同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
(完整word版)大一高数同济版期末考试题(精) - 副本
高等数学上（1）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
同济大学大一公共课高等数学期末试卷及答案2套
(2)该曲线在哪点处的曲率半径为 2 ？
∫⎧
2．设
ϕ
(x)
=
⎪ ⎨
⎪
2x et2 d t
x
,
x
⎩ a,
x ≠ 0, 求 a 的值，使得ϕ(x)在 x = 0 处连续，并用导数定义求ϕ ′(0) ．
x = 0,
三、
∫ 1．求定积分 I = π x2 1− sin 2 x d x ． 0
2．若
f
(x)
2 0
−
x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
π π
2
= π 2 + 2π − 4 ． 2
2．当 x < 0 时， 当 x ≥ 0 时，
∫ F(x) =
x −∞
1 1+ t2
dt
= arctan x +
π 2
；
∫ ∫ F(x) = 0 1 d t + x
−∞ 1+ t2
0
1 d t = π + [2 arctan t (1+ t) 2
4 + y2 d y −1000g
h(t )
y
4+ y2 d y ，
−1
−1
−1
上式两边对 t 求导，得
∫ d F = 1000g h(t) 4 + y2 d y d h ，
dt
−1
dt
由于 d h = −0.01，因此，当水面下降至平板的中位线(即 x 轴)时，平板一侧所受到的水压力的下 dt
降速率为
t
]
x 0
=
2 arctan
x+π ． 2
大一高数期末考试复习题及标准答案
大一高数期末考试复习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b af x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2230x x e dx-⎰.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .本页满分36分 本页得分本页满分 12分 本页得分3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求n n x∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()x x x e x →-=21e .2．()()1200511xxx xe e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：本页满分 12分 本页得分本页满分15分 本页得分本页满分18分 本页得分本页满分7分 本页得分1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-2032dxe x x .解：⎰⎰⎰----===20202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=ee e t --------22．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3 C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------33．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a t a 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---. 5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1(Λ+++=，求nn x ∞→lim .解：)1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(101-=+-+⎰dx x xx x ------------2 故 n n x∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D由222x y x+≤与y x≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21VVV-=[][]⎰⎰⎰---=-----=12212122)1(12)2()11(2dyyydyydyyπππ-------6)314(21)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy--------3法二：V=⎰---12)2)(2(2dxxxxxπ⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxxxdxxxxππ------------------ 5[]⎰--+--=12234222)22(ππdxxxxxxππππππππ32213421323414121)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=xx------------- 43. 设1,a>atatf t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().t a问a为何值时)(at最小? 并求最小值.解:.lnlnln1)(ln)(aaataaatf t-==-='得由--------------- 3)(ln1lnln)(2eeaaaaat==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当ateaateaatea eee=<'<>'>-----2 故.11ln1)(,)(eeeetatea ee-=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理， 根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。
同济大学大一高等数学期末试题精确答案
同济大学大一高等数学期末试题精确答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn x e n ∞==∑，则x xe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x ∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =+方向的方向导数。
同济大学高等数学期末考试题
《高数》试卷7（上） 一、 选择题（每小题3分）1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2-2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在3、=--→211)1sin(lim x x x （ ）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ）A 、 )1(2-=x yB 、)1(4-=x yC 、14-=x yD 、)1(3-=x y5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx =B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d =6、设 ⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sin xB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x- 7、⎰=+dx x xln 2（ ）.A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰104dx x π B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y πD 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e x x（ ）.A 、21ln e+ B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e+10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=*B 、x e y 73=*C 、x xe y 272=*D 、xe y 272=*二、 填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim 0=→x mxx , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ； 三、计算题（每小题5分）1、求极限 x xx x --+→11lim 0 ； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ； 6、解方程 21x y xdx dy -= ；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ； 四、 1、38； 2、图略。
2021年大一高等数学上册(同济版)期末试卷及答案(精选版)
2021年大一高等数学上册（同济版）期末试卷及答案（精选版）一、填空题1、=⎰-113cos xdx x ；【答案】02、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；【答案】5ln ，0 ；3、（1）求极限 x x x x --+→11lim 0 ； （2）求x x y sin ln cot 212+= 的导数； 【答案】（1） 1； （2）x 3cot - ；4、设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=【答案】'()x x e f e5、已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=. 【答案】33- 二、解答题(难度：中等)1、求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.【答案】18S =2、求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 【答案】12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰ 112242005210(1)(21)228()5315V x dx x x dx x x x ππππ=+=++=++=⎰⎰3、求微分方程6130y y y '''++=的通解.【答案】特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r i y e C x C x -++=⇒=-±=+4、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.【答案】略5、求不定积分①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰【答案】 ①11ln ||23x C x +++②ln |x C + ③()1x e x C --++。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数 ，则 是 的第类间断点.
2．函数 ，则 .
3． .
4．曲线 在点 处的切线方程为.
5．函数 在 上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列 有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件； 充分但非必要条件；
充分必要条件； 无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数 ，则函数 在 内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程 的特解形式为（C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
； ；
； .
3．设 在 上， 且 ，则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的； 沿 轴正向下降且为凹的；
沿 轴正向上升且为凸的； 沿 轴正向下降且为凸的.
4．设 ，则 在 处的导数（）.
等于 ； 等于 ；
等于 ； 不存在.
5．已知 ，以下结论正确的是（）.
函数在 处有定义且 ； 函数在 处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知 则 的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分 的值为（ ）.
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
大一高数同济版期末考试题精 副本
10. 11.高等数学上(1)一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 设 f(X)= cosx(x +|sin x |),则在 x = 0 处有( )(A ) f'(0)=2( B )f'(0)=1 (C ) f'(0)=0( D ) f(x)不可导.设a (x)= —, P (x)=3 —3奴，则当 X T 1 时(2.1 +x(A )(X)与P (X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；(C ) a (X)是比P (x)高阶的无穷小； 无穷小.X3.若F (X )= J 。
(2t —x ) f(t )dt ，其中f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且f'(x)> 0 则( ).(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0，F(0))为曲线y = F(x)的拐点； (D) 函数F(X)在X = 0处没有极值，点(0, F(0))也不是曲线y = F(x)的拐点。
1设 f(X)是连续函数，且 f ( X)= X + 2 J 0 f (t)dt ,贝y f ( X)=()2 2——+2 (A ) 2 ( B ) 2(C ) X-1 ( D ) x + 2.填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2lim (1 + 3x)sin^ =X T 0 已知cosx是f(x)的一个原函数， X8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)设函数y=y(x )由方程eE + simxy)"确定，求y (x)以及y(0).+ 「 1- X 7・ 求J ----- 厂dx.x(1 + X ) (B )(X)与(x)(D ) P (X)是比a (X)高阶的4.5. 则［f(x) C0SX dx =X6.兀2兀22兀 2- 1lim —(cos — + cos —+(卜|+ cos---- 沢)= n Y n n n n r X arcsin x +1J —J 2 dX二7. 9.[xe ，设f (x) = ------ 2lV2x - X2求J： f (x)dx.1g (x H ff (xt)dt12.设函数f(x)连续，，且y X ，A 为常数.求g (x)并讨论g (x)在x=0处的连续性.y(1)=--13.求微分方程xy7 2y = xinx 满足9的解.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y = y(x) (X >0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(x o ,y o )处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x=x o 所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = ln X 的切线，该切线与曲线y = |nX 及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16.设函数f(x)在b ，1】上连续且单调递减，证明对任意的qj 0,1］，q 1J f (X ) d X X J f (X )dx17.设函数f(x)在 咖 上连续，且证明：在(0,兀)内至少存在两个不同的点xF(X)= ! f (x)dx示：设)、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1、D2、A3、C4、C二、 填空题(本大题有4小题，每小题 1,cosx 2 , e6 -( ---- )+c 5. e . 6. 2 X .7.三、 解答题(本大题有5小题，每小题9.解：方程两边求导e f (1+y 「co(s( xy)(y =) . e x^+ycos(xy)y(X)一e XJ xcos(xy) X = 0, y = 0， y(0) = TJIJIJ f (X ) d X = 0 f f (X) cos X dx = 0，04分, 兀 2 . 8 分, 共16分)兀8.3共 40 分)10.解：u=x7 7x6dx=du= -(ln|u|—2ln |u+1|) +c1 2=—ln|x7|—-ln|1 +x7|+C7 71 0 1 --------------------------------------------- 2一肋f f(x)dx=『xe dx+f V2x-x2dx=J：xd(—e」)+ J；J1 -(x-1)2dx=[-xe」-e」]j + J 兀cos2日d0(令x-1 =sin9)~2兀3=—-2e3 -1412.解：由f(0)=0，知g(0)=0。
同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)[1]
![同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c4f47a5cbe23482fb4da4c37.png)
课程名称：《高等数学》一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .xxyy yy A xy+ln ln .xy y B x ln ln ln .ln xxyy C yydx dy x+ln ln ln ln .xxyyyx D dx dy xy+3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = . 2．交 换ln 1(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!nxn xe n ∞==∑，则xxe-= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x=, 求z x∂∂,z y∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)
高等数学(同济版)上册期末复习题(含答案)一、填空题1.lim(e^3x-cos2x)/(3sin2x-2x^2) = 12.曲线y=xe的拐点是(2,2e)3.设f(x)在x=0处可导且f(0)=0，则lim(x→0) [f(x)/x] =f'(0)4.曲线y=(1-cos2x)/π+x在(-1,1)处的切线方程为y=x+15.曲线y=2x/(x^2-1)有垂直渐近线x=±1和水平渐近线y=06.设f(u)可导，y=sin[f(e)]，则dy=sin2[f(e)]·f'(e)·e dx7.∫e^x dx = 2(e^2+1)8.若f'(x)=-3，则lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h] = -39.若∫xp dx收敛，则p的范围是p<-110.lim(x→∞) [(2x+3)/(x+1)] = e11.设∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(2x)dx=F(2x)/2+c12.设f(x)的一个原函数是x ln x，则∫x f(x)dx = x^2 ln x - ∫x dx + C13.设f(x)={x^2.x>1.-x。
x≤1}，则∫f(x)dx = -1614.过点(1,3)且切线斜率为2的曲线方程为y=x^2+115.已知函数f(x)={xsinx。
x≠a。
A。
x=a}，则当x→∞时，函数f(x)是无穷小；当a=1时，函数f(x)在x=1处连续，否则x=a为函数的第一类间断点。
16.已知∫f(x)dx=F(x)+c，则∫f(arcsin x)dx=F(arcsin x)+c17.当x→0时，(1+ax)^(-1)与1-cosx是等价无穷小，则a=2/318.f(x)={x^3sin(1/x)。
x≠0.0.x=0}是连续函数，则a=1/319.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)=1，[f(x)]dx=1，则∫0^1 xf(x)f'(x)dx = -1/220.Φ(x)=∫xe^tdt，则Φ(1)=e-1，Φ'(1)=e2.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于直线y=3x+1，则f'(2)=33.设f(x)=arctanx，则当x→+∞时，lim f(x)=π/25.函数y=x的导数为y'=x(lnx+1)6.∫0+∞ xe^(-x) dx=27.∫-1^1 (x+2)/(√(1+x^2)(2+x)) dx=19.f(x)=x的积分曲线中过(1,-1)的那条曲线的方程为y=x^2-2x11.设s为曲线y=xlnx与x=1,x=e及x轴所围成的面积，则s=(e^2+1)/213.曲线y=ln(e^x)的全部渐近线为y=1,x=0,x=-1/e15.曲线y=x^2与y^2=x所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积为(π/5)(7-2√6)16.点(1,1,1)到平面2x+y-2z+2=0的距离为(√14)/318.设向量a=2i-j+k,b=4i-2j+λk，则当λ=-10时，a⊥b；当λ=2,a//b。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试一试卷一、选择题（共12 分）1.（ 3 分）若 f ( x)2e x , x 0,为连续函数 , 则a的值为 ().a x, x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12.（ 3 分）已知f(3) 2, 则lim f (3 h) f (3) 的值为（）.h02h(A)1 (B)3 (C)-1(D)1 23.（ 3 分）定积分212xdx 的值为（）.cos2(A)0 (B)-2 (C)1(D)24.（3分）若f (x)在x x0处不连续,则 f ( x) 在该点处().(A)必不行导 (B) 必定可导 (C) 可能可导 (D) 必无极限二、填空题（共 12 分）1．（3 分）平面上过点(0,1) ，且在任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 3x2的曲线方程为.2.（ 31x4 sin x) dx.分）( x213.（ 3分） lim x2 sin1=.x0x4.（ 3分） y2x33x2的极大值为.三、计算题（共42 分）1.（ 6x ln(15x).分）求 limsin 3x2x02.（6 分）设ye xx2, 求 y .13.（ 6分）求不定积分x ln(1 x2 )dx.x 4.（ 63f ( x 1)dx, 此中f (x) 1, x 1,分）求cosxe x1,x 1.5. （ 6 分）设函数 yy x f ( x) 由方程e t dtcostdt 0 所确立 , 求 dy.6. （ 6 分）设 f ( x)dxsin x 2 C, 求 f (2 x 3)dx.3 n7. （ 6 分）求极限 lim 1 .2nn四、解答题（共 28 分）1. （ 7 分）设 f (ln x) 1 x, 且 f (0)1, 求 f ( x). 2. （ 7 分）求由曲线 ycos x2x与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周2所得旋转体的体积 .3. （ 7 分）求曲线 y x 3 3x 2 24x 19 在拐点处的切线方程 .4. （ 7 分）求函数 yx1 x 在 [ 5,1] 上的最小值和最大值 .五、证明题 (6 分)设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 证明b b a1 bf (x)dx[ f (a) f (b)]( x a)( x b) f ( x) dx.a22 a标准答案一、 1 B;2C; 3D; 4 A.二、 1y x31;22 ;3 0;40.3三、 1解 原式limx5x 5 分x 03x 251 分32 解Q ln y lne x x ln( x 2 1),2 分x 2 12y e x[12x] 4 分x 21 2x 2 13 解原式1ln(1 x 2 ) d (1 x 2 )3 分21[(12)ln(12 (12) 12xdx]2xx )xx 22 分1[(1 x 2 )ln(1 x 2 )x 2 ] C1 分24解令 x1 t, 则2 分320 f ( x)dx1 f (t )dt1t2 t11 costdt1 (e 1)dt0 [ e tt ]12e 2 e 15两边求导得 eyy cosx 0,cosxQ ye ycosxsin x 1dycosx dxsin x 16 解f (2 x 3) dx1 f (2 x2 1sin(2 x 3)2 C21 分1 分1 分 1 分2 分1 分1 分2 分3)d(2 x 2)2 分4 分32 n 37 解原式 = lim3 24 分1n2n3= e22 分四、 1 解令 ln xt, 则 xe t ,f (t) 1 e t ,3 分f (t )(1 e t )dt = t e tC.2 分Q f (0)1, C 0,2 分f (x) xe x .1 分2 解V x2 23 分cos xdx222cos 2 xdx2 分2.2 分23 解 y3x 2 6x 24, y6x 6,1 分令 y 0, 得 x 1.1 分当x 1时 , y0; 当 1 x时 , y0,2 分(1,3) 为拐点 ,1 分该点处的切线为 y 3 21(x 1).2 分4 解 y 11x2 1 x 1, 2 分2 12 1 x令 y0, 得 x3 . 1 分4y( 5)56,2.55,y3 5, y(1) 1,2 分44最小值为 y(5)56, 最大值为 y35 . 2 分44五、证明ba)( x b) f(x) ba)( x b) df ( x)1 分(x( xaabb[( x a)( x b) f (x)] aaf ( x)[2 x ( a b)dx1分ba [2 x (a b)df ( x)1分[2 x (a b)] f ( x)(b a)[ f ( a) f (b)]移项即得所证 .b ba2 a f ( x)dx1分b2 a f ( x)dx,1分1分。
同济大学《高等数学(上)》期末试卷A及答案
同济大学《高等数学（上）》期末试卷A一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 2=+→xx x 。
2、当k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x k x x x f x在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则______=dydx4、曲线x e y x-=在点（0，1）处的切线方程是5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）A 、0B 、1-C 、1D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. )0(1ln+→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(422→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、⎰+∞sin xdx B 、dx ex⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞1D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。
则AMB ∠=A 、3π B 、4π C 、2πD 、π三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→ 。
2、求极限 )111(lim 0--→x x e x院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线3、求极限 2cos 12limxdt e xt x ⎰-→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx yd6、求不定积分 dx x x⎰+)32sin(127、求不定积分x x exd cos ⎰8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x， 求⎰-2d )1(x x f四、 应用题（本题7分）求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
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学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。
课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = . 2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
4. （本小题满分7分）将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。
6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x D由曲线σ及2-=x 围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .四、综合题（共16分，每小题8分）1．（本小题满分8分）设级数11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛，证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛。
2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2fx x∂=∂， 证明曲线积分2(,)Lxydx f x y dy +⎰与路径无关．若对任意的t 恒有(,1)(1,) (0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰⎰，求),(y x f 的表达式．参考答案及评分标准一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =10(,)yee dyf x y dx ⎰⎰3. →→→-+-k j i 242 4 1(1)!n n n x n +∞=-∑ 5. (2,2)三、解答题（共54分，每小题6--7分）1．解：222yx y x z +-=∂∂; (3分) y z∂∂=x y arctan +22yx xy + ( 6分). 2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =满足：00023232x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：112232x y z +-+==-或者112232x y z -+-==- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),(1,2)1f l∂=+∂ ( 7分) 4. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ( 2分)因为 ∑∞=+=-011)1(n nn x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分)当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x ，)6,0(∈x ，( 7分)5. 解：由401284(2)0128z x x z y z y z y z y∂⎧==⎪∂--⎪⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872=-+z z 即81,7z =-。
由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16(0,)7。
( 4分) 由224128z x z y ∂=∂--，20z x y ∂=∂∂，224128z y z y ∂=∂--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。
( 5分)在(0,2)-点，1z =，因此 224015z x ∂=>∂，所以(0,2)-为极小值点，极小值为1z =；( 6分) 在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ∂=-<∂，所以16(0,)7为极大值点，极大值为87z =-， ( 7分) 6. 解：记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1101:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故σσσd y x d y x d y x D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21)()()(222222 ( 4分) -=-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2321311222ππθdr r d dx y x dy 4π（7分） 7. 解：L 所围区域D ：222ay x ≤+,由格林公式，可得⎰-Lx y x y xy d d 22=y x y y x x xy Dd d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π20022πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ.(7分)8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ωθθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 012π01 ( 4分)=⎰⎰r r d d 2sin 2130102πθθ=814)42cos (142π=⋅-r θ. (7分) 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞→∞==，（2分）故存在N ，当n N >时，222()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此21()nn n uv ∞=+∑收敛。
（8分）2．证明：因为2fx x∂=∂，且22()xy x y ∂=∂，故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关．（4分）因此设)(),(2y g x y x f +=，从而(,1)1122 (0,0)2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰，（5分） (1,)1 (0,0)2(,)0[1()]()t t txydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰⎰⎰⎰，（6分） 由此得 12()t g y dy +⎰()tt g y dy =+⎰对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．（8分） 一、。