初升高衔接班

前言

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

1 数学语言在抽象程度上突变。初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、函数语言以及以后要学习到的逻辑运算语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3现有初高中数学知识存在“脱节”。立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用；因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等；二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧；二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

为了有效搞好初高中数学衔接，本篇讲义共28课时初高中课时比例约为1:5，并分为两部分：第一部分：方程与不等式；第二部分：集合与函数的概念。旨在为高中数学学习提供一个优良的基础。

１

目录

初中篇

1.方程与不等式（约6课时）

2.1方程

2.2一元二次方程根的判别式、根及系数的关系

2.3二次函数的图像和性质

2.4一元二次不等式的解法

2.5简单分数与高次不等式解法

2.6含绝对值不等式的解法

高中篇

3.集合与函数概念（约16课时）

3.1集合

3.1.1集合的含义与表示

3.1.2集合间的基本关系

3.1.3集合的基本运算

3.2函数及其表示

3.2.1函数的概念

3.2.2函数的定义域，函数表示法

3.3函数的基本性质

3.3.1单调性

3.3.2函数的最值与值域

3.3.2奇偶性

第一课

1.数与式的运算

1.1乘法公式

一、学习目标

1、会利用乘法公式进行简单的运算；

2、能够灵活应用乘法法则进行多项式的化简。

２

３

二、学习难点

理解并运用公式化简计算并解决数学问题 三、学习过程

1.知识回顾

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22

()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222

()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233

()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223

()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223

()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 2.例题选讲：

例1计算：22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

例2已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值．

例3 计算（1）331.080.08-（2）33

1.980.02+

（3）3223

0.1930.19 2.1930.19 2.19 2.19-⨯⨯+⨯⨯-

例4化简代数式：

3

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)6128;(2)(24)(24);

(3)()()()

x x x x x x x y x xy y x xy y -+-++-+-++-+

练习：

1. 计算域化简

４

3223

3

3

3

3

(1)4.783 4.780.223 4.780.220.22(2)279(3)(3)86(2)

x y xy x y m n m n m n +⨯⨯+⨯⨯++++---

2. 展开代数式

3

2

2

(1)(32)(2)(23)(3)(234)m n a b c x y z -++--

1.2二次根式

一．学习目标： 二．学习难点： 三．学习过程：

一般地，形如(0)

a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.

例如2

32a a b b

+

++，2

2

a b

+等是无理式，而

2

2212

x x +

+，2

2

2x xy y

+

+，

2

a

等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等．一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b a b a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式

2

a

的意义

2

a

a ==,

0,

,0.

a a a a ≥⎧⎨

-<⎩

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b

；（2）

2

(0)

a b a ≥；（3）6

4(0)x y x <．

解：（1）1223b b

=；

（2）2

(0)a b a

b a b a ==≥；

（3）

6

3

3

422(0)

x y x y x

y x ==-<．

例2 计算：

3(33)

÷-

．