北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题

试卷编号：2126

2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题

一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知√x +1√x

=3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025

2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是

( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52

cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( )

(A)6(B)4(C)2(D)0

4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x

在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平

行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( )

(A)26(B)24(C)22(D)20

5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( )

(A)134

(B)143(C)341(D)413

二、填空题共5小题。

6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个.

7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数)

8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC=

2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等

于＿＿＿＿＿.

9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取−2,0,l中的一个,且满足

x1+x2+···+x n=−17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿.

10.在1∼n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如,

正整数1∼20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1∼20中的“旺数”.在正整数1∼100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿.

三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

11.正整数a,b,c,d满足a2−ab+b2=c2−cd+d2.求证:a+b+c+d是合数.

12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和

BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE;

∠ADC=∠DPE=∠BEC=90◦,求证:P是线段AB的中

点.

13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001.