奥数质数、合数、分解质因素讲义及答案

数的整除（2）质数、合数、分解质因数

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【知识要点】

1、质数与合数

自然数按其因数的个数可以分成三类：

（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。

（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2是质数中唯一的偶数。）

（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。

（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（5）因数个数定理：

例如：1980=22X 32X 5X 11

所以：（T 表示因数个数）T （佃80）= （1+2）X（1+2）X（1+1 ）X（1+1）=36

（6）因数和的定理：

例如：1980=22X 32X 5X 11

所以：S （佃80）= （2° + 21+ 22）X（ 30+ 31+ 32）X（5° + 51）X（11° +11）

=7X 13 X 6 X 12=6552

【典型例题】

例1、两个质数的和是49,这两个质数的积是多少？

解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数

中只有2是质数，于是另一个质数是49—2=47，从而得到它们的积是2 X 47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按

任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出

的两位数，末尾数字不能是2和4,只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23 和43.取一张卡片排出的质数有2和3•所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。

例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？

解：360=2 X 2X 2X 3X 3X 5=23X 32X 5,所以360 有（3+1 ）X（2+1 ）X（1+1）=24 个因数。因数的和是：(1+2+22+23)X( 1+3+32)X( 1+5) =1170

例4、筐里共有96 个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？

解：每次拿的个数都是96的因数 (除96 和1 之外)，这样问题转化为求96的因数个数，将

96分解质因数，得96=2 X 2 X 2X 2X 2X 3,除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10 种不同拿法。

【精英班】例5、504乘一个自然数a,得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23X 32X 7=22X 32X(2X 7)，还

少(2 X 7)，使得504X a是个平方数，所以所求的a的最小值是2X 7=14;这个平方数是504

X 14=7056 。

【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等,可以怎样分？说明

理由。

14, 33, 35, 30, 75, 39, 143, 169.

解：14=2X 7, 33=3X 11, 35=5X 7, 30=2X 3X 5, 75=3X 5X 5, 39=3X 13, 143=11X 13,

169=13X 13.这八个数分解质因数后共有质因数18 个(包括相同的) ,其中：质因数2 有两个,质因数3 有4 个,质因数5 有4 个,质因数7 有2 个,质因数11 有2 个,质因数13 有4 个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里,因此可以分为：

(1)(14, 75, 33, 169)和( 30, 35, 39, 143)

或( 2)(14, 75, 39, 143)和( 30, 35, 33, 169) .

【课后分层练习】

A 组：入门级

1、有7 个不同的质数,它们的和是60,其中最小的质数是多少？

解：6 个奇质数的和是偶数, 60 减去偶数仍是偶数, 所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2,即这7 个数中最小的是2.

2、如果“O”是一个质数，“□”是一个合数，下列第(4 )项的值一定是一个质数。

(1)0 + □(2 )0—口

(3)OXD (4 )OX□-□

3、210的因数有几个。这些因数的和是多少？

解：210=2X3X 5X 7,根据因数个数和及因数和定理有：210的因数有(1+1)X(1+1) X( 1 + 1)X( 1

+ 1) =16 个。这些因数的和是1+2)X( 1+3)X( 1+5)X( 1+7) =576.

2、用105 个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？

解：105=3X 5X 7; 105 共有（1 + 1）X（1 + 1 ）X（1+1）=8 个因数，所以共有不同8-2=4 （种）拼法。

3、有三个学生，他们的年龄一个比一个大 3 岁，他们三人年龄的乘积是1620.这三个学生

的年龄分别是几岁。

解：1620=2X 2X 3X 3X 3X 3X 5=9 X 12X 15•他们的年龄分别是9岁、12岁、15岁。

B 组：进阶级

1、哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个

两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？

解：个位数字是1 的两位质数有11，31，41，61，71；其中168－11=157，168－31=137，168－41=127，168－61=107，都不是两位数，只有168－71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97.

2、甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的因数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。解：甲必胜。甲先写6，这样除去6 的因数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个数，甲心中把（4，5），（7，9），（8，10）分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一组中的另一个数，则甲总可获胜。

3、将1、2、3、

4、

5、

6、

7、

8、9 这九个数分成三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等，第二组各数的和是15，问每组的数各是多少？

解：2，4=2X2，6=2X3，8=2 X 2 X 2 ，由于两组的积相等，显然是4和6在一组，1、2、5、7只出现一次，其和正好为15.这样3，4，6，8，9分成两组，即为3，4，6和8，9.因此三组数是：（3，4，6）；（1，2，5，7）；（8，9）。

4、1X 2X 3X-X 40 能否被90909 整除？

3

解：首先将90909 分解质因数，得90909=33X7X13X37。

因为33（=27）, 7, 13 , 37都在1〜40中，所以1X 2X 3X・・・X能被90909整除。

C 组：挑战级