4.3.1 对数的概念

【解析】选C.由log64x=
2 3
得，x=
2
64 3
1
，所以①错误；由logx8=6得，
16
x6=8，所以x2=2且x>0，
所以x= 2 ，所以②正确； 由log10100=x得，10x=100.所以x=2，所以③错误； 由-ln e2=x得，x=-2，所以④正确；
所以正确的题号是②④.
【解题策略】 1.关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系：
关于指数式的范围
b 0，
利用式子logab⇒ a 0，求字母的范围.
a 1
【补偿训练】在b=loga(5-a)中，实数a的取值范围是 ( )
A.a>5或a<0
B.0<a<1或1<a<5
C.0<a<1
D.1<a<5
【解析】选B.由对数的定义可知
5－a a 0，
0，
解得0<a<5且a≠1.
a 1，
D.4
2
【解析】选B.因为logx8=3，所以x3=8，解得x=2.
3.(教材二次开发：练习改编) 若10m= 3 ，则m=_______. 【解析】因为10m= 3 ，则m=lg 3 . 答案：lg 3
4.ln(lg 10)=_______. 【解析】ln(lg 10)=ln 1=0. 答案：0
类型二 指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用 【典例】如表，其中解正确的题号是 ( )
题号 方程 解
①
2
log64x=- 3
16
A.①②
ห้องสมุดไป่ตู้
B.③④
② logx8=6
2
③
lg 100=x
1 2
④ -ln e2=x -2
C.②④
D.②③
【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.
类型一 对数的概念及应用(数学抽象)
【题组训练】
1.若a2 020=b(a>0且a≠1)，则 ( )
A.logab=2 020 C.log2 020a=b
B.logba=2 020 D.log2 020b=a
2.在M=log(x-3)(x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(-∞，3]
B.(3，4)∪(4，+∞)
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)因为(-4)2=16，所以log(-4)16=2. ( )
(2)因为3x=81，所以log813=x. ( )
(3)log23=log32.
()
提示：(1)×.对数的底数不能为负值. (2)×.应为log381=x. (3)×.log23≠log32，两个是不同的对数值.
4.3 对 数 4.3.1 对数的概念
必备知识·自主学习
导思
1.在指数运算1.11x=2中，怎样计算指数x？ 2.对数有哪些性质？
1.对数的概念
(1)定义：
一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x=_l_o_g_aN_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数性质在求值中的应用 此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值.
课堂检测·素养达标
1.
( 1 )2 2
+log22等于
()
A. 1
B.3
C.4
D.5
2
【解析】选D.原式=4+1=5.
2.(2020·杭州高一检测)已知logx8=3，则x的值为( )
A. 1
B.2
C.3
()
C.(4，+∞)
D.(3，4)
3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中，正确的是 ( )
A.100=1与lg 10=1
B.
1
27 3
1
3
与
log27
1＝ 3
1 3
C.log39=2与
1
92
=3
D.log55=1与51=5
【解析】1.选A.若a2 020=b(a>0且a≠1)，
则2 020=logab.
5.若对数ln(x2-5x+6)存在，则x的取值范围为_______. 【解析】因为对数ln(x2-5x+6)存在， 所以x2-5x+6>0，所以解得x>3或x<2， 即x的取值范围为：(-∞，2)∪(3，+∞). 答案：(-∞，2)∪(3，+∞)
2.对数的性质 (1)负数和0没有对数； (2)loga1=_0_； (3)logaa=_1_.
【思考】 你能否推导出对数的性质(2)(3)？ 提示：因为a0=1，所以loga1=0； 因为a1=a，所以logaa=1.
3.对数恒等式：alogaN =_N_. 【思考】 对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？ 提示：指数的底数与对数的底数相等.
x 1 0
2.选B.由函数的解析式可得 x 3 0，
解得3<x<4或x>4.
x 3 1
3.选BD.在A中，100=1⇔lg 1=0，故A错误；
在B中，27
1 3
1
⇔log27 1＝ 1
，故B正确；
3
33
在C中，log39=2⇔32=9，故C错误；
在D中，log55=1⇔51=5，故D正确.
【解题策略】
2.把对数式x=log232改写为指数式_______. 【解析】对数式x=log232改写为指数式为2x=32. 答案：2x=32
3.(教材二次开发：练习改编) 若ln e-2=-x，则x=_______. 【解析】因为ln e-2=-x，所以e-x=e-2，所以x=2. 答案：2
关键能力·合作学习
(2)特殊对数： 常用对数：以10为底，记作_l_g__N_； 自然对数：以e为底，记作_l_n__N_.
(3)指数与对数的关系： 当a>0，a≠1时，ax=N⇔_x_=_l_o_g_a_N.
【思考】对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实 数.