椭圆的定义及性质(课堂PPT)
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
椭圆的几何性质 课件(52张)
c 的等量关系．
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P
《椭圆》ppt课件
解析：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6。 ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2。 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1|· |PF2|＝ ×8×6＝24。 2 2 x2 y2 (2)设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)。 a b 4 3 由点P(2， 3)在椭圆上知 2＋ 2＝1。 a b 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
第八章 解析几何
第五节
椭
圆
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
考纲 导学
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 2.了解圆锥曲线的简单应用。 3.理解数形结合的思想。
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
1．椭圆的概念 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数( 1 □
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
图形
坐标轴 (－a,0) (0，－b) (a,0) (0，b) 2a 2c (0,1) (0，－a) (－b,0)
原点 (0，a) (b,0) 2b
a2－b2
1个规律——椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系 x 2 y2 给出椭圆方程 2＋ 2 ＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔a＞b＞0；椭圆的焦点在y轴上 a b ⇔0＜a＜b。 1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思 考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理 清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。
椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
《椭圆的几何性质》课件
椭圆的焦点性质
1 焦距定理
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
2 焦点到直线的距离
椭圆上任意一点到直线的距离与其与两个焦点的距离相等。
3 焦点到任一点距离之和
焦点到椭圆上任意一点距离之和等于长轴的长度。
椭圆的切线
1
切点和法线垂直于切线。
2
切线的斜率和方程
总结
1 椭圆的定义及特点
椭圆是由两个焦点和常距 离点的连线构成的几何形 态。
2 椭圆的焦点、切线和
双曲线性质
椭圆具有焦点性质，切线 和双曲线也与椭圆有所关 联。
3 椭圆的应用和意义
椭圆在工程、艺术和日常 生活中扮演着重要的角色， 具有广泛的应用和意义。
切线的斜率可以通过椭圆的参数表示，方程可以通过切点和斜率求得。
3
切线和弦的交点和中垂线
切线和椭圆上任意一条弦的交点在椭圆的中垂线上。
椭圆的双曲线性质
椭圆与双曲线的区别
椭圆的焦点在内部，离心率小 于1；双曲线的焦点在外部，离 心率大于1。
双曲线的基本形态
双曲线具有两个分离的曲线臂， 曲线臂的形状类似于打开的喇 叭。
双曲线的焦点和离心 率
双曲线也有焦点和离心率的概 念，但与椭圆略有不同。
椭圆的应用
椭圆在工程中的应用
椭圆在艺术中的运用
椭圆形状可以应用于桥梁设计， 提供更好的结构支持和负载分散。
椭圆形状在艺术作品中常用于创 造平衡、和谐和美感的效果。
椭圆在日常生活中的例子
行星轨道、椭圆形家具等都是椭 圆在日常生活中的例子。
《椭圆的几何性质》PPT 课件
欢迎来到《椭圆的几何性质》PPT课件！在本课程中，我们将深入研究椭圆的 几何性质，涵盖定义、基本形态、焦点性质、切线、双曲线性质、应用等内 容。让我们一起开始这个精彩的学习之旅吧。
《椭圆复习专讲》课件
直接法求解椭圆方程
总结词
通过已知条件直接列出椭圆方程 的方法。
详细描述
根据椭圆的定义和性质，通过已 知的椭圆焦点、长轴和短轴长度 等条件，直接列出椭圆的标准方 程或一般方程。
参数法求解椭圆方程
总结词
利用参数方程表示椭圆的方法。
详细描述
通过引入参数来表示椭圆上的点，从而将椭圆方程转化为参数方程的形式。这 种方法常用于解决与极坐标相关的问题。
抛物线可以看作是椭圆的一种极限情况，当椭圆的长轴长度趋于无穷大时，椭圆就 变成了抛物线。
椭圆在数学中的地位和作用
椭圆是数学中非常重要的二次曲线之 一，它在几何学、代数学、解析几何 等领域都有广泛的应用。
椭圆的性质和形状在解决实际问题中 也有广泛的应用，例如物理学、工程 学、经济学等。
椭圆的性质和形状在很多数学问题中 都有出现，例如几何问题、解析几何 问题、微积分问题等。
应用
在天文、地理等领域中， 常常需要利用椭圆的离心 率来描述天体运行的轨道 。
ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆的准线
定义
准线是用来描述椭圆形状的几何 量，它是椭圆上任意一点到焦点
的距离的垂直平分线。
性质
准线是与椭圆相切的直线，其方程 可以通过椭圆的标准方程求得。
应用
在几何问题中，常常需要利用椭圆 的准线性质来求解问题。
03 椭圆的方程求解
焦距 $c$ 可以通过 $c^2 = a^2 b^2$ 来计算。
椭圆的性质
椭圆是封闭的，即它没有起点 和终点，且其周长是有限的。
椭圆具有对称性，即关于x轴、 y轴和原点都是对称的。
椭圆的离心率 $e$ 是由 $e = frac{c}{a}$ 定义的，它描述了 椭圆与焦点之间的相对距离。
椭圆高考复习课件ppt
焦点是椭圆上任意一点到原点的距离 之和等于常数的两个点。
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，其 值等于 $frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到原点的距离。
椭圆的对称性
椭圆的中心对称性
椭圆关于原点对称，即如果点 $(x, y)$ 在椭圆上，则 $(-x, -y)$ 也一定在椭圆上。
椭圆的标准方程推导
通过将平面上的一个点的坐标代入上述方程，可以判断该点是否在 椭圆上。
椭圆的标准方程的应用
在解析几何、天文学、物理学等领域中，椭圆的标准方程都有广泛 的应用。
椭圆的几何性质
椭圆的长轴和短轴
椭圆的焦点
椭圆的长轴是连接椭圆上距离原点最 远的两个点的线段，短轴则是连接椭 圆上距离原点最近的两个点的线段。
离心率的几何意义
椭圆的离心率等于从椭圆中心到任一焦点的距离与长半轴长度之比 。
椭圆的离心率与圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线统一定义
圆锥曲线可以统一定义为到定点和定直线距离之比等于常数的点的轨迹。当常 数等于1时，轨迹为圆；当常数小于1时，轨迹为椭圆；当常数大于1时，轨迹 为双曲线。
离心率与圆锥曲线的关系
相切
当直线与椭圆仅有一个交点时， 表示直线与椭圆相切。此时，需 要满足直线与椭圆方程联立后得 到的二次方程有且仅有一个实数 根。
相离
当直线与椭圆没有交点时，表示 直线与椭圆相离。此时，需要满 足直线与椭圆方程联立后得到的 二次方程没有实数根。
椭圆的切线方程
切线的定义
切线是与椭圆在某一点相切的直线。
在重新渲染渲染后， 重新渲染渲染。
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椭圆的应用题
在重新渲染渲染后渲染。重新渲染渲染。 在重新渲染
暑期班第9讲.椭圆的定义与性质.理科.学生版_图文(精)
第九讲椭圆的定义与性质高考要求⑴了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．⑵掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．⑷了解圆锥曲线的简单应用．⑸理解数形结合的思想．⑹了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识精讲（一）知识内容1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．（二）典例分析【例1】⑴经过点，的椭圆的标准方程是；⑵焦点的坐标分别为和，且过点的椭圆的方程．⑶已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．【变式1】设是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程．【例2】⑴椭圆和一定具有（）A．相同的离心率 B．相同的焦点C．相同的顶点 D．相同的长轴长⑵已知椭圆的中心在原点，长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是____________．⑶若椭圆的离心率为，则．【变式2】⑴点为椭圆上一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标是____ __．⑵已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．⑶（08江苏）在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆．若过点作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为．【例3】⑴已知，，是椭圆上一点，则的最大值为________．⑵（2009上海）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为，则．【变式3】（2006四川）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则．【例4】已知点是椭圆上到直线：的距离最小的点，则点的坐标为_________．【变式4】设为椭圆短轴上的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值【例5】椭圆的左、右焦点分别为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是_______．【变式5】设椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆的离心率的取值范围．【例6】解方程：．【例7】椭圆的弦被点所平分，求此弦所在的直线方程．【例8】椭圆中心是坐标原点，焦点在轴上，，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、两点，，且，求此椭圆的方程．【例9】如图，椭圆上的点与椭圆右焦点的连线与轴垂直，且（是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线平行．⑴求椭圆的离心率；⑵是椭圆的左焦点，是椭圆上的任一点，证明：；⑶过且与垂直的直线交椭圆于、，若的面积是，求此时椭圆的方程及的长．【例10】（2007广东高考）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．⑴求圆的方程；⑵试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【例11】（2008朝阳高三期末）设动点的坐标为（），且动点到定点，的距离之和为．⑴求动点的轨迹的方程；⑵过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【例12】过椭圆：上一点引圆：的两条切线、，切点为、，直线与轴、轴分别相交于、两点⑴设，且，求直线的方程；⑵若椭圆的短轴长为，且，求此椭圆的方程；⑶试问椭圆上是否存在满足的点，说明理由．【变式6】已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有．⑴求椭圆的方程；⑵设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值．家庭作业习题1. （08浙江）已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则=________．习题2. 若椭圆的离心率为，则的值等于．习题3. 设为椭圆的两个焦点，在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．习题4. 设椭圆：的左焦点为，上顶点为，过点作垂直于的直线交椭圆于另外一点，交轴正半轴于点，且⑴求椭圆的离心率；⑵若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程．月测备选习题1. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（）A． B． C． D．习题2. （2009丰台区一模）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则．习题3. 已知椭圆上一点，、为椭圆的两个焦点，且，求椭圆的方程．习题4. 已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．⑴求椭圆的方程．⑵椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围．。
椭圆的定义及性质
椭圆
一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距（2c）.
1.动画演示
2.椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
注意：
1.当2a>2c时,轨迹是椭圆
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
(2)焦点在y轴
看分母大小
1
2
y
o
F
F
P
x
1
o
F
y
x
2
F
P
三.椭圆的几何性质
让我们一起研究标准方程为:标准方程为: 的椭圆的性质
所以P到另一个焦点的距离 为6-2=4.
D
B
D
条件
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
标准方程
图形
范围
对称性
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
顶点
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
焦点
焦距
离心率
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
(-c,0)和(c,பைடு நூலகம்)
顶点
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
范围
焦点
焦距
离心率
椭圆的标准方程及其简单几何性质
(-c,0)和(c,0)
(0,-c)和(0,c)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
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|PA|-|PB|>15时呢？
．Ｐ(目的地)
A
B
22
双曲线的定义
定义：平面内与两个定点F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数2a(<|F1F2|)的点 的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离 叫做双曲线的焦距2c。(o<a<c)
？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？
3
求方程的过程:
解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的 中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别
为：F1(-c,0),F2(c,o)
(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：
|PF1|+|PF2| =2a
y
这个椭圆的一个标准方程为：
·F1
·P(x,y)
· o
F2
c
33
2
12
线ex的1:距椭离圆为的一5 ，个离焦心点率到为相应2 ，准 则椭圆的短轴4 长为多少？ 3
13
椭圆的性质的应用：
eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一 点到左准线的距离为2.5,则P到 右焦点的距离是( )
• (A) 8 (B) 25 (c) 7.5 (D) 7 8
14
eg2:椭圆
|PF1|+|PF2| =2a 这个椭圆的标准方程为：
o
x
·F1
x2 y2 1 b2 a2
( a>b>0,a2=b2+c52)
椭圆的标准方程
分类
图示
x2 a2
y2 b2
1
x2 y2 1 b2 a2
焦点 坐标 F1(-c,0) F2(c, 0)
F1(0,-c) F2(0, c)
共性
长轴长:2a 短轴长:2b 焦距: 2c (a2=b2+c2）
16
当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：
． P．
．
F1
． 轨迹是线段F1F2的中垂线
F2
17
当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:
． 或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时: P （可不可能）？
． ． ．． ．
P
F1
P?
F2
P
轨迹是分别以F1和F2为端 点的两条射线
18
当|PF1|-|PF2|的绝对值>|F1F2|
（假设不考虑职业道德）
20
分析：为了把问题简单化，我们先研究
． 司机刚好只收益15元的情形 Ｐ(目的地)
A
B
2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15
（注意: |PA|-|PB|=15<|AB|=20） 21
你会替司机出个主意了吗？
（要求: |PA|-|PB|=15且|AB|=20）
长轴：A1A2
短轴：B1B2
o
·A2 顶点：
F2
x A1(-a ,0)
A2(a,0)
B1
B1(0,-b)
B2(0 ,b) 4.离心率：
e c
a
8
椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到 定点F(c,0)的距离和它到定直线 x
a2
的距离的比为常数 c (a>c>0)， c
求点M的轨迹方程 a
·M(x,y) · · o F
x
x2 y2 a2 b2 1
( a>b>0,
a2=b2+c2) 4
求方程的过程:
解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段 F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦 点坐标分别为：F1(0 , -c),F2(0,c )
(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据
已知有：y
·· F2 P(x,y)
P
．
．
F1
F2
• 不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边
19
• 理想化的问题：
• 一个出租汽车司机想从A地点送一个 乘客到达目的地后，然后返回B点的 家，已知A、B两点的距离为20公里 假设司机送客和返回家都是直线行 驶，假设汽车每行驶一公里耗费一 元，乘客每乘坐一公里付费二元， 请问这个司机怎样考虑接受乘客的 目的地，他才可能至少能收益15元？
23
双曲线的标准方程的求法：
步骤： 建
设
找等量
翻译等
化简
系
点
关系式
量关系
整理
• 为了体现双曲线的对称美，和我们研究数 学的由简单到复杂的思维规律，我们也选
择对称的建系方式，称如下建系所得的双 曲线方程为双曲线的标准方程：
y y
O
x
O
x
24
解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，
以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系, 则点F1和点F2Y的坐标分别为(-c,0)、(c,0)
(这个方程是椭圆
的一个标准方程，
称这个定点F是
椭圆的一个焦，
定直线是椭圆的 x 一条准线，比值
叫这个椭圆的离
心率)
9
结论：椭圆有两条和它的 两个焦点相对应的准线
l' : x a2 c
·F1
·M(x,y)
· o
F2
l : x a2 c
x
10
结论：椭圆有两条和它的两 个焦点相对应的准线
x2 b2
y2 a2
1
与F2对应的准线l ' :方y程 ：a 2 c
与F1对应的准线方程：
l:ya
2
c
y
·F2
o
x
·F1
11
例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程
解：由已知有椭圆的标准方程为
x2 1
y2 2
1
椭圆的焦点在y轴上，
2
且a2=2, b2=0.5,c2=1.5
椭圆的两条准线方程为
y a2 2 2 6
问题： 一架救援机从A地出发进行
救援任务，之后必须回到B地加 油，已知飞机一次最多能飞行 500公里，而AB两地相距200公里， 问这架飞机能够救援到的区域是 怎样的？
1
|PA|+|PB|=500 |AB|=200
．P ．P
A
B
．
P
．
． P 2
P
椭圆的定义和标准方程
• 定义：平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数2a(>|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆。这两个定点 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距 离2c叫做椭圆的焦距
x2 5
y2 4
1
的右焦点为F，
设点A (
5, 2
3),P是椭圆上一动点，
求使 | AP| 5| PF|取得最小值时
的P的坐标，并求出这个最小值
15
问题：平面内到两个定点F1，F2的距离 的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹
是什么？
(1)若这个定值为0，它表示什么？ (2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？ (3)若这个定值>|F1F2|，它表示什么？ (4)若这个定值非零且<|F1F2|,它表示什么？
6
椭圆的几何性质:(
x2 a2
y2 b2
1)
· A1 F1
1.范围:
B2
|x|≤a
|y|≤b
o
· A2
F2
x
椭圆位于直线x=±a 和直线y=±b所围成
的矩形区域内
B1
2.对称性：
关于x轴和y轴对称，
也关于原点中心对称
7
椭圆的几何性质:(
x2 a2
y2 b2
1)
· A1 F1
3.顶点和长短轴：
B2