孪生素数个数公式
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孪生素数个数计算公式
李联忠
（营山中学 四川营山 637700）
摘要：孪生素数个数计算公式
∑
-∑-∑-⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡++
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡⋅++⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣⎡++
=≠==p p p x p p x p x L
i i
i
i
j k j k j k kj
i
k k k
I
n n n n 2
112,12
11
)1()
1()
1(、
＋ｑ-h
n 前的素数均是n 的约数时，孪生素数个数计算公式
p
p p p p p i
i
n L 22
12
2
1
1
-⋅
⋅-⋅-⋅
= +q-h
关键词：数论 孪生素数 公式
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：
孪生素数：相差２的素数叫孪生素数。 引理：若
p
p
n i
21
i 2+≤＜
，
p
p p
p
p
i i
k
1
2
1
,,
,,
,3,
2+== 为连续素数，则在1、2、
3…n 中去掉
p
k
的倍数，余下的数（1除外）全为素数。
分析下面相差2的数组
（１，３） （２，４）…（ｍ，ｍ＋２）…（ｎ，ｎ＋２） (1≤m ≤n) 若
p
p
n i
21
i 2+≤＜
p
p p
p
p
i i
k
1
2
1
,,
,,
,3,
2+== 为连续素数，在1、2、3…n 中去
掉除以
p
k
余0和余（
2-p
k
）的数，则余下的数组（ｍ，ｍ＋２）中，ｍ和（ｍ＋２）
都不是前ｉ个素数的倍数，据引理，余下的数组全为孪生素数（若n 为素数，n+2=p i 21
+，
（n,n+2）除外，i=1，（1，3）除外），仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式
∑
-∑
-∑
∑
+
+
++
+
+
+
+
-
=≠≠=≠==］
［］［
］［
］［p
p
p x
p
p p x
p
p x
p
x
L
i
i
i
i
j
k l j k l j
k
l
lkj i
j
k j k j
k
kj
i
k k
k
i
n n n n n
2
1
12,1,,3
,1,1
)
1()
1(
=q-h
)
)2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；作为的孪生素数，因为它们
表不大于
+=n n h q p i
()(mod
20,),(mod
20);(mod
02
2
1
1p x p
x
p x i
i 或或≡≡≡
⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
≡≡≡⎪⎩
⎪⎨
⎧≡≡)(m o d 20)(m o d 20)(m o d 0;)(m o d 20)(m o d 20122
12112p x p x p x p x p x i i
i i j
kj k
kj
或或或或
［ ］为取整号，x
x i
1 ；…，x kj …；…x k 12…为中国剩余定理同余组的解。）
证明：),1(,2,,1
1
k
2
1
i k p
p
p p
p
p i i
≤≤=+为连续素数
，，
］为［
的两个同余类数的个数和余余则要去掉的模
或设
p
z
p
p
p
x
k
k
k
k
k
k
n +
-≡)2(
0),(mod
20
则前面多去掉或或设］
［
数的个数可表示为
个素数要去掉的同余类前,)
(mod
20)
(mod 20;1
⎪⎩
⎪⎨⎧
≡≡+
∑=p
x p x p x j
kj
k
kj
i
k k
k n i
］，应加上；
［
的个数可表示为
∑
≠=+i
j
i j k j
k
kj p
p x n ,1,
则前面多加的个数可或或或设,)
(mod 20)(mod 20)
(mod 20⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧≡≡≡p
x p x p x j
lkj k
lkj l
lkj
以有应减去；以此类推，所
］［
表示为
,,1,,∑
≠≠=+i
j
k l j k l j
k
l
lkj
p
p p x
n
h
q n n n n n p
p
p x
p
p p x
p
p x p
x
L
i
i
i
i
j
k l j k l j
k
l
l k j
i
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k j k j
k
kj
i
k k
k
i
-++
+
+++
++
+
-
=∑-∑
-∑
∑≠≠=≠==］［
］［
］［
］［
2
1
12,1,,3
,1,1
)1()
1()
)2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；它们作为的孪生素数个数，因为
表不大于
+=n n h q p i
则有若
,|n p
k
h q n L p
p p p p p i
i
-+-⋅⋅-⋅-⋅
=22
12
2
1
1
证明：∵
n p
k
|
11
1
≤p
x
∴p p x n n 1
11
=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡+ k ≥2时
p p x k
k k
n n 2=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+