向量内积的运算律

向 量 7.4.1 向量的内积
向量 向量
一个物体在力 f 的作用下产生的位移 s ，那么力 f 所
做的功应当怎样计算？
f
θ
s
力做的功： W f s
s f cos 其中是 f与s 的夹角, cos是 f 在物体前进方向上的分量． f cos 称做位移 s与力 f 的内积．
求 a b．
解：由已知条件得 a b a b cos 〈a, b 〉
5 4 cos 120 10．
3．向量内积的性质 e 是单位向量． 设a， b为两个非零向量， ⑴ a e e a a cos 〈a, e 〉 ⑵ a b a b 0 2 a a a 0 ⑶ 或 a a a ⑷ a b a b 4．向量内积的运算律 ⑴ a b b a
1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a与 b ，作 OA a， OB b，则 ∠AOB 叫 B 记作〈a , b 〉． 做 a与 b的夹角． b 规定 0 〈a , b 〉 180 A O a 说明： （1）当〈a , b 〉 a 与 b 同向； 0 时， （2）当〈a , b 〉 a 与 b 反向； π 时， π 记作 a b ； （3）当 〈a , b 〉 时， wenku.baidu.com 与 b 垂直；
记作
规定 0与任何向量的内积为0．
说明： （1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由 cos 〈a , b 〉 的符号所决定． （2）两个向量的内积，写成 a b；符号“· ”在向量运 算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
例1 已知 a 5 ， b 4，〈a, b 〉 120．
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型 主要有： 1.直接计算内积． 2.由内积求向量的模． 3.运用内积的性质判定两向量是否垂直． 4.性质和运算律的简单应用．
必做题：教材 P54 练习 A 组
第 2 题（1）（3）； 第 3 题 （1）（2）；
选做题：练习 B 组
第 1 题．
⑵ ( a b ) ( a ) b a ( b )
⑶ (a b ) c a c b c
2 2 例2 求证 ⑴ (a b ) (a b ) a b 2 2 2 2 ⑵ a b a b 2( a b ) 证明：⑴ (a b ) (a b ) a a a b b a b b 2 2 a b 2 ⑵因为 a b (a b ) (a b ) 2 2 a 2a b b 2 a b (a b ) (a b ) 2 2 a 2a b b 2 2 2 2 所以 a b a b 2( a b )
2
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
2．向量的内积
〈a , b 〉 已知非零向量 a与 b， 为两向量的夹角，则数量 a b cos 〈a , b 〉 叫做 a与 b的内积．
a b a b cos 〈a, b 〉
1.已知 a , b , a , b , 求 a b ． ⑴ a 7, b 12, a, b 120 ； ⑵ a 8, b 4, a, b π. 2.已知 a b , a b , 求 a , b ⑴ a b 8, a b 16 ⑵ a b 6 3 , a b 12