生物数学模型第一讲 数学模型与生物数学 ppt课件
数学建模生物种群模型(课件资料)
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06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。
生物数学第一章
第一章 概 论第一节 学 科 界 说生物数学(biomathematics)是一门介于生物学与数学之间的边缘学科。
这门学科以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究。
它的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、数量生理学和生物力学等。
这些分支是数学与生物学不同领域相结合的产物，在生物学中有明确的研究范围。
从研究使用的数学方法划分，生物数学又可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。
这些分支与前者不同，它们没有明确的生物研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论。
生物数学按照生物学和数学这两个方面去理解，可以从下面的图示获得形象的表示：生物学数 学这里把生物学的分支领域看作一个集合，数学的不同分支领域视作另一个集合，生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。
因而生物数学的分支内容十分丰富。
生物数学具有完善的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、随机过程、对策论、微积分，微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等。
由于生命现象复杂，从生物学中提出的数学问题往往十分复杂，需要进行大量的计算工作。
因此，计算机是生物数学产生和发展的基础，是研究和解决生物学问题的重要工具。
90年代以来，计算机技术的进一步发展，生物学的应用又把数学模型的定量分析与电脑的信息处理技术紧密结合在一起， 计算机在生物数学中日益重要。
然而，不论数学内容多么丰富，计算机的地位多么重要， 就整个学科的内容而论，生物数学需要解决和研究的本质方面是生物学问题，数学和计算机×仅仅是解决问题的工具和手段。
因此生物数学与其他生物边缘学科一样，通常被归属于生物学而不属于数学。
1974年联合国教科文组织编制的学科分类目录，已明确地将生物数学归入生命科学类，与生物化学、生物物理学等生物分支学科并列在一起。
生物数学
第三章生物分类的数学模型本章开始将讨论生物分类，按照生物分类学家的理解就是指表征分类和分支分类，我们仅研究两种分类概念下的数学理论与方法。
这里的分类也是多元统计关于聚类分析的延续，但是已远远超出统计数学的范围。
表征分类除经典的系统分类以外还包括图论分类、信息分类、模糊分类；分支分类是以抽象代数为基础，研究生物演化规律的分支学科。
因此生物数学中的分类数学模型不能再视作多元统计中的聚类分析，而应称为分类分析。
本章专门讨论分类分析中的表征分类数学模型。
第一节分类的基本概念和原始数据的获得何谓分类？有句俗话“物以类聚”，这句话的意思是说，许多事物依据其类别的特征，相似者归为同一种类。
从这个意思去理解，分类有两个要素。
第一个要素是被分类的对象，分类对象是由许多被分类的实体所组成，3个以上的实体构成一个基本分类对象。
被分类的实体，就是被分类的基本单位，在数量分类学中称为运算分类单位(operational taxonomic unit)简写作分类单位(OTU)。
全部被分类的分类单位构成的集合称为被分类群。
分类的第二个要素是分类的依据，分类依据取决于被类群中分类单位的性状，所谓性状(character)是一个分类单位区分于其他分类单位的性质、特征或属性。
一个分类单位对某个性状所呈现的状态，称为该性状的性状状态(character state)，简称状态(state)。
分类就是将被分类群中所有的分类单位，依据它们的性状状态，遵从一定的原则作出划分或聚合，得到一组新的分类单位集合。
通过分类获得的这个分类单位集合称为分类群(taxon)。
世界上一切事物都存在分类的问题。
专门研究生物物种的分类，也就是生物分类学中的分类，有表征与分支两个对立的概念。
依据生物表现性状相似性全面比较而建立的系统分类称为表征分类(phenetic classification)；遵从生物演化的谱系关系而建立的系统分类称为分支分类(cladistic classification)。
第1讲生物数学建模简介.ppt
P (r, t) p(r,
t p(r,0) p0 (r)
t)
p(0, t) f (t)
p(rm , t) 0
→难!
模型求解
– 若假设 (r,t)=(r)
p(r, t )
p0 (r
r
t
)e
r
1
(
s
)
ds
,0
r
t
r
f (t r)e0 (s)ds , t r
➢ 模型分析(略)
r
p0
(r
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型的分类
应用领域： 人口、生理、经济、生态 …
初等模型、几何模型、优化模型、微分方程
数学方法： 模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等
表现特性： 确定和随机
离散和连续
静态和动态 线性和非线性
建模目的： 描述、优化、预报、决策 … …
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
r=0.2557, xm=392.1
阻滞增长模型(Logistic模型)
高中生物典型数学模型举例
池塘生态系统模式图
(07江苏生物)37．正常情况下，人体内血液、组织液和细胞内液 中K+的含量能够维持相对稳定。 (1)尝试构建人体内K+离子的动态平衡模型(①在图形框中用箭头表 示②不考虑血细胞、血管壁细胞等特殊细胞)。
1 2
4 3
5 7
6
8
讨论：三种模型形式可以相互转化吗？
实践出真知——
9500
180
8
9600
170
(A)在该调查时间内物种x种群增长曲线大致呈“J”型 (B)若在第9年间，大量捕杀x种群个体，则第10年鼠种群数量增加 (c)鼠和X种群为竞争关系 (D)鼠和x种群为互利共生关系
小结：模型构建基础知识“地图”概念模型 数学模型必修一 Nhomakorabea14页：概念
必修三第65页：概念 必修三第66页：种群增长的模型
染 色分 体为
非 同 源 组成 染 色 体
同
源
染 色 体
联会 形成
染 色 据此 体 分为 组 四 分 包含 体 四条
多倍体 二倍体
单倍体 染 色 单 体
（二）数学模型
教材链接
必修三65页：数学模型是用来描述一个系统或它的性质的 数学形式。（用字母、数字及其它数学符号建立起来的等 式或不等式。也包括表格，曲线，柱状图，扇形图等数学 表达式。）
在一个草原生态 系统中，草是生产者， 鼠是初级消费者。现将 某动物新物种x引入该 生态系统，调查表明 鼠与x的种群数量变化 如右表。若不考虑瘟疫 等其他因素，下列说法 中最可能的是（ ）
时间（年) 鼠种群数量 (只)
1
18900
2
19500
3
14500
4
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
9.生物数学捕鱼模型ppt课件
dt
T
0
x t dt
ln
y tT 0
T
T
0
x t dt
0
1 T
T
0
x
t
dt
精品课件
现 在 回 答 D 'A n co n a问 题 ： 为 什 么 捕 鱼 减 少 对 鲨 鱼 成 长 最 有 利 .V olterra作 了 一 个 捕 鱼 模 型 ：
dx
d t
d
y
d t
x xy x
精品课件
• 捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的 治虫，会使害虫增加，而天敌减少。
• 学习本模型，使学生认识到，生物种群的 发展是有规律的,在没有人为的干扰情况下 ，该种群是处于平衡状态的，这是生物种 群千百万年以来所保持的规律性。正确的 理解生态平衡的概念和在捕鱼——被捕鱼 系统中的捕鱼效应。
• 由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题 不能表面化。喷洒农药治虫本来是正确的
d
x
c1
ln y y ln x x c1
l n y x x y c 1
y x c e x y c e c1
即 y e y x e x c c 为 任 意 常 数
系
统
（
3）
的
平
衡
点
为
0 ，0 ，
p1
,
y
轨线图像为
精品课件
为 捕 捞 系 数 ， 作
y xy y
适
当
的捕捞
系统变形为
dx d t
x
xy
d
y
d t
y
xy
其平均值为：x ,y
如果适当捕获，则被食鱼增加，而掠肉鱼数量减少，此为捕捞效应.
数学建模数学建模简介ppt课件
2006
B A B A B
2007 2008
2009
A B A
制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 储油罐的变位识别与罐容表标 定 2010 年上海世博会影响力的定 量评估
2010
B A B A B
如何写好数学建模竞赛答卷
一、写好数模答卷的重要性 二、答卷的基本内容，需要重视的问题 三、对分工执笔的同学的要求 四、关于写答卷前的思考和工作规划 五、答卷要求的原理
数学建模
任课教师: 朱 伟
联系方式: zhuwei@; 13062398142
主要参考书籍: 1. 数学建模与数学实验, 赵静, 但琦 2. 数学实验, 萧树铁 3. 数学建模方法及其应用, 韩中庚 4. 数学建模导论, 陈理荣
数学建模(Mathematical Modelling)
数学建模的一般步骤
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模 型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
数学模型（Mathematical Model）
• 数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 一个特定目的，根据特有的内在规律，做出 一些必要的假设，运用适当的数学工具，得 到一个数学结构。 • 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数 学表达式（或是用数学术语对部分现实世界 的描述），即用数学式子（如函数、图形、 代数方程、微分方程、积分方程、差分方程 等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对 象或系统在某一方面的存在规律。
数学建模是利用数学方法解决实际问题的 一种实践。即通过抽象、简化、假设、引 进变量等处理过程后，将实际问题用数学 方式表达，建立起数学模型。数学建模所 涉及的问题都是现实生活中的实际问题， 范围广、学科多，包括工业、农业、医学、 生物学、政治、经济、军事、社会、管理、 信息技术等方面。
【生物数学】!生物数学-微分方程模型
28生物数学－微分方程数学模型微分方程模型是一类十分重要的生物数学模型，其中包括经典的Malthusian 模型、Logistic 模型和Lotka-Volterra 模型。
获诺贝尔奖的神经膜传导H-H 方程，以及获诺贝尔奖的侧抑制神经网络Hartline 方程，都是数学与生物学结合研究—即生物数学的结晶。
微分方程模型在神经生理学、流行病学、生态学、微生物学、酶动力学、药用动力学等领域都已产生了重要的理论与应用价值。
第一节 单种群增长的数学模型种群增长研究中人口增长是最古老的课题之一，我们就以此开始讨论。
美国的人口记录是世界上最完整的记录之一，表3-1给出了美国人口增长的部分记录。
从1790年的610929.3⨯人，到1800年的610038.5⨯人，10年中：66101379.01017901800929.3308.5⨯⨯--＝人口平均增长率＝人／年665.308 3.929100.0351103.929(18001790)-⨯⨯-人口平均相对增长率＝＝人／年表3.1美国人口调查数据28增长率以单位时间 (单位：一般指年)内人口增长的比例来描述，它与时间t 及当时的人口数量有关。
相对增长率则以增长率相对于当时人口的数量来衡量，在一定的时间范围和一定条件下，相对增长率是一个稳定的常数。
现论述这一思想。
设某种群在t 时刻的数量（亦称为种群密度）为)(t N ，其中t 代表时间，则从t 到t +△t 时间间隔中：平均种群增长速率tNt t N t t N ∆∆=∆-∆+=)()( 平均种群相对增长速率tN Nt t N t N t t N ∆∆=∆-∆+=)()()(令t ∆→0取极限，得到在时刻t 的种群增长速率和种群相对增长速率分别为：种群增长速率dtdNt N t =∆∆=→∆0lim28种群相对增长速率dtdNN t N N t 1lim0=∆∆=→∆ 今后也将dtdN记为 )(t N ' 或 N '，对三者不加区分。
常见生物模型构建的一般步骤精选PPT课件
一、概念模型：
2. 构建的一般步骤：
⑵画出初步关系图并建立连接 ；
10
一、概念模型：
2. 构建的一般步骤：
⑶标明概念之间关系 ：ห้องสมุดไป่ตู้
建立好连接后就要考虑在连线上用连接词标明两者之间 的关系。对连接词的使用一定要注意推敲，力求合理准确。 连接词不能含蓄也不需要华丽，但是要力求简练，并一目了 然。比如杂合子如何能够导致自由组合或交叉互换的呢？当 然是在有性生殖的减数分裂过程中染色体的行为造成的，而 自由重组和交叉互换是基因重组的原因；新的表现性能够增 加生物的变异性和多样性，变异性和多样性能够提供生物进 化的原材料等等。连接词还不能有歧义，一旦有歧义，就容 易给学习者造成误解。
4
一、概念模型：
2. 构建的一般步骤：
以基因重组为生物进化提供原材料的模型构建为例来加以说明
5
一、概念模型：
2. 构建的一般步骤：
⑴理清概念之间关系：
要构建概念图，首先要明确各概念范 围，确定各关键概念等级，然后理清几个 概念之间的关系。关键概念关系理不清， 就无法正确的构建概念图，所以理清关系 是构建概念图的第一步，也是最关键的一 步。
8
一、概念模型：
2. 构建的一般步骤：
⑵画出初步关系图并建立连接 ；
初步拟定概念图各个概念之间的纵向和横 向分支，然后先用铅笔描出初步的连接，箭头 的指向等。上下级关系、并列关系等都要注意 排列的位置，尽量避免交叉。如图形中的自由 重组和交叉重组、变异性和多样性应该是并列 的，而导致新基因型产生的原因应该是基因重 组等。建立初步连接后要仔细的审定一下连接 是否合理，如不合理要及时纠正。
1.定义：
概念模型是对生物学中某个问题或事 物进行描述。概念模型包括：中心概念、 内涵、外延。在新课程生物教材中，概念 模型通常以概念图的形式出现，表达概念 之间的相互关系，体现知识的网络构架。 通过概念模型的构建，有利于对概念知识 的理解和联系。
第一讲 什么是数学建模
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 包括表述、求解、解释、检验等）
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用
模 型 准 备
模型假设 模型分析
建立模型 模型求解
了解实际背景
明确建模目的
搜集有关信息 掌握对象特征
形成一个 比较清晰 问题’ 的‘问题’
数学建模的一般步骤
转化为数学问题
• 穿上高跟鞋后，身高为h+x厘米，下肢 穿上高跟鞋后，身高为h+x厘米， h+x厘米 l+x厘米 厘米。 长l+x厘米。 • 得到一个关于x的一次方程： 得到一个关于x的一次方程：
l+x = 0.618 h+x
问题的求解
• 解该一次方程，得： 解该一次方程，
0.618h − l x= 0.382
评价和应用
• 假如乌鸦聪明得很，能使石子彼此之间挨 假如乌鸦聪明得很， 得更紧密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3 得更紧密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3 左右（只是计算麻烦些， 左右（只是计算麻烦些，读者可举一实例 验证之） 验证之） • 上述计算尽管只是对特殊情况的一种粗略计算， 上述计算尽管只是对特殊情况的一种粗略计算， 但这也实在难为乌鸦了， 但这也实在难为乌鸦了，不过这不能不使我们 考虑这样一个事实，在日常生活中， 考虑这样一个事实，在日常生活中，应当怎样 地充分利用空间，减少浪费，获得更高的效益， 地充分利用空间，减少浪费，获得更高的效益， 这正是数学所需要解决的问题。 这正是数学所需要解决的问题。
第一讲 数学模型与数学建模 简介
国31个省和特区的 个省和特区的19000名大中学学生中，只有4.7% 名大中学学生中，只有 个省和特区的 名大中学学生中
数学建模是培养学生的观察能力,抽象能力 创造 数学建模是培养学生的观察能力 抽象能力,创造 、对 抽象能力 像力；只有14.9%的学生认为培养自己的探索能力 的学生认为培养自己的探索能力、 像力；只有 的学生认为培养自己的探索能力 思维能力,逻辑推理能力 动手能力,数学语言表达 逻辑推理能力,动手能力 思维能力 逻辑推理能力 动手能力 数学语言表达 新事物的想像力和收集信息的能力；只有33%的学生参 新事物的想像力和收集信息的能力；只有 的学生参 能力,计算机使用 数学软件使以及科学计算能力. 计算机使用,数学软件使以及科学计算能力 能力 计算机使用 数学软件使以及科学计算能力
黔南民族师范学院数学系2010数学建模素质培训 黔南民族师范学院数学系2010数学建模素质培训 2010
严忠权
数学建模与能力的培养 最近几年里， 最近几年里，我校学
生都在只参加了半年 左右的学习和实践后， 左右的学习和实践后， 锻炼， ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 在全国大学生数学建 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 调查研究阶段， 要用到观察能力、分析能力和 观察能力 模竞赛取得了优异成 能力等 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 2002年开始获 绩，从2002年开始获 能力。 能力。 综合素质， 生的综合素质 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 得国家一等奖1 得国家一等奖1项国家 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， . ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 二等奖十三奖. 二等奖十三奖 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 继续而不是别人工作的重复， 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 果用作你的假设，去探索新的奥秘。 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 查到并学会我想应用的知识的本领。 我想应用的知识的本领 创新的能力。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
浅谈数学在生物学中应用讲课PPT
南开大学第三届“数学之美”论坛
数学在生物化学中的应用
拓扑学用于研究一种物体在不断变形情况下的某 些不变的性质。
例如，DNA超螺旋的性质是可以定量的，这种量化的 建立加深了对DNA结构和功能的了解。这种定量化的 研究借用了数学上的一个分支——拓扑学。一个共价 环形DNA分子无论怎样变形或弯曲，它的拓扑学性质 是不变的。
数学概率在遗传学中的应用
Mendel第二定律— —自由组合定律
在配子形成时，各 对等位基因彼此分 离后，独立自由地 组合到配子中。
南开大学第三届“数学之美”论坛
数学概率在遗传学中的应用
各种概率之和等于1
条件概率
遗传概率
概率之值在0和1之间 变化 即0≤P≤1
概率的相加法则
概率的相乘法则
南开大学第三届“数学之美”论坛
南开大学第三届“数学之美”论坛
生物+数学=？
恩格斯当年在《自然辩证法》中 写到：“数学的应用在固体力学中是 绝对的，在气体力学中是近似的，在 液体力学中已经比较困难了，在化学 中是最简单的一次方程式，在生物学 中等于零。”
这就是19世纪的评价。
南开大学第三届“数学之美”论坛
生物+数学=？
然而到了21世纪，我们清楚地认识 到，数学已经被广泛地应用于生命科学 中。生物数学是生物学与数学互相渗透 形成的边缘学科，其前身为生物统计学 ，内容涉及到概率论、数理统计、微分 方程、运筹学、控制论、拓扑学、系统 最优理论以至于模糊数学，成为现代数 学的一个崭新的分支。生物数学在生命 科学中有着广泛的应用，同时也具有其 独特的发展过程。
南开大学第三届“数学之美”论坛
数学在生物化学中的应用
DNA的超螺旋是由拓扑连系数（Lk）定义的 一个闭合环形的DNA分子的连系数，严格的等 于没有任何超螺旋情况的螺旋数
生物数学模型第一讲 数学模型与生物数学
生物数学模型第一讲数学模型与生物数学在我们生活的这个丰富多彩的世界里，生物学和数学这两个看似截然不同的领域，其实有着千丝万缕的联系。
而生物数学，就是将数学的方法和理论应用于生物学研究的一门交叉学科。
今天，让我们一同走进生物数学模型的第一讲——数学模型与生物数学。
数学模型，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述现实世界中的现象和问题。
它就像是一个抽象的蓝图，能够帮助我们理解和预测复杂的系统行为。
在生物学中，数学模型可以帮助我们研究生物的生长、繁殖、进化、生态系统的动态变化等各种问题。
比如说，我们来考虑一个关于细菌生长的问题。
假设在一个培养皿中，细菌的数量会随着时间的推移而增加。
我们可以用一个简单的数学模型来描述这个过程。
假设细菌的增长率是恒定的，那么细菌数量的增长就可以用一个指数函数来表示：N(t) ＝ N₀ e^（rt)，其中 N(t) 表示在时间 t 时的细菌数量，N₀是初始的细菌数量，r 是增长率。
通过这个数学模型，我们可以预测在未来的某个时间点，细菌的数量会达到多少。
再比如，在研究生态系统中物种之间的相互作用时，数学模型也能发挥重要作用。
假设有两种生物，A 和 B，A 以 B 为食。
我们可以建立一个数学模型来描述它们数量的变化。
通过这个模型，我们可以研究在不同的条件下，比如食物的丰富程度、环境的变化等，这两个物种的数量会如何变化，以及它们是否能够共存。
那么，为什么我们需要在生物学中使用数学模型呢？首先，数学模型能够帮助我们简化复杂的生物现象，使我们能够更清晰地理解其本质。
生物系统往往非常复杂，包含了众多的因素和变量。
通过建立数学模型，我们可以忽略一些次要的因素，专注于关键的变量和它们之间的关系。
其次，数学模型可以帮助我们进行预测。
通过对过去和现在的数据进行分析，建立数学模型，我们可以预测未来的生物现象，为我们的决策提供依据。
比如，在疾病的传播研究中，通过建立数学模型，我们可以预测疾病的传播趋势，从而制定相应的防控措施。
生物数学模型第一讲 数学模型与生物数学
dy x y y 1100et dt
y (0) 0
药物排除的半衰期为6 h
dy y dt
只考虑血液对药物的排除
y(t ) ae
(t )
y( ) a, y( 6) a / 2
(ln 2) / 6 0.1155(1/ h)
dy x y, dt
y (0) 0
模型求解
dx x, dt
x(0) 1100
x(t ) 1100et
药物吸收的半衰期为5 h
1100e5 1100 / 2
x(5) x(0) / 2
(ln 2) / 5 0.1386(1/ h)
1100 t y (t ) (e e t )
y=442
严重中毒
血药浓度200μg/ml
25
0
5
10 t(h)
15
20
t=1.62
t=7.89 t=4.87
y(t) =400mg
y(2)=236.5
致命
孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救， 约3h后将致命！
施救方案
• 口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍. 孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)
知识经济
1.3
场景
数学建模示例
如何施救药物中毒
两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室. 诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg.
过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 100μg/ml浓度会出现严重中毒, 200μg/ml浓度可致命. 医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.
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数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展. • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透. 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，
越来越受到人们的重视.
• 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地. • 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具. • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.
知识经济
1.3 数学建模示例
如何施救药物中毒
场景 两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.
诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg.
过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 100μg/ml浓度会出现严重中毒, 200μg/ml浓度可致命.
血液系统药量 y(t) 6600(e0.1155t e0.1386t )
1200
血液总量2000ml
x,y(mg)
1000
x(t) 800
600
400 y(t)
200
y=442
0
0
5
10
15
20
25
t(h)
t=1.62 t=7.89 y(2)=236.5
t=4.87
血药浓度100μg/ml y(t) =200mg 严重中毒
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.
4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率 正比于x
排除率
血液系统
正比于y 体外
药量y(t)
x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ), 总剂量1100mg药 物在t=0瞬间进入胃肠道.
dx x, x(0) 1100
时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.
dt y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度 与y(t) 成正比(比例系数μ) , t=0时血液中无药物.
dy x y, y(0) 0
dt
模型求解
dx x, x(0) 1100
dt
x(t) 1100et
药物吸收的半衰期为5 h x(5) x(0) / 2
1100e5 1100 / 2 (ln 2) / 5 0.1386(1/ h)
血药浓度200μg/ml
y(t) =400mg 致命
孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救， 约3h后将致命！
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?
1 数学模型与生物数学
1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例：药物中毒施救 1.4 数学建模的基本方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 生物数学模型的内涵与分支
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
• 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的 6倍，但是安全性不能得到充分保证.
模型假设
胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以 孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系 数λ(>0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道. 2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物.
半衰期可以从药品说明书上查到.
调查与分析
血药浓度=药量/血液总量
通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体 重50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液.
目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认 为其血液总量约为2000ml.
临床施救的办法：
• 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍.
dy x y y 1100et
dt
y(0) 0
y(t) 1100 (et et )
药物排除的半衰期为6 h 只考虑血液对药物的排除
dy y y(t) ae(t )
Байду номын сангаас
dt
(ln 2) / 6 0.1155(1/ h)
y( ) a, y( 6) a / 2
结果及分析 胃肠道药量 x(t) 1100e0.1386t
医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.
调查与分析
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率 正比于x
血液系统
体外
药量y(t) 排除率
正比于y
认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .
血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移 率) 和排除率可以由半衰期确定.
数学建模的重要意义
“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.
数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力具有重要意义”.
“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学 科学技术转化的主要途径” .
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
数学建模
计算机技术