域上可导 即函数在闭 函数在闭区 函数在闭区 区域上解析 域上可导 域上可导
函数解析比可是与区域密切相 伴的,要比可导的要求要高得多 伴的 要比可导的要求要高得多
12
说 明
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 不解析 , 但在z0的任 定义 2.3一邻域都有解析点f ( z )的解析点,那末称 z0 为 f ( z ) 的奇点.
( 2 ) 设函数 h = g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析 , 函数 w = f ( h ) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w = f [ g ( z )] 在 D 内解析 .
根据在 z0 可导的定义 , 使得当 0 <| z |< δ 时, ε > 0, δ > 0,
解析函数习题课35页PPT
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
35
第2章 解析函数习题课
复变函数的导数具有与实变函数同样的求导法则 。
• 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假 设可导）： （1） (C ) 0, 其中 C 为复常数； （2） z n） nz n1 , 其中 n为正整数； （ （3） f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) ； （4） f ( z ) g ( z )
(4) e 是以2 i为基本周期的周期函数
z
(5) lim e z不存在.
z
( lim e , lim e 0 )
z z z x z x
由e z e x iy e x (cos y i sin y)知：当 x 0时， e iy cos y i sin y，e iy cos y i sin y
(4) 除去原点与负实轴, Ln z在复平面内处处解析： 1 1 d ln z 1 1 ' ' (ln z ) , ( Lnz ) w dz z z z de ( lim arg z , lim arg z π.) d w
y 0 y 0
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
12根式函数的单值解析分支于是在区域13根式函数的支点与支割线因此13根式函数的支点与支割线从上面的讨论可以看出判断一点是否为根式函数的支点关键是看当变点从上一点出发绕连续变动一周而回到其出发点时的辐角是否发生变化以及根式函数的像点是否能回到其初始位置而根式函数的像点是否可回到初始位置与像点的辐角是否发生变化密切相关
性质：
(1) e z定义在全平面上，且 e z 0 ( ex 0, eiy cos y i sin y 0 ez 0) z z z (2) e 在全平面解析，且 e e ——参见例2.9
解析函数题库
二．解析函数㈠选择1.设v(x,y)=e ax siny是调和函数，则常数a=（）A.0B.1C.2D.32.设f(z)=z3+8iz+4i，则f′(1-i)=（）A.-2iB.2iC.-2D.23.设f(z)=e x(xcosy+aysiny)+ie x(ycosy+xsin y)在Z平面上解析，则a=（）A.-3 B.-1C.1D.34.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，u(x,y)=x2-y2+x，则v(x,y)=（ ） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+yD.x+y5.设z=cosi ，则（ ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 6.复数i3e +对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ ） A ．4π－B ．1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ．1,0,k ,42k ±=+ππ8.下列函数中，不解析．．．的函数是（ ）A.w=zB.w=z2C.w=e zD.w=z+cosz 9.在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（ ） A.sinz 是周期函数 B.sinz 是解析函数C.|sinz|1≤ D.zcos )z (sin ='10.在下列复数中，使得e z=2成立的是（ ）A.z=2B.z=ln2+2iπ C.z=2 D.z=ln2+iπ 11.Re(cosi)= （ ）A ．2e e 1-+ B ．2e e 1--C ．2ee 1+-- D ．2ee 1--12.设f(z)=(1-z)e -z，则)z (f '=（ ）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z13.设e z=i31+，则Imz 为（ ）A ．ln2B ．32πC ．2k π,k=1,0±… D ．3π+2k π,k=0,1±…14.设z=cos(π+5i)，则Rez 等于( )。