冲激函数的性质
char2冲激函数及其性质
例2： 求y(t)= f (t) * h(t)，其中 ：h (t) = u(t+1)-u(t-1)，
f (t ) T (t )
(t nT ) 解： y(t ) [u (t 1) u (t 1)]* (t nT )
v (t )
v c (0 ) v c (0 ) 0
否则，冲激响应会少一项
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法
1 0.5
sv (t )
(0.5) 0.25
h( t )
第二章 连续系统时域分析
2-3 信号的时域分解和卷积积分
T 2
1）f(t)=fD(t)+fA(t)
2.利用图解法计算
1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) 4） f() h(t-) 5）计算积分 （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移）
（相乘）
f () h( t )d
卷积积分图解法:
f 1 (t ) 1 1 0
阶跃信号 冲激信号 正弦信号 指数信号等
2、系统分析：已知系统模型，研究系统对各种激励信号作用 下的响应特性。
3、信号与系统分析的意义：
（1）信号时间特性与系统时间特性匹配；
（2）信号频率特性与系统频率特性匹配； （3）信号功率特性与系统负载功率匹配； （4）信号信息含量与系统容量匹配； 4、分析方法： 时域法/变域法 内部法/外部法
x(t )
x (t )
x ( k )
0
k (k 1)
冲激信号是偶函数,冲激偶信号是奇函数
冲激信号是偶函数,冲激偶信号是奇函数
冲激函数既不是偶函数也不是奇函数.是一个非正常函数,某种极限函数。
冲激偶函数是奇函数，关于原点对称，在全时域对其积分为零，即正、负两个冲激的面积相互抵消。
所以说冲激函数是偶函数，冲激偶就是奇函数
信号的分解，可以分解为冲激函数和阶跃函数的卷积，只不过对于阶跃函数而言会有一个初值的问题，这个初值产生原因就在于其对信号分解可以看成冲激函数与信号卷积的微分和积分（微分分配给f，积分分配给冲激函数），无论是先微分或者先积分，都会存在一个常数是无法确切表示的，需要有初值条件，从频域分析时，是因为存在微分性质使用时要保证是没有直流分量
在频域分析时，同样我们可以的得到一个有趣的结论，可以将任意信号分解为该信号的基函数的幅频特性曲线必没有0点，进一步拓展，一个有限长的信号，一定不能作为基函数表示任意信号（在时域来看这是显然的）。
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
单位冲激函数的性质
证 明 ： ＇ ｒ ， （ ￡ ） （ ￡ ） 出 一 』 ｆ （ ｔ ） （ ） 出 ＋ 』 ， （ ￡ ） （ ￡ ） ｄ ｚ ＋ Ｊ ， （ ￡ ） （ ￡ ） 出 一 － ｒ ｌ ｉ 一 ｍ 。 ｆ （ ￡ ） （ ￡ ）
Ｏ ∞
一
厂 （ ｏ ） Ｉ ８ ０ ） ｄ ｔ ：厂 （ ０ ） ． 同 理可得 Ｉ （ ￡ 一ｔ 。 ） 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ＝ｆ （ ｔ ｏ ） ．
１ 单 位 冲 激 函数 的 性 质
单 位 冲 激 函 数 或 狄 拉 克 （ Ｄ ｉ ｃ ） 函 数 为 （ ￡ ） 一 ｛ 。 ， 王 （ ） 一 １ ． 单 位 冲 激 函 数 （ ￡ ） 是 一 种 广 义
函数 ， 它 的 幅值 为无穷 大 ， 图象 只能用 带箭 头 的射线 表示 ． 但通 常不 标 出其 幅值ｏ 。 ， 而是 只用 括号 标 出其 冲激
证明： ｔ ： ／ ： Ｏ ， （ ￡ ） ＝０ ， ， （ ￡ ） （ ￡ ） 一０ ＝厂 （ ０ ） （ ￡ ） ； ￡ ＝０ ， ８ ０） ≠Ｏ ， 厂 （ ￡ ） （ ） 一厂 （ ０ ） （ ） ，
ｆ ｃ ｚ ｃ ｚ 一 ｛ ； 三 ≠ 。 ＝ ， ｃ 。 ， ｃ ． 同 理 可 得 ， ｃ ｚ ｃ 一 一 ｆ ｃ ｃ ｔ 一 ．
第 １ ４卷
第 １期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｏ ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｉ ＹＵＡＮ Ｎ ＯＲ ＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖｏ １ ． １ ４ Ｎ ｏ ． １
一
８ （ ｔ ） ｄ ｔ 一 １ ，
单位冲激函数性质
单位冲激函数性质
冲激函数的性质有：1、筛选性质。
2、取样性质。
3、导数性质。
4、尺度变换性质。
冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学
模型。
冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态
响应。
冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限
大的负的冲激函数。
应用领域：
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的
一些特性的研究。
冲激函数及其延时冲激函数的线性组合去则表示或迫近，再利用系统的vary原理，
可以通过直观的信号例如单位冲激函数的频谱，以及频域特性去探讨比较复杂信号的频谱。
从而增加排序繁杂信号频谱的难度。
关于冲激函数的一个性质
∫
Tk
-
Tk
+
δ[ψ( t ) ]ψ ( t) e ′
jwt
dt =
( T ) ]δ( y ) e sgn [ψ ′ ∫
0k jwTk
0+
- jwgk ( y)
( Tk ) ] e d y = sgn [ψ ′ Tk ) e
- jwt
jwgk ( 0)
=
( Tk ) ] e sgn [ψ ′
=
( T ) ]δ( t ∫sgn[ψ′
On a property of impulse f unction
HE Qiu - li , XU Mei
( Electrical Engineering College , Guangxi University , Nanning 530004 ,China)
Abstract :Impulse function δ( t ) is a singular function and play an important part in the subject
50
安徽大学学报 ( 自然科学版)
第 26 卷
成立 ,然后由这个等式直接推出 δ(ψ( t ) ) ψ ( t) = ′
∑
n
k =1
( Tk ) ]δ( t - Tk ) sgn [ψ ′
( 1)
ψ( t ) ) 笔者认为上述推断是不正确的 。下面我们将给出冲激函数δ( t ) 的导数与复合函数δ( ( ) 之间的一个更为一般的关系性质 ,从面推出等式 1 成立 。 定理 3 设 ψ( t ) 是 t 的实可导函数 , Tk ( k = 1 , 2 , …, n) 为 ψ( t ) 的所有的不同的实根 , 且 ψ( t ) 分别在 [ T -k , Tk ] 和 [ Tk , T + k ] ( k = ( 1 , 2 , …, n) 上严格单调 , 则
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
脉冲函数和冲激函数
脉冲函数和冲激函数1. 引言在信号处理和控制系统中，脉冲函数和冲激函数是非常重要的数学工具。
它们在时域和频域分析中具有广泛的应用，能够描述信号的时刻、幅度和频谱特性。
本文将详细解释脉冲函数和冲激函数的定义、用途以及工作方式等。
2. 脉冲函数2.1 定义脉冲函数（Impulse Function），也称为单位脉冲或单位样本序列，是一种特殊的信号。
它在时刻0处取值为无穷大，其它时刻取值均为零。
数学上，脉冲函数可以用符号δ(t)表示。
其中t表示时间变量，δ(t)表示在t=0时刻取值无穷大，其它时刻取值为零。
2.2 特点与性质•脉冲函数是一个奇异信号，在t=0处出现一个瞬间突变。
•脉冲函数的面积为1，即∫δ(t)dt = 1。
•脉冲函数的幅度是无穷大，在t=0时刻达到最大值。
2.3 应用脉冲函数在信号处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：2.3.1 时域分析脉冲函数可以用来描述信号的时刻特性。
当一个信号与脉冲函数进行卷积运算时，可以得到该信号在不同时刻的分量。
2.3.2 频域分析脉冲函数在频域上具有平坦的频谱特性，即其频谱密度为常数。
这使得脉冲函数成为理想的频率选择器。
2.3.3 系统响应在控制系统中，脉冲函数可以用来描述系统的单位响应。
通过将输入信号与单位脉冲进行卷积运算，可以得到系统对单位输入的响应。
2.4 工作方式脉冲函数可以通过多种方法生成，其中最常见的方法是通过极限逼近法。
例如，可以将一个矩形波形序列逐渐缩小并延长时间周期，使其趋近于一个无限窄、幅度为无穷大、宽度为0的瞬时脉冲。
3. 冲激函数3.1 定义冲激函数（Impulse Response）是指线性时不变（LTI）系统对单位脉冲输入的响应。
它描述了系统在接收到一个单位脉冲时的输出情况。
数学上，冲激函数可以用符号h(t)表示。
当输入信号为单位脉冲δ(t)时，系统的输出信号为h(t)。
3.2 特点与性质•冲激函数是系统的固有属性，与输入信号无关。
冲激函数的定义
冲激函数的定义冲激函数是一种特殊的函数，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
冲激函数在信号处理、控制理论、线性系统、微积分和物理学等领域都起着重要的作用。
本文将对冲激函数进行详细的定义和解释，以便读者更好理解其概念和应用。
1、什么是冲激函数冲激函数是数学中的一种特殊函数，也称为Dirac函数或Dirac delta函数。
冲激函数是在除零点外均为0，在零点附近无限大的函数。
冲激函数通常表示为δ(x)，其中x为自变量。
冲激函数在x=0处的值无限大，但在除零点外的其他点的值都为0。
在物理学和工程领域，冲激函数可以通过一个实验来理解它的概念。
如果我们在时间轴上以极短的时间间隔内向电路中输入一个短暂的电压脉冲，那么电路将会产生一个极短的电流脉冲，这个电流脉冲就可以用一个冲激函数来描述。
2、冲激函数的重要性冲激函数在数学中的重要性很大。
它可以用在微积分、偏微分方程、傅里叶分析、抽象代数和泛函分析等领域。
在控制系统和信号处理领域，冲激函数也是非常重要的。
它可以用来描述系统的 impulse response（冲击响应）函数，冲激响应是控制系统和信号处理中非常常见的一种概念。
冲激函数还可以用来分析和设计滤波器和信号处理系统。
在物理学中，冲激函数可以用来描述质点、电荷或电流的瞬间变化情况。
冲激函数也可以用来描述物理学中的波函数，比如在量子力学中，波函数可以在测量时间点上采用Delta函数的形式。
冲激函数有一些非常重要的性质。
下面我们将对其中的一些最主要的进行介绍。
3.1 奇异性冲激函数在所有除零点外的点上取值为0，但在零点处取值为无穷大。
冲激函数在数学上是一个奇异函数，可能常常忽略它在除零点外的任何部分。
3.2 瞬时能量3.3 单位冲激函数3.4 积分性质冲激函数的积分性质十分重要。
因为冲激函数在所有除零点外的点上都为0，所以对于任意函数f(x)，有：∫f(x)δ(x)dx=f(0)这意味着冲激函数的积分可以用来计算f(x)在零点处的值。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击图1-2强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激函数
t
R L
e
R L
t
t
hu t
t
R L
Rt
e L
t
t=0时,有冲激
电压出现
19
§9-5 由阶跃响应求冲激响应
❖ 线性非时变电路有一个重要的性质：如果激励x产生
响应y，那末，
激励
dx dt
将产生响应为
dy dt
；
激励 xdt 将产生响应为 ydt K K为积分常数。
由图(b)求短路电流时，电流
可看成是电阻支路电流和电容支
路电流之和。
电阻支路的电流为(t)/Rl。阶 跃电压(t)作用于电容，意味着电
容电压发生跃变，因而电容支路
的电流为C1(t)。
is
t
t
R1
C1
t
R1 // R2 C1 C2
23
解答
运用叠加定理，阶跃电流作用于电路时，u2(t)的分量
❖ 计算冲激响应时，先计算由(t)产生的在t=0+时的初始
状态，然后求解由这一初始状态所产生的零输入响应。 此即为t＞0时的冲激响应h(t)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自
冲激电源的冲激电压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激
f(t)=f(0)，故得
f t t f 0 t
f
t
t
dt
f 0 tdt
信号与系统单位冲激函数有关例题
信号与系统单位冲激函数有关例题摘要：一、信号与系统简介- 信号与系统的基本概念- 信号与系统的重要性二、单位冲激函数- 单位冲激函数的定义- 单位冲激函数的性质- 单位冲激函数在信号与系统中的作用三、单位冲激函数例题解析- 例题一：求解单位冲激函数的导数- 例题二：利用单位冲激函数求解信号的卷积- 例题三：利用单位冲激函数分析信号与系统的稳定性四、总结- 单位冲激函数在信号与系统中的重要性- 学习单位冲激函数的意义正文：一、信号与系统简介信号与系统是通信工程、自动控制等领域中的重要基础知识，它主要研究信号的产生、传输、处理和分析等方面的问题。
在实际应用中，信号与系统的问题往往涉及到复杂的数学模型和算法，因此，对于信号与系统的深入理解和掌握是非常重要的。
二、单位冲激函数单位冲激函数是信号与系统中非常重要的一个概念，它是一种理想化的数学模型，表示一种强度极大、作用时间极短暂且积分有限的信号。
单位冲激函数的定义为一个在t=0 处强度为1，在其他地方强度为0 的函数。
单位冲激函数的性质非常特殊，它具有以下几个重要的性质：1.线性性质：单位冲激函数与任何信号的卷积等于该信号的线性组合。
2.移位性质：单位冲激函数的移位是其自身的线性组合。
3.时间反转性质：单位冲激函数的时间反转仍然是它自身。
单位冲激函数在信号与系统中的作用非常重要，它被广泛应用于信号的卷积运算、系统的稳定性分析等方面。
三、单位冲激函数例题解析例题一：求解单位冲激函数的导数根据单位冲激函数的定义，我们可以得到单位冲激函数的导数为：δ(t)" = ∫[-∞,∞]δ(t-τ)dτ = δ(t)因此，单位冲激函数的导数仍然是单位冲激函数。
例题二：利用单位冲激函数求解信号的卷积设信号f(t) 和g(t) 分别为：f(t) = δ(t) + δ(t-1)g(t) = δ(t-1) + δ(t-2)则f(t) 和g(t) 的卷积为：(f*g)(t) = ∫[-∞,∞]f(τ)g(t-τ)dτ= ∫[-∞,∞](δ(τ) + δ(τ-1))(δ(t-τ) + δ(t-τ-1))dτ= δ(t) + δ(t-1) + δ(t-2) + δ(t-3)因此，f(t) 和g(t) 的卷积结果为δ(t) + δ(t-1) + δ(t-2) + δ(t-3)。
冲激函数及其性质
可以使用`title`和`xlabel`等函数为图形添加标题和坐标轴标签，以便更好地描述图 形。
计算卷积结果并展示图形
在MATLAB中，可以使用`conv` 函数计算两个序列的卷积结果。
将冲激信号与另一个信号进行卷 积运算，可以得到卷积后的结果
2023
PART 02
冲激函数性质分析
REPORTING
筛选性质
筛选性质定义
01
冲激函数具有筛选性质，即与任何函数相乘的结果都等于该函
数在冲激点的取值。
数学表达式
02
对于任意函数f(t)，有f(t)*δ(t) = f(0)*δ(t)。
应用举例
03
在信号处理中，冲激函数可用于从复杂信号中提取特定时刻的
2023
冲激函数及其性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
连续信号处理
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
线性叠加原理
单位冲激函数微分
单位冲激函数微分单位冲激函数，又称为Dirac函数，是一种特殊的数学函数。
它在物理学、工程学和数学中得到了广泛的应用。
这个函数具有很多特殊的性质，其中最重要的就是它在任意一个点都为0，但是在原点上却有无限大的值。
由于这些特殊的性质，单位冲激函数在微积分中有着至关重要的作用。
在微积分中，我们经常需要对函数进行求导和积分运算。
而单位冲激函数的一个重要性质就是其导数在所有点都为0，除了原点处，其中导数为无穷大。
这个特殊的性质使得单位冲激函数在微积分中具有重要的作用。
首先，让我们来看一下单位冲激函数的定义：定义：单位冲激函数是一个函数，它在原点上有一个无限高的脉冲，但在其他地方它的值都是零。
即：$$ \delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, &x\neq 0 \end{cases} $$显然，这个定义是很模糊的，因为没有办法将无限高的脉冲用数学公式来表示。
因此，我们采用一个近似值，即脉冲非常窄而高，使得将它近似为一个面积为1的矩形。
这个近似值可以用以下公式来表示：$$ \delta(x) = \begin{cases} 1/\epsilon, & -\epsilon/2 <x < \epsilon/2 \\ 0, & x\not\in(-\epsilon/2,\epsilon/2)\end{cases} $$其中，$\epsilon$是无限小的一个数，可以认为是一个趋近于0的数。
这个近似值虽然没有原来定义的那么精确，但是在实际使用中可行。
现在，我们来看一下单位冲激函数的导数。
为了方便起见，我们用$f(x)$来表示一个任意的函数。
则单位冲激函数的导数可以表示为：$$ \frac{d}{dx}\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\frac{\delta(x-\epsilon)-\delta(x+\epsilon)}{2\epsilon} =\begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x\neq0 \end{cases} $$可以看到，这个导数在原点处为无穷大，而在其他点处为0。
关于冲激函数导数的两个性质
关于冲激函数导数的两个性质
1.冲激函数导数的一般性质：
(1)冲激函数的导数是非负的，即对于冲激函数f(t)，它的导数f ′(t) ≥ 0；
(2)冲激函数的导数局部单调递增，只要f ′(s) > 0，就有f ′(t) < f ′(s)，即
f ′(t)在区间[s,+∞)上单调递增；
(3)冲激函数的导数的值域是有限的，即在区间[0,+∞)上，f ′(t)的值有可
能达到有限的值，而它的值不会无限增大；
(4)冲激函数的导数的值是从大到小的，即冲激函数的导数的值就是从
大到小的，这种趋势不变，所以f ′(t)的值变小时会慢一点。
2.冲激函数导数的性质：
(1)冲激函数的导数具有局部最大或最小值，其原因是冲激函数在某一
区间有导数并无导数；
(2)冲激函数的导数在使用时，其变化率跟随t不等，这就出现了在
「斜率大于零而小于零」；
(3)冲激函数的导数具有非常大的变化率，因为该函数属于反比函数，
其数值变化大，所以其导数也具有很大地变化率；
(4)冲激函数的导数具有连续性，即冲激函数的导数在全区间上都是连续的，这就有利于解决一般的冲激函数的计算任务。
冲激函数曲线
冲激函数曲线
冲激函数，也称为狄拉克函数或者单位冲激，是一种特殊的函数。
它在数学分析和信号处理等领域有广泛的应用。
冲激函数具有以下特性：
1. 当t < 0时，冲激函数δ(t)的值为0；
2. 当t = 0时，冲激函数δ(t)的值为无穷大；
3. 当t > 0时，冲激函数δ(t)的值为0。
因此，冲激函数在t = 0处有“冲激”，即在t = 0处函数值从0突变为无穷大。
这种函数的数学表达式为：
δ(t) = ∫(-∞,∞) δ(t) dt = 1
其中，积分范围是负无穷到正无穷，但由于当t < 0时，δ(t) = 0，所以积分值为1。
冲激函数的图像是一个矩形波，其中在t = 0处有一个高度为无穷大的峰。
这个峰的宽度可以非常小，但它的高度是无穷大。
在数学分析中，冲激函数通常被用于描述一些特定的物理现象或者信号处理中的瞬态行为。
冲激函数的象函数
冲激函数（impulse function）或狄拉克δ函数（Dirac delta function）是数学中的一个特殊函数，其定义如下：
* 在区间外为0，即当t≠0时，δ(t)=0。
* 在区间内为无穷大，即当t=0时，∫(-∞ to ∞)δ(t) dt = ∞。
由于冲激函数具有无穷大但面积为1的特性，它在信号处理和控制系统等领域有广泛应用。
对于冲激函数的傅里叶变换（或称傅里叶逆变换），可以得到其象函数。
傅里叶变换是将时域函数转换为频域函数的过程。
在频域中，冲激函数在频率为0处有一个无穷大的峰值，其他频率处为0。
因此，冲激函数的傅里叶变换（或逆变换）在频域中表现为一个无穷大的峰值，而在其他频率处为0。
这个特性使得冲激函数在频域中起到“标识”特定频率的作用。
在实践中，由于冲激函数的定义和性质较为特殊，常常会用一些近似的方法来模拟或逼近冲激函数的行为，例如用矩形脉冲、三角形脉冲等函数来近似表示冲激函数。
这些近似方法在一定条件下可以提供较好的近似效果，并且在计算和实现上更为方便。
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e(t )
r (t )
r(t ) = e(t τ )
�
δ 为了信号分析的需要, 函数, 为了信号分析的需要,人们构造了 (t ) 函数,它属于广 t 而言 δ 义函数.就时间 而言, (t ) 可以当作时域连续信号处 义函数. ,
理,因为它符合时域连续信号运算的某些规则.但由于 因为它符合时域连续信号运算的某些规则. δ (t ) 是一个广义函数,它有一些特殊的性质. 是一个广义函数,它有一些特殊的性质.
e1(t ) e2 (t ) r (t ) e1(t )
∑
e2 (t )
r (t )
r(t ) = e1(t ) + e2 (t ) r(t ) = e1(t ) e2 (t )
2.乘法器 2.乘法器
e1(t ) e2 (t )
r (t )
注意: 与公式中的卷积符号相区别,没有卷积器. 注意: 与公式中的卷积符号相区别,没有卷积器. 3.标量乘法器(数乘器,比例器) 3.标量乘法器(数乘器,比例器) 标量乘法器
∞
④ f (t )δ ′(t) = f (0)δ ′(t) f ′(0)δ (t ) ,
不同) (与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t ) 不同)
X
∞
冲激函数的性质总结
(1)抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
(5)冲激偶 δ ′(t ) = δ ′(t )
∫
+∞
s(t )
1
δ (t )
∞
(1)
τ 1 τ
τ τ o τ
s′(t )
1
τ
t
O
t
τ →0
δ ′(t )
τ2
1
τ2
τ τ O 1 2 1
τ
t
O
t
τ
τ2
冲激偶的性质
① δ′(t )是奇函数
δ ′(t ) = δ ′(t ) ,
② ③
δ ′(t0 t ) = δ ′(t t0 )
∫
δ ′(t )dt = 0 , ∞
∞
f (t )δ (t )dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t )dt = 0 ∞
∞
t
∞
(2)奇偶性 δ (t ) = δ (t )
δ ′(t )dt = δ (t ) ∞
∞
(3)比例性 ∞ 1 δ (at ) = δ (t ) f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) f ′(0)δ (t ) a (6)卷积性质 (4)微积分性质 du(t ) t f (t ) δ (t ) = f (t ) δ (t ) = ∫∞δ (τ )dτ = u(t) dt
∞
∞
∫
δ ′ (t )dt = δ (t ) ∞
t
∫
δ ′(t ) f (t )dt = f ′ (0) ∞
∞
∞
时移 ,则:
∫
阶导数: 对δ (t )的k阶导数: ∫ δ (k ) (t ) f (t ) d t = ( 1) f (k) (0)
k
∞ ∞
δ ′(t t0 ) f (t )dt = f ′ (t0 ) ∞
∫
f (t )δ ′(t )dt = f ′(0)
四.总结: R(t),u(t), δ(t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
δ (t )
∞
(1)
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
基本元件1 基本元件1
1.加法器 1.加法器
∞
f (t )
f (0)
∞
o
t
对于移位情况: 对于移位情况:
δ (t ) f (t t 0) = f (t0 )δ (t )
∫
δ (t t0 ) f (t )dt = f (t0 ) ∞
∞
2. 奇偶性
δ (t ) = δ (t )
3. 对δ(t)的标度变换
1 δ (at ) = δ (t ) a
冲激函数的性质
1.抽样性 . 2.奇偶性 . 3.标度变换 . 4.微分性质(冲激偶)和积分性质 .微分性质(冲激偶) 5. 卷积性质
如果f(t)在 处连续, 如果 在t = 0处连续,且处处有界,则有 处连续 且处处有界,
1.
抽样性(筛选性) 抽样性(筛选性)
δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t ) ∞ ∫ δ (t) f (t)dt = f (0)
e(t ) a r (t )
a
r(t ) = ae(t )
基本元件2 基本元件2
4.微分器 4.微分器 5.积分器 5.积分器 6.延时器 6.延时器
e(t ) d dτ r(t )
de(t ) r(t ) = dt
e(t )
∫
r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
∞
t
e(t )
τ
Tδ (5t ) f (t )dt =?
1 f (0) 5
4.微 4.微,积分性质
∫
δ (τ )dτ = u(t ) ∞
'
t
d[δ ( t )] δ (t )= dt
d u( t ) δ(t ) = dt
5.卷积性质 5.卷积性质
f (t ) δ (t ) = f (t )
δ ' (t )
4.冲激偶 4.冲激偶